WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 30 |

6.123. Приведите разность данных уравнений к виду (x - 1)(y - 1) + (u - 1)(v - 1) = 2.

6.124. В каждом из случаев нужно узнать, сколько корней имеют уравнения: один или три.

6.125. Подставьте в уравнение x = a, x = b, x = c.

(x - x1)... (x - xi-1)(x - xi+1)... (x - xn) 6.127. fi(x) =.

(xi - x1)... (xi - xi-1)(xi - xi+1)... (xi - xn) 6.128. f(x) = 1.

6.129. f(x) = y1f1(x) +... + ynfn(x). Если таких многочленов будет два, то их разность будет многочленом степени не выше n с n + действительным корнем, что невозможно.

6.130. Остатком будет многочлен R(x) степени 2, для которого выполняются равенства R(a) = A, R(b) = B, R(c) = C.

Явный вид этого многочлена выписывается при помощи задачи 6.129:

(x - b)(x - c) (x - c)(x - a) (x - a)(x - b) R(x) = A + B + C.

(a - b)(a - c) (b - c)(b - a) (c - a)(c - b) 6.131. По теореме Безу остаток равен f(xi) = yi.

6.132. а) 1 + (3 - x)x; б) 1 + (1 + x)2; в) x2.

212 Ответы, указания, решения 6.133. 1 и 17 километров.

6.134. 2 14.

6.135. По трем точкам график квадратного трехчлена строится однозначно.

6.136, 6.137. Каждое равенство в системе можно интерпретировать как равенство нулю соответствующего многочлена в точках a, b и c.

6.138. Если f(x) — интерполяционный многочлен Лагранжа, то f(-x) также будет интерполяционным многочленом Лагранжа. В силу единственности такого многочлена (см. задачу 6.129) f(x) = f(-x).

6.139. Пусть многочлен P(x) таков, что P(0) = 1,..., P(n) = 3n.

Докажите, что тогда P(n + 1) < 3n+1.

6.140. Воспользуйтесь равенством (x - x2)... (x - xn) (x - x1)... (x - xn-1) f(x) = f(x1) +... + f(xn).

(x1 - x2)... (x1 - xn) (xn - x1)... (xn - xn-1) 6.141. Рассмотрите функцию x1 xn ( - a1)... ( - an) f() = +... + = 1 -.

- b1 - bn ( - b1)... ( - bn) Глава 7.4. а) Длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других его сторон. б) Длина стороны треугольника не меньше модуля разности двух других его сторон. в) Хорда короче дуги, которую она стягивает.

7.5. а) 2 cos + i sin ;

4 б) 2 + 3 cos + i sin = 2 cos cos + i sin ;

12 12 12 12 cos в) 2 cos + i sin ;

2 2 г) (1/ 2) cos + i sin ;

4 д) cos + i sin 2.

7.7. 13 - 1.

7.8. а) Re x < 0; б) 0 < arg z < ; в) | Re z| < 2; г) |z| < 1 и Im z 0.

7.9. Окружность (x + 5/3)2 + (y - 1)2 = (4/3)2.

7.11. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.

7.13. Домножьте равенство на сопряженное.

7.14. Воспользуйтесь пунктом б) из задачи 7.2.

Ответы, указания, решения 7.16. а) ±(2 - i); б) ± 1 + 1/ 2 + i 1 - 1/ 2 ; в) ±(7 + 5i);

г) ±( 3/2 + i/ 2); д) ±(3 - 4i); е) ±((5 - i)/ 2).

-1 ± -7.17. а) z = ; б) z = -2 ± 5i; в) z = 2, i; г) z = 3, 2i;

д) z = i + 2, 3 - i; е) z = 3 + i, 2 + i.

7.18. а) z = -1, 3, 1 ± 2i; б) z = -1 - 2, -1 + (1 ± i 3);

k в) z = 2, 2 ± 2 6i; г) x = tg +, (k = 0, 1, 2, 3).

16 7.19. Воспользуйтесь результатом задачи 6.6.

7.20. Выразим t через z:

1 - z t = i.

1 + z Сначала найдем значения t, которые соответствуют точкам z, лежащим на единичной окружности. Пусть z = cos + i sin. Представим числа 1 - z и 1 + z в тригонометрической форме:

+ + + 1 - z = 2 cos cos + i sin, 2 2 1 + z = 2 cos cos + i sin.

2 2 Подставляя эти представления в формулу для t, находим, что t — действительное число: t = tg(/2). Обратные вычисления показывают, что выбирая t именно таким образом, мы получим все точки единичной окружности кроме точки z = -1.

7.21. Для того, чтобы построить график на отрезке [-1; 1], представьте x в виде x = sin t (t [-/2; /2]).

7.29. Сумма степеней равна 0, если s = kn, и равна n, если s = kn.

7.30. Рассмотрите действительную и мнимую части первой формулы Муавра.

7.31. Представьте каждое из чисел в тригонометрической форме.

7.34. а) -1/2; 1/8.

7.35. а) Проверьте, что P(i) = P(-i) = 0 и примените теорему Безу.

б) Как и в пункте а), достаточно проверить, что Q((cos ± sin )) = 0.

7.37. Смотрите приложение В, V.

7.39. Найдите рекуррентное соотношение, которому удовлетворяют многочлены 2Tn(x/2).

7.40. Пусть = m/n. Тогда cos(360n) = 1. Так как cos(360n) = = T360n(cos ), то получаем, что многочлен T360n(x) - 1 обращается в ноль при x = cos = 1/3. Значит многочлен f(x) = 2T360n(x/2) - 214 Ответы, указания, решения имеет корнем число x = 2/3. Согласно задаче 7.39, многочлен f(x) имеет старший коэффициент равный 1, а остальные его коэффициенты — целые числа. Но, по теореме о рациональных корнях многочлена f(x) может иметь только целые корни.

7.41. Рассмотрите многочлен T360q(x) - 1.

7.44. Pn(x) = 2Tn(x/2), где Tn(x) — многочлен Чебышёва.

7.45. Замените тангенс на отношение синуса к косинусу.

7.46. Перейдите в равенстве z + z-1 = 2 cos к сопряженным числам и вычислите z.

7.47. Поскольку в многочлены Чебышёва удобно подставлять числа вида x = cos, то для решения задачи следует воспользоваться равенством sin = cos( - /2). Ответ: Если n = 2k, то Tn(sin ) = (-1)k cos n, Un-1(sin ) = (-1)k+1 sin n.

cos Если n = 2k + 1, то cos n Tn(sin ) = (-1)k sin n, Un-1(sin ) = (-1)k.

cos 7.49. Если f(z) = 0, то f(z) = f(z) = 0.

7.50. Комплексные корни многочлена можно разбить на пары взаимно сопряженных чисел. При этом произведение соответствующих линейных сомножителей даст квадратный трехчлен с действительными коэффициентами:

(x - a - ib)(x - a + ib) = x2 - 2ax + a2 + b2.

n a + ib 7.51. Выделим в выражении lim 1 + ту часть, которая n n будет стремится к ea:

n n n a + ib a ib lim 1 + = lim 1 + lim 1 + n n n n n a + n и найдем второй предел. Заметим, что n n ib b lim 1 + = lim 1 + i tg.

n a + n n a + n Теперь нужный предел находится по формуле Муавра:

n b nb nb lim 1 + i tg = lim cos + i sin = cos b + i sin b.

n a + n n a + n a + n 7.52. Воспользуйтесь формулой Эйлера из задачи 7.51.

Ответы, указания, решения 7.54. На комплексной плоскости функция ln z становится многозначной. Если z = |z|ei, то в качестве ln z можно брать любое из чисел wk = ln |z| + i( + 2k) (k Z).

Для каждого из них k ew = eln |z| · ei(+2k) = |z| (cos + i sin ) = z.

7.55. az = ez ln a, где экспонента определяется как в задаче 7.51, а логарифм — как в задаче 7.54.

7.56. Корень i-й степени из числа z = ei = e(+2k)i равен e+2k, где i k — произвольное целое число. При z = -1 получаем -1 = e(1+2k).

Значение корня, приведенное в задаче, соответствует k = 0.

sin(n/2) sin((n + 1))/7.58. б).

sin(/2) sin 2nx cos(2n + 1)x sin 2nx cos(2n + 1)x 7.60. а) n + ; б) n -.

2 sin x 2 sin x 7.61. а) -250; б) 249.

n 7.62. б) 2n/2 sin.

1 (n - 2) 1 (n - 4) 7.63. б) 2n + 2 cos ; 2n + 2 cos.

3 3 3 7.67. а) Все векторы z1,..., zn имеют положительную проекцию на луч arg z = + /2.

б) Все числа z-1,..., z-1 лежат в полуплоскости - < arg z < 1 n < 2 -.

7.69. Если точка z лежит вне треугольника abc, то векторы z - a, z - b, z - c располагаются в некоторой полуплоскости. Сумма их обратных величин не может равняться нулю согласно задаче 7.67, п. б).

1 1 7.70. Воспользуйтесь равенством f (x) = f(x) + + z - a z - b z - c и результатом задачи 7.69.

7.72. а) n 1, 2 (mod 3); б) n ±1 (mod 6).

7.74. а) n = 6k ± 2; б) n = 6k - 2; в) ни при каких.

7.75. а) n = 6k ± 1; б) n = 6k + 1; в) ни при каких.

7.76. Если x = 1 — корень многочлена P(xn), то его корнем будет любое из чисел xk = cos(2k/n)+i sin(2k/n) (k = 0,..., n-1). Поэтому P(xn) делится на (x - x0)... (x - xn-1) = xn - 1.

7.77. 7.

7.78. zk = i tg(-/2 + k/n) = i ctg(k/n) (1 k n - 1). Для нахождения суммы квадратов корней раскроем в уравнении скобки по 216 Ответы, указания, решения формуле бинома Ньютона и сделаем сокращения:

Cn-1zn-1 + Cn-3zn-3 +... = 0.

n n По теореме Виета (n Cn-3 - 1)(n - 2) n 1(z1,..., zn-1) = 0, 2(z1,..., zn-1) = =.

Cn-n Далее, применяя результат задачи 6.107, д), находим (n - 1)(n - 2) z2 + z2 +... + z2 = -.

1 2 n-7.80. Так как 1 m m = 1 + ctg2 = 1 - i ctg, m n n sinn то n-1 n-1 n- m 2 = 1 - i ctg = n - 1 - i ctg m.

m n n sinm=1 m=1 m=n (n - 1)(n - 2) Согласно задаче 7.78, последняя сумма равна -. Следовательно, n-1 n- 1 m (n - 1)(n - 2) - n= 1 + ctg2 = n - 1 + =.

m n 3 sinm=2 m=n 1 7.81. Воспользуйтесь тем, что 0 < - < 1 при x (0; /2) sin2 x x(см. задачу 10.44) и результатом задачи 7.80.

7.82. Многочлен P(x) не имеет действительных корней, поэтому все его корни разбиваются на пары комплексно сопряженных чисел z1, z1,..., zn, zn (см. задачу 7.49). Пусть n (x - zk) = a(x) + ib(x).

k=Тогда n (x - zk) = a(x) - ib(x).

k=Отсюда P(x) = a2(x) + b2(x).

Ответы, указания, решения 7.85. а) Параллельный перенос на вектор a; б) гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом 2; в) поворот против часовой стрелки на угол вокруг начала координат.

7.86. w = z · e2i.

i + 7.87. а) w = 2(z + 3 + 4i); б) w = 2z + 3 + 4i; в) w = (z - i) + i;

г) w = k(z - A) + A; д) w = z - 2; е) w = -z + (1 + i)(2 - 2).

7.89. Композиция гомотетий 1 Hk : w = k1(z - A1) + A1; Hk : w = k2(z - A2) + AA1 Aимеет вид w = k1 · k2 · z + k2(1 - k1)A1 + (1 - k2)A2.

Если k1 ·k2 = 1, то получаем параллельный перенос. Если же k1 ·k2 = 1, то это гомотетия с коэффициентом k1 · k2, центр A которой находится из уравнения k1 · k2 · z + k2(1 - k1)A1 + (1 - k2)A2 = k1 · k2(z - A) + A.

7.93. а) Воспользуйтесь задачей 7.58, а); б) Воспользуйтесь задачей 7.58, б); в) Воспользуйтесь задачей 8.41, а) – б).

7.96. Формулу (7.1) можно переписать в виде a w = -, c c(cz + d) где = ad - bc = 0.

Глава 8.1. Сумма векторов, направленных из центра правильного n-угольника в его вершины, сохраняется при повороте на угол, поэтому она n может быть только нулевым вектором.

8.2. а) Воспользуйтесь результатом задачи 8.1 для правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность.

б) Рассмотрим правильный семиугольник A1A2... A7. Пусть M — точка пересечения диагоналей A1A4 и A2A5. Равенство задачи следует из подобия треугольников A1MA5 и A2A3A4.

в) Воспользуйтесь результатом задачи 8.1 для правильного двенадцатиугольника, вписанного в единичную окружность.

5 + 1 5 - 8.4. cos 36 = = ; cos 72 = = -.

4 4 21 - 21 2 14 - 8.6. а) x = arccos ; б) x = arccos ; в) x = arccos.

24 3 218 Ответы, указания, решения 8.7. Рассмотрите на координатной плоскости треугольник OAB, вписанный в прямоугольник OKLM, где O(0, 0), A(1, 2), B(3, 1), K(0, 2), L(3, 2), M(3, 0).

8.8. Рассмотрите равнобедренный треугольник с углом 30 при вершине.

8.9. Сделайте замены x = p - a, y = p - b, z = p - c. Ответ: 2.

8.10. Раскройте скобки в формуле Герона. Ответ: 3 · 54 S 3 · 84.

2k 8.11. xk = (k = 1, 2, 3); x3 + x2 - 2x - 1 = 0.

8.12. Система приобретает геометрический смысл, если положить x = cos, y = cos, z = cos.

8.13. Равенство x2 + xy + y2 = a2 можно трактовать как теорему косинусов в треугольнике со сторонами x, y, a и углом 120. Ответ:

p(p - a)(p - b)(p - c) xy + yz + xz =, a + b + c где p =.

8.14. а) Часть прямой, проходящей через точки z1 и z2, расположенная вне отрезка [z1; z2]. б) Внутренность отрезка, соединяющего точки z1 и z2.

8.21. W(z1, z2, z3, z4) = W(z1, z2, z3, z4).

1 R2 R8.26. а) w = i + ; б) w = Rei + ; в) w = z0 +.

z + i z - zz - Re-i 8.28. A = Aa + Bac - Bac + Ccc, B = Aab + Ba - Bcb + Cc, C = Abb + Bb - Bbd + Cd.

8.38. а) 3/16; б) 1/16.

2 4 8.39. Найдите отдельно произведения cos cos cos cos и 15 15 15 3 cos cos.

15 8.40. Сделайте умножение на sin a.

2n + 1 n 1 n 8.41. а) ; б) ; в) ; г).

2n 2n-1 2n 2n-x 8.43. Домножьте уравнение на 32 sin. Ответ: x1 = 2n, n = 31l;

x2 = (2n + 1), n = 33l + 16 (n, l Z).

8.45. Из данных соотношений находим:

sin 2 = sin 2, 3 sin2 = 1 - 2 sin2 = cos 2.

Ответы, указания, решения Отсюда cos( + 2) = cos · 3 sin2 - sin · sin 2 = 0.

8.46. а) Воспользуйтесь равенствами sin 15 = sin(45 - 30) и cos 15 = cos(45 - 30); б) Воспользуйтесь результатом задачи 8.4.

8.47. Воспользуйтесь равенствами sin 6 = sin(60 - 54) и sin 54 = = cos 36.

8.48. а) На первом шаге нужно применить формулы для суммы и разности синусов к величинам sin + sin и sin - sin( + + ).

б) Решается аналогично предыдущему пункту.

8.49. Сумма tg + tg + tg приводится к виду sin( + + ) + sin sin sin tg + tg + tg =.

cos cos cos 8.50. + + = k.

8.51. Воспользуйтесь равенством а) из задачи 8.48.

8.55. n = ±1, ±3, ±5, ±15.

8.58. Наибольшее значение — 1, наименьшее — 1/4.

8.59. Воспользуйтесь равенством 1 = (sin2 x + cos2 x)2 = sin4 x + cos4 x + 2 sin2 x cos2 x.

8.63. x = 2(cos + cos + cos ) + 8 cos cos cos ;

y = -2 - 4(cos cos + cos cos + cos cos );

z = 2(cos + cos + cos ).

8.64. а) ; б) -.

14 8.65. а) Пусть y = arcsin x (-/2 x /2). Тогда sin y = x, cos y = = 1 - sin2 y = 1 - x2, причем перед корнем выбирается знак плюс, так как cos y 0. Остальные формулы доказываются аналогично.

8.66. На основании определения имеем:

- < arctg x <, 0 arcctg x.

2 Отсюда - < arctg x + arcctg x <.

2 Остается проверить равенство sin(arctg x + arcctg x) = 0.

Для доказательства второго равенства достаточно заметить, что - < arcsin x + arccos x < 2 220 Ответы, указания, решения и найти sin(arcsin x + arccos x).

8.68. /2 при x > 0 и -/2 при x < 0.

8.69. Прежде всего нетрудно показать, что величины arctg x+arctg y x + y и arctg отличаются друг от друга на, где — целое число.

1 - xy Действительно, x + y x + y tg(arctg x + arctg y) = = tg.

1 - xy 1 - xy Так как - < arctg x + arctg y <, то может принимать лишь три значения 0 и ±1. Для нахождения рассмотрите косинусы левой и правой частей исходного равенства.

8.70, 8.71 Воспользуйтесь формулой из задачи 8.69.

8.74. По формуле котангенса суммы F2nF2n+2 + ctg(arcctg F2n - arcctg F2n+2) = = F2n+1.

F2n+2 - F2n Тем самым равенство (8.2) доказано. Суммируя его по n от 1 до, находим arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 +... + arcctg F2n+1 +... = arcctg 1 = /4.

2x 8.75. Пусть = 2 arctg x + arcsin. Докажите, что угол лежит 1 + xв пределах 0 < 3/2 и sin = 0.

8.76. 0 x 4.

8.80. arcsin cos arcsin x + arccos sin arccos x = /2.

8.82. По формуле из задачии 8.69 2 arctg 1/5 = arctg 5/12. Ответ: 0.

8.83. Для доказательства соотношения a = b cos + c cos воспользуйтесь равенством sin = sin cos + cos sin.

Другие соотношения проверяются аналогично.

8.84. Из первых двух равенств системы (8.4) находим:

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.