WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 30 |

5.62. а) Лампочка может находится в трех состояниях — включенном, выключенном и в нагретом. б) 9.

1 2 m 5.63. б) Если n = 2k + 2k +... + 2k (k1 > k2 >... > km 0), то наименьшее число операций равно k1 + m.

5.65. b(15) = 6, но l(15) = 5:

x1 = x2, x2 = x1 · x = x3, x3 = x1 · x2 = x5, x4 = x2 = x10, x5 = x3 · x4 = x15.

Аналогично l(63) = 8 < 10 = b(63).

204 Ответы, указания, решения 5.66. Для нахождения числа нужно сложить первые числа с выбранных карточек. Например, если загадано число 23, то потребуется сложить числа 1, 2, 4 и 16.

5.67. Загаданная карта всегда оказывается в центре колоды.

5.71. Если A четно, то представление числа A получается из представления меньшего числа m = A/2 «сдвигом» на один разряд. Если же A нечетно, то a0 = ±1 и число a1 должно равняться нулю; поэтому число A - a0 делится на 4 и представление числа A получается из представления меньшего числа m = (A - a0)/4 «сдвигом» на два разряда и добавлением цифры a0. В обоих случаях единственность представления числа A следует из единственности представления числа m.

5.72. Числа от 0 до 1 удобно рассматривать как бесконечные троичные дроби из цифр 0, 1 и 2. Числа, о которых говорится в пункте в) — это те числа, в троичной записи которых нет ни одной 1.

5.73. а) 1; б) нет; д) n-й элемент данной последовательности совпадает по модулю 2 с (n) (суммой двоичных цифр числа n).

5.74. Занумеруем диски в головоломке «Ханойская башня» числами от 0 до 7. При увеличении на 1 числа n, записанного в двоичной системе счисления, могут измениться цифры сразу в нескольких разрядах. Если среди всех изменившихся разрядов наибольший номер имеет k-й разряд, то это означает, что на n-м шаге решения головоломки «Ханойская башня» следует перемещать диск с номером k.

5.75. а) Если по кругу стоят числа 1, 2,..., 2n, то вначале вычеркиваются все четные числа. Оставшиеся числа 1, 3, 5,..., 2n - 1 снова подвергаются процедуре вычеркивания. k-е число в этом списке имеет вид 2k - 1. После того, как из этого списка будут вычеркнуты все числа кроме одного, останется число с номером J(n), которое равно 2J(n) - 1.

5.76. г) Пусть n = (ns... n1n0)2, где ns = 1. Тогда у одного из чисел m1, m2,..., ml в s-м разряде также стоит единица. Если mj — одно из таких чисел, то mj n < mj.

5.77. а) Если n равнялось 0 и одно из чисел m1, m2,..., ml изменилось, то изменится и число n. Оно станет равно количеству взятых камней, отличному от нуля.

б) Согласно задаче 5.76 г), для некоторого j (1 j l) выполняется неравенство mjn < mj. Поэтому из j-й кучки можно взять mj-(mjn) камней, что приведет к обнулению ним-суммы.

в) Игрок находится в проигрышной позиции, если перед его ходом n = 0. Все остальные позиции — выигрышные. Для того, чтобы выиграть в «Ним», нужно оставлять после своего хода проигрышную позицию.

г) Нужно сделать переход к позиции 1, 4, 5.

Ответы, указания, решения 5.78. Можно, например положить f(A) = 3, f(B) = 5, f(A) = 6. Теперь остается заметить, что при слиянии амеб общая ним-сумма не меняется, а в начальный момент времени она равна 5 = f(B).

5.80. а) Игра «Шоколадка» сводится к игре «Ним» с 4 кучками камней. Например, позиция, изображенная на рисунке, соответствует такому набору камней: 2, 5, 1, 4 (2 ряда слева от отмеченной дольки, 5 — справа, 1 — снизу и 4 — сверху.

5.81. б) Пусть в кучках m1, m2,..., ml камней, и r1, r2,..., rl — остатки от деления чисел m1, m2,..., ml на 6. Положим n = r1 r2... rl — ним-сумма по модулю 6. Если в начальной позиции n = 0, то выигрывает второй игрок; во всех остальных случаях — первый. Исключение составляет случай m1 = m2 =... = ml-1 = 1, ml — любое. (13.6) (Рассмотрите этот случай отдельно.) Стратегия выигрыша первого игрока: если перед ходом первого игрока набор камней удовлетворяет равенствам 13.6, причем l нечетно, то ход надо делать так, чтобы новая ним-сумма n равнялась 1; если l четно и rl = 1, то забирается любой из камней, лежащих отдельно. Во всех остальных случаях ход надо делать так, чтобы n = 0. Если это невозможно, то первый игрок проигрывает.

5.83. Сначала следует сравнить 1-ю и 2-ю монеты, затем 1-ю и 4-ю.

5.84. Во-первых, специальным образом пронумеруем монеты: присвоим им трехзначные номера 001, 010, 011, 012, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 220.

Для первого взвешивания положим на одну чашу весов те монеты, у которых старший разряд равен 0 (то есть 001, 010, 011, 012), а на другую - те монеты, у которых он равен 2 (200, 201, 202, 220). Если перетянет чашка с «0», запишем на бумажке цифру 0. Если перетянет «2»— запишем 2. Если чаши весов останутся в равновесии — запишем 1.

Для второго взвешивания на одну чашу выложим монеты 001, 200, 201, 202 (то есть все те монеты, у которых второй разряд равен 0), а на другую — 120, 121, 122, 220 (то есть те монеты, у которых средний разряд равен 2). Запишем результат взвешивания таким же образом, что и при первом взвешивании.

Третьим взвешиванием сравниваем 010, 020, 200, 220 с 012, 112, 122, 202 (соответственно, нули и двойки в младшем разряде) и записываем третью цифру.

Мы получили три цифры — иначе говоря, трехзначное число. Далее определяем фальшивую монету по следующему рецепту:

206 Ответы, указания, решения Если это число совпадает с номером какой-то монеты, то эта монета фальшивая и тяжелее остальных. Если нет, то заменим в этом числе все нули на двойки, а все двойки на нули. После этого оно должно совпасть с номером какой-то монеты. Эта монета фальшивая и легче остальных.

5.85. Нужно присвоить 13-й монете номер 111 и не использовать ее при взвешиваниях. К остальным монетам следует применить алгоритм из задачи 5.84.

Глава 2 p p 6.1. а) - ; б), г) - ; в) -p(p2 - 3q).

q q q 6.2. b2 - abp + bp2 + a2q - 2bq - apq + q2.

p2 - 2q 6.3. а) y2 + p(p2 - 3p)y + q3 = 0; б) y2 - y + = 0;

q2 qp(p + 1) (q + 1)2 2q - pв) y2 + y + = 0; г) y2 + y + 1 = 0.

q q q 6.5. Наибольшее значение суммы квадратов корней — 18. Это значение достигается при a = -3.

6.7. Воспользуйтесь теоремой Виета. Ответ: -5/2, 3/2.

6.8. (p, q) = (0, 0), (1, -2), (-1/2, -1/2).

6.9. Воспользуйтесь теоремой Виета. Ответ: p = 2/3, q = -8/3.

6.10. а) a ( -, - 5 - 2 6) ( - 5 + 2 6, 0) (0, + ) б) a = 1, a = 3.

6.11. Все такие точки образуют прямую y = -1/8.

6.12. Все окружности проходят через точку D(0; 1).

6.13. b = 1/10.

6.14. x = 1.

6.15. Рассмотрите разность данных многочленов. Ответ: a = 2.

6.17. Все точки, удовлетворяющие условию задачи лежат под параболой y = 4x - 2x2. Ответ: y < 4x - 2x2.

6.18. y x2 - x 6.20. а) Найдите дискриминант этого уравнения и воспользуйтесь неравенством из задачи 10.7. б) Воспользуйтесь неравенством из задачи 10.12.

6.21. Квадратные трехчлены, не имеющие корней, соответствуют внутренности дискриминантной параболы.

6.28. Условие задачи равносильно тому, что указанная функция в точке x = 1 принимает отрицательное значение. Отсюда a (-2 - 11;

-2 + 11).

1 + 5 1 + 6.30. -,.

2 Ответы, указания, решения 6.31. a (16/17; 2).

6.33. a [-1; 1] {3}.

6.34. При m = 0.

6.35. r (-; 5/2) (4; 9/2).

6.37. В задаче нудно найти те x, для которых функция f(a) = -a2 + a(4 - 2x2 - x3) + (2x3 + x2 - 6x + 5) хотябы при одном a [-1; 2] принимает отрицательное значение. Решим сначала обратную задачу, т. е. найдём те x, для которых f(a) 0 при a [-1; 2] () так как график функций f(a) — это парабола, ветви которой направлены вниз, тоусловие () равносильно системе f(-1) 0, f(2) 0.

Последняя система после преобразований принимает вид x(x - 1)(x + 2) 0, (x - 1)(x + 3) 0.

Методом интервлов находим, что x [-2, 0] {1}. Значит, решением исходной задчи будет множество (-, -2) (0, 1) (1, +).

Ответ: : x (-, -2) (0, 1) (1, +).

6.38. Пусть после деления P(x) на x - c получился остаток r:

P(x) = (x - c)T(x) + r.

Подставляя сюда x = c, приходим к равенству r = P(c).

6.40. Нет.

6.42. Так как Q(x) = (x - x1)(-x - x1)... (x - xn)(-x - xn) = (x2 - x)... (x2 - x), 1 n то Q(x) содержит только четные степени x и Q( x) — многочлен степени n. Кроме этого Q( x2) = P(xk)P(-xk) = 0, поэтому все числа k x2, x2,..., x2 являются корнями Q( x).

1 2 n 6.43. а) x4 - 4x3 + 6x2 - 3x + 1 = (x2 - x + 1)(x2 - 3x + 2) + 2x - 1;

б) 2x3 + 2x2 + x + 6 = (x2 + 2x + 1)(2x - 2) + 3x + 8;

в) x4 + 1 = (x5 + 1) · 0 + x4 + 1.

6.44. Согласно теореме Безу, остаток равен P(-2) = 3.

6.45. Согласно теореме Безу, остаток от деления P(x) на x + 1 равен P(-1) = a + 10. Он будет равен 0 при a = -10.

208 Ответы, указания, решения 6.46. а) Остаток равен P(1) = 5.

б) Остаток будет многочленом не выше первой степени. Подставляя в равенство P(x) = (x2 - 1)T(x) + ax + b значения x = 1, x = -1, находим a = 5, b = 0. Ответ: 5x.

6.47. Достаточно проверить, что P(0) = 0, P(-1) = 0, P(-1/2) = 0.

6.48. Запишем остаток R(x) от деления P(x) на (x - 1)(x - 2) в виде R(x) = ax + b. По теореме Безу P(1) = 2, P(2) = 1. Отсюда a = -1, b = 3. Ответ: R(x) = 3 - x.

6.49. k = -3.

6.50. Нужно выяснить, при каких n функция x2n - 1 xn - 1 xn + : = x x2 - 1 - 1 x + будет многочленом относительно x. По теореме Безу, для этого необходимо и достаточно, чтобы число -1 было корнем многочлена xn + 1.

Отсюда n — нечетное число.

6.51. Докажите утверждение индукцией по n.

6.52. а) Сумма всех коэффициентов равна P(1) = 1.

б) Сумма коэффициентов при нечетных степенях находится по формуле P(1) - P(-1) - =.

2 Аналогично, сумма коэффициентов при четных степенях равна P(1) + P(-1) 1 + =.

2 6.53. Чтобы многочлен P(x) делился на x2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) необходимо и достаточно выполнение двух условий P(1) = 0 и P(2) = 0.

Первое условие дает (a + 1)(b + 1) = 0. Отсюда либо a = -1, либо b = -1. Если a = -1, то из второго условия b = 31/28. При b = -аналогично находим a = 31/28. Ответ: (-1, 31/28), (31/28, -1).

6.55. Повторяя рассуждения задачи 6.46, находим что R(x) = = [x(1 - (-1)n) + 7 + (-1)n]/2.

6.56. Корни — 1, 2, 3.

6.57. a = - 4.

6.58. x4 + 1 = (x2 - i)(x2 + i) = (x2 - 2x + 1)(x2 + 2x + 1) = = (x2 - 2ix - 1)(x2 + 2ix - 1). Из этих разложений подходит только одно — второе.

Ответы, указания, решения 6.59. Равенство P(1) = 0 равносильно уравнению a3 - 4a + 3 = 0.

-1 ± Ответ: a = 1,.

6.63. Рассмотрите многочлен f(-x).

6.69. Смотрите решение задачи 3.54. Ответ: x(m,n) - 1.

6.70. Положим Pn(x) = P(P(P... (P(x)))).

n Это многочлен с целыми коэффициентами, причем am = Pm(a0) и am = = Pm-k(ak) при m k. Так как Pn(x) = an +x Qn(x), где Qn(x) — также многочлен с целыми коэффициентами, то при m k (am, ak) = (Pm-k(ak), ak) = (am-k + akQn(ak), ak) = (am-k, ak).

Далее остается повторить рассуждения из решения задачи 3.6.71. x = 1.

6.72. p = 3.

(x - 1)(x2 + 1) 6.73. P(x) = -, Q(x) =.

2 6.74. Пусть P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d. Тогда, подставив эти величины в данное равенство, находим (a + c)x3 + (-3a + b + c + d)x2 + (2a - 3b + c + d)x + 2b + d = 21.

Так как это равенство должно быть тождественным, то a + c = 0, - 3a + b + c + d = 0, - 3b + c + d = 0, 2a 2b + d = 21.

Отсюда a = 4, b = 5, c = -4 и d = 11, то есть P(x) = 4x + 5, Q(x) = = -4x + 11.

4 5 4 6.75. P(x) = x +, Q(x) = - x +.

21 21 21 2n + 1 1 6.76. = +.

n(n + 1) n n + 6.78. Найдите коэффициенты частного по схеме Горнера.

6.80. 1 + 4(x + 1) - 3(x + 1)2 - 2(x + 1)3 + (x + 1)4.

6.81. P(x + 3) = 55 + 81x + 45x2 + 11x3 + x4.

6.82. а) (2-2x+x2)(2+2x+x2); б) (-1+2x)(1+x+x2); в) (1+x+x2) (1-x+x3 -x4 +x5 -x7 +x8); г) (a+b+c)(a2 -ab+b2 -ac-bc+c2);

д) (x + y - 1)(1 + x + x2 + y - xy + y2); е) (1 + x - y + xy)(1 - x + y + xy);

210 Ответы, указания, решения ж) 3(a+b)(a+c)(b+c); з) -5(x-y)(x-z)(y-z)(x2-xy+y2-xz-yz+z2);

и) (a4-a3b+a2b2-ab3+b4)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4); к) (1+x)2(1+3x+x2);

л) (a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c); м) (2+x)(6+x)(10+8x+x2).

6.83. x4 + x3 + x2 + x + 12 = (3 - 2x + x2)(4 + 3x + x2).

6.84. В случае, когда p2 - 4q < 0, выражение x2 + q/x2 + p после замены t = x + q/x может быть разложено как разность квадратов.

6.85. 5/3(a2 + b2 + c2 + ab + ac + bc).

6.86. Известно, что (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 3(x + y)(y + z)(x + z).

Докажем, что многочлен (x + y + z)m - xm - ym - zm делится на x + y.

По теореме Безу, достаточно проверить, что он обращается в ноль при y = -x. Действительно, (x - x + z)m - xm - (-x)m - zm = 0. Делимость на x + z и y + z доказывается аналогично.

6.87. Разложите данное выражение на множители.

6.88. Если a + b = 0, то равенство является верным. Значит после приведения к общему знаменателю, числитель будет делиться на a + b.

Аналогично, он делится на a + c и b + c. После разложения числителя на множители, решение становится очевидным.

6.89. Подставьте в левую и в правую части равенства c = -a - b.

6.91. Согласно задаче 6.90, рациональными корнями уравнения x2 - 17 = 0 могут быть только числа ±1 и ±17. Но они не являются корнями. Поэтому уравнение x2 -17 = 0 вообще не имеет рациональных корней.

6.92. Воспользуйтесь тем, что число = cos 20 удовлетворяет уравнению 4x3 - 3x = 1/2, которое не имеет рациональных корней.

6.93. а) x = 1, 3, -2; б) x = -1, 3.

6.94. а) x4 + x3 - 3a2x2 - 2a2x + 2a4 = (2a2 - x2)(a2 - x - x2);

б) x3 - 3x - a3 - a-3 = (a + 1/a - x)(x2 + x(a + 1/a) + a2 + 1/a2 - 1).

6.97. а) x2 - x - 2; б) x2 - 1.

6.98. Покажите, что (P(x), P (x)) = 1.

6.99. A = n, B = -n - 1.

6.106. Можно, например, воспользоваться задачей 3.142.

6.107. а) 12 - 3; б) 1(2 - 32); в) 1(2 - 32); г) 4123 + 1 + 22 - 23 - 2 - 233; д) 2 - 22; е) 4 + 413 + 22 - 422.

1 2 2 3 1 1 1 2 6.108. 2.

6.109. Рассмотрите выражение (a - x)(a - y)(a - z) = a3 - a21 + + a2 - 3.

Ответы, указания, решения 6.110. (0, 0, a), (0, a, 0), (a, 0, 0).

6.111. a = -9.

6.112. x3 - 5x2 + 6x - 1 = 0.

6.113. y3 - y2 - 2y - 1 = 0.

2 6.114. c = - a3 + ab.

27 6.115. Для того, чтобы из отрезков с длинами x1, x2, x3 можно было составить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы (x1 + x2 - x3)(x1 - x2 + x3)(-x1 + x2 + x3) > 0.

Выражая левую часть через p, q и r, приходим к неравенству p3 -4pq+ + 8r > 0.

6.116. а) Докажите, что пары чисел x, y и u, v являются парами корней одного и того же квадратного уравнения. Из этого будет следовать, что числа x, y совпадают с числами u, v с точностью до перестановки.

6.118. x4 - ax3; x4 - ax3 - x + a; x4 - x3 + x - 1; x4 + x.

6.119. Воспользуйтесь результатом задачи 6.107 е).

6.120. (c + d)(b + c + d) = ad.

6.121. b = 0, a < 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.