WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 30 |

Какое же значение имеет сумма S в действительности Ответы, указания, решения Глава 1.15. Воспользуйтесь тождеством из задачи 1.14.

1.16. an = 2n + 1 (n 0).

1.26. При n = 1 утверждение задачи очевидно. Предположим, что утверждение справедливо для некоторого n 1 и докажем его для n+1. Назовем набор чисел допустимым, если ни одно из них не делится ни на какое другое. Пусть нам удалось среди чисел от 1 до 2n + найти допустимый набор из n + 2 чисел. В этом наборе будут обязательно присутствовать числа 2n + 1 и 2n + 2, так как иначе получается противоречие с индукционным предположением. Другие n чисел из допустимого набора обозначим a1,..., an. Среди них нет числа n + 1, так как n + 1 | 2n + 2. Поэтому, дополняя набор a1,..., an числом n+1, получаем снова допустимый набор. Но он состоит из n+1 числа в пределах от 1 до 2n, что снова противоречит предположению индукции.

Мы доказали даже чуть более сильное утверждение: среди любых n + 1 натуральных чисел, меньших 2n, есть два числа, отношение которых — степень числа 2.

1.27. x = 1, 2,..., n.

1.37. Это неравенство удобно доказывать при помощи «обратной индукции» (см. задачу 1.4), то есть делать переход от n к n - 1. Но предварительно понадобится доказать справедливость этого неравенство для всех n вида n = 2k.

2 1.40. 1 +.

3 n(n + 1) 1.42. Самое короткое решение содержит 28 - 1 перемещений.

1.43. 38 - 1.

1.44. 2 · 37 - 1.

1.45. Если квадрат допускает разбиение на n квадратов, то он допускает разбиение и на n+3 квадрата (достаточно один из квадратов разрезать на четыре). Разобьем все натуральные числа на три арифметические прогрессии n = 3k, n = 3k + 1, n = 3k + 2, и в каждой из них найдем минимальное n, для которого задача имеет решение. В первой Ответы, указания, решения прогрессии минимальное такое n равно 6, во второй — 4, в третьей — 8. (Требуемые разбиения строятся из квадратов 3 3, 2 2 и 5 5.

1.47. а) 2 кольца (11 = 1 + 1 + 3 + 6). б) Из (n + 1)2n - 1 колец.

1.48. Банк может выдать суммы 8, 9 и 10 рублей. Прибавляя к ним нужное количество трехрублевых купюр, можно получить любую большую сумму.

1.50. 1 + n(n + 1)/2.

1.51. n2 - n + 2.

1.53. (n3 + 5n + 6)/6.

1.57. k + mk - m.

1.58. Проведите индукцию по числу граней.

1.59. Пусть не все точки лежат на одной прямой. Проведем прямую через каждую пару точек и рассмотрим всевозможные пары: прямая и не лежащая на ней точка. Противоречие получается, если рассмотреть пару, в которой расстояние от точки до прямой минимально.

1.61. Пусть an число невырожденных треугольников периметра n с целыми длинами сторон. Докажите, что n -, если n — нечетно;

an = an-3 + 0, если n — четно.

Отсюда a100 = 24 + 23 + 21 + 20 +... + 3 + 2 = 208.

Глава 2.1. а) 24. б) 28.

2.2. 9 · 106.

2.3. 103 · 303.

2.4. Школьников в 27/25 раза больше.

2.5. 65 · 84 + 64 · 85.

2.6. 40.

2.7. 9 · 104 · 2.

2.8. 9 · 105 - 56.

2.9. 9 · 109 - 9 · 9!.

2.11. 360.

2.12. 9 · 2.13. 9 · 107 · 5.

2.14. 37.

2.15. 54.

2.16. Найдите число способов поставить фишки на поля одного цвета и на поля разных цветов. Ответ: нет.

174 Ответы, указания, решения 2.18. 2.19. Если всего имеется n точек, то из каждой выходит от 0 до n линий. Но не может быть двух точек таких, что из одной выходит n линий, а из другой — 0.

2.20. Если взять k + 1 карточку с нечетными номерами, то условие задачи будет выполнено. Если взять k + 2 карточки, то рассматривая разности чисел на них, мы получим не менее k + 1 различных чисел от 1 до 2k. Поэтому хотя бы 2 из них совпадут с числами на k - невыбранной карточке.

2.21. Шахматная доска может быть разбита на 16 квадратов 2 2.

Если на доске более 16 королей, то два из них попадут в такой квадрат и будут бить друг друга. Ответ: 16.

2.22. В каждой из 50 пар женщина находиться не может.

2.23. Пусть N(k, l) и N(k, r) — количества левых и правых сапог k-го размера соответственно. По условию задачи N(k, l) + N(k, r) = 200 (k = 41, 42, 43);

N(41, l) + N(42, l) + N(43, l) = 300;

N(41, r) + N(42, r) + N(43, r) = 300.

Не может случиться так, что для каждого размера левых (правых) сапог меньше чем правых (левых). Без ограничения общности будем считать, что N(41, l) N(41, r), N(42, l) N(42, r), N(43, l) N(43, r).

Тогда количество годных пар N(41, l) + N(42, l) + N(43, r) = 300 - N(43, l) + N(43, r) 100.

2.24. См. задачу 2.19.

2.25. Расположим данные числа в порядке возрастания и разобьем их на группы по цифре десятков. Число m таких групп удовлетворяет условиям 6 m 10. Среди m групп найдется группа A6, в которой не менее 6-ти чисел. Аналогично (методом от противного) устанавливается существование групп A5,..., A1. Первое число возьмем из A1. Второе — из A2, так чтобы цифра единиц отличалась от цифры единиц первого числа и т. д.

2.27. 999.

2.28. Докажем по индукции, что если из чисел от 1 до 2n - 2 (n 3) выбрано n + 1 различное число, то из них можно выбрать три таких числа, что сумма двух из них равна третьему. При n = 3 утверждение задачи очевидно. Предположим, что утверждение доказано для n = k Ответы, указания, решения и рассмотрим случай n = k + 1. Если k + 1 из выбранных чисел попали в промежуток от 1 до 2k - 2, то применимо предположение индукции.

Если же это не так, то обязательно должны быть выбраны числа 2k - и 2k. Другие k выбранных чисел находятся на отрезке от 1 до 2k - 2.

Разбивая этот отрезок на пары (1, 2k - 2), (2, 2k - 3),..., (k - 1, k), получаем, что одна из пар состоит из выбранных чисел. Но тогда они дают в сумме 2k - 1. Если число 1002 заменить на 1001, то утверждение перестанет быть верным. Примером может служить набор 1000, 1001,..., 2000.

2.30. Пусть в турнире участвуют n команд. Тогда разыгрывается n(n - 1) очков. Команды могли набрать разное количество очков (0, 1,..., n - 1) лишь после окончания турнира. Поэтому предпоследняя команда набрала 1 очко и обязана была проиграть победителю.

2.31. Пусть доска раскрашена в два цвета. Рассмотрим произвольный столбец. Один из цветов встречается в нем бесконечное число раз.

Зафиксируем этот цвет. Вычеркнем из таблицы все строчки, которые в выбранном столбце не содержат зафиксированный цвет. Покажите, что в оставшейся таблице можно найти четыре нужные клетки. Для решения задачи с произвольным числом цветов, примените индукцию.

2.33. Рассмотрим произвольную из 6-ти данных точек. По крайней мере 3 отрезка, выходящие из этой точки, окрашены в один цвет. Можно считать эти отрезки синими. Если два из их концов соединены отрезком синего цвета, то нужный треугольник найден. Если это не так, то концы отрезков образуют треугольник красного цвета.

2.34. Рассмотрим n последовательностей {1, 2, 4, 8,..., 2k,... }, {3, 6, 12, 24,..., 3 · 2k,... },............

{2n - 1, (2n - 1)2, (2n - 1)4,..., (2n - 1) · 2k,... }.

Каждая из них имеет ровно один элемент на отрезке [n + 1; 2n].

Значит, из (n + 1)-го выбранного числа хотя бы два окажутся в одной и той же последовательности.

2.36. 17!.

2.38. 8!.

2.39. 16!.

2.40. 16!/2.

2.41. 28 · 6! · 1111111.

2.42. а) 28!; б) 28! - 27 · 2 · 26!.

2.43. C4.

176 Ответы, указания, решения 2.44. C4, C3.

28 2.45. 2 · C7 + 1 · C6.

10 2.46. C2.

n 2.47. C2.

n 2.48. C2 · C2.

n m 2.49. По условию задачи, любые 5 человек сейф открыть не могут.

Значит у них нет ключа от некоторого замка. При этом любой другой член комиссии должен этот ключ иметь. Поэтому нужно поставить Cзамков. 4 ключа от каждого замка отдаются некоторой четверке членов комиссии, причем разные ключи раздаются разным четверкам. При этом, если соберутся 6 человек, то среди них будет по представителю из каждой четверки и они смогут открыть все замки.

В общем случае понадобится Cm-1 замков и n - m + 1 ключ к n каждому из них.

2.50. C5 · C5.

7 2.54. а) 26; б) 51.

2.55. Рассмотрите n = 2a - 1.

2.56. б) C2 - k.

k 2.57. n.

2.58. а) 5!; б) 6!/2; в) 8!/3!; г) 11!/(2! · 3!); д) 11!/(4! · 2! · 2!);

е) 13!/(2!)4.

2.59. Каждому маршруту можно поставить в соответствие слово, состоящее из m букв «x» и n букв «y» по следующему правилу: если делается шаг параллельно оси Ox, то пишем «x», если вдоль оси Oy, то пишем «y». Таких слов всего (m + n)! = Cm = Cn.

m+n m+n m! n! 2.60. Поставьте в соответствие каждому маршруту кузнечика слово, в котором по 9 раз встречаются буквы x, y и z. Ответ: 27!/(9!)3.

(m + 1)(m + 2) 2.61..

1 1 24! 2.62. а) C6. б) ·.

2 4! (6!)2.63. Выбор множеств A и B равносилен приписыванию каждому элементу множества C одной из букв a, b или c. В обоих случаях ответ 3n.

32! 2.65..

10! · 10! · 10! · 2! · 2.66. Каждому такому числу однозначно соответствует выбор 6-ти цифр из набора 9876543210. Ответ: C6.

Ответы, указания, решения 2.67. Из (m+1)-й позиции (m-1 место между белыми шарами и два места по краям) нужно выбрать n позиций, в которые будут положены черные шары. Ответ: Cn.

m+2.68. C5 ; Cn-1.

19 m-2.69. C5.

2.70. а) C2 ; б) C2.

999 2.71. C5.

2.72. 113 = C0103 + C1102 + C2101 + C3100, 114 = 14641.

3 3 3 2.73. 27.

2.74. В этой задаче возможны различные ответы. Можно, например, расположить сверху перевернутый треугольник Лейбница (смотрите задачу 2.88). Можно также доопределить биномиальные коэффициенты Ck при отрицательных n при помощи равенства а) из задаn чи 11.69.

2.75. При n = 2k - 1.

2.76. а) 35; б) 0; в) 2n.

2.77. а) Левая часть: число способов выбрать m элементов из r, а потом из выбранных m выбрать еще k. Правая часть: сразу выбираем k элементов из r, а из оставшихся выбираем еще m - k.

2.79. 36 шаров.

2.80. x = 2, y = 3, n = 5.

2.81. Примените «жадный» алгоритм. Сначала из n нужно вычесть наибольшее число вида C3 так, чтобы остаток был неотрицательным.

z Из него нужно вычесть наибольшее число вида C2. То что останется y всегда можно записать в виде C1.

x 2.82. Общее число способов выбрать компанию из 3 человек равно C3 = 120. Каждая ссора разрушает не более 8 таких компаний, поэтому число разрушенных компаний не больше 8 · 14 = 112. Значит осталось по крайней мере 8 дружных компаний.

2.83. m = 3, n = 2.

2.84. C6 4( 3)64.

2.86. 2 · 5! · 5!.

2.87. Каждая точка пересечения диагоналей однозначно определяет четверку вершин, через которые проходят эти диагонали. Наоборот, каждой четверке вершин соответствует ровно одна точка пересечения диагоналей. Поэтому число точек пересечения диагоналей Tn вычисляется по формуле Tn = C4. Для нахождения Kn — числа частей, на n которые n-угольник разбивается диагоналями, нужно проверить равенство Km+1 - Km = Tm+1 - Tm + m - 1.

178 Ответы, указания, решения Суммируя его по m в пределах от 2 до n, находим, что n(n - 1) Kn+1 = Tn+1 +.

Отсюда n(n - 1)(n2 - n + 10) Kn+1 = C4 + C2 =.

n+1 n 2.88. Знаменатели чисел, расположенных в рядах гармонического треугольника, пропорциональны элементам треугольника Паскаля, причем коэффициентами пропорциональности служат граничные члены. Там, где в треугольнике Паскаля стоит число Ck, в треугольнике n Лейбница находится. Рекуррентная формула (n + 1)Ck n 1 1 + = (n + 1)Ck-1 (n + 1)Ck n · Ck-n n n-проверяется непосредственным вычислением.

2.90. Для нахождения суммы достаточно сложить следующие равенства, которые следуют из рекуррентной формулы для треугольника Лейбница (см. решение задачи 2.88) 1 1 1 1 1 1 1 1 - =, - =, - =,...

6 12 12 12 20 30 20 30 Общая формула аналогична равенству из задачи 2.77 д).

2.91. в).

(r - 1)! · (r - 1) 2.92. C4 /C4.

10 2.93. 5/90 = 1/18.

2.94. а) 1/103; б) 1/102.

2.96. Да, может.

2.97. a1 + a2 +... + ak.

2.100. 20.

2.101. Пусть Na — количество треугольников, у которых одна из сторон параллельна стороне BC исходного треугольника. Аналогично определим числа Nb, Nc, Na,b, Nb,c, Na,c и Na,b,c. Через N обозначим общее число треугольников. Тогда N = 63, Na = Nb = Nc = 62, Na,b = = Nb,c = Na,c = 6, Na,b,c = 1. Искомое число находится по формуле включений и исключений:

63 - 3 · 62 + 3 · 6 - 1 = 53.

2.102. а) 13200; б) 8800; в) 8000.

Ответы, указания, решения 2.103. 1600.

2.104. 998 910.

2.107. Пусть S — площадь всей комнаты, Si — площадь i-го ковра (i = 1, 2, 3), Si,j — площадь, покрытая i-м и j-м коврами одновременно (1 i < j 3), и S1,2,3 — площадь, покрытая всеми тремя коврами. По формуле включений и исключений S - (S1 + S2 + S3) + (S1,2 + S1,3 + S2,3) - S1,2,3 0.

Отсюда S1,2 + S1,3 + S2,3 S1 + S2 + S3 - S = 3.

Поэтому хотя бы одна из площадей S1,2, S1,3 или S2,3 не меньше 1 м2.

2.108. Решение этой задачи повторяет рассуждения из задачи 2.107.

2.109. б) Формула включений и исключений дает:

S - Si + Si,j - Si,j,k + Si,j,k,l - S1,2,3,4,5 0. (13.1) Запишем отдельно равенства, которые получаются если формулу включений и исключений применить отдельно к каждому ковру. Например, для первого имеем S1 - S1,i + S1,i,j - S1,i,j,k + S1,2,3,4,5 0.

Складывая пять подобных равенств, получаем Si - 2 Si,j + 3 Si,j,k - 4 Si,j,k,l + 5S1,2,3,4,5 0. (13.2) Найдем теперь такую линейную комбинацию равенств (13.1) и (13.2), в которой отсутствует сумма Si,j,k. Очевидно, что для этого к неравенству (13.2) нужно прибавить утроенное неравенство (13.1):

3S - 2 Si + Si,j - Si,j,k,l + 5S1,2,3,4,5 0.

Отсюда Si,j 2 Si - 3S = 5 - 3 = 2.

Значит для некоторых i и j выполняется неравенство Si,j 1/5.

в) Найдите линейную комбинацию равенств (13.1) и (13.2), в которой отсутствует сумма Si,j.

2.110.

12 13 14 15 24 25 34 35 123 124 125 134 145 234 235 245 180 Ответы, указания, решения цифры на отдельных частях показывают какими из фигур покрыты соответствующие участки. Например, цифры 1 и 2 в первой клетке означают, что она покрыта первой и второй фигурами. Эта схема показывает, что оценки 1/5 и 1/20 — точные.

2.111. Постройте взаимно однозначное соответствие между такими последовательностями и расстановками скобок в произведении x0 · x1 ·... · xn по одному из правил "(" +1; " · " -1 или " · " +1; ")" -1.

2.112. Чтобы построить взаимно однозначное соответствие между триангуляциями многоугольника и расстановками скобок в произведении x0 · x1 ·... · xn, нужно расставить на сторонах многоугольника переменные x0, x1,..., xn (оставшейся стороне приписывается все произведение x0 · x1 ·... · xn).

2.113. Придумайте соответствие между всеми такими маршрутами ладьи и последовательностями чисел из задачи 2.111.

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.