WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 30 |

(См. также 4.197.) 4.152. Существует ли степень тройки, заканчивающаяся на 0001 4.153. Докажите теорему Эйлера с помощью малой теоремы Ферма а) в случае, когда m = pn;

б) в общем случае.

4.154. Докажите, что 751 - 1 делится на 103.

4.155. Пусть p > 2 — простое число. Докажите, что.

.

7p - 5p - 2. 6p.

4.156. При помощи теоремы Эйлера найдите число x, удовлетворяющее сравнению ax + b 0 (mod m), где (a, m) = 1.

4.157. Докажите, что при любом целом a:

..

..

a) a5 - a. 30; в) a11 - a. 66;

..

..

б) a17 - a. 510; г) a73 - a. 2 · 3 · 5 · 7 · 13 · 19 · 37 · 73.

4.158. Докажите, что для любого нечетного числа m существует.

.

такое натуральное число n, что 2n - 1. m.

4.159. Докажите, что при любом нечетном n число 2n! - 1 делится на n.

5. Признаки делимости 4.160. Числа Кармайкла. Докажите, что для составного числа 561 справедлив аналог малой теоремы Ферма: если (a, 561) = 1, то выполняется сравнение a560 1 (mod 561).

Числа, обладающие этим свойством, называются числами Кармайкла.

4.161. Найдите все такие целые числа a, для которых число a10 + делится на 10.

s 4.162. Усиление теоремы Эйлера. m = p... p — разложение 1 s натурального числа m на простые множители. Обозначим через (m) s наименьшее общее кратное чисел (p ),..., (p ):

1 s 1 s (m) = [(p ),..., (p )].

1 s Докажите, что для любого целого числа a такого, что (a, m) = 1, будет выполняться сравнение a(m) 1 (mod m).

5. Признаки делимости 4.163. Признаки делимости на 3, 9 и 11. Число N записано в десятичной системе счисления N = anan-1... a1a0.

Докажите следующие признаки делимости:

.

..

а) N. 3 an + an-1 +... + a1 + a0. 3;

.

.

..

б) N. 9 an + an-1 +... + a1 + a0. 9;

.

.

..

в) N. 11 ±an an-1 ±... - a1 + a0. 11.

.

4.164. Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, единиц и 100 двоек, быть полным квадратом 4.165. Признаки делимости на 2, 4, 8, 5 и 25. Сформулируйте и докажите признаки делимости на числа 2, 4, 8, 5 и 25.

4.166. Найдите все числа вида xy9z, которые делились бы на 132.

4.167. Найдите все числа вида 13xy45z, которые делились бы на 792.

4.168. Цифровой корень числа. Рассмотрим число N, записанное в десятичной системе счисления. Найдем сумму цифр этого числа, потом сложим цифры, которыми записана сумма и т. д. Будем продолжать этот процесс, пока в конце концов не получим однозначное число, которое называют цифровым корнем числа N. Докажите, что цифровой корень сравним с N по модулю 9.

64 4. Арифметика остатков 4.169. Делится ли на 9 число 1234... 500 (В записи этого числа подряд выписаны числа от 1 до 500.) 4.170. Докажите, что число 192021... 7980 делится на 1980.

4.171. Докажите, что число abcd делится на 99 тогда и только тогда, когда число ab + cd делится на 99.

4.172. Последовательность {xn} устроена следующим образом: x1 = = 32001, а каждый следующий член равен сумме цифр предыдущего.

Найдите x5.

4.173. Найдите наименьшее число, запись которого состоит лишь из нулей и единиц, делящееся без остатка на 225.

4.174. Какие цифровые корни бывают у полных квадратов и полных кубов 4.175. Два числа a и b получаются друг из друга перестановкой цифр. Чему равен цифровой корень числа a - b 4.176. Докажите, что если n > 6 — четное совершенное число, то его цифровой корень равен 1.

4.177. На доске написано число 8n. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если n = 2001 4.178. Докажите ошибочность следующих записей:

а) 4237 · 27925 = 118275855; в) 19652 = 3761225;

б) 42971064 : 8264 = 5201; г) 371293 = 23.

4.179. Коля Васин выписал пример на умножение, а затем заменил все цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными. Получилось равенство ab · cd = effe. Не ошибся ли Коля 4.180. Докажите, что в записи числа 230 есть по крайней мере две одинаковые цифры, не вычисляя его.

4.181. Существует ли число, которое является степенью 2 такое, что перестановкой его цифр можно получить другую степень 2 4.182. Признак делимости на 19. Существует следующий способ проверить делится ли данное число N на 19:

1) отбрасываем последнюю цифру у числа N;

2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной цифры на 2;

3) с полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19.

5. Признаки делимости 4) если остается 19, то 19 | N, в противном случае 19 N.

Докажите справедливость этого признака делимости.

4.183. Аналогичные признаки делимости существуют и для всех чисел вида 10n ± 1 и их делителей. Например, существует признак делимости на 21, из которого получается и признак делимости на 7.

Как устроен признак делимости на 21 4.184. При каких x и y число xxyy является квадратом натурального числа 4.185. Найдите все такие трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

4.186. Докажите, что если числа N и 5N имеют одинаковую сумму цифр, то N делится на 9.

4.187. Двое пишут а) 30-значное; б) 20-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую — второй, третью — первый и т. д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать 4.188. Рассматриваются всевозможные семизначные числа с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, записанными в произвольном порядке. Докажите, что ни одно из них не делится ни на какое другое.

4.189. Признак делимости Паскаля. Пусть запись числа N в десятичной системе счисления имеет вид N = anan-1... a1a0, ri — остаток от деления числа 10i на m (i = 0,..., n). Докажите, что число N делится на m тогда и только тогда, когда число M = anrn + an-1 +...

... + a1r1 + a0 делится на m.

4.190. С помощью признака делимости Паскаля установите признаки делимости на числа 3, 9, 6, 8, 12, 15, 11, 7, 27, 37.

Иногда в качестве ri удобнее брать не остаток, а «недостаток», то есть такое наибольшее неположительное число, что 10i ri (mod m).

4.191. Опишите все системы счисления, в которых число делится на 2 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2. Решите задачу, заменив модуль 2 произвольным натуральным числом m > 1.

4.192. Найдите наименьшее основание системы счисления, в которой одновременно имеют место следующие признаки делимости:

1) число делится на 5 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 5;

2) число делится на 7 тогда и только тогда, когда число, составленное из двух его последних цифр, делится на 7.

66 4. Арифметика остатков 4.193. Докажите, что если необходимый и достаточный признак делимости, выражающийся через свойства цифр числа, не зависит от порядка цифр, то это признак делимости на 3 или на 9.

4.193. Установите признаки делимости на а) 2, б) 3, в) 5, для чисел, записанных в фибоначчевой системе счисления.

6. Китайская теорема об остатках Китайская теорема об остатках. Пусть целые числа m1,..., mn попарно взаимно просты, то есть (mi, mj) = 1 при i = j, m = m1... mn, и a1,..., an, A — произвольные целые числа. Тогда существует ровно одно целое число x такое, что x a1 (mod m1),.............. (4.3) x an (mod mn) и A x < A + m. (См. также 6.51.) Одним из важнейших применений китайской теоремы об остатках является система счисления в остатках. В ней целое число представляется набором его остатков (или вычетов) по взаимно простым модулям. В такой системе счисления операции с числами сводятся к операциям с их остатками.

4.194. При каких целых n число an = n2 + 3n + 1 делится на 55 4.195. Найдите остатки от деления:

а) 1910 на 66; б) 1914 на 70; в) 179 на 48; г) 1414 на 100.

4.196. Натуральные числа m1,..., mn попарно взаимно просты.

Докажите, что сравнение a b (mod m1 · m2 ·... · mn) равносильно системе a b (mod m1), a b (mod m2),.............

a b (mod mn).

6. Китайская теорема об остатках 4.197. Натуральные числа m1,..., mn попарно взаимно просты. Докажите, что число x = (m2m3... mn)(m ) является решением системы x 1 (mod m1), x 0 (mod m2),.............

x 0 (mod mn).

4.198. Пользуясь результатом предыдущей задачи, укажите в явном виде число x, которое удовлетворяет системе (4.3).

4.199. Докажите китайскую теорему об остатках.

4.200. Укажите все целые числа x, удовлетворяющие системам:

x 3 (mod 5), x 2 (mod 13), а) б) x 7 (mod 17); x 4 (mod 19).

4.201. Найдите наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2, 3, 5, 7 остатки 1, 2, 4, 6 соответственно.

4.202. На столе лежат книги, которые надо упаковать. Если их связать в одинаковые пачки по 4, по 5 или по 6 книг, то каждый раз останется одна лишняя книга, а если связать по 7 книг в пачку, то лишних книг не останется. Какое наименьшее количество книг может быть на столе 4.203. Найдите остаток от деления числа 1000! на 10250.

4.204. Найдите наименьшее четное натуральное число a такое, что a + 1 делится на 3, a + 2 — на 5, a + 3 — на 7, a + 4 — на 11, a + 5 — на 13.

4.205. Пусть натуральные числа m1, m2,..., mn попарно взаимно просты. Докажите, что если числа x1, x2,..., xn пробегают полные системы вычетов по модулям m1, m2,..., mn соответственно, то число x = x1m2... mn + m1x2m3... mn +... + m1m2... mn-1xn пробегает полную систему вычетов по модулю m1m2... mn. Выведите отсюда китайскую теорему об остатках.

4.206. Китайская теорема об остатках и функция Эйлера.

Докажите, что число x является элементом приведенной системы вычетов тогда и только тогда, когда числа a1,..., an, определенные сравнениями (4.3) принадлежат приведенным системам вычетов по модулям m1,..., mn соответственно. Выведите отсюда мультипликативность функции Эйлера.

68 4. Арифметика остатков 4.207. Предположим, что числа m1,..., mn попарно взаимно проc сты. Докажите, что любую правильную дробь вида можно m1... mn представить в виде алгебраической суммы правильных дробей вида ni/mi (y = 1,..., n).

4.208. Какие цифры надо поставить вместо звездочек, чтобы число 454 делилось на 2, 7 и 9 4.209. Найдите наименьшее натуральное число, половина которого — квадрат, треть — куб, а пятая часть — пятая степень.

4.210. Числа-автоморфы. а) Трехзначное число 625 обладает своеобразным свойством самовоспроизводимости, как то:

6252 = 390 625.

Сколько четырехзначных чисел удовлетворяют уравнению x2 x (mod 10000) б) Докажите, что при любом k существует ровно 4 набора из k цифр — 00... 00, 00... 01 и еще два, оканчивающиеся пятеркой и шестеркой, — обладающие таким свойством: если натуральное число оканчивается одним из этих наборов цифр, то его квадрат оканчивается тем же набором цифр.

4.211. Больное войско. Генерал хочет построить для парада своих солдат в одинаковые квадратные каре, но он не знает сколько солдат (от 1 до 37) находится в лазарете. Докажите, что у генерала может быть такое количество солдат, что он, независимо от заполнения лазарета, сумеет выполнить свое намерение.

Например, войско из 9 человек можно поставить в виде квадрата 3 3, а если один человек болен, то в виде двух квадратов 2 2.

4.212. Восточный Календарь. В китайской натурфилософии выделяются пять первоэлементов природы — дерево, огонь, металл, вода и земля, которым соответствуют пять цветов — синий (или зеленый), красный, белый, черный и желтый. В восточном календаре с древних времен используется 12-летний животный цикл так, что каждому из годов в цикле соответствует одно из животных. Кроме того, каждый год проходит под покровительством одной из стихий и окрашивается в один из цветов:

годы, оканчивающиеся на 0 и 1 — годы металла (цвет белый);

годы, оканчивающиеся на 2 и 3 — это годы воды (цвет черный);

годы, оканчивающиеся на 4 и 5 — годы дерева (цвет синий);

6. Китайская теорема об остатках годы, оканчивающиеся на 6 и 7 — годы огня (цвет красный);

годы, оканчивающиеся на 8 и 9 — годы земли (цвет желтый).

В 60-летнем календарном цикле каждое животное возникает 5 раз.

С помощью китайской теоремы об остатках объясните, почему оно все 5 раз бывает разного цвета.

Глава Числа, дроби, системы счисления 1. Рациональные и иррациональные числа Определение. Число называется рациональным, если оно представимо в виде = m/n, где m — некоторое целое, а n — натуральное числа. Все остальные действительные числа называются иррациональными. Множество всех рациональных чисел обозначается через Q. Два числа называются несоизмеримыми, если их отношение иррационально.

Определение. Десятичная дробь = 0,a1a2... akb1b2... bnb1b2... bnb1b2... bn..., где b1b2... bn — наименьший по длине отрезок цифр, повторяющийся начиная с некоторого места, называется периодической десятичной дробью. При том набор цифр b1b2... bn называется периодом, набор a1a2... ak — предпериодом, n — длиной периода и дробь записывается в виде = 0,a1a2... ak(b1b2... bn).

5.1. Представьте следующие рациональные числа в виде десятичных дробей:

1 2 1 а) ; б) ; в) ; г).

7 7 14 5.2. Найдите цифры a и b такие, для которых 0,aaaaa... = 0,bbbbb...

5.3. Найдите период дроби = 0,0204081632...

Как можно объяснить тот факт, что после запятой появляются степени числа 2 5.4. Число Фейнмана. Объясните поведение следующей десятичной дроби и найдите ее период:

= 0,004115226337448...

1. Рациональные и иррациональные числа 5.5. Представьте следующие числа в виде обычных и в виде десятичных дробей:

а) 0,(12) + 0,(122); б) 0,(3) · 0,(4); в) 0,(9) - 0,(85).

5.6. Докажите, что число рационально тогда и только тогда, когда оно представляется конечной или периодической десятичной дробью.

5.7. Для каких натуральных n число представляется конечной n десятичной дробью 5.8. Пусть число задается десятичной дробью а) = 0,101001000100001000001... ;

б) = 0,123456789101112131415...

Будет ли это число рациональным 5.9. Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным числом.

5.10. Коля Васин задумал написать программу, которая дала бы возможность компьютеру печатать одну за другой цифры десятичной записи числа 2. Докажите, что даже если бы машина не ломалась, то Колина затея все равно бы не удалась, и рано или поздно компьютер напечатал бы неверную цифру.

1 5.11. Найдите все такие натуральные n, для которых и n n + представляется конечными десятичными дробями.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.