WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 19 |
Я. П. ПОНАРИН АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА АЛГЕБРА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ вв ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ вв ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ вв ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ в ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ ЗАДАЧАХ Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО ЦЕНТРА НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКВА — 2004 1 —7685.—Я. П. Понарин.

УДК 512.62:514.112 ББК 22.151.5 П56 Понарин Я. П.

П56 Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах:

Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов. — М.: МЦНМО, 2004. — 160 с.: ил. — ISBN 5-94057-152-2.

В книге в научно-популярной форме излагаются основы метода комплексных чисел в геометрии. Отдельные главы посвящены многоугольникам, прямой и окружности, линейным и круговым преобразованиям. Метод комплексных чисел иллюстрируется на решениях более 60 задач элементарного характера. Для самостоятельного решения предлагается более 200 задач, снабжённых ответами или указаниями.

Книга адресуется всем любителям геометрии, желающим самостоятельно овладеть методом комплексных чисел. Её можно использовать для проведения кружков и факультативных занятий в старших классах средней школы.

ББК 22.151.ISBN 5-94057-152-2 © Я. П. Понарин, 2004.

© МЦНМО, 2004.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие......................... Глава 1. Основы метода комплексных чисел......... § 1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и действий над ними.................... 1.1. Плоскость комплексных чисел (8). 1.2. Операция перехода к сопряжённому числу (9). 1.3. Векторная интерпретация комплексных чисел, их сложения и вычитания (9). 1.4. Геометрический смысл умножения комплексных чисел (10). 1.5. Деление отрезка в данном отношении (11).

Задачи (11).

§ 2. Формулы длины отрезка и скалярного произведения векторов.......................... 2.1. Расстояние между двумя точками (12). 2.2. Скалярное произведение векторов (12). 2.3. Примеры решения задач (13). Задачи (14).

§ 3. Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность.. 3.1. Коллинеарность векторов (15). 3.2. Коллинеарность трёх точек (16).

3.3. Перпендикулярность отрезков (векторов) (17). Задачи (18).

§ 4. Комплексные координаты некоторых точек....... 4.1. Точка пересечения секущих к окружности (19). 4.2. Точка пересечения касательных к окружности (19). 4.3. Ортогональная проекция точки на прямую (20). 4.4. Центроид и ортоцентр треугольника (20). Задачи (21).

§ 5. Решение задач методом комплексных чисел....... Задачи (26).

§ 6. Классические теоремы элементарной геометрии..... 6.1. Теорема Ньютона (26). 6.2. Теорема Гаусса (27). 6.3. Теорема Симcона (28). 6.4. Теорема Паскаля (28). 6.5. Теорема Монжа (29). 6.6. Теорема Дезарга (30). Задачи (31).

§ 7. Углы и площади.................... 7.1. Угол между векторами (32). 7.2. Площадь треугольника и четырёхугольника (33). 7.3. Соотношение Бретшнайдера (33). 7.4. Теорема Птолемея (34). 7.5. Решение задач (34). Задачи (36).

Задачи к главе 1....................... 1*—7685.—Я. П. Понарин.

Глава 2. Многоугольники.................. § 8. Подобные и равные треугольники........... 8.1. Подобные треугольники (40). 8.2. Равные треугольники (41). Задачи (43).

§ 9. Правильный треугольник................ 9.1. Критерий правильного треугольника (44). 9.2. Теорема Помпею (45).

Задачи (49).

§ 10. Правильные многоугольники.............. 10.1. Координаты вершин правильного n-угольника (50). 10.2. Вычисление длин сторон и диагоналей правильного n-угольника (51). Задачи (56).

Задачи к главе 2....................... Глава 3. Прямая и окружность................ § 11. Геометрический смысл уравнения az+bz+c=0..... 11.1. Сопряжённые комплексные координаты. Уравнение прямой (59).

11.2. Приведённое уравнение прямой (61).

§ 12. Две прямые. Расстояние от точки до прямой...... 12.1. Угол между прямыми (62). 12.2. Критерии перпендикулярности и параллельности двух прямых (62). 12.3. Расстояние от точки до прямой (63). Задачи (66).

§ 13. Двойное отношение четырёх точек плоскости...... 13.1. Определение и свойства двойного отношения (68). 13.2. Геометрический смысл аргумента и модуля двойного отношения четырёх точек (68).

13.3. Критерий принадлежности четырёх точек окружности или прямой (69). Задачи (72).

§ 14. Геометрический смысл уравнения zz+az+bz+c=0... 14.1. Общее уравнение окружности в сопряжённых комплексных координатах (72). 14.2. Уравнение окружности по трём её точкам (74).

14.3. Ортогональные окружности (74). Задачи (77).

§ 15. Гармонический четырёхугольник............ 15.1. Гармоническая четвёрка точек (78). 15.2. Гармонический четырёхугольник (79). Задачи (81).

§ 16. Поляры и полюсы относительно окружности...... 16.1. Полярно сопряжённые точки (81). 16.2. Поляра точки относительно окружности (82). 16.3. Построение поляры. Полюс прямой (82). 16.4. Другое определение полярной сопряжённости точек (83). 16.5. Построение поляры данной точки одной линейкой (85). Задачи (86).

§ 17. Пучки окружностей.................. 17.1. Степень точки относительно окружности (86). 17.2. Радикальная ось двух окружностей (87). 17.3. Радикальный центр трёх окружностей (88).

17.4. Пучки окружностей (89). 17.5. Ортогональные пучки окружностей (90). Задачи (93).

Глава 4. Преобразования плоскости............. § 18. Подобия и движения.................. 18.1. Первоначальные сведения о преобразованиях подобия (94). 18.2. Формулы подобий (94). 18.3. Угол подобия (96). 18.4. Частные случаи подобий первого рода (96). 18.5. Частные случаи подобий второго рода (98). Задачи (101).

§ 19. Представление подобий композициями гомотетий и движений. Оси подобий второго рода............. 19.1. Теоремы о классификации подобий (101). 19.2. Оси подобия второго рода (103).

§ 20. Композиции подобий................. 20.1. Композиции подобий первого рода (105). 20.2. Композиции подобий первого и второго рода (107). Задачи (110).

§ 21. Аффинные преобразования евклидовой плоскости.... 21.1. Формула и свойства аффинных преобразований (111). 21.2. Задание аффинного преобразования (113). 21.3. Неподвижные точки (114).

§ 22. Инвариантные пучки параллельных прямых и двойные прямые аффинного преобразования........... 22.1. Характеристическое уравнение и собственные числа аффинного преобразования (115). 22.2. Характеристическая окружность аффинного преобразования (117). 22.3. Инвариантные пучки прямых и двойные прямые (117).

§ 23. Частные случаи аффинных преобразований....... 23.1. Сжатия и сдвиги (119). 23.2. Косая симметрия (121). 23.3. Эллиптический поворот (122). 23.4. Параболический поворот (124). Задачи (125).

§ 24. Инверсия....................... 24.1. Определение и формула инверсии (126). 24.2. Образы прямых и окружностей при инверсии (128). 24.3. Свойство конформности инверсии (129). Задачи (132).

§ 25. Круговые преобразования первого рода......... 25.1. Конформная плоскость (132). 25.2. Круговые преобразования первого рода (133). 25.3. Неподвижные точки (135).

§ 26. Круговые преобразования второго рода......... 26.1. Формула и свойства круговых преобразований второго рода (139).

26.2. Неподвижные точки (141). 26.3. Задание кругового преобразования (143). Задачи (145).

Задачи смешанного содержания............... Ответы, указания, решения.................. Предметный указатель.................... Литература......................... ПРЕДИСЛОВИЕ Книга, которую вы открыли, относится к жанру научно-популярной литературы. Она может служить учебным руководством для тех, кто намерен освоить один из алгебраических методов в геометрии — метод комплексных чисел.

Известно, сколь широко используются комплексные числа в математике и её приложениях. Особенно часто применяется функции комплексного переменного, в частности, аналитические функции. Их изучение интересно само по себе, кроме того, они используются в механике, аэро- и гидродинамике, в алгебраической и неевклидовых геометриях, теории чисел.

Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать и в более простых разделах математики — элементарной геометрии, тригонометрии, теории движений и подобий, аффинных и круговых преобразований, а также в электротехнике и в различных механических и физических задачах.

Названные выше разделы элементарной математики хорошо описываются с использованием комплексных чисел, однако в литературе это отражено мало. На русском языке фактически отсутствуют руководства по элементарной геометрии и примыкающей к ней теории преобразований, в которых использовался бы алгебраический аппарат комплексных чисел.

Автор попытался внести свой скромный вклад в устранение указанного пробела. Изложенный материал не требует глубоких специализированных знаний — от читателя требуется лишь владение элементарной алгеброй, геометрией и тригонометрией на уровне средней школы.

Исключение из курса алгебры средней школы комплексных чисел нанесло ущерб этому курсу и создало трудности для их применения в геометрии. Однако это обстоятельство не является непреодолимым препятствием для работы с данной книгой. Достаточно ознакомиться с систематическим изложением этого раздела элементарной алгебры, например, по пособиям [1] или [3] и выполнить имеющиеся там упражнения.

Первые три главы книги можно с успехом использовать для кружков и факультативных занятий в старших классах, для подготовки учащихся к математическим олимпиадам, для внеклассного чтения учащихся. Они смогут увидеть известные им геометрические факты в новом свете и овладеть новыми понятиями.

Книга может служить хорошим пособием для спецкурсов и спецсеминаров при подготовке учителей математики в педагогических вузах.

Её можно рекомендовать учителям математики для самообразования.

Заинтересованный читатель найдёт здесь многочисленные задачи с нестандартным содержанием, которые легко поддаются решению при помощи комплексных чисел. Это не может не заинтересовать широкий круг читателей, увлекающихся математикой, и поможет им овладеть методом комплексных чисел.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи прямым вычислением по готовым формулам. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условием задачи и её требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с векторным и координатным методами, методом геометрических преобразований, конструктивно-синтетическим методом, требующими от решающего порой немалой сообразительности и длительных поисков, хотя при этом готовое решение может быть очень коротким.

Автору нередко приходилось отвечать на странный вопрос: <Нужен ли в геометрии метод комплексных чисел Вот эту задачу можно-де решить и без комплексных чисел так-то, а эту ещё и так, и этак>.

Конечно! Все задачи могут быть решены и без комплексных чисел.

Но ведь в том-то и дело, что алгебра комплексных чисел представляет собой ещё один эффективный метод решения планиметрических задач. Вредного или лишнего здесь ничего не может быть. Речь может идти лишь о выборе метода, который более эффективен для данной задачи. Споры о преимуществах того или иного метода являются беспредметными, если рассматривать эти методы вообще, без применения к конкретной задаче.

В книге представлено довольно много задач для самостоятельного решения по имеющимся образцам. Нет нужды решать все задачи подряд. К задачам, вызвавшим трудности, лучше обратиться в другой раз, когда полученные навыки закрепятся.

Автор считает своим долгом почтить светлую память его безвременно ушедшего из жизни дорогого учителя Залмана Алтеровича Скопеца, по совету, при внимании и помощи которого была начата работа над этой книгой. В неё вошло множество составленных им задач, опубликованных ранее.

Апрель 2004 года. Автор.

Глава ОСНОВЫ МЕТОДА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ § 1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и действий над ними 1.1. Плоскость комплексных чисел. Зададим на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy. Тогда каждому комплексному числу z, представленному в алгебраической форме z=x+iy (x, y — действительные числа; i2=-1), можно однозначно поставить в соответствие точку M плоскости с координатами (x, y) (рис. 1):

z=x+iy M(x, y). Комплексное число z называют комплексной координатой соответствующей точки M и пишут: M(z).

Следовательно, множество точек евклидовой плоскости находится во взаимно однозначном соответствии с множеством комплексных чисел. Эту плоскость называют плоскостью комплексных чисел. Начало O системы координат называют при этом начальной или нулевой точкой плоскости комплексных чисел.

При y=0 число z — действительное. Действительные числа изображаются точками оси Ox, поэтому она называется действительной осью. При x=0 число z — чисто мнимое: z=iy. Чисто мнимые числа изображаются точками на оси Oy, поэтому она называется мнимой осью. Нуль — одновременно действительное и чисто мнимое число.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.