WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 19 |

1 1 B a+b a+b Коэффициенты при z и z в этом уравнении A равны 1-a-b и a+b-1 соответственно x и они пропорциональны коэффициентам P(1) O Q(2) уравнения (22.4) прямой инвариантного пучка для собственного числа 2:

1-a-b a+b-Рис., a-2 = b так как по теореме Виета для характеристического уравнения 1+ +2=a+a, и поэтому предыдущее равенство эквивалентно верному равенству 2-(a+a)1+aa-bb=0. Аналогично, прямая QK принадлежит тому же пучку, что и прямая (22.4) для =1.

Если a=0, то отрезок PQ — диаметр окружности, K=B, B.

Следовательно, прямые, принадлежащие разным инвариантным пучкам подобия второго рода, перпендикулярны.

При 1=2 имеется лишь один инвариантный пучок параллельных прямых.

Имеет место следующий замечательный факт:

Те оре ма. Если — собственное действительное число аффинного преобразования, то множество точек, каждая из которых делит в отношении -=-1 отрезок, соединяющий точку с её прообразом, есть двойная прямая этого преобразования.

- Пусть M(m)M (am+bm+c) и M N =-NM, =. Если z — координата точки N, то am+bm+c-m z=, 1или (1-)z=(a-)m+bm+c.

Запишем сопряжённое этому уравнение и из полученной системы исключим m:

(1-)(a-)z-(1-)bz=((a-)(a-)-bb)m+c(a-)-bc.

Но (a-)(a-)-bb=0, поскольку — корень характеристического уравнения. Следовательно, множество точек N(z) имеет уравнение c(a-)-bc (a-)z-bz=, =1, (22.7) 1которое можно записать в эквивалентном виде c(a-)+bc (a-)z+bz=, (22.8) 1где —уже другой корень характеристического уравнения.

Если =1, то уравнение (22.7) — уравнение прямой, принадлежащей пучку (22.5) для 2, и наоборот, при =2 прямая с уравнением (22.7) содержится в пучке (22.5) для 1, так как a-1 -b 1+2=a+a.

a-2 = b Прямая (22.7) является двойной прямой аффинного преобразования:

каждая её точка N отображается в точку N этой же прямой, поскольку прямой (22.7) принадлежит и точка отрезка N N, делящая его в отношении -.

При подобии второго рода (a=0) 1=k, 2=-k, и уравнение (22.7) переходит в уравнения (19.6) и (19.8) двойных прямых подобия.

Если b=0, a=a=k=1, то аффинное преобразование z =az+c является гомотетией (§ 18). В этом случае каждое из уравнений (22.4) превращается в тождество 0·z+0·z=0. Это значит, что любой пучок параллельных прямых инвариантен.

Если b=0, a=a=1, то это параллельный перенос z =z+c. Характеристическое уравнение 2-2+1=0 имеет корни 1=2=1 уравнение (22.4) становится тривиальным. Отсюда следует тот же вывод, что и для гомотетии.

Доказанная теорема позволяет построить двойные прямые аффинного преобразования.

§ 23. Частные случаи аффинных преобразований 23.1. Сжатия и сдвиги. Рассмотрим подробнее аффинное преобразование z =az+bz+c, имеющее прямую неподвижных точек — ось аффинного преобразования. Для него выполняются условия (21.9):

|b|=|a-1|, a=1, bc+c(1-a)=0.

Примем ось (a-1)z+bz+c=0 аффинного преобразования за действительную ось Ox: z-z=0. Тогда, очевидно, c=0, b=1-a. Следовательно, аффинное преобразование с осью z=z записывается формулой z =az+(1-a)z, a=1 (23.1) Выясним особенности этого преобразования.

1. Из формулы (23.1) получаем:

z -z=(a-1)(z-z)(23.2) и z -z (a-1)(z-z) a-= =-, z -z (a-1)(z-z) a-или (z -z)(a-1)+(z -z)(a-1)=0.

Это означает, что векторы z -z и a-1 перпендикулярны. Если M, M, A, E — точки с координатами соответственно z, z, a, 1, то MM AE.

Так как точки A и E постоянны, прямые, соединяющие соответственные при аффинном преобразовании точки M и M, параллельны.

Их направление называется направлением аффинного преобразования. Оно, очевидно, характеризуется вектором (a-1)i (с точностью до действительного ненулевого множителя). Каждая прямая этого пучка — двойная.

Если a-1 — чисто мнимое число, т. е. a-1=-(a-1), или a+a=2, a =1, то направление аффинного преобразования совпадает с направлением его оси. В этом случае аффинное преобразование называется сдвигом вдоль прямой. Если направление аффинного преобразования не совпадает с направлением его оси, то оно называется сжатием к прямой.

Формуле (23.1) можно придать эквивалентный вид, выразив параметр a через вектор p=(1-a)i направления преобразования:

z =(1+pi)z-piz. (23.3) 2. Соответственные прямые MN и M N пересекаются на оси аффинного преобразования или параллельны ей. Это ясно и без вычислений. Действительно, если l — ось преобразования и MNl=L, то L =L, и точки M, N, L коллинеарны, так как коллинеарны их прообразы M, N, L. Если же MN l, то и M N l (рассуждение от противного).

Эти два свойства преобразования, имеющего прямую неподвижных точек, позволяют с лёгкостью построить образ N данной точки M по заданной оси l и паре соответственных точек D Пусть MDl= D.

=F. Искомая точка M есть точка пересечения прямой FD и прямой, проходящей через M паM раллельно DD (рис. 60, 61).

D Как построить образ данной точки M при сжатии или сдвиге, пользуясь формулой (23.1) F этого преобразования Здесь обращаемся к характеристической окружности с центром в точD ке A(a) и радиусом |1-a|. Она проходит через точку E(1), а значит, имеет с действительной M осью (осью преобразования) ещё одну общую Рис. точку, которая, в частности, может совпадать с E.

Сжатие всегда имеет собственное число 1=1, отвечающее его оси. Второе собственное число MM равно 2=a+a-1= и соответствует направлению сжатия. Точка D(i) отображается в точку D ((2a-1)i), которая очень просто строится D D (рис. 62): точка C, диаметрально противоположная точке E, имеет координату 2a-1, поэтому D есть образ точки C при повороте около начаF ла на угол 90. Пара D позволяет построить D Рис. 61 образ любой заданной точки M.

y 3. Согласно теореме предыдущего паD раграфа, ось сжатия делит каждый из отрезков M M, соединяющих точку M с её про образом M, в отношении -2=1-a-a:

- C D(i) M N =(1-a-a)NM, или A - M N =(a+a-1)MN.

x O E(1) Q Поскольку =0, то a+a =1. Число 2= =a+a-1= называется коэффициентом Рис. сжатия.

Если a — действительное число, то направление сжатия перпендикулярно его оси. В этом случае сжатие называется прямым сжатием.

4. Для сдвига (a+a=2, a =1) характерно то, что вектор 1-a перпендикулярен действительной оси (оси сдвига). Следовательно, характеристическая окружность касается оси в точке E(1). Сдвиг имеет равные собственные числа 1=2=1 (рис. 63), и является эквиаффинным преобразованием первого рода (=1).

Из равенства (23.2) следует, что |z-z| |z -z|=2|a-1|·, т. е. при сдвиге каждая точка смещается параллельно его оси на расстояние |z -z|, пропорциональное расстоянию |z-z|/2 от неё до оси.

Число 2|a-1| (коэффициент пропорциональности) называется коэффициентом сдвига.

23.2. Косая симметрия представляет собой важный частный случай сжатия — инволютивное сжатие. Преобразование f-1, обратное аффинному преобразованию f (23.1), имеет формулу a a-z = z+ z, (23.4) a+a-1 a+a-т. е. также является аффинным преобразованием с той же осью.

Равенство f-1=f выполняется тогда и только тогда, когда a =a, y a+a-C откуда a=-a, т. е. когда a — чисто D(i) D мнимое число.

Итак, формулой (23.1) при a+a=A задаётся косая симметрия с действительной осью. Коэффициент сжатия в этом случае равен =a+a-1=-1. Слеx O E(1) довательно, ось косой симметрии делит пополам каждый отрезок, соединяющий Рис. y соответственные точки. Собственные числа рав ны 1 и -1. Графическое представление дано на рис. 64. При a=0 получаем осевую симM метрию относительно действительной оси.

A Поскольку p=(1-a)i — вектор направления косой симметрии и a+a=0, то a= x O E N =1+pi, a=1-pi, и (1+pi)+(1-pi)=0, 2 p+p откуда i= и поэтому 1+pi=, M p-p p-p 2p Рис. -pi=-. Следовательно, формула p-p (23.3) для косой симметрии с действительной осью z=z и направлением p может быть записана так:

p+p 2p z = z- z. (23.5) p-p p-p Если a=0, то p=i и формула (23.5) переходит в формулу z =z осевой симметрии.

Так как =-1<0, косая симметрия есть эквиваффинное преобразование второго рода (§ 21).

Выведем формулу косой симметрии по её оси uz+uz+v=0 (v= =v) и направлению p. Условие неколлинеарности направления p данной оси можно записать в таком виде: pu+pu=0 (векторы p и u неперпендикулярны). Если M(z)M (z ), то векторы z -z и p колли неарны, и точка (z +z)/2 лежит на оси. Поэтому выполнена система > > > -z=p (=), > z > > > > > > > < > > > z +z z +z > > > > > > u +u +v=0.

> > :

2 Исключая из неё и z, получаем искомую формулу косой симметрии:

(pu-pu)z-2puz-2pv z =, (23.6) pu+pu которая обобщает формулу (23.5).

23.3. Эллиптический поворот. Образ окружности при аффинном преобразовании называется эллипсом. Рассмотрим прямое (ортогональное) сжатие g к действительной оси z =az+(1-a)z, a=a, a=1, =2a-1=0. (23.7) Обратное преобразование g-1 имеет формулу:

z = (az+(a-1)z). (23.8) 2a-y Окружность zz=R2 при сжаP Nтии g переходит в эллипс (рис. 65).

Чтобы получить его уравнение, надо K M1 N в уравнении окружности заменить z на правую часть формулы (23.8):

M x (az+(a-1)z)(az+(a-1)z)= C O D =R2(2a-1)2.

Преобразуем это уравнение к такоT му виду:

Q (z+z)2 (z-z)- =1. (23.9) Рис. (2R)2 (2R(2a-1))|OK| Коэффициент сжатия равен =2a-1, следовательно, =2a-1.

|OP| Величины 2R и 2R(2a-1)=|KT| называются, соответственно, большой и малой осями эллипса (23.9), если ||<1.

Возьмём две произвольные точки N и N1 окружности. Пусть M и M1 — их образы при сжатии g. Точку N можно отобразить в Nповоротом f около центра O на некоторый угол t:

z =z, arg =t, ||=1, =. (23.10) Очевидно, точку M эллипса можно отобразить в точку M1 этого же эллипса композицией =gf g-1 (MNN1M1). Найдём формулу преобразования, используя последовательно (23.8), (23.10) и (23.7).

Для композиции f g-1 получаем:

z = (az+(a-1)z), 2a-затем для находим искомую формулу:

a2-(1-a)2 a(a-1)(-) z = z+ z. (23.11) 2a-1 2a-Преобразование является аффинным, отличным от подобия, с определителем =1 (проверку опустим). Оно имеет единственную неподвижную точку O и не имеет инвариантных пучков, так как дискриминант его характеристического уравнения равен (+)2-4< <0, поскольку |+|<||+||=2. Следовательно, преобразование — эквицентроаффинное без инвариантных пучков параллельных прямых.

При нём каждая точка M плоскости (M =O) смещается по соответству ющему эллипсу, который отображается на себя. Поэтому по аналогии с окружностью и с обычным поворотом оно называется эллиптическим поворотом.

Кратко эллиптический поворот можно записать формулой:

z =az+bz, |a+a|<2, aa-bb=1. (23.12) Эту формулу можно представить так:

a a z =(a+b) z+ 1- z. (23.13) a+b a+b Это означает, что эллиптический поворот является композицией сжатия a a z = z+ 1- z a+b a+b к действительной оси и подобия первого рода z =(a+b)z с центром в начале O.

23.4. Параболический поворот. Композиция сдвига и переноса, не параллельного оси сдвига, называется параболическим поворотом.

Если ось сдвига принять за действительную ось, то он записывается формулой z =az+(1-a)z, a+a=2, a=1. (23.14) Для композиции этого сдвига и переноса z =z+c, c=c, получаем выражение z =az+(1-a)z+c, a+a=2, a=1. (23.15) Так как для параболического поворота (23.15) =aa-(1-a)(1-a)=a+a-1=1, это аффинное преобразование является эквиаффинным преобразованием первого рода. Характеристическое уравнение 2-2+1=0 имеет равные корни N 1=2=1, и потому данное преобразование имеет только один инвариантный пучок M параллельных прямых, параллельных оси N сдвига (23.14).

NНазвание параболического поворота обуM словлено тем, что при нём каждая точка Mсмещается по некоторой параболе, и всякую параболу можно отобразить на себя параболическим поворотом, определяемым парой соответственных точек, лежащих на ней. При этом ось сдвига совпадает с осью параболы Рис. 66 (рис. 66).

Задачи 4.23. Аффинное преобразование задано формулой 1 z = 2+ i z+ -1+ i z-(2+6i).

2 Напишите формулу обратного преобразования, уравнения образов и прообразов осей координат. Найдите неподвижные точки этого преобразования.

4.24. Найдите двойные прямые аффинного преобразования 1 z = (5-7i)z- (5+5i)z-(4+22i).

2 4.25. Покажите, что аффинное преобразование 13 z = +i z+ - +5i z+1+2i 2 есть сжатие. Найдите его ось, направление и коэффициент.

4.26. Покажите, что аффинное преобразование z =(1+2i)z+2z+2+2i есть сдвиг. Найдите его ось и коэффициент.

4.27. Покажите, что аффинное преобразование z =2iz-(2+i)z+3-i есть косая симметрия. Найдите её ось и направление.

4.28. Аффинное преобразование имеет прямую неподвижных точек (ось) (1-i)z+(1+i)z=и пару соответственных точек A(-1+2i)A (1+i). Напишите фор мулу этого преобразования.

4.29. Напишите формулу сдвига, если его ось имеет уравнение (1+i)z+(1-i)z+2=0, а прямая (2+i)z+(2-i)z=0 отображается в прямую iz-iz+4=0.

4.30. Покажите, что 1) композиция двух косых симметрий с общей осью и различными направлениями есть сдвиг вдоль этой оси;

2) композиция двух косых симметрий с параллельными осями и общим направлением есть перенос.

4.31. Докажите, что композиция двух косых симметрий, оси которых параллельны, а направления различны, есть параболический поворот.

4.32. Докажите, что композиция двух подобий второго рода с общими инвариантными пучками параллельных прямых есть гомотетия, перенос или тождественное преобразование.

§ 24. Инверсия M 24.1. Определение и формула инверсии. Инверсией плоскости относительно окружности с ценT тром S и радиусом R называется преобразование, которое всякую точку M плоскости, отличную от S, M отображает в такую точку M, что SM ·SM =R2 и M S принадлежит лучу SM. Окружность (S, R) называется окружностью инверсии, точка S — центром (или полюсом) инверсии.

Построение образа M точки M выполнено Рис. на рис. 67. Если точка M находится вне круга (S, R), то через неё проводим касательную к окружности инверсии, и из точки T касания опускаем перпендикуляр TM на луч SM. Тогда из подобия треугольников STM и STM получаем SM ST пропорцию =, откуда SM·SM =R2.

ST SM В определении инверсии точки M и M равноправны. Следовательно, образом точки M при этой же инверсии будет точка M, т. е.

инверсия — преобразование инволютивное.

Найдём формулу инверсии при задании точек комплексными числами. Пусть точкам S, M, M соответствуют комплексные числа s, z, z.

Тогда равенство SM·SM =R2 при переходе к квадратам расстояний даёт:

(s-z)(s-z)·(s-z )(s-z )=R4, (24.1) Коллинеарность точек S, M, M приводит к равенству:

(s-z)(s-z )=(s-z)(s-z ). (24.2) Из (24.1) и (24.2) следует:

(s-z)(s-z )=R2, откуда Rz = +s, (24.3) z-s или zs+R2-ss z =. (24.4) z-s Сонаправленность лучей SM и SM, т. е. требуемая определением принадлежность точки M лучу SM, обеспечивается тем, что каждое из произведений (24.2) положительно (равно R2).

Итак, инверсия плоскости относительно окружности (S, R) записывается любой из формул (24.3) и (24.4).

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.