WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 30 |

c(cos + cos cos ) c(cos + cos cos ) b =, a =.

sin2 sinПосле подстановки этих равенств в третье уравнение системы, приходим к соотношению 1 - cos2 - cos2 - cos2 - 2 cos cos cos = 0.

Ответы, указания, решения Отсюда cos + cos cos = sin sin, cos + cos cos = sin sin, + + =, a sin = c sin, b sin = c sin.

8.86. Из первого равенства cos - cos cos cos A =.

sin sin Отсюда 1 - cos2 - cos2 - cos2 + 2 cos cos cos sin2 A =, sin2 sinsin2 A 1 - cos2 - cos2 - cos2 + 2 cos cos cos =.

sin2 sin2 sin2 sinТак как данные формулы переходят одна в другую при круговой перестановке переменных,,, A, B, C и от этого преобразования правая часть последнего равенства не меняется, то sin2 A sin2 B sin2 C = =.

sin2 sin2 sinТак как все величины,,, A, B, C заключены в пределах от 0 до, то sin A sin B sin C = =.

sin sin sin Глава 9.2. После подстановки z = x +, коэффициент при x2 оказывается равен A + 3. Поэтому нужно выбрать = -A/3.

9.3. а) Функция f(x) = x3 + px — нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. б) График функции f(x) = = x3 + px + q получается из графика функции f(x) = x3 + px параллельным переносом, поэтому он также имеет центр симметрии. в) Из задачи 9.2 следует, что функция f(x) = ax3 + bx2 + cx + d может быть получена из функции f(x) = x3 + px + q линейной заменой переменной и умножением на число. Оба эти преобразования сохраняют свойство графика иметь центр симметрии.

9.5. Приведите уравнение к виду 2x3 + (x + 1)3 = 0.

9.6. Воспользуйтесь условиями x1x2+x1x3+x2x3 = 0, x1x2x3 = b > 0.

9.7. Числа a и b должны удовлетворять системе уравнений a3 + b3 = -q, a3 b3 = -p3/27.

222 Ответы, указания, решения Поэтому a3 и b3 можно найти как корни квадратного уравнения y2 + + qy - p3/27 = 0. То есть q q2 p3 q q2 pa3, b3 = - ± + ; a, b = - ± +.

2 4 27 2 4 9.8. Разложение выглядит следующим образом:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a + b + c2)(a + b2 + c).

Здесь и 2 — кубические корни из 1:

-1 + i 3 -1 - i =, 2 =.

2 9.9. x1 = a + b, x2 = a + b2, x3 = a2 + b, где и 2 — кубические корни из 1 (смотрите задачу 9.8.) 9.10. Так как a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac = (a + b + c2)(a + b2 + c), x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz = (x + y + z2)(x + y2 + z), то (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz) = = (X + Y + Z2)(X + Y2 + Z) = X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ.

9.11. Формула Кардано получается, если воспользоваться ответом задачи 9.7 и формулой для корня x1 из задачи 9.9. Для того, чтобы найти два других корня, заметим, что при нахождении чисел a и b кубический корень можно извлечь тремя способами. Всего получается 9 комбинаций x вида x = a + b, но только три из них будут корнями, поскольку a и b связаны условием a · b = -p/3. Если в качестве a и b взять пару чисел из решения задачи 9.7, то кроме корня x1 = a + b, исходное кубическое уравнение будет иметь корни x2 = a + 2b и x3 = 2a + b, где — кубический корень из 1.

9.12. Подбором находим корень x0 = 1. Так как x3 + x - 2 = (x - 1)(x2 + x + 2), то других действительных корней нет. Поэтому формула Кардано дает корень x0 = 1:

3 1 3 1 = 1 + 1 + + 1 - 1 +.

27 Ответы, указания, решения 9.13. x3 + 3/4x - 7/4, = 1.

2 9.14. При a - ; уравнение имеет 3 решения, при a = 3 3 3 2 2 / ; — 1 решение.

= ± — два решения и при a - 3 3 3 3 3 9.15. По формуле Кардано находим корень x1 = 2/ 3. После деления столбиком, приходим к равенству 2 2 2 x3 - x - - x2 + +.

= x 3 3 3 Полученный квадратный трехчлен оказывается полным квадратом.

В итоге получается, что уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают. Ответ: x1 = 2/ 3, x2 = x3 = -1/ 3.

9.16. Воспользуйтесь равенством x1 + x2 + x3 = 0.

9.17. D(x3 + px + q) = -4p3 - 27q2.

9.18. Решение непосредственно следует из результата задачи 9.17.

9.19. a = 1, b = 2, x1,2 = 1 ± -5.

9.25. а) xk = 2 cos 1 + 6k (k = 0, 1, 2);

1 + 12k б) xk = 2 cos (k = 0, 1, 2).

9.27. Вычитая из одного уравнения другое, находим (p - p )x + (q - q ) = 0. (13.7) Умножая первое уравнение на q, а второе на q и вычитая почленно, будем иметь x3(q - q) + x(pq - qp ) = 0, x2(q - q) + pq - qp = 0. (13.8) Исключая теперь из уравнений (13.7) и (13.8) переменную x, получим искомый результат.

9.29. Чтобы правая часть уравнения 9.5 была полным квадратом необходимо и достаточно выполнение двух условий: дискриминант равен нулю; старший коэффициент неотрицателен. Запишем эти условия в явном виде:

D() = (C + 2)(A + 2) - B2 = 0, -A/2.

Первое соотношение является кубическим уравнением относительно.

Его корни могут быть найдены по формуле Кардано. Остается заметить, что D(-A/2) = -B2 0, lim D() =, 224 Ответы, указания, решения поэтому один из найденных корней обязательно будет удовлетворять условию -A/2.

9.30. Сделайте замены x = cos t, y = sin t, t [0; 2].

2k 4k 8k 9.31. (x, y, z) = cos, cos, cos (k = 0,..., 4), или 9 9 2k 4k 8k (x, y, z) = cos, cos, cos (k = 1, 2, 3).

7 7 9.32. Представьте семь данных чисел как тангенсы некоторых углов.

9.33. Сделайте замены x = 2 cos, y = 2 sin, z = 3 cos, t = 3 sin.

9.34. а) Сделайте замену x = cos t. Ответ: x -, 2 + 2 2 -, - ; б) Ответ: x {5/3, 5/4}; в) Сделайте замену 2 x = sin t, t [-/2; /2]. Относительно t уравнение будет иметь одно решение t = /5. Ответ: x = sin(/5). г) Сделайте замену x = cos t.

9.35. Если hn = sin 2, то hn+1 = sin. Поскольку h1 = sin(/6), то задача сводится к оценке суммы S = sin. Из неравенства 3 · 2n n=sin x < x (x > 0) находим 1 S < + = + < 1,03.

2 3 · 2n 2 n=9.36. Сделаем замену x = cos t, t [0; /2]. Уравнение перепишется в виде 8 cos t cos 2t cos 4t+1 = 0. Домножая на sin t, получаем, что корни последнего уравнения лежат среди корней уравнения sin 8t + sin t = или sin(7t/2) cos(9t/2) = 0. Решая уравнение и делая проверку, находим, что на отрезке [0; /2] лежит 3 корня. Ответ: 3.

9.40. б) Система может быть переписана в виде y = 2x - x 2y z = - y x = 2z 1 - zПосле замены x = tg, (-/2, /2) получаем, что y = tg 2, k z = tg 4, x = tg 8. Решая уравнение tg = tg 8, находим, что =, k 2k 4k -4 x 3. Ответ: (x, y, z) = (tg, tg, tg ) (-3 k 3).

7 7 9.43. Сделайте замены a = 2 - x, b = 2 - y, c = 2 - z, a = 2 cos.

Ответы, указания, решения 9.44. После замены x = sin t, t [-/2; /2], приходим к уравнению 1 + sin 2t = cos 2t.

Решая его, находим sin 2t = -1 или sin 2t = 1/2, где t [-/4; /4].

1 2 - Отсюда t = -/4 или t = /12. Ответ: x -,.

9.46. Обозначим через dn разность dn = xn - 2. Тогда последовательность {dn} будет удовлетворять рекуррентному соотношению dn dn+1 = (n 1).

2( 2 + dn) Если для некоторого n окажется, что 0 < dn < 1, то начиная с этого момента dn будет убывать не медленнее, чем геометрическая прогрес сия: 0 < dn+1 < dn/2. В нашем случае d2 = 3/2 - 2 удовлетворяет нужному условию, поэтому lim dn = 0, lim xn = 2.

n n 9.47. Последовательность будет сходиться к - 2.

9.48. Как и при решении задачи 9.46, обозначим через dn разность dn = xn - k. Тогда dn dn+1 = (n 0).

2( k + dn) Последовательность {dn} оказывается монотонной и ограниченной. Значит она имеет предел, который может быть только равным 0.

9.49. Воспользуйтесь методом математической индукции.

2a1 + a0 a1 - a9.50. an = + (-1)n.

3 · 2n-9.51. Рассмотрите последовательность, которая задается условиями:

y0 = x yn+1 = x3yn (n 0).

9.52. Так как k ln N1/lim = 1, k k N1/2 - то k ln N = lim 2k(N1/2 - 1).

k 226 Ответы, указания, решения При вычислении ln N на калькуляторе не следует брать k очень большим, поскольку это приводит к росту погрешности.

9.59. Пусть OAKB — данный прямоугольник, расположенный на координатной плоскости так, что его вершины имеют координаты O(0; 0), A(a; 0), K(a; b), B(0; b). Тогда искомая точка будет иметь координаты aq aqx =, y =, 1 - q4 1 - q 5 - где q = = -.

9.60. Как и при решении задачи 9.46, обозначим через dn разность dn = an - a. Тогда 2d3 + 3d2 3 a n n dn+1 = (n 1).

3( a + dn)Если для некоторого n0 число dn будет положительным (это условие будет выполнено при n = 2 независимо от значения a), то для dn+можно будет написать оценку 3d3 + 3d2 3 a dn n n dn+1 < = < dn (n n0).

a + dn 3( a + dn)2 Последовательность {dn} снова оказывается монотонной и ограниченной. Поэтому она имеет предел, который может быть равным только 0.

9.61. Данное уравнение можно записать в виде x2 = + 1/x. Последовательность, построенная по правилу x1 = 1, xn+1 = 1 + 1/xn, будет сходиться к положительному корню данного уравнения. Другой способ приближенного нахождения корня (причем более быстрый) получается, если применить метод Ньютона. (См. задачу 9.78.) 9.62. Неравенство 0 < 2 - an < (3/4)n доказывается по индукции.

9.63. Можно указать 0 < q < 1 такое, что (начиная с некоторого n) an+1 < qan.

9.64. Примените теорему Лагранжа о конечном приращении.

9.67. (0, 0, 0), (1, 1, 1).

9.71. Из задачи 9.69 следует, что данное уравнение равносильно урав нению a + x = x. Отсюда находим, что уравнение разрешимо при 1 1 ± 1 + 4a a - и имеет корни x1,2 =.

4 9.72. Воспользуйтесь неравенствами bn < bn+1 < an+1 < an и теоремой Вейерштрасса. Явное выражение для µ(a, b) через a и b впервые Ответы, указания, решения получил Гаусс:

/ -dx µ(a, b) = 2.

a2 sin2 x + b2 cos2 x 9.73. б) Докажите, что произведение элементов данных последовательностей не меняется: anbn = ab (n 0). Затем перейдите к пределу в этом равенстве.

9.74.

1 1/an + 1/bn 1 1 =, = ·.

an+1 2 bn+1 an bn 9.79. а) xn = F2n /F2n = [1; 1, 1,.., 1] ;

+.

2n б) xn = F-2n /F-2n = -F2n /F2n = [-1; 2, 1,..., 1].

+1 - 2n-9.80. Последовательности {yn} и {zn} сходятся к различным корням уравнения x2-px+q = 0. Какой именно из корней является предельным значением, зависит от знака параметра q.

9.81. Докажите, что подходящие дроби pn/qn к числам и удовлетворяют соотношению p2n p2 - q · qn n =.

q2n qn(2pn - p · qn) 9.82. Так как функция f(x) нечетная, то можно пытаться найти такую точку x0 = 0, что x1 = -x0. В этом случае получится, что x2 = -x1 = x0. Условие x1 = -x0 записывается в виде уравнения x0(x2 - 1) = -x0. Отсюда x0 = ± 2.

9.83. Нетрудно найти первые многочлены:

P1(x) = x2 - 3x + 1 = x2 - L2x + 1, P2(x) = x2 - 7x + 1 = x2 - L4x + 1, P3(x) = x2 - 47x + 1 = x2 - L8x + 1, где Lk — числа Люка. Общая формула доказывается по индукции:

Pk(x) = x2 - L2kx + 1.

Отсюда k k x1 = lim (L2k)1/2 =, x2 = - lim (L2k)-1/2 =.

k k 9.85. а) 4, 2 2, 2 3, 3; б) Воспользуйтесь формулами для длин сторон описанного и вписанного многоугольников an = tg(/n), bn = sin(/n), pn = nbn, Pn = nan.

228 Ответы, указания, решения 9.86. Из соотношения x x x x x sin x = 2n sin cos cos cos... cos 2n 22 23 2n и равенства x lim 2n sin = x n 2n находим x x x x = cos cos cos...

sin x 22 Далее, подставляя значение x = /2, приходим к нужному равенству.

9.87. Для наибольшего числа a график функции y = ax должен касаться прямой y = x. Ответ: a = e1/e, lim xn = e.

n 9.88. Докажите неравенство a3 > 3n и оцените разность a3 - 3n.

n n 9.89. Воспользуйтесь равенством x1 + y1 + z1 = x1y1z1.

9.91. а) (2, -1, -3, -4).

9.92. а) 13 11; б) 61 69.

9.93. а) (4/9, 5/9, 1/2, 1/2); б) (8/13, 6/13, 6/13, 6/13).

9.94. а) Если a = 1, то (x, y) = (t, 1 - t) (t R); если a = -1, то a2 + a + 1 a решений нет; если a = ±1, то (x, y) =, -.

a + 1 a + б) Если a = 0, то (x, y) = (2, t) (t R); если a = 1, то решений нет;

a2 - 2 2 - a если a = 0, 1, то (x, y) =,.

a - 1 a - в) Если a = 1, то (x, y) = (2 - 4t, t) (t R); если a = 3, то решений 4(a - 2) - a нет; если a = 1, 3, то (x, y) =,.

a - 3 a - г) Если a = 0, то (x, y) = (t, 2) (t R); если a = ±1, то решений нет;

a5 - 2a4 + 2a2 - a + 6 a6 - a2 - 2a - если a = 0, ± 1, то (x, y) =,.

2(a2 - 1) 2(a2 - 1) д) Если a = 1, то (x, y) = (t, 1 - t) (t R); если a = -1, (x, y) = = (t, t - 1) (t R); если a = ±1, то (x, y) = (a2 + 1, -a).

е) Если a = 0, то (x, y) = (t, 0) (t R); если a = 1/2, b = 1/2, (x, y) = (1/2 + t, t) (t R); если a = 1/2, b = 1/2, то решений нет; если a(a - b - 2b) a = 0, 1/2, то (x, y) =,.

2a - 1 2a - ж) Если a = b = 0, то (x, y) = (t1, t2) (t1, t2 R); если a = b = 0, (x, y) = (t, 1 - t) (t R); если a = -b = 0, (x, y) = (1 + t, t) (t R);

если a = ±b, то (x, y) = (1, 0).

2a a2 - з) Если a 0, то (x, y) =, ; если a < 0, (x, y) = (0, 1).

a2 + 1 a2 + Ответы, указания, решения 9.95. Нет. Если x и y— два вектора решений, то решением будет и вектор x + (1 - )y при любом действительном.

9.97. Первый игрок всегда может добиться того, чтобы решением системы был вектор (1, 1, 1).

Глава 10.1. Поделите неравенство (x - 1)2 0 на x.

10.2. Возведите неравенство в квадрат.

10.3. Воспользуйтесь два раза неравенством задачи 10.2.

10.4. Возведите неравенство в квадрат и воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.5. Воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.6. Воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.7. Раскройте скобки в неравенстве (x - y)2 + (y - z)2 + (x - z)2 0.

10.8. Воспользуйтесь неравенством предыдущей задачи.

10.9. Сложите неравенства (x1/2)2 + x2 x1x2,..., (x1/2)2 + x2 x1x5.

10.11. После упрощений воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.12. После раскрытия скобок получается неравенство задачи 10.7.

10.13. Примените два раза неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим: сначала к числам, а потом к их показателям.

10.14. a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 = 0.

10.15. Число 1 + xy всегда положительно. После домножения на это число, неравенство может быть записано в виде (1 ± x)(1 ± y) > 0.

10.16. Сначала докажите неравенство для рациональных и.

10.17. Воспользуйтесь неравенством a2(b-c)2+b2(a-c)2+c2(a-b)2 0.

10.18. Раскройте скобки и воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.21. После извлечения квадратного корня задача сводится к неравенству ( x - y)4 0.

10.22. Воспользуйтесь неравенством a(b-c)2+b(a-c)2+c(a-b)2 0.

10.23. Раскройте скобки и воспользуйтесь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.24. Воспользуйтесь неравенством (1 + a4)(1 - b2)2 + (1 + b4)(1 - a2)2 0.

230 Ответы, указания, решения 10.25. Воспользуйтесь неравенствами из задач 10.7 и 10.17.

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.