WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 30 |

5.12. Докажите, что среди чисел [2k 2] (k = 0, 1,... ) бесконечно много составных.

5.13. Докажите иррациональность следующих чисел:

3 а) 17; г) 3 - 2; ж) sin 1;

б) + д) cos 10; з) log2 3.

2 3;

в) 2 + 3 + 5; е) tg 10;

5.14. Метод спуска. Докажите, что уравнения а) 8x4 + 4y4 + 2z4 = t4; в) x2 + y2 + z2 + u2 = 2xyzu;

б) x2 + y2 + z2 = 2xyz; г) 3n = x2 + yне имеют решений в натуральных числах.

5.15. Докажите, что уравнение x3 + x2y + y3 = 0 не имеет рациональных решений кроме (0; 0).

5.16. Может ли а) сумма двух рациональных чисел быть иррациональной б) сумма двух иррациональных чисел быть рациональной 72 5. Числа, дроби, системы счисления в) иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным 5.17. Один из корней уравнения x2+ax+b = 0 равен 1+ 3. Найдите a и b, если известно, что они рациональны.

5.18. Пусть a, b, c — различные простые числа. Докажите, что числа a, b, c не могут быть членами одной арифметической прогрессии.

5.19. Упростите выражение:

2 3 + 5 - 13 + 48.

5.20. Докажите равенство 3 847 3 6 + + 6 - = 3.

27 5.21. Найдите первые 17 знаков в десятичной записи у чисел:

1 1 а) +... + ;

+ 1 + 2 2 + 3 99 + 2 + 3/2 2 - 3/б) + ;

2 - 2 - 2 + 2 + в) |40 2 - 57| - 40 2 + 57.

5.22. Вычислите:

3 а) + 392 + 20 - 392;

3 б) 5 2 + 7 - 5 - 7;

в) x + 6 x - 9 + x - 6 x - 9 (9 x 18).

5.23. Задача Бхаскары. Упростите выражение 10 + 24 + 40 + 60.

5.24. Формула сложного радикала. Докажите равенство:

a + a2 - b a - a2 - b a ± b = ±.

2 (См. также 7.15.) 5.25*. Докажите, что число 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + иррационально.

5.26. При каких натуральных a и b число loga b будет рациональным 1. Рациональные и иррациональные числа 5.27. Докажите, что sin x и cos x рациональны тогда и только тогда, когда число tg(x/2) рационально.

5.28. Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.

5.29. Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки 5.30. Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при n = 4 не существует правильного n-угольника с вершинами в узлах решетки.

5.31. Докажите, что на окружности с центром в точке ( 2; 3) лежит не более одной точки целочисленной решетки.

5.32. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

1 1 а) ; г) ; ж).

3 1 + a a + b + c 2 + 2 + 1 б) ; д) ;

a + b + c a + ab + b 1 в) ; е) ;

2 + 4 + 8 + 1 - a + a2 4 4 5.33. При каких натуральных n число ( 2 + 1)n - ( 2 - 1)n будет целым 5.34. Докажите следующие равенства:

1024 а) 2 + 2 +... + 2 + 6 = 2 + 3 + 2 - 3;

10 радикалов б) 2 + 2 +... + 2 + 2 = 2 cos.

2n+ n радикалов 5.35. Иррациональность числа e. Число e определяется равенством e = lim (1 + 1/n)n. Докажите, что n а) e = lim (2 + 1/2! + 1/3! +... + 1/n!);

n б) e = 2 + 1/2! + 1/3! +... + 1/n! + rn, где 0 < rn 1/(n!n);

в) e — иррациональное число.

(См. также 11.73, 7.51).

5.36*. Число e и комбинаторика. Дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из k цветов.

74 5. Числа, дроби, системы счисления Докажите, что если N > [k! e], то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет. (См. также 2.33.) 5.37*. Определим последовательности чисел {xn} и {dn} условиями x1 = 1, xn+1 = [ 2xn(xn + 1) ], dn = x2n+1 - 2x2n-1 (n 1).

Докажите, что число 2 в двоичной системе счисления представляется в виде 2 = (d1, d2d3... )2. (Двоичную запись числа 2 можно найти в приложении В.) 2. Десятичные дроби Разложение рациональных чисел в десятичные дроби непосредственно связано со специальными числами, называемыми репьюнитами.

Определение. Репьюнитом порядка n называется число, состоящее из n единиц En = 11.. 1.

.

n Репьюниты существуют не только в десятичной системе счисления.

Но в других системах счисления они уже не будут связаны с десятичными дробями.

5.38. Докажите, что равенство 10n - = a1a2... an m равносильно тому, что десятичное представление дроби 1/m имеет вид 1/m = 0, (a1a2... an).

5.39. Докажите, что если (m, 10) = 1, то существует репьюнит En, делящийся на m. Будет ли их бесконечно много 5.40. Как связаны между собой десятичные представления чисел {p/q} и {10kp/q} 5.41. Докажите, что если (m, 10) = 1, то у десятичного представления дроби 1/m нет предпериода.

Определение. Если у десятичной дроби отсутствует предпериод, то такая дробь называется чисто периодической.

5.42. Найдите возможные значения знаменателя обычной дроби вида 1/m, которая представляется чисто периодической десятичной дробью с двумя цифрами в периоде.

5.43. Пусть (n, 10) = 1, m < n, (m, n) = 1, и t — наименьшее число.

.

такое, что 10t - 1. n. Докажите, что t кратно длине периода дроби m/n. Будет ли это длина периода 2. Десятичные дроби 5.44. Докажите, что если (m, 10) = 1, то частное 9En/m, записанное как n-значное число (возможно с нулями в начале) состоит из нескольких периодов десятичного представления дроби 1/m. Кроме того, если еще выполнены условия (m, 3) = 1 и En — первый репьюнит, делящийся на m, то число 9En/m будет совпадать с периодом.

5.45. Докажите, что если (m, 30) = 1, то число, состоящее из цифр периода дроби 1/m делится на 9.

5.46*. Эффект девяток. Периодом дроби 1/7 является число N = = 142857. Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода — число из одних девяток (142 + 857 = 999). Докажите в общем случае, что для простого q > 5 и натурального p < q период дроби p/q есть 2n-значное число N = N1N2 такое, что N1 + N2 = 99.. 9.

.

n 5.47*. Загадочное число. Число N = 142857 обладает и рядом других свойств. Например: 2 · 142 857 = 285 714, 3 · 142 857 = 428 571..., то есть при умножении на 1, 2, 3,..., 6 цифры циклически переставляются; 14 + 28 + 57 = 99; N2 = 20408122449, 20408 + 122449 = 142857 = N.

Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19 Объясните эти факты.

5.48. Обозначим через L(m) длину периода дроби 1/m. Докажите, что если (m, 10) = 1, то L(m) является делителем числа (m).

5.49. Пусть (m, n) = 1. Докажите, что сумма длин периода и предпериода десятичного представления дроби m/n не превосходит (m).

5.50. Докажите, что если (m1, 10) = 1 и (m2, 10) = 1, то справедливо равенство L(m1m2) = [L(m1), L(m2)]. Чему равна длина периода дроби 1/m1 + 1/m2 5.51. Найдите все шестизначные числа, которые уменьшаются втрое при перенесении последней цифры на первое место.

5.52. Найдите все шестизначные числа, которые увеличиваются в целое число раз при перенесении последней цифры в начало.

5.53. Докажите, что не существует целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец увеличивались бы в 5, 6 или 8 раз.

5.54. Пусть число m имеет вид m = 2a5bm1, где (10, m1) = 1.

Положим k = max(a, b). Докажите, что период дроби 1/m начинается с (k+1)-й позиции после запятой, и имеет такую же длину, как и период дроби 1/m1.

5.55*. Найдите последние три цифры периодов дробей 1/107, 1/131, 1/151. (Это можно сделать, не считая предыдущих цифр.) 76 5. Числа, дроби, системы счисления 3. Двоичная и троичная системы счисления 5.56. Имеются весы с двумя чашами и по одной гире в 1 грамм, 3 грамма, 9 грамм, 27 грамм и 81 грамм. Как уравновесить груз в 61 грамм, положенный на чашу весов 5.57. Дан мешок сахарного песка, чашечные весы и гирька в 1 г.

Можно ли за 10 взвешиваний отмерить 1 кг сахара 5.58. Летела стая гусей. На каждом озере садилась половина гусей и еще пол-гуся. Остальные летели дальше. Все гуси сели на n озерах.

Сколько всего гусей было в стае 5.59. Имеются 4 гири и двухчашечные весы без стрелки. Сколько всего различных по весу грузов можно точно взвесить этими гирями если а) гири можно класть только на одну чашку весов;

б) гири можно класть на обе чашки весов 5.60. Вы имеете право сделать 4 гири любого веса. Какие это должны быть гири, чтобы на весах из предыдущей задачи можно было взвесить грузы от 1 до 40 кг 5.61. а) Имеются две веревки. Если любую из них поджечь с одного конца, то она сгорит за час. Веревки горят неравномерно. Например, нельзя гарантировать, что половина веревки сгорает за 30 минут. Как, имея две такие веревки, отмерить промежуток времени в 15 минут б) Сколько промежутков времени (считая нулевой) можно отмерить, имея три такие веревки 5.62. а) У одного человека был подвал, освещавшийся тремя электрическими лампочками. Выключатели этих лампочек находились вне подвала, так что включив любой из выключателей, хозяин должен был спуститься в подвал, чтобы увидеть, какая именно лампочка зажглась.

Однажды он придумал способ, как определить для каждого выключателя, какую именно лампочку он включает, сходив в подвал ровно один раз. Какой это способ б) Сколько лампочек и выключателей можно идентифицировать друг с другом, если разрешается 2 раза спуститься в подвал 5.63. С числом разрешается производить две операции: «увеличить в два раза» и «увеличить на 1». За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить а) число 100; б) число n (См. также 6.77.) 5.64. Бинарный метод возведения в степень. Предположим, что необходимо возвести число x в степень n. Если, например, n = 16, 3. Двоичная и троичная системы счисления то это можно сделать выполнив 15 умножений x16 = x·x·...·x, а можно обойтись лишь четырьмя:

x1 = x·x = x2, x2 = x1 ·x1 = x4, x3 = x2 ·x2 = x8, x4 = x3 ·x3 = x16.

Пусть 1 2 r n = 2e + 2e +... + 2e (e1 > e2 >... > er 0).

Придумайте алгоритм, который позволял бы вычислять xn при помощи b(n) = e1 + (n) - умножений, где (n) = r — число единиц в двоичном представлении числа n. (См. также 11.88.) 5.65. Пусть l(n) — наименьшее число умножений, необходимое для нахождения xn. На примере чисел n = 15 и n = 63 покажите, что бинарный метод возведения в степень не всегда оптимален, то есть для некоторых n выполняется неравенство l(n) < b(n).

5.66. Коля Васин задумал число от 1 до 31 включительно и выбрал из 5 данных карточек 1 3 5 7 2 3 6 7 4 5 6 9 11 13 15 10 11 14 15 12 13 14 17 19 21 23 18 19 22 23 20 21 22 25 27 29 31 26 27 30 31 28 29 30 8 9 10 11 16 17 18 12 13 14 15 20 21 22 24 25 26 27 24 25 26 28 29 30 31 28 29 30 те, на которых это число присутствует. Как, зная эти карточки, угадать задуманное число Какими должны быть карточки, чтобы по ним можно было угадывать числа от 1 до 63 5.67. Карточный фокус. а) Берется колода из 27 карт (без одной масти). Ваш друг загадывает одну из карт. После чего вы раскладываете все карты в три равные кучки, кладя каждый раз по одной карте (в первую кучку, затем во вторую, затем в третью, потом снова в первую и т. д.). Ваш друг указывает на ту кучку, в которой лежит его карта.

Далее вы складываете все три кучки вместе, вставляя при этом указанную кучку между двумя другими. Эта процедура повторяется еще два раза. На каком месте в колоде окажется загаданная карта, после того, как вы сложите вместе три кучки в третий раз 78 5. Числа, дроби, системы счисления б) На каком месте окажется загаданная карта, если с самого начала было 3n (n < 9) карт 5.68. Коля Васин задумал число: 1, 2 или 3. Вы задаете ему только один вопрос, на который он может ответить «да», «нет» или «не знаю».

Сможете ли вы угадать число, задав всего лишь один вопрос 5.69. Коля Васин задумал число от 1 до 200. За какое наименьшее число вопросов вы сможете его отгадать, если он отвечает на каждый вопрос а) «да» или «нет»;

б) «да», «нет» или «не знаю» 5.70*. Как и раньше загадывается число от 1 до 200, а загадавший отвечает на вопросы «да» или «нет». При этом ровно один раз (за все ответы) он имеет право соврать. Сколько теперь понадобится вопросов, чтобы отгадать задуманное число 5.71. Докажите, что каждое целое число A представимо в виде A = a0 + 2a1 + 22a2 +... + 2nan, где каждое из чисел ak = 0, 1 или -1 и akak+1 = 0 для всех 0 k n-1, причем такое представление единственно.

5.72. Множество Кантора. Отрезок числовой оси от 0 до покрашен в зеленый цвет. Затем его средняя часть — интервал (1/3; 2/3) перекрашивается в красный цвет, потом средняя часть каждого из оставшихся зелеными отрезков тоже перекрашивается в красный цвет, с оставшимися зелеными отрезками проделывается та же операция и так до бесконечности. Точки, оставшиеся зелеными, образуют множество Кантора.

а) Найдите сумму длин красных интервалов.

б) Докажите, что число 1/4 останется окрашенным в зеленый цвет.

в) Из суммы 2 2 2 + + + +...

3 9 27 произвольным образом вычеркнуты слагаемые. Докажите, что сумма оставшихся слагаемых — зеленое число.

г) Докажите, что всякое число x [0, 2] представимо в виде x = +, где и — элементы множества Кантора.

5.73. Последовательность Морса. Бесконечная последовательность из нулей и единиц 01101001100101101001...

3. Двоичная и троичная системы счисления построена по следующему правилу. Сначала написан нуль. Затем делается бесконечное количество шагов. На каждом шаге к уже написанному куску последовательности приписывается новый кусок той же длины, получаемый из него заменой всех нулей единицами, а единиц — нулями.

а) Какая цифра стоит на 2001 месте б) Будет ли эта последовательность, начиная с некоторого места, периодической в) Докажите, что данная последовательность переходит в себя при замене каждого нуля на комбинацию 01, а каждой единицы — на комбинацию 10.

г) Докажите, что ни одно конечно слово из нулей и единиц не встречается в последовательности Морса три раза подряд.

д) Как, зная представление числа n в двоичной системе счисления, найти n-й элемент данной последовательности (См. также 11.88.) 5.74. Ханойская башня и двоичная система счисления. Рассмотрим два процесса, каждый из которых состоит из 28 - 1 шагов.

Первый — это процесс решения головоломки «Ханойская башня» (см.

1.42) при помощи оптимального алгоритма. Второй — это процесс прибавления единицы, который начинается с 0 и заканчивается числом 28 - 1. Опишите связь между этими двумя процессами.

5.75. Задача Иосифа Флавия. n человек выстраиваются по кругу и нумеруются числами от 1 до n. Затем из них исключается каждый второй до тех пор, пока не останется только один человек. Например, если n = 10, то порядок исключения таков: 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, так что остается номер 5. Для данного n будем обозначать через J(n) номер последнего оставшегося человека. Докажите, что а) J(2n) = 2J(n) - 1;

б) J(2n + 1) = 2J(n) + 1;

в) если n = (1bm-1bm-2... b1b0)2, то J(n) = (bm-1bm-2... b1b01)2.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.