WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 19 |

Последовательными подстановками находим формулу их композиции:

z =-ad(-cd(-bc(-abz+a+b)+b+c)+c+d)+d+a, или окончательно z =z+(b-d)(ac-1).

Это есть перенос на вектор (b-d)(ac-1).

Задачи 4.10. Найдите композицию двух центральных симметрий с центрами A и B.

4.11. Докажите, что композиция трёх центральных симметрий есть центральная симметрия.

4.12. Найдите композицию симметрии относительно прямой AB и симметрии относительно точки A.

4.13. Определите взаимное расположение точки и прямой, если симметрии относительно них перестановочны.

4.14. Докажите, что всякое движение второго рода есть композиция осевой и центральной симметрии.

4.15. При каком условии композиция двух осевых симметрий коммутативна 4.16. Дан отрицательно ориентированный четырёхугольник, у которого диагонали равны и перпендикулярны. Докажите, что композиция поворотов около последовательных вершин этого четырёхугольника на углы /2 есть тождественное преобразование.

4.17. Докажите, что композиция симметрий относительно последовательных сторон вписанного в окружность многоугольника с чётным числом сторон есть параллельный перенос.

4.18. Окружности 1, 2, 3 имеют общую точку P и пересекаются вторично в точках A12, A23, A31. Из произвольной точки A окружности 1 проведены прямые AA12 и AA13, которые вторично пересекают окружности 2 и 3 в точках B и C. Докажите, что точки B, C, Aколлинеарны.

4.19. Три окружности 1, 2, 3 попарно касаются в точках C, A, B соответственно. Прямая, проходящая через точку C, пересекает окружности 1 и 2 в точках M1 и M2. Прямая AM2 пересекает окружность 3 в точке M3, прямая BM3 пересекает окружность в точке N. Докажите, что точки M1 и N диаметрально противоположны.

4.20. Окружности и 1 ортогонально пересекаются в точках A и B. Из произвольной точки C окружности проведены прямые CA и CB, которые вторично пересекают окружность 1 в точках A1 и B1.

Докажите, что прямые AB1 и A1B пересекаются на окружности.

4.21. Четыре окружности 1, 2, 3, 4 касаются последовательно внешним образом в точках A12, A23, A34, A41. Произвольная прямая, проходящая через A12, пересекает окружности 1 и 2 в точках Mи M2. Прямая M2A23 пересекает окружность 3 в точке M3, и прямая M3A34 пересекает окружность 4 в точке M4. Докажите, что точки M4, A41, M1 коллинеарны.

4.22. Даны точки A(a) и B(b). Постройте точку C(c) так, чтобы a2+ab+b2=3c(a+b-c).

§ 21. Аффинные преобразования евклидовой плоскости 21.1. Формула и свойства аффинных преобразований. Одним из возможных обобщений преобразований подобия являются аффинные преобразования, отображающие (по их определению) каждую прямую на прямую. Нашей целью является построить их краткую теорию с помощью комплексных чисел.

Прежде всего необходимо иметь формулу аффинного преобразования, т. е. выражение комплексной координаты z образа данной точки M(z) через координату z этой точки M. Как известно, аффинное преобразование плоскости в аффинных (и в частности, в прямоугольных декартовых) координатах имеет формулы x =a1x+b1y+c1, =0.

= a1 b1 (21.1) a2 by =a2x+b2y+c2, Положим a1=u1+v1, b1=v2-u2, a2=u2+v2, b2=u1-v1. Числа u1, v1, u2, v2 отсюда определяются однозначно. Тогда имеем:

x =(u1+v1)x+i2(u2-v2)y+c1, y =(u2+v2)x+(u1-v1)y+c2.

Теперь находим x +iy =(u1+iu2)(x+iy)+(v1+iv2)(x-iy)+(c1+ic2).

Введя обозначения u1+iu2=a, v1+iv2=b, c1+ic2=c, получаем искомую формулу аффинных преобразований евклидовой плоскости:

z =az+bz+c, aa=bb. (21.2) Определитель =0 аффинного преобразования (21.2) равен a1 b2 2 2 = u1+v1 v2-u =(u1+u2)-(v1+v2)=aa-bb.

a2 b2 u2+v2 u1-vНайдя z из системы > > > > az+bz+c=z, > < > > > > > :

bz+az+c=z и поменяв местами z и z, получаем формулу обратного преобразования z = (az-bz+bc-ac). (21.3) 1 Его определитель равен (aa-bb)=. Формула (21.3) имеет тот же вид, что и (21.2). Следовательно, преобразование, обратное аффинному преобразованию, также аффинное.

При b=0 или a=0 аффинные преобразования являются подобиями, соответственно, первого или второго рода.

Переходим к рассмотрению свойств (инвариантов) аффинных преобразований плоскости.

Характеристическим свойством аффинного преобразования является то, что оно отображает каждую прямую в прямую. Именно этим свойством и были определены аффинные преобразования. Его выполнение может быть проверено с помощью формулы (21.2).

Другим важным инвариантом аффинных преобразований является параллельность прямых: образы любых двух параллельных прямых параллельны, в чём легко убедиться, рассуждая от противного.

Аффинное преобразование плоскости сохраняет отношение трёх точек прямой. В самом деле, пусть точки M, N, P коллинеарны. Тогда их образы M, N, P также будут коллинеарны. Полагаем p=m+ +(a-)n, =, и находим:

m -p (am+bm+c)-(ap+bp+c) a(m-p)+b(m-p) =.

n -p = (an+bn+c)-(ap+bp+c) a(n-p)+b(n-p) Так как m-p=(1-)(m-n) и n-p=-(m-n), m -p (1-)(a(m-n)+b(m-n)) 1- m-p = =.

n -p - -(a(m-n)+b(m-n)) - n-p Пусть теперь точки M, N, P неколлинеарны. Тогда будут неколлинеарны и их образы M, N, P при аффинном преобразовании (21.1).

Найдём отношение площадей ориентированных треугольников M N P и MNP. Согласно формуле площади (§ 7), -i S(M N P )= ((m -n )(m -p )-(m -n )(m -p )).

Выполняя подстановки m =am+bm+c, m =am+bm+c, n =an+bn+c, n =an+bn+c, p =ap+bp+c, p =ap+bp+c, получаем:

-i S(M N P )= (aa-bb)((m-n)(m-p)-(m-n)(m-p)), т. е.

S(M N P )= S(MNP). (21.4) Итак, отношение площади ориентированного треугольника к площади его прообраза при аффинном преобразовании равно определителю этого преобразования.

Отсюда сразу следует, что отношение площадей любых двух треугольников сохраняется при аффинном преобразовании плоскости:

S(ABC) S(A B C ) =. (21.5) S(MNP) S(M N P ) Это свойство обобщается для площадей многоугольников и произвольных фигур, но доказательство этого в наши задачи не входит.

При =±1 аффинное преобразование сохраняет площади фигур и называется эквиаффинным преобразованием.

Из соотношения (21.4) видно, что при >0 треугольники MNP и M N P ориентированы одинаково, а при <0 они ориентированы противоположно. Аффинные преобразования, сохраняющие ориентацию треугольников, называются аффинными преобразованиями первого рода, а изменяющие ориентацию треугольников на противоположную — аффинными преобразованиями второго рода. Следовательно, при >преобразование (21.1) — первого рода, при <0 — второго рода.

21.2. Задание аффинного преобразования. Для задания аффинного преобразования нужно указать конкретные значения коэффициентов a, b, c в формуле (21.1). Геометрически этого можно достигнуть, если указать образы M1, M2, M3 трёх неколлинеарных точек M1, M2, M3. Тогда получаем систему относительно a, b, c:

> > > az1+bz1+c=z, > > > > > > > > > < az2+bz2+c=z, > > > > > > > > > > > > :

az3+bz3+c=z, где zi — координаты точек Mi, а z — координаты Mi (i=1, 2, 3). Опреi делитель её матрицы z1 z1 z2 z2 z3 z3 отличен от нуля, поскольку точки M1, M2, M3 неколлинеарны, а значит, система имеет единственное решение (a, b, c.) Итак, аффинное преобразование плоскости однозначно задаётся указанием трёх пар соответственных точек. Точнее говоря, существует и только одно аффинное преобразование плоскости, которое три данные неколлинеарные точки M1, M2, M3 отображает в три данные точки M1, M2, M3 соответственно.

Тогда образ M любой точки M несложно находится построением.

Для этого через M проведём прямые MN1 и MN2, параллельные соответственно прямым M1M2 и M1M3 (рис. 57), N1M1M3, N2M1M2.

8—7685.—Я. П. Понарин.

MСтроим образы N1 и N2 точек N1 и N2, делящие отрезки M1M3 и M1M2 в тех же отношениях, вкакихN1 и N2 делят M1M3 и M1M2 соответстNM венно. руководствуясь свойством инвариантности параллельности прямых, строим искомую точку M как точку пересечения прямых, проходящих через N1 и N2 параллельно, соM ответственно, прямым M1M2 и M1M3.

M1 M2 NНаглядное представление об изменении фигуры при аффинном преобразовании мо Nжет дать рис. 58. Квадраты переходят в параллелограммы.

21.3. Неподвижные точки аффинного M преобразования являются важной его характеристикой. Заметим, что при a=1 и b=c= M=0 будет z =z для каждой точки плоскости M2 N (тождественное преобразование). Оставив этот тривиальный случай в стороне, зайРис. мёмся решением уравнения z=az+bz+c, aa-bb =0, (21.6) из которого находятся координаты z неподвижных точек. Перепишем его:

(a-1)z+bz+c=0, (21.6a) и возьмём сопряжённое ему уравнение (a-1)z+bz+c=0.

Из этих двух уравнений исключим z, полагая a=1:

((a-1)(a-1)-bb)z+(a-1)c-bc=0, Рис. или (+1-a-a)z=bc+c(1-a). (21.7) Возможны такие три случая.

1. Если |b|=|a-1|, то уравнение (21.7) и, следовательно, уравне ние (21.6) имеют единственное решение bc+c(1-a) s=, a=1. (21.8) +1-a-a Аффинное преобразование, имеющее единственную неподвижную точку, называется центроаффинным, а неподвижная точка — центром аффинного преобразования. В частности, этот случай имеет место при b=0 и a=1, т. е. при подобии первого рода, отличном от переноса.

Тогда (21.8) совпадает с (18.6).

2. Если |b|=|a-1|, но bc+c(1-a)=0, то уравнение (21.7) не име ет решения и аффинное преобразование не имеет неподвижных точек.

3. Пусть |b|=|a-1|, a =1 и bc+c(1-a)=0. Тогда уравнением (21.6а) задаётся прямая линия при любых значениях c (§ 11). Действительно, если c=0, то после умножения уравнения на c окажется, что коэффи циенты при z и z сопряжены, а свободный член cc — действительное число. Если же c=0, то условие |b|=|a-1| есть условие прямой линии.

Прямая неподвижных точек называется осью аффинного преобразования. Таким преобразованием является, в частности, осевая симметрия.

Итак, аффинное преобразование z =az+bz+c имеет ось (a-1)z+bz+c=при выполнении условий |b|=|a-1|, a=1 и bc+c(1-a)=0. (21.9) Если a=1, то уравнение (21.6а) упрощается: bz+c=0, или bz=-c.

При b=0 имеем единственную неподвижную точки z=-c/b (центро аффинное преобразование), при b=0 и c=0 — отсутствие неподвиж ных точек (перенос), а при b=c=0 — тождественное преобразование.

§ 22. Инвариантные пучки параллельных прямых и двойные прямые аффинного преобразования 22.1. Характеристическое уравнение и собственные числа аффинного преобразования. Как показано в предыдущем параграфе, аффинное преобразование сохраняет параллельность прямых, однако образ прямой не обязан быть ей параллелен. Большой интерес представляет отыскание таких прямых, которые отображаются в параллельные им прямые.

При таком преобразовании весь пучок параллельных прямых при этом отображается в себя. Его называют инвариантным пучком параллельных прямых.

8*—7685.—Я. П. Понарин.

Любая пара точек M и N аффинным преобразованием отображается в пару их образов M1 и N1. Поэтому говорят, что вектор - -MN отображается в вектор M1N1. Условимся все векторы откладывать от начальной точки O. Так как образ точки O при аффинном преобразовании z =az+bz+c имеет координату c, образ вектора OM(z) имеет координату az+bz. Следовательно, комплексные координаты векторов при аффинном преобразовании преобразуются по формуле z =az+bz. (22.1) Поставленная выше задача будет решена, если мы отыщем все (z), векторы p которые при преобразовании (22.1) переходят в кол линеарные им векторы -, =. Это приводит к уравнению p az+bz=z, =.

Оно вместе со своим сопряжённым уравнением образует однородную линейную систему относительно z и z:

> > > > (a-)z+bz=0, > < > (22.2) > > > > :

bz+(a-)z=0.

Поскольку нас интересуют лишь ненулевые решения системы, должно выполняться условие a- b =0, (22.3) b aили (a-)(a-)-bb=0, (22.3a) или 2-(a+a)+=0. (22.3б) Уравнение (22.3) называется характеристическим уравнением аффинного преобразования, а его корни 1 и 2 — собственными числами аффинного преобразования.

Дискриминант характеристического уравнения равен (a+a)2-4=(a-a)2+4bb. Так как числа a+a и действительные, дискриминант — тоже действительное число. Нам нужны лишь действительные корни уравнения (22.3), существующие лишь при (a+a)2-0. Это условие выполняется, в частности, при <0. Следовательно, собственные числа аффинного преобразования второго рода всегда действительны и различны.

Для нахождения векторов, каждый из которых переходит в коллинеарный ему, надо при найденных действительных 1 и 2 решить систему (22.2), т. е., проще говоря, решить одно из уравнений (a-)z+bz=0, bz+(a-)z=0 (22.4) для =1=1 и для =2=2.

Если векторы откладывать от начала координат, то на z и z можно смотреть как на координаты точки — конца вектора. При таком подходе уравнение (22.4) есть уравнение одной из прямых, каждая из которых отображается при аффинном преобразовании z =az+bz+c в параллельную ей. Значит, весь инвариантный пучок параллельных прямых имеет уравнение (a-)z+bz+=0, (22.5) где — одно из собственных чисел, — произвольное комплексное число (параметр пучка).

Если аффинное преобразование имеет неподвижные точки, то каждая прямая инвариантного пучка, проходящая через неподвижную точку, является, очевидно, двойной прямой аффинного преобразования.

Соответствующий двойной прямой параметр мы получим, если в уравнение (22.5) вместо z подставим координату неподвижной точки.

22.2. Характеристическая окружность аффинного преобразования. Для графического нахождения собственных чисел 1 и 2 и построения прямых инвариантных пучков параллельных прямых удобно использовать окружность (z-a)(z-a)=bb (22.6) с центром a и радиусом |b|. Если в её уравнение (22.6) подставить z=z==, то получится характеристическое уравнение (22.3а). Это говорит о том, что действительные корни характеристического уравнения, если они существуют, служат координатами точек пересечения окружности (22.6) с действительной осью z=z. Окружность (22.6) называется характеристической окружностью аффинного преобразования. Её уравнение перепишем так:

zz-az-az+=0. (22.6a) Поскольку =0, окружность не проходит через начальную точку O.

Если =aa-bb<0, то начало O лежит внутри и обратно. Если же >0, то O вне и обратно. Окружность содержит точку K(a+b).

22.3. Инвариантные пучки прямых и двойные прямые. Для аффинного преобразования первого рода (>0) возможны три случая:

1) окружность пересекает действительную ось в двух различных точках P(1) и Q(2), 2) окружность касается действительной оси:

1=2, точки P и Q совпадают, 3) окружность не имеет общих точек с действительной осью. В последнем случае преобразование не имеет инвариантных пучков параллельных прямых. Для аффинных преобразований второго рода всегда имеет место лишь первый случай.

В первых двух случаях прямые инвариантных пучков легко строятся, так как прямые PK и QK принадлежат этим пучкам (рис. 59).

y В самом деле, прямая PK имеет уравнение K z z =0.

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.