WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 19 |

Если две окружности пересекаются, то любая окружность пучка обязательно содержит их точки пересечения. Такой пучок называется эллиптическим (рис. 47). Если две окружности касаются, то любая окружность определяемого ими пучка касается их в той же точке (рис. 48). Такой пучок называется параболическим. Если же две окружности не имеют общих точек, то любые две окружности заданного ими пучка также не имеют общих точек (рис. 49). Такой пучок называется гиперболическим.

Точка пересечения радикальной оси пучка окружностей и его линии центров называется центром пучка. Из системы уравнений (17.3) и (17.9) находим его координату c:

--0+c=. (17.10) 2(-) Через каждую точку плоскости, не принадлежащую радикальной оси пучка окружностей, проходит одна и только одна окружность этого пучка. Соответствующее ей значение параметра определяется подстановкой в (17.7) координаты данной точки. Построение окружности эллиптического или параболического пучка, проходящей через данную точку, легко выполняется с помощью его характеристических точек — общих точек всех окружностей пучка. Для гиперболического пучка это делается иначе, о чём будет сказано ниже.

17.5. Ортогональные пучки окружностей. Если окружность zz+z+z+0=0 одновременно ортогональна окружностям zz+ +z+z+0=0 и zz+z+z+0=0, то она ортогональна любой окружности заданного ими пучка (zz+z+z+0)+(1-)(zz+z+z+0)=0.

В самом деле, согласно (14.9), имеем:

+=0+0 и +=0+0.

Тогда будет выполнено условие ортогональности окружности zz+z+ +z+0=0 и произвольной окружности пучка:

(+(1-))+(+(1-))=0+0+(1-)0.

Действительно, это равенство эквивалентно такому:

(+)+(1-)(+)=0+0+(1-)0, а оно верно в силу данных условий ортогональности.

Центр окружности, ортогональной каждой окружности пучка, лежит на его радикальной оси, так как (-)(-)+(-)(-)+0-0=-(+)+(+)+0-0= =-(0+0)+(0+0)+0-0=0.

Нетрудно проверить, что если окружность с центром на радикальной оси пучка окружностей ортогональна одной окружности пучка, то она ортогональна и каждой окружности этого пучка.

Рис. Рис. Рис. Рис. Множество всех окружностей, ортогональных окружностям данного пучка, образует пучок окружностей (рис. 50).

Пусть окружность zz+sz+sz+µ=0, µ=µ, ортогональна окружности zz+z+z+0=0 пучка (17.7), т. е.

s+s=0+µ, и её центр лежит на радикальной оси этого пучка:

(-)(-s)+(-)(-s)+0-0=0.

Выразим из этих уравнений параметр s:

(0-0)-(-)(0+µ) s=.

Тогда уравнение zz+sz+sz+µ=0 примет вид 0-0-µ(-) 0-0-µ(-) zz+ z+ z+µ=0, (17.11) - где µ — действительный параметр. Множество окружностей (17.11) есть пучок, так как любые две окружности (при µ1=µ2) имеют одну и ту же радикальную ось:

(-)z+(-)z+-=0, совпадающую с линией центров данного пучка (17.7).

d Если данный пучок окружностей гиперболический, то ортогоT нальный ему пучок окружностей µ является эллиптическим, и наобоM рот. Для параболического пучка ор тогональный ему пучок также будет O P Q параболическим. Доказательство C S этих утверждений не приводим.

З а д а ч а. Гиперболический пучок окружностей задан окружностью и его радикальной осью d. Построить окружность этого пучка, проходящую через Рис. данную точку M.

Проведём произвольную окружность µ ортогонального данному пучку (рис. 51), которая пересекает линию l центров данного пучка в точках P и Q. Они являются общими точками всех окружностей ортогонального (эллиптического) пучка, которому принадлежит и окружность PQM с центром S (Sd).

Ортогональная ей окружность, проходящая через данную точку M, является искомой. Её центр C принадлежит прямой l и CMSM.

Задачи 3.37. Найдите множество точек, для каждой из которых разность степеней относительно двух данных окружностей имеет заданную величину.

3.38. Найдите множество точек, для каждой из которых отношение степеней относительно двух данных окружностей имеет заданную величину.

3.39. Докажите, что множество окружностей, проходящих через данную точку и пересекающих данную окружность в двух диаметрально противоположных точках, есть эллиптический пучок.

3.40. Постройте окружность, принадлежащую заданному пучку и касающуюся данной прямой.

Глава ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ § 18. Подобия и движения 18.1. Первоначальные сведения о преобразованиях подобия. Преобразованием подобия (или подобием) называется преобразование, которое каждые две точки A и B отображает в такие две точки A и B, что A B =kAB, где k — постоянное действительное положительное число, называемое коэффициентом подобия.

В частности, при k=1 расстояния AB и A B равны, т. е. подобие является движением. Гомотетия с коэффициентом k (k=0) является подобием с коэффициентом |k|.

Фигура F называется подобной фигуре F, если существует подобие, отображающее F в F. В частности, подобные треугольники являются соответственными при подобии.

Преобразование, обратное подобию с коэффициентом k, есть также подобие с коэффициентом. Композиция подобий с коэффициентаk ми k1 и k2 есть подобие с коэффициентом k1k2. Поэтому отношение подобия на множестве всех фигур рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквивалентности.

Существует два рода подобий плоскости. Подобие первого рода отображает каждый треугольник в одинаково ориентированный с ним (подобный) треугольник, а подобие второго рода меняет ориентацию каждого треугольника на противоположную.

Из определения подобия сразу следует, что оно отображает прямую в прямую, отрезок в отрезок и сохраняет отношение любых двух отрезков, коллинеарных векторов.

Преобразование подобия плоскости задаётся тремя парами соответственных точек: A B CC, заданных так, что треугольник A, B, A B C подобен треугольнику ABC. Однако если род подобия указан (известен), то для его задания достаточно наличия двух пар соответственных точек.

18.2. Формулы подобий. Составим формулы подобия первого и второго рода, обозначая через z и z координаты соответственных точек M и M. На основании (8.1) при одинаковой ориентации треугольников ABM и A B M имеем:

z -a b -a = =, z-a b-a откуда z =z+, =a -a. (18.1) При противоположных ориентациях этих треугольников получаем:

z -a b -a = =, z-a b-a откуда z =z+, =a -a. (18.2) Формулы (18.1) и (18.2) сохраняют силу и для всех точек M прямой AB. Действительно, в силу инвариантности отношения коллинеарных векторов z-a z -a = b-a b -a.

Вследствие коллинеарности точек A, B, M z-a z-a =.

b-a b-a Поэтому z -a b -a z -a b -a =, =, z-a b-a z-a b-a откуда и следуют (18.1) и (18.2).

Итак, при подобии плоскости M(z)M(z ) комплексные коор динаты z и z связаны формулой (18.1) для подобия первого рода и формулой (18.2) для подобия второго рода.

Проведём обратное рассуждение: пусть преобразование плоскости определено одной из формул z =z+ или z =z+, где и — постоянные комплексные числа, =0. Тогда это пре образование является подобием, соответственно, первого или второго рода. Действительно, если точки A(a) и B(b) переходят в точки A (a ) и B (b ), то при первом преобразовании |a -b |=||·|a-b|, а при втором |a -b |=||·|a-b|=||·|a-b|. Следовательно, в обоих случаях |A B |=||·|AB|. А это — характеристическое свойство подобий согласно определению подобия.

Очевидно, если ||=k=1, то формулами (18.1) и (18.2) задаются движения плоскости первого и второго рода соответственно.

18.3. Угол подобия. Возьмём прямую (§ 11) pz+pz+q=0, q=q. (18.3) Из формулы (18.1) z=(z -)/, что при подстановке в уравнение (18.3) даёт уравнение образа прямой (18.3):

pz+pz+(q-p-p)=0, (18.4) где штрихи опущены. Это уравнение определяет прямую, поскольку коэффициенты при z и z комплексно сопряжены и свободный член — число действительное (сопряжено само себе). При подобиях второго рода (18.2) образом прямой (18.3) является прямая pz+pz+(q-p-p)=0. (18.5) Нетрудно заметить, что в коэффициенты уравнений прямых (18.3), (18.4), (18.5) таковы, что согласно признаку (12.4) параллельности прямых, образы параллельных прямых параллельны.

Ориентированный угол между любой прямой (18.3) и её образом (18.4) при подобии z =z+ первого рода постоянен и равен =arg.

p В самом деле, согласно (12.2), этот угол равен =arg =arg. Он p называется углом подобия первого рода. Для подобий второго рода это свойство не выполняется, так как ориентированный угол между пряp мой и её об разом равен arg, и поэтому зависит от p, т. е. от выб ора p прямой. Однако и подобие второго рода связано с некоторым постоянным углом. В самом деле, прямая m, симметричная относительно оси Ox прямой (l) pz+pz+q=0, имеет уравнение pz+pz+q=0. Поэтому ориентированный угол между образом прямой l при симметрии с осью Ox и образом (18.5) прямой l при подобии второго рода равен p arg =arg =.

p 18.4. Частные случаи подобий первого рода. Неподвижные точки подобий находятся с помощью формул (18.1) и (18.2) при условии z =z. Для подобия первого рода при =1 неподвижная точка S, называемая центром подобия, имеет координату s=. (18.6) 1Эта формула позволяет построить центр S подобия первого рода по коэффициентам и. Для этого сначала построим точку с координатой 1-, а затем, пользуясь способом подобных треугольников (§ 1), по строим частное (рис. 52).

1Если =1, то формула (18.1) принимает вид:

z =z+. (18.7) y s Этой формулой задаётся перенос на вектор, со ответствующий комплексному числу, так как z -z==const.

1– Пусть ||=1, но =1. Тогда подобие (18.1) первого рода является движением с одной неподвижной точкой S (18.6), причём ориентированx O ный угол между любой прямой и её образом ра вен =arg. Следовательно, при ||=1 и = Рис. формулой z =z+ задаётся поворот с центром s=/(1-) на угол =arg.

y Очевидно, z+=z+(1-). Поэтоs 1му поворот с центром s=/(1-) записывается формулой z =z+(1-)s, ||=1, =1. (18.8) x В этой формуле параметр s можно рассмаO тривать независимым от. Тогда она включает и тождественное движение при =1. Если =-1, то она определяет центральную симме- Рис. трию z =-z+ (18.9) y + с центром /2.

По коэффициентам и формулы z =z+ + поворота легко строится его центр s. Всамом x деле, так как ||=1, треугольник с вершинаO ми в точках 0, 1, — равнобедренный с углом =arg при вершине O (рис. 53). При z=0 получаем z =, поэтому треугольник с вершинами s в точках 0,, s также равнобедренный с тем же Рис. углом при вершине s. Отсюда вытекает способ построения точки s по точкам 0, 1,,.

Пусть теперь в формуле (18.1) коэффициент — действительное число, отличное от нуля и единицы. Представляя снова эту формулу в виде z =z+(1-)s, =, (18.10) где s=/(1-) — центр подобия, получаем, что точки z, z, s коллинеарны. Следовательно, подобие (18.1) является гомотетией с центром s и коэффициентом, через которые она записывается формулой (18.10).

Как по точкам и построить центр s гомотетии Точки O и, и + — соответственные при гомотетии z =z+, =, поэтому её центр s есть общая точка прямых, одна из которых содержит точки O и, а другая — точки 1 и + (рис. 54).

7—7685.—Я. П. Понарин.

18.5. Частные случаи подобий второго рода. Исследуем на неподвижные точки подобие второго рода z =z+. При z =z получаем z=z+. (18.11) Отсюда z=z+, и при подстановке в (18.11) имеем уравнение относительно z для неподвижных точек подобия второго рода:

z(1-)=+. (18.12) Возможны три случая.

1. Если +=0, =0, то отсюда +=0 и =, поэто му =1, т. е. ||=1. В этом случае условие (18.12) выполняется при всех z, а уравнение (18.11) задаёт прямую линию, так как его можно представить в форме z-z-=0 приведённого уравнения (11.5) прямой, поскольку =-. Итак, при +=0 подобие z = =z+ второго рода является движением и имеет прямую (18.11) неподвижных точек, т. е. представляет собой симметрию относительно этой прямой. Ось симметрии проходит через точку. Используя условие +=0, уравнение z=z+ оси симметрии z =z+ можно привести к виду z+z=.

Она проходит через точку и перпендикулярна вектору.

2. Если + =0, но =1, то условие (18.12) противоречиво.

Значит, в этом случае подобие второго рода является движением, не имеющим неподвижных точек, т. е. представляет собой переносную симметрию.

3. При 1-=0, т. е. ||=1, подобие второго рода имеет един ственную неподвижную точку — центр подобия, + s=. (18.13) 1Займёмся подробнее переносной симметрией z =z+, + =0, ||=1. (18.14) Эту формулу можно представить, очевидно, в такой форме:

z =z++(-).

Параметр определяется из условия +=0, так чтобы преобразование z1=z+ было осевой симметрией, а вектор - был параллелен её оси z=z+, или z-z-=0. Указанное требование параллельности эквивалентно требованию перпендикулярности нормального вектора -= прямой и вектора -: (-)+(-)=0.

Решая систему > > > > (-)+(-)=0, > < > > > > > :

+=0, 1 находим = (-), -= (+). Таким образом, формулу 2 (18.14) переносной симметрии мы представили в виде 1 z =z+ (-)+ (+), + =0.

2 Это показывает, что она является композицией осевой симметрии z1=z+ (-)(18.15) относительно прямой z=z+ (-)(18.16) 1 и переноса z =z1+ (+) на вектор (+), параллельный 2 этой прямой. Ось проходит через точку /2.

З а д а ч а 1. Написать формулу осевой симметрии, если уравнение её оси pz+pz+q=0, q=q.

Если M (z ) — образ точки M(z) при осевой симметрии с осью l, - то точка M0 z+z лежит на l и вектор M M перпендикулярен l. Эти два условия дают систему > > > z+z z+z > > > > > > p +p +q=0.

> > < 2 > > > > > > > > > > > :

p(z-z )-p(z-z )=0.

Складывая эти уравнения, получаем: pz +pz+q=0, откуда p q z =- z-. (18.17) p p З а д а ч а 2. Найти формулу осевой симметрии, если точки A(a) и B(b) переходят при ней друг в друга.

Осевая симметрия описывается формулой z =z+ при +=0.

Следует выразить и через a и b. Поскольку b=a+ и a=b+, a-b aa-bb то b-a=(a-b), откуда =-, а тогда =b-a=.

a-b a-b Таким образом, a-b aa-bb z =- z+. (18.18) a-b a-b 7*—7685.—Я. П. Понарин.

Условие +=0 выполняется:

aa-bb a-b aa-bb - · =0.

a-b a-b a-b З а д а ч а 3. Написать формулу осевой симметрии, ось которой проходит через точки A(a) и B(b).

Решение аналогично предыдущему. Ответ:

a-b ab-ab z = z+. (18.19) a-b a-b З а д а ч а 4. Составить формулу переносной симметрии, если дана её ось pz+pz+q=0, q=q, и вектор переноса, соответствующий комплексному числу r.

Переносная симметрия есть композиция осевой симметрии (18.17) и переноса z =z+r, которые перестановочны. При подстановке в (18.17) вместо z числа z+r получаем:

p q z =- (z+r)-.

p p Поскольку векторы p и r перпендикулярны, то -pr=pr, и поэтому p q z =- z+r-, (18.20) p p или pz +pz+q=pr. Условие + =0 выполнено:

q p q pr r- - r- =r- =2r=0.

p p p p За д а ч а 5. Фигуры F и F1 являются соответственными при подобии первого рода. От произвольной точки O откладываются век- торы OM =XX1, где X и X1 — соответственные точки фигур F и F1.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.