WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 19 |

Доказать, что для всевозможных точек X, множество точек M есть фигура, подобная фигуре F.

Пусть FF1 при подобии z1=z+ первого рода. Тогда z1-z= =(-1)z+, а значит, m=(-1)z+, где m — координата точки M. Это означает, что F, коэффициент подобия равен |-1|.

З а д а ч а 6. Доказать, что подобие первого рода сохраняет двойное отношение четырёх точек плоскости.

Пусть A, B, C, D — образы точек A, B, C, D при подобии z = =z+. Тогда a =a+, b =b+, c =c+, d =d+. Находим:

a -c a -d b -c : b -d = (a+)-(c+) (a+)-(d+) a-c a-d = : = :.

(b+)-(c+) (b+)-(d+) b-c b-d Задачи 4.1. Комплексные числа a=1+2i и c=3+6i являются координатами противоположных вершин квадрата. Найдите координаты остальных вершин этого квадрата.

4.2. Найдите центр поворота, который отображает отрезок AB вданный отрезок CD, если известны комплексные координаты точек A, B, C, D.

4.3. Стороны двух равных правильных треугольников соответственно перпендикулярны. В каком отношении сторона одного треугольника делится двумя сторонами другого, если эти треугольники имеют общий центр 4.4. Две окружности пересекаются в точках A и B. Докажите, что прямые, проходящие через точку B, вторично пересекают окружности в точках, которые являются соответственными при подобии с центром A, отображающем одну из окружностей в другую.

4.5. Дан треугольник ABC и точка M. Докажите, что треугольник с вершинами в центроидах треугольников BCM, CAM и ABM гомотетичен треугольнику ABC. Найдите коэффициент и центр гомотетии.

4.6. Две данные прямые l и t непараллельны. Найдите множество четвёртых вершин квадратов, для каждого из которых две вершины принадлежат прямой l, а третья — прямой t.

4.7. Окружности с центрами S и S1 пересекаются в точках A и B.

Прямая, содержащая точку A, пересекает окружности вторично в точках C и D соответственно. Отрезок CD делится точкой M в том же отношении, в котором середина хорды AB делит отрезок SS1. Докажите, что множество точек M есть окружность с диаметром AB.

4.8. Одно подобие первого рода задано парами точек A Aи B другое — парами A и A1B1. Докажите, что эти подобия B1, B имеют общий центр.

4.9. Дано подобие первого рода и точка S. Найдите множество точек M таких, что прямые MM1, соединяющие точки M с их об разами M1 при этом подобии, проходят через S.

§ 19. Представление подобий композициями гомотетий и движений.

Оси подобий второго рода 19.1. Теоремы о классификации подобий. Будем вести речь только о подобиях, отличных от движений и гомотетий. Поэтому в формулах z =z+ и z =z+ считаем = и ||=1. Положим =k(cos +i sin )=k, где k=||, =cos +i sin, и запишем формулы подобий первого и второго рода так:

z =k z+ и z =k z+. (19.1) k k Отсюда видно, что подобие первого рода есть композиция поворота z1=z+/k около точки /(k-) на угол =arg и гомотетии z =kz1 с центром в начале координат и коэффициентом, равным коэффициенту подобия. Подобие второго рода представлено композицией движения второго рода z1=z+/k и гомотетии z =kz1.

Формулы подобий первого и второго рода можно представить также в форме z =z1+ и z =z1+, (19.2) где z1=kz. Следовательно, подобие первого и второго рода является композицией гомотетии z1=kz с центром в начале координат и коэффициентом, равным коэффициенту подобия; и движения, соответственно, первого или второго рода. Для подобия первого рода соответствующее движение z =z1+ есть поворот с центром /(1-) на угол =arg =arg.

Однако гораздо больший интерес и практическую ценность имеют другие представления подобий, позволяющие их классифицировать.

Те о ре ма 1. Подобие первого рода, отличное от гомотетии и движения, является коммутативной композицией гомотетии и поворота с общим центром.

Введя комплексный параметр, придадим формуле подобий первого рода такой вид:

z =k z+ - +k. (19.3) k Преобразование z1=z+ k -k есть поворот на угол вокруг точки. Преобразование z =kz1+ kk +k — гомотетия с центром. Имея в распоряжении параметр, 1-k потребуем, чтобы центры поворота и гомотетии совпадали:

-k k = =s, k- 1-k откуда (1-k) = и s=.

k(1-) 1Таким образом, найдено желаемое представление подобия первого рода.

В полученной композиции гомотетия и поворот перестановочны, так как при указанном значении имеет место равенство:

(kz+k)+ -=z+=z, (19.4) k (1-k) которое проверяется подстановкой =.

k(1-) Композиция гомотетии и поворота с общим центром называется гомотетическим поворотом.

Те оре ма 2. Всякое подобие второго рода, отличное от движения, является коммутативной композицией гомотетии и осевой симметрии, ось которой содержит центр гомотетии.

Формуле z =z+ подобий второго рода придадим вид:

z =k(z+/k-µ)+kµ, (19.5) где µ — неизвестное пока комплексное число. Потребуем, чтобы преобразование z1=z+/k-µ было осевой симметрией, т. е. чтобы /k-µ+(/k-µ)=0, или +=kµ+µ, и чтобы её ось z=z+/k-µ содержала центр kµ/(1-k)=s гомотетии z =kz1+kµ. Из системы полученных уравнений > > > kµ+µ=+, > > > > > > > > < > > kµ µ > > > > > > = + -µ > > > :

1-k 1-k k находим + µ=.

k(1+k) Поэтому ось симметрии имеет уравнение kkz=z+ (19.6) 1+k и + + s= =. (19.7) 11-kВ полученной композиции осевая симметрия и гомотетия перестановочны. В самом деле, при найденном значении µ имеет место равенство:

(kz+kµ)+/k-µ=z+=z, которое проверяется подстановкой. Но преобразование z1=kz+kµ есть та же самая гомотетия, что и ранее, а z =z1+/k-µ —прежняя осевая симметрия.

Композиция гомотетии и осевой симметрии, ось которой содержит центр гомотетии, называется гомотетической симметрией.

19.2. Оси подобия второго рода. Составим уравнения двойных прямых подобия z =z+ второго рода, называемых его осями.

Согласно теореме 2 подобие второго рода есть коммутативная композиция осевой симметрии и гомотетии, центр которой лежит на оси симметрии. Очевидно, эта ось отображается в себя при данном подобии. Ясно также, что отображается в себя и прямая, перпендикулярная ей и проходящая через неподвижную точку (центр) подобия. Ось симметрии имеет уравнение (19.6) kkz-z=, k=||. (19.6) 1+k Следовательно, вторая двойная прямая будет иметь уравнение + k(z-s)+(z-s)=0, где s=, или 1-kk+ kz+z=. (19.8) 1+k Учитывая, что =k, уравнения двойных прямых подобия z =z+ можно написать и так:

z=z+, (19.9) 1+k + z=-z+ (19.10) 1-k Те оре ма. Множество точек P(z), каждая из которых делит в отношении k или -k отрезок, соединяющий произвольную точку M (z ) с её прообразом M(z0) при подобии второго рода, есть двойная прямая этого подобия.

В силу условия теоремы имеем равенство z +kzz=.

1+k Так как z =z0+, после подстановки получаем:

(1+k)z=z0++kz0.

Сделаем переход к сопряжённым комплексным числам:

(1+k)z=z0++kz0.

Исключим из полученной системы уравнений параметры z0 и z0, для чего умножим первое уравнение на k, второе — на и вычтем из первого второе:

k(1+k)z-(1+k)z=k-, или kkz-z=, 1+k а это уравнение совпадает с уравнением (19.6) двойной прямой.

Аналогичным путём для отношения -k получаем вторую двойную прямую:

k+ kz+z=.

1-k y + kk k M Q O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O x O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P N PP PP P PP PP PP P P P PP PP PP PP PP PP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P kk S Рис. Доказанное свойство даёт способ построения двойных прямых подобия второго рода и его центра. Можно использовать любые две пары соответственных точек, в частности, пары 0 и 1+. На рис. построены точки P и Q, делящие отрезки [, 0] и [+, 1] в отношении k:1, и точки M и N, делящие эти же отрезки в отношении (-k):1, k=||.

§ 20. Композиции подобий 20.1. Композиции подобий первого рода. Пусть даны два подобия 1 и 2 первого рода с формулами z =1z+1 и z =2z+2 соответственно. Формулу их композиции 21 мы получим, если во вторую подставим вместо z координату 1z+1 образа точки M(z) при подобии 1:

z =2(1z+1)+2.

Следовательно, формула композиции 21 заданных подобий имеет вид z =12z+21+2 (20.1) (подобие 1 выполнено первым, подобие 2 — вторым). Из неё видно, что эта композиция также будет подобием первого рода с коэффициентом k=|12|=|1|·|2|=k1k2 и углом подобия =arg 12=arg 1+ +arg 2=1+2. Если 12=1, т. е. когда композиция отлична от пе реноса, центр преобразования (20.1) имеет координату 2+s= (20.2) 1-12.

Рассмотрим некоторые частные, но важные случаи.

1. Если 1=2=1, то 1 и 2 — переносы на векторы 1 и 2.

Тогда формула (20.1) композиции принимает вид z =z+(1+2), а значит, композиция 21 есть перенос на вектор 1+2. Очевидно, в этом случае композиция коммутативна.

C 2. Если |1|=|2|=1, но 1=1 и 2=1, то 1 и 2 — повороты на углы 1=arg 1 и 2= 1 =arg 2 с центрами s1= 1-1 и s2= 1-2.

2/1/Тогда |12|=1, и, согласно (20.1), композиS1 1/2 S2/2 ция 21 является поворотом при 12= и переносом при 12=1 и s1=s2. Из ра венства 12=1 следует arg 1+arg 2=0 или arg 1+arg 2=2. Если 12=1, то центром S результирующего поворота является точка S с координатой (20.2). Из s1=s2 следует s= Рис. =s1=s2.

Итак, композицией двух поворотов с общим центром является поворот с тем же центром на угол, равный сумме углов данных поворотов. Композиция двух поворотов с различными центрами есть перенос, если сумма углов поворотов равна нулю или 2, и поворот около нового центра в остальных случаях.

Центр S композиции поворотов просто строится по центрам Sи S2 и углам 1 и 2. В самом деле, если точка C — образ точки S при повороте около S1 на угол 1, то образом точки C при втором повороте будет точка S (рис. 56). Поэтому SS1=CS1 и SS2=CS2. Эти равенства говорят о том, что точки S и C симметричны относительно k k прямой S1S2, откуда получаем: SS1S2=1/2 и S1S2S=2/2. Эти углы и позволяют построить искомый центр S.

3. Если 1=1, но ||1=2=1, то имеем композицию поворота и переноса, которая будет поворотом на тот же угол 1 вокруг точки 1+s= (20.3) 1-1.

4. Если 1=1=k1 и 2=2=k2, но 1=1, 2=1, то 1 и 2 —го мотетии с коэффициентами k1 и k2. При k1k2=1 их композицией будет также гомотетия с коэффициентом k1k2. Центры этих трёх гомотетий 1 2 21+s1=, s2=, s= 1-1 1-2 1-или совпадают (при s1=s2) или же коллинеарны (при s1=s2), так как s1 s1 1 1 1 1- = =s2 s2 1 2 2 1- (1-1)(1-2)(1-12) s s 1 21+2 21+2 1-(третья строка есть линейная комбинация первых двух).

При k1k2=1 композицией двух гомотетий будет перенос, если s1=s2, и тождественное преобразование, если s1=s2.

Композиция двух гомотетий с общим центром коммутативна.

Композиция двух гомотетий с различными центрами некоммутативна.

5. При 1=1 и 2=2 имеем композицию переноса и гомотетии.

Так как тогда 12=2=2=12, эта композиция есть гомотетия с новым центром.

6) Квадрат подобия второго рода z =z+ имеет формулу z =k2z++ (20.4) и, следовательно, является гомотетией с тем же центром, что и данное подобие, и коэффициентом k2=. Центр подобия f второго рода совпадает с центром его квадрата f2, т. е. с центром гомотетии (20.4), который несложно строится по её формуле (§ 18).

20.2. Композиции подобий первого и второго рода. Композиция подобий z =1z+1 и z =2z+2 второго рода записывается формулой z =2(1z+1)+2, или z =12z+21+2, (20.5) и, значит, является подобием первого рода с коэффициентом k= =|12|=k1k2 и углом =arg 12=arg 2-arg 1=arg(2/1).

Пусть оба данных подобия будут осевыми симметриями, что имеет место при выполнении условий 1+11=0 и 2+22=0. Оси симметрий имеют уравнения z=1z+1 и z=2z+2.

Из указанных условий следует |1|=|2|=1 (§ 18). Если 12=1, то композиция осевых симметрий — перенос на вектор 21+2. При 12=1 уравнение оси второй симметрии запишется так: z=z/1+2, или z=2z+2. Следовательно, оси симметрий параллельны.

Когда 12=1, т. е. когда оси симметрий непараллельны, их ком позиция является поворотом на угол =arg(2/1) с центром 21+2 1-s= (20.6) 1-12 = 2-1, являющимся точкой пересечения осей симметрий.

Из приведённых уравнений осей 1z=11z+11 и 2z=22z+22.

находим угол между ними:

22 =arg =arg, 11 при этом 2 2 1 =arg =arg : =2 arg =2.

1 2 2 Итак, композиция двух осевых симметрий является переносом, если их оси параллельны, и поворотом вокруг точки пересечения осей на удвоенный угол от оси первой симметрии до оси второй симметрии в противном случае.

Рассмотрим композицию подобия 1 первого рода z =1z+и подобия 2 второго рода z =2z+2. Она представляется формулой z =2(1z+1)+2, или z =12z+21+2, (20.7) а значит, является подобием второго рода.

В частности, если 1 — перенос (1=1), а 2 — осевая симметрия (2+22=0), то (20.7) принимает вид:

z =2z+2(1-2).

А это — переносная симметрия с вектором 1 (2(1-2)+22(1-2))= (1+21) 2 и осью z=2z+ (21-1)+2.

З а д а ч а 1. При каком условии композиция трёх гомотетий есть 1) перенос, 2) тождественное преобразование Композиция трёх гомотетий z =1z+1, z =2z+2, z =3z+3 (i=i, i=1, 2, 3) выражается формулой z =3(2(1z+1)+2)+3, или z =123z+231+32+3. (20.10) Это — тождественное преобразование, если 123=1 и 321+32+3=0.

Последнее равенство можно записать в виде 32(1-1)s1+3(1-2)s2+(1-3)s3=0, где 1 2 s1=, s2=, s3= 1-1 1-2 1-— центры данных гомотетий, или (23-1)s1+3(1-2)s2+(1-3)s3=0, откуда 3(1-2)s2+(1-3)ss1=.

1-Так как 1, 2, 3 — действительные числа и 3(1-2)+1-1-23 =1, точки s1, s2, s3 коллинеарны, причём - - 1-3 S2S1= S1S3.

3(1-2) Если же 123=1, но 321+32+3=0, то преобразование (20.10) есть перенос.

З а д а ч а 2. В каких случаях композиция двух подобий первого рода, отличных от гомотетий и переноса, есть 1) тождественное преобразование, 2) перенос, 3) поворот Пусть даны подобия первого рода z =1z+1 и z =2z+2.

Если S1 и S2 — центры этих подобий, то 1=s1(1-1), 2=s2(1-2).

Следовательно, эти подобия можно записать так:

z =1z+(1-1)s1 и z =2z+(1-2)s2.

Их композиция имеет формулу z =12z+2(1-1)s1+(1-2)s2.

Это есть тождественное преобразование, если 12=1 и 2(1-1)s1+ +(1-2)s2=0. Последнему равенству придадим вид (2-1)s1+ +(1-2)s2=0, или (2-1)(s1-s2)=0. Так как 2=1, то отсюда следует, что центры подобий совпадают: s1=s2.

Если 12=1, но s1=s2, то рассматриваемая композиция — пере нос на вектор (1-1)(s1-s2).

В случае, если 12=1, но |12|=1, эта композиция есть поворот около точки 2(1-1)s1+(1-2)ss= 1-на угол =arg 1+arg 2.

З а д а ч а 3. Доказать, что композиция четырёх симметрий, оси которых содержат стороны вписанного в окружность четырёхугольника, взятые последовательно, есть перенос.

Пусть четырёхугольник ABCD вписан в окружность zz=1. Тогда, согласно (3.12), прямые AB, BC, CD, DA имеют, соответственно, уравнения z=-abz+a+b, z=-bcz+b+c, z=-cdz+c+d, z=-adz+a+d.

На основании (18.17) формулы симметрий относительно этих прямых таковы:

z =-abz+a+b, z =-bcz+b+c, z =-cdz+c+d, z =-adz+a+d.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.