WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 30 |

2 в) a3n = 1, a3n+1 = 2, a3n+2 = -3; г) an = i((3 - 4i)n - (3 + 4i)n).

11.58. Воспользуйтесь равенствами 3n2 = 0 и 4n3 = 0.

Ответы, указания, решения 11.59. Воспользуемся методом задачи 11.36. Выбирая всевозможные комбинации знаков при числах 2 и 3, получим равенства n n = (1 + + = pn + qn + rn + sn 2 3) 2 3 6, n n = (1 - + = pn - qn + rn - sn 2 3) 2 3 6, n n = (1 + - = pn + qn - rn - sn 2 3) 2 3 6, n = (1 - 2 - 3)n = pn - qn 2 - rn 3 + sn 6.

Складывая эти равенства с коэффициентами (1, 1, 1, 1), (1, -1, 1, -1), (1, 1, -1, -1), (1, -1, -1, 1), находим pn = (n + n + n + n), 1 2 3 qn = (n - n + n - n), 1 2 3 4 rn = (n + n - n - n), 1 2 3 4 sn = (n - n - n + n).

1 2 3 4 pn pn pn Отсюда lim = 2, lim = 3, lim = 6.

n qn n rn n sn n 11.65. Пусть f(x) = (1 + x)n = Ck xk. Тогда f (x) = n(1 + x)n-1 = n k=n = kCk xk-1. Подставляя в эту формулу x=1, находим сумму из п. а):

n k=n kCk = f (x)|x=1 = n · 2n-1.

n k=Аналогично находится сумма из п. б):

n k2Ck = (xf (x)) |x=1 = n(n + 1)2n-2.

n k=Ответ: а) n · 2n-1; б) n(n + 1) · 2n-2.

11.67. Из равенства F(k)(x) = Ck n+k-k! (1 - x)n+k находим an = Ck.

n+k-11.68. Данное равенство равносильно утверждению, что всякое положительное число может быть записано в десятичной системе счисления и при том только одним способом.

240 Ответы, указания, решения 11.69. Как и в предыдущей задаче, примените формулу из задачи 11.63.

11.70. Здесь первое соотношение — замаскированный случай биномиальной теоремы, а второе получается из первого умножением на xm:

1 xm Cm xn =, Cmxn =.

m+n n (1 - x)m+1 (1 - x)m+n=0 n=11.72. Из задачи 11.71 следует, что число счастливых билетов N 1 - xравно коэффициенту при x27 у функции. Для нахождения 1 - x N разложим функции (1 - x10)6 и (1 - x)-6 по степеням x:

(1 - x10)6 = (-x)10kCk;

k= (1 - x)-6 = xkCk.

6+k-k=Отсюда N = C0 · C27 - C1 · C17 + C2 · C7 = 55252.

6 32 6 22 6 11.73. Первое равенство непосредственно следует из определения производной формального степенного ряда. Для доказательства второго равенства сравним коэффициенты при zn в рядах Exp(( + )z) и ( + )n Exp(z) · Exp(z). В первом случае, это, во втором — n! n n k n-k · = Ck kn-k.

n k! (n - k)! n! k=0 k=Равенство этих коэффициентов следует из формулы бинома Ньютона (задача 2.53).

11.74. Заметим, что a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a + b + 2c)(a + 2b + c) (смотрите задачу 9.8). Отсюда a + b + c = (1 + x)n, a + b + 2c = (1 + x)n, a + 2b + c = (1 + 2x)n.

Поэтому a3 + b3 + c3 - 3abc = [(1 + x)(1 + x)(1 + 2x)]n = (1 + x3)n.

Ответы, указания, решения 11.76. Подставьте в производящую функцию последовательности чисел Фибоначчи z = 1/10. Данная сумма оказывается равна 10/89.

2 - z 11.77. L(z) =.

1 - z - z11.78. а) 2; б) 6.

z 2 - xz 11.79. F(x, z) =, L(x, z) =.

1 - xz - z2 1 - xz - z1 - xt 11.80. FT (x, z) =, FU(x, z) =.

1 - 2xt + t2 1 - 2xt + t11.81. а) Обозначим искомую сумму через f(x). Применяя формулу для суммы геометрической прогрессии, находим, что (2x)n - f(x) =.

2x - б) Как и в задаче 11.65 вторая сумма равна f (1) = 2n(n - 2) + 2.

в) Снова, как и в задаче 11.65 б), сумма равна следующей величине (xf (x)) |x=1 = f (1) + f (1) = 2n(n2 - 5n + 8) - 8.

г) По формулу из задачи 7.58 а), n- sin((n - 1)/2)x · cos(nx/2) g(x) = =.

sin(x/2) k=Искомая сумма равна -g (1):

n sin(n - 1)x - (n - 1) sin nx -g (x)|x=1 =.

2(1 - cos x) 11.83. Проследите за изменением диаграммы Юнга.

11.84. Задачу можно решить используя комбинаторные соображения из задачи 2.67. Если же использовать метод производящих функций, то решение задачи сводится к проверке равенства 1 = = 1 + x + 2x2 +... + 2n-1xn +...

1 - x - x2 - x3 -... - x/(1 - x) 11.87. an = q(n), где (n) — число единиц в двоичном представлении числа n.

11.88. Интересующий нас ряд может быть получен из произведения (1 - ax)(1 - bx2)(1 - cx4)(1 - dx8)..., если положить x = 1. При определении знака можно положить a = b = = c = d =... = 1. Тогда искомый знак будет согласно задаче 11.равен (-1)(n).

242 Ответы, указания, решения 11.89. an = Cn.

2n 11.90. x = y/(1 - y), y = x/(1 + x). Таким образом, y = x - x2 + x3 - x4 +... + (-1)n+1xn +...

11.91. y = x - x2/2 + x3/3 - x4/4 +... + (-1)n+1xn/n +...

11.92. Воспользуйтесь равенством из задачи 2.116 и тем, что коэффициент при zn у функции C2(z) совпадает с правой частью этого равенства.

11.93. Решая квадратное уравнение C(z) = zC2(z) + 1, находим 1 - 1 - 4z C(z) = 2z (знак «минус» выбирается из условия C(0) = 1). Отсюда 1 1 (2n)! C(z) = - Cn (-4)nzn-1, Cn = (-4)n+1Cn+1 =.

1/2 1/2 2 n!(n + 1)! n=11.94. Многочлены Гаусса, как и биномиальные коэффициенты, удобно располагать в виде треугольника:

g0,0(x) g1,0(x) g1,1(x) g2,0(x) g2,1(x) g2,2(x) g3,0(x) g3,1(x) g3,2(x) g3,3(x) В явном виде многочлены Гаусса помещены в приложение В, V.

11.95. Свойства б) и в) непосредственно вытекают из а).

Свойство г) доказывается индукцией по k при помощи свойства в).

Свойство д) доказывается индукцией по l при помощи свойства г).

11.96. Поделите числитель и знаменатель функции из определения полиномов gk,l(x) на (1 - x)k. Свойства многочленов gk,l(x) при подстановке x = 1 превращаются в равенства из задачи 2.77.

11.97. Sl(x) = 0 при нечетных l и hl(x) Sl(x) = (1 - x)(1 - x3)... (1 - xl-1) = hl/2(x2) при четных l. Для доказательства применим индукцию. Очевидно, что S0(x) = 1 и S1(x) = 0. Задача будет решена, если доказать соотношение Sl(x) = (1 - xl-1)Sl-2(x).

Пользуясь свойством в) из задачи 11.95, находим Sl(x)=(1-xl-1)g0,l-1(x)-(1-xl-2)g1,l-2(x)+...+(-1)l-1(1-x0)gl-1,0(x).

Ответы, указания, решения Применяя равенство (1 - xl)gk,l(x) = (1 - xk+l)gk,l-1(x) к каждому слагаемому в полученной сумме, приходим к нужному равенству:

Sl(x) = (1 - xl-1)(g0,l-2(x) - g1,l-3(x) +... ) = (1 - xl-1)Sl-2(x).

11.98. в) Рассмотрите симметричную диаграмму Юнга.

г) Разбиению n = a1 + a2 +... + aj, j k, ai l числа n сопоставьте разбиение kl-n = (l-a1)+(l-a2)+...+(l-aj)+l+...+l числа kl-n, где слагаемое l-ai отбрасывается, если оно равно нулю, а число слагаемых, равных l, равно k - j. Как связаны диаграммы Юнга, соответствующие двум таким разбиениям 11.101. Воспользуйтесь конструкцией из задачи 2.Глава 12.3. 16/64, 19/95, 26/65, 49/98.

12.5. Приведите равенство к виду a b a + b sin sin sin = 0.

2 2 Ответ: либо a = 2k, либо b = 2l, либо a + b = 2m.

12.7. Воспользуйтесь тем, что число дней в 400-летнем цикле делится на 7.

12.9. Название племени должно быть словом в их алфавите.

12.10. Среди сомножителей присутствует скобка (x - x). Ответ: 0.

x 12.12. Результат возведения единицы в степень не определен однозначно. Это происходит из-за того, что ln z — многозначная функция.

12.13.

12.14. Отношение длины мили к длине километра равно 1,609..., что мало отличается от числа = 1,618...

Литература Учебники и монографии [1] Арсак Ж. Программирование игр и головоломок. — М.: Наука, 1990.

[2] Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: Мир, 1965.

[3] Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. — М.: Мир, 1965.

[4] Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева А. К. Ошибки в математических рассуждениях. — М.: Учпедгиз, 1959.

[5] Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Учпедгиз, 1960.

[6] Виленкин Н. Я. Комбинаторика. — М.: Наука, 1969.

[7] Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ: Учебник для уч-ся для 10 классов. — М.: Просвещение, 1998.

[8] Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ: Учебник для уч-ся для 11 классов. — М.: Просвещение, 1998.

[9] Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир, 1971.

[10] Гарднер М. Математические досуги. — М.: Мир, 1972.

[11] Гарднер М. Математические новеллы — М.: Мир, 1974.

[12] Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. — М.: Наука, 1967.

[13] Грэхем Р. Л., Кнут Д. Э., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. — М.: Мир, 1998.

[14] Ежов И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Элементы комбинаторики. — М.: Наука, 1977.

[15] Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды. — М.: Мир, 1992.

[16] Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. — М.: МЦНМО, 2001.

[17] Моденов П. С. Задачи по геометрии. — М.: Наука, 1979.

[18] Нивен Р. Числа рациональные и иррациональные. — М.: Мир, 1966.

[19] Пойа Д. Математическое открытие. — М.: Наука, 1970.

[20] Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой. Алгебра. — М.:

Наука, 1987.

[21] Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2000.

[22] Соминский И. С. Элементарная алгебра: Дополнительный курс. — М.:

Физматгиз, 1962.

[23] Сушкевич А. К. Основы высшей алгебры. — М.: ГИТТЛ., 1937.

[24] Сушкевич А. К. Теория чисел. — Харьков: изд-во Харьк. гос. ун-та им.

А. М. Горького, 1954.

[25] Табачников С. Л. Многочлены. — М.: Фазис, 1996.

Литература [26] Уфановский В. А. Математический аквариум. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика», 2000.

[27] Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. — М.: ИЛ, 1948.

[28] Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: Наука, 1978.

[29] Холл М. Комбинаторика. — М.: Мир, 1970.

[30] Шафаревич И. Р. Избранные главы алгебры. — М.: Фонд математического образования и просвещения, 2000.

[31] Яглом И. М. Комплексные числа. — М.: ГИФМЛ, 1963.

Сборники задач [32] Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н., Пасиченко П. И. Задачи по математике. Алгебра: Справочное пособие. — М.: Наука, 1988.

[33] Василенко О. Н., Галочкин А. И. Сборник задач по теории чисел. — М.:

изд-во Моск. ун-та, 1995.

[34] Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л., Раббот Ж. М., Тоом А. Л. Заочные математические олимпиады. — М.: Наука, 1986.

[35] Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре. — М.: Просвещение, 1999.

[36] Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1986.

[37] Гашков С. Б., Чубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. — М.: Наука, 1996.

[38] Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические олимпиады. — Киров: АСА, 1994.

[39] Избранные задачи: Сборник. — М.: Мир, 1977.

[40] Кречмар В. А. Задачи по алгебре. — М.: Учпедгиз, 1940.

[41] Кречмар В. А. Задачник по алгебре. — М. — Л.: ОНТИ, 1937.

[42] Кудреватов Г. А. Сборник задач по теории чисел. — М.: Просвещение, 1970.

[43] Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957.

[44] Лидский В. Б., Овсянников Л. В., Тулайков А. Н., Шабунин М. И. Задачи по элементарной математике. — М.: Физматгиз, 1962.

[45] Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 1. — М.: Наука, 1978.

[46] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2001.

[47] Пржевальский Е. М. Сборник алгебраических задач повышенной трудности. Ч. 1 – 4. — М.

[48] Рождественский В. В., Панкратьев Е. В., Мельников И. И., Вавилов В. В. Математический тренинг. — М.: изд-во Учебно-научного центра довузовского образования МГУ, 1997.

[49] Соловьев Ю. П. Задачи по алгебре и теории чисел для математических школ. Ч. 1 – 3. — М.: школа им. А. Н. Колмогорова, 1998.

[50] Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики: В 3 ч. Ч. 1. Арифметика и алгебра. — М.: Наука, 2001.

246 Литература Библиотечка «Квант» [51] Башмаков М. И., Беккер Б. М., Гольховой В. М. Задачи по математике.

Алгебра и анализ. — Вып. 22. — М.: Наука, 1982.

[52] Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия. — Вып. 64. — М.:

Наука, 1988.

[53] Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. — Вып. 56. — М.: Наука, 1986.

[54] Хонсбергер Р. Математические изюминки. — Вып. 83. — М.: Наука, 1992.

Серия «Популярные лекции по математике» [55] Виленкин Н. Я. Метод последовательных приближений. — Вып. 35. — М.: Наука, 1968.

[56] Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — Вып. 39. — М.: Наука, 1963.

[57] Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. — Вып. 6. — М.: Наука, 1984.

[58] Головина Л. И., Яглом И. М. Индукция в геометрии. — Вып. 21. — М.:

Наука, 1961.

[59] Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. — Вып. 47. — М.: Наука, 1969.

[60] Коровкин П. П. Неравенства. — Вып. 5. — М.: Наука, 1983.

[61] Маргулис Б. Е. Системы линейных уравнений. — Вып. 34. — М.: Наука, 1960.

[62] Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. — Вып. 1. — М.: Наука, 1950.

[63] Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. — Вып. 13. — М.: Наука, 1979.

[64] Скорняков Л. А. Системы линейных уравнений. — Вып. 59. — М.: Наука, 1986.

[65] Соминский И. С. Метод математической индукции. — Вып. 3. — М.: Наука, 1974.

[66] Успенский В. А. Треугольник Паскаля. — Вып. 43. — М.: Наука, 1979.

[67] Шишкин Ю. А. Неподвижные точки. — Вып. 60. — М.: Наука, 1989.

Статьи журнала «Квант» [68] «Квант» за 30 лет (путеводитель). — М.: Бюро «Квантум», 2000. — (Прил. к журналу «Квант». № 1).

[69] Абрамович В. Признаки делимости на l // № 10. 1978.

[70] Абрамович В. Суммы одинаковых степеней натуральных чисел // № 5.

1973.

[71] Аврамов А. Арифметические прогрессии в треугольнике Паскаля // № 11. 1980.

[72] Алексеев Р., Курляндчик А. Тригонометрические подстановки // № 2.

1995. — То же // Матем. кружок. Вып. 4. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к журналу «Квант». № 5).

[73] Алексеев Р., Курляндчик А. Сумма минимумов и минимум суммы // № 3. 1991.

Литература [74] Арнольд В. Меандры // № 3. 1991.

[75] Атамускас М. Квадратный трехчлен // № 9. 1971.

[76] Ашманов С. Числа и многочлены // № 2. 1980.

[77] Балк Г., Балк М. Мнимые числа и геометрические задачи // № 3. 1973.

[78] Балк М., Мазалов М. Как же доказать это неравенство // № 6. 1995.

[79] Башмаков М. Нравится ли вам возиться с целыми числами // № 3.

1971. — То же // Математический кружок. Вып. 4. — М.: Бюро «Квантум», 1999. — (Прил. к журналу «Квант». № 5).

[80] Башмаков М. О постулате Бертрана // № 5. 1971. — То же // № 1. 1990.

[81] Белага Э. Вычисление многочленов — от Ньютона до наших дней // № 7.

1974.

[82] Бельский А., Садовский Л. Кольца // № 2. 1974.

[83] Бендукидзе А. Золотое сечение // № 8. 1973.

[84] Бендукидзе А. Треугольник Паскаля // № 10. 1982.

[85] Бендукидзе А., Сулаквелидзе А. Вычисление сумм // № 9. 1970.

[86] Берколайко С. Интеграл помогает доказать неравенство Коши // № 8.

1979.

Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.