WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 30 |

n 11.2. Пусть даны последовательности чисел {an} и {bn}, связанные соотношением bn = an, (n = 1, 2,... ). Как связаны частичные суммы Sn последовательности {an} Sn = a1 + a2 +... + an с последовательностью {bn} 11.3. Найдите последовательность {an} такую, что an = n2. Используя результат предыдущей задачи, получите формулу для суммы 12 + 22 + 32 +... + n2.

11.4. Выведите формулу для суммы 13 + 23 + 33 +... + n3.

11.5. Докажите тождество n n 1 F2 -= 3 - (n 1).

n F2 Fk k=) Оператор — это отображение, действующее на множестве функций, последовательностей или других отображений.

152 11. Последовательности и ряды Определение. Для функции f(x) выражение f(x + 1) - f(x) будем обозначать f(x) и называть конечной разностью первого порядка. Конечные разности более высокого порядка определяются индуктивно:

nf(x) = (n-1f(x)) (n > 1) (считается, что 0f(x) = f(x)).

11.6. Докажите, что если Q(x) — многочлен степени m + 1, то P(x) = Q(x) — многочлен степени m.

11.7. Докажите, что для любого многочлена P(n) степени m существует единственный многочлен Q(n) степени m + 1 такой, что выполнены два условия: Q(n) = P(n) и Q(0) = 0.

11.8. Докажите формулу n nf(x) = Ck (-1)n-kf(x + k).

n k=11.9. Докажите равенство n f(x + n) = Ck kf(x).

n k=11.10. Пусть f(x) — многочлен степени m. Докажите, что если m < n, то nf(x) = 0. Чему равна величина mf(x) = 0 11.11. Вычислите сумму n n k Ck (-1)k 1 -.

n n k=11.12. Докажите, что для всех m в промежутке 1 m < n выполняется равенство:

n (-1)kkmCk = 0.

n k=(См. также 6.105.) 11.13*. Пусть числа y0, y1,..., yn таковы, что для любого многочлена f(x) степени m < n справедливо равенство:

n f(k)yk = 0. (11.1) k=Докажите, что yk = (-1)kCk, где — некоторое фиксированное число.

n 1. Конечные разности 11.14. Докажите следующие свойства оператора конечной разности, подобные свойствам оператора дифференцирования:

1 bn an bnan - anbn а) = - ; б) =.

bn bnbn+1 bn bnbn+11.15. Найдите представление для (an·bn) через an и bn. Сравните полученную формулу с формулой для производной произведения двух функций.

11.15. Разностный аналог формулы Лейбница. Для n-ой производной произведения двух функций существует формула Лейбница n (n) f(x)g(x) = Ck f(k)(x)g(n-k)(x).

n k=Докажите её разностный аналог n n f(x)g(x) = Ck kf(x)(n-k)g(x). () n k=11.16. Экспонентой y = ex называется такая функция, для которой выполнены условия y (x) = y(x) и y(0) = 1. Какая последовательность {an} будет обладать аналогичными свойствами, если производную заменить на разностный оператор 11.17. Преобразование Абеля. Для подсчета интегралов используется формула интегрирования по частям. Докажите следующие две формулы, которые являются дискретным аналогом интегрирования по частям и называются преобразованием Абеля:

n-1 n-1 n-1 x f(x)g(x) = f(n) g(x) - f(x) g(z), x=0 x=0 x=0 z=n-1 n- f(x)g(x) = f(n)g(n) - f(0)g(0) - g(x + 1)f(x).

x=0 x=11.18. Найдите последовательность {an} такую, что an = n2n.

(Вспомните как вычисляют xex dx.) 11.19. Найдите:

154 11. Последовательности и ряды n n 1 4k + а) ; д) ;

k(k + 1) k(k + 1)(4k2 - 1) k=1 k=n n 1 k - б) ; е) ;

k! k2 - k=2 k=n n в) ; ж) k! k.

k(k + 1)(k + 2) k=1 k=n (k - 1) 2k г) ;

k(k + 1) k=11.20. При помощи преобразования Абеля вычислите следующие суммы:

n n n а) k2qk-1; б) k sin kx; в) k2 cos kx.

k=1 k=1 k=Определение. В дальнейшем под символом Cn будем понимать x многочлен x(x - 1)... (x - n + 1) Cn =, x n! определенный для всех действительных x. При целых x n его значения будут совпадать с обычными биномиальными коэффициентами.

11.21. Интерполяционная формула Ньютона. а) Докажите, что для любого многочлена f(x) степени n существует единственное представление его в виде f(x) = d0C0 + d1C1 +... + dnCn.

x x x Здесь и далее биномиальный коэффициент Ck интерпретируется как x многочлен от переменной x. В частности, нижний индекс у биномиального коэффициента может быть любым действительным числом. (См.

также 6.79.) б) Докажите, что коэффициенты d0, d1,..., dn в этом представлении вычисляются по формуле dk = kf(0) (0 k n).

11.22. Целозначные многочлены. Пусть многочлен f(x) степени n принимает целые значения в точках x = 0, 1,..., n. Докажите, что f(x) = d0C0 + d1C1 +... + dnCn, x x x где d0, d1,..., dn — некоторые целые числа.

11.23. Для многочлена f(x) = x3 - x найдите 2f(x). Объясните, не.

.

применяя соображения делимости, почему f(x). 6 при всех целых x.

11.24. Докажите, что многочлен f(x) степени n принимает целые значения в точках x = 0, 1,..., n, то он принимает целые значения для любого целого x.

2. Рекуррентные последовательности 11.25. а) Пусть q — натуральное число и функция f(x) = cqx + anxn +... + a1x + aпринимает целые значения при x = 0, 1, 2,..., n + 1. Докажите, что при любом целом x 0 число f(x) также будет целым.

б) Пусть выполняются условия пункта а) и f(x) делится на некоторое m 1 при x = 0, 1, 2,..., n + 1. Докажите, что f(x) делится на m при всех целых x 0.

11.26. Докажите, что при всех натуральных n число f(n) = 22n-1 - 9n2 + 21n - 14 делится на 27.

11.27*. Для каких натуральных n в выражении ±12 ± 22 ± 32 ±... ± nможно так расставить знаки + и -, что в результате получится 0 Определение. Пусть функция f(x, y) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию f(x, y) гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть f(x, y) = (f(x + 1, y) + f(x - 1, y) + f(x, y + 1) + f(x, y - 1)).

11.28. Пусть f(x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af(x, y) + bg(x, y) также будет гармонической.

11.29. Пусть f(x, y) — гармоническая функция. Докажите, что функции xf(x, y) = f(x+1, y)-f(x, y) и yf(x, y) = f(x, y+1)-f(x, y) также будут гармоническими.

11.30*. Дискретная теорема Лиувилля. Пусть f(x, y) — ограниченная гармоническая функция, то есть существует положительная константа M такая, что (x, y) Z2 |f(x, y)| M.

Докажите, что функция f(x, y) равна константе.

2. Рекуррентные последовательности Определение. Последовательность чисел a0, a1,..., an,..., которая удовлетворяет с заданными p и q соотношению an+2 = pan+1 + qan (n = 0, 1, 2,... ) (11.2) 156 11. Последовательности и ряды называется линейной рекуррентной (возвратной) последовательностью второго порядка.

Уравнение x2 - px - q = 0 (11.3) называется характеристическим уравнением последовательности {an}.

11.31. Докажите, что если числа a0, a1 фиксированы, то все остальные члены последовательности {an} определяются однозначно.

11.32. Докажите, что геометрическая прогрессия {an} = bxn удовлетворяет соотношению (11.2) тогда и только тогда, когда x0 — корень характеристического уравнения (11.3) последовательности {an}.

11.33. Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательности {an} имеет два различных корня x1 и x2. Докажите, что при фиксированных a0, a1 существует ровно одна пара чисел c1, c2 такая, что an = c1xn + c2xn (n 0).

1 11.34. Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательности {an} имеет корень x0 кратности 2. Докажите, что при фиксированных a0, a1 существует ровно одна пара чисел c1, c2 такая, что an = (c1 + c2n)xn (n 0).

11.35. Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями (n 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an+2 = 5an+1 - 6an;

б) a0 = 1, a1 = 1, an+2 = 3an+1 - 2an;

в) a0 = 1, a1 = 1, an+2 = an+1 + an;

г) a0 = 1, a1 = 2, an+2 = 2an+1 - an;

д) a0 = 0, a1 = 1, an+2 = 2an+1 + an.

11.36. При возведении числа 1 + 2 в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:

(1 + 2)1 = 1 + 2 = 2 + 1, (1 + 2)2 = 3 + 2 2 = 9 + 8, (1 + 2)3 = 7 + 5 2 = 50 + 49, (1 + 2)4 = 17 + 12 2 = 289 + 288.

Для их изучения определим числа an и bn при помощи равенства (1 + 2)n = an + bn 2, (n 0). (См. также 11.59.) 2. Рекуррентные последовательности а) Выразите через an и bn число (1 - 2)n.

б) Докажите равенство a2 - 2b2 = 1.

n n в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности {an} и {bn} г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для последовательностей {an} и {bn}.

д) Найдите связь между числами an, bn и подходящими дробями к числу 2.

11.37. Рассмотрим равенства:

2 + 3 = 4 + 3, (2 + 3)2 = 49 + 48, (2 + 3)3 = 676 + 675, (2 + 3)4 = 9409 + 9408.

Обобщите результат наблюдения и докажите возникшие у вас догадки.

11.38. Докажите, что уравнение (x + y 5)4 + (z + t 5)4 = 2 + не имеет решений в рациональных числах x, y, z, t.

11.39. Найдите все целочисленные решения уравнения a2 -3b2 = 1.

n n 11.40. Докажите, что произвольная последовательность Qn, заданная условиями Q0 =, Q1 =, Qn+2 = Qn+1 + Qn (n 0), может быть выражена через числа Фибоначчи Fn и числа Люка Ln.

Определение. Многочлены Фибоначчи Fn(x) (n 0) задаются при помощи начальных условий F0(x) = 0, F1(x) = 1 и рекуррентного соотношения Fn+1(x) = x Fn(x) + Fn-1(x) (n 1).

Аналогично, многочлены Люка Ln(x) определяются равенствами L0(x) = 2, L1(x) = x, Ln+1(x) = x Ln(x) + Ln-1(x) (n 1).

11.41. Многочлены Фибоначчи и Люка. Вычислите несколько первых многочленов Фибоначчи и Люка. Какие значения эти многочлены принимают при x = 1 Докажите, что многочлены Люка связаны с многочлены Фибоначчи соотношениями (см. также 3.133):

158 11. Последовательности и ряды а) Ln(x) = Fn-1(x) + Fn+1(x) (n 1);

б) Fn(x) (x2 + 4) = Ln-1(x) + Ln+1(x) (n 1);

в) F2n(x) = Ln(x) · Fn(x) (n 0);

г) Ln(x)2 + Ln+1(x)2 = F2n+1(x)(x2 + 4) (n 0);

д) Fn+2(x) + Fn-2(x) = (x2 + 2)Fn(x) (n 2).

11.42. Разложите функции Fn+1(x)/Fn(x) и Ln+1(x)/Ln(x) (n 1) в цепные дроби, (См. также 3.144.) 11.43. Получите формулу для многочленов Фибоначчи и Люка аналогичную формуле Бине. (См. также 3.126 и 11.75.) 11.44. Докажите, что многочлены Фибоначчи и Люка связаны с многочленами Чебышёва равенствами x Fn+1(ix) x Ln(ix) Un =, 2Tn =.

2 in 2 in 11.45. Укажите явный вид коэффициентов в многочленах Fn(x) и Ln(x). Решите задачи 3.129 и 3.130 используя многочлены Фибоначчи.

11.46. Лягушка-путешественница. Лягушка прыгает по вершинам треугольника ABC, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами она может попасть из A в A за n прыжков 11.47. Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника ABCDEF, каждый раз перемещаясь в одну из соседних вершин.

а) Сколькими способами она может попасть из A в C за n прыжков б) Тот же вопрос, но при условии, что ей нельзя прыгать в D в) Лягушка-сапер. Пусть путь лягушки начинается в вершине A, а в вершине D находится мина. Каждую секунду она делает очередной прыжок. Какова вероятность того, что она еще будет прыгать через n секунд Какова средняя продолжительность жизни таких лягушек 11.48. Докажите, что для любого числа p>2 найдется такое число, что n n 2 + 2 +... + 2 + 2 + p = 2 - -2.

n радикалов 11.49. Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на n-м году роста первоначального растения 11.50. Найдите у чисел 2. Рекуррентные последовательности а) (6 + 35)1999; б) (6 + 37)1999; в) (6 + 37)первые 1000 знаков после запятой.

11.51. Докажите, что при всех натуральных n выполняется сравне ние [(1 + 2)n] n (mod 2).

11.52. Докажите, что последовательность an = 1 + 17n2 (n 0) содержит бесконечно много квадратов целых чисел.

11.53. Определим последовательности {xn} и {yn} при помощи условий:

xn = xn-1 + 2yn-1 sin2, yn = yn-1 + 2xn-1 cos2, x0 = 0, y0 = cos.

Найдите выражение для xn и yn через n и.

11.54. Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно 1/5 часть, после чего лег спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось.

Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче Определение. Последовательность чисел a0, a1,..., an,..., которая при заданных b0,..., bk-1 удовлетворяет соотношениям an+k = bk-1an+k-1 +... + b0an (n = 0, 1, 2,... ), (11.4) называется линейной рекуррентной (возвратной) последовательностью k-го порядка.

Уравнение xk - bk-1xk-1 -... - b0 = называется характеристическим уравнением последовательности {an}.

11.55*. Как будет выглядеть формула n-го члена для рекуррентной последовательности k-го порядка, если a) характеристическое уравнение имеет простые корни x1,..., xk;

б) характеристическое уравнение имеет корни x1,..., xm с кратностями 1,..., m соответственно 11.56. Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательности (11.2) имеет комплексные корни x1,2 = a ± ib = re±i. Докажите, что для некоторой пары чисел c1, c2 будет выполняться равенство an = rn(c1 cos n + c2 sin n).

160 11. Последовательности и ряды 11.57. Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями (n 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an+2 = 4an+1 - 5an;

б) a0 = 1, a1 = 2, an+2 = 2an+1 - 2an;

в) a0 = 1, a1 = 2, an+2 + an+1 + an = 0;

г) a0 = 1, a1 = 8, an+2 = 6an+1 + 25an.

11.58. Каким рекуррентным соотношениям вида (11.4) удовлетворяют последовательности a) an = n2; б) an = n3 11.59. Пусть (1 + 2 + 3)n = pn + qn 2 + rn 3 + sn 6 (n 0).

Найдите:

pn pn pn а) lim ; б) lim ; в) lim. (См. также 11.36.) n qn n rn n sn 3. Производящие функции Определение. Выражения вида F(x) = a0 + a1x + a2x2 +... + anxn +... (11.5) называются формальными степенными рядами.

Формальные степенные ряды можно складывать, вычитать, умножать, делить, дифференцировать и устраивать их композицию, не беспокоясь о сходимости.

Определение. Производной формального степенного ряда (11.5) называется ряд F (x) = a1 + 2a2x... + nanxn-1 +...

11.60. Найдите произведения следующих формальных степенных рядов:

а) (1 + x + x2 + x3 +... )(1 - x + x2 - x3 +... );

б) (1 + x + x2 + x3 +... )2;

x2 xn x2 (-x)n в) 1 + x + +... + +... 1 - x + -... + +....

2! n! 2! n! 11.61. Обращение степенного ряда. Докажите, что если a0 = 0, то для ряда F(x) существует ряд F-1(x) = b0 + b1x +... + bnxn +...

такой, что F(x)F-1(x) = 1.

11.62. Вычислите:

а) (1 + x)-1; б) (1 - x)-1; в) (1 - x)-2.

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.