WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 30 |

a2x + (2 - a)y = 4 + a2, |a|x - y = 1, г) з) ax + (2a - 1)y = a5 - 2; x + |a|y = a.

9.95. Может ли система линейных уравнений с действительными коэффициентами иметь в точности два различных решения 9.96. Составьте систему, состоящую из двух линейных уравнений, для которой строки (1, 1, 1, 1) и (1, 2, 2, 1) служат решениями.

9.97. Имеется система уравнений x + y + z = 0, x + y + z = 0, x + y + z = 0.

Два человека вписывают по очереди вместо звездочек числа. Докажите, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.

9.98. Исследуйте системы уравнений:

4. Системы линейных уравнений 2x + 3y = 5, x + ay + a2z = a3, а) x - y = 2, г) x + by + b2z = b3, x + 4y = a; x + cy + c2z = c3;

x + ay = 1, x + y + z = 1, б) 2x + 4y = 2, д) ax + by + cz = d, bx + 4y = 2; a2x + b2y + c2z = d2;

ax + by = a, ax + by + cz = a + b + c, в) (a - 2)x + y = 3, е) bx + cy + az = a + b + c, x + y = 1; cx + ay + bz = a + b + c.

9.99. Решите системы уравнений:

x1 + x2 + x3 = 0, x1 + x2 + x3 + x4 = 2a1, x2 + x3 + x4 = 0, x1 + x2 - x3 - x4 = 2a2,.............

а) в) x1 - x2 + x3 - x4 = 2a3, x99 + x100 + x1 = 0, x1 - x2 - x3 + x4 = 2a4;

x100 + x1 + x2 = 0;

x + y + z = a, x1 + 2x2 + 3x3 +... + nxn = a1, x + y + t = b, nx1 + x2 + 2x3 +... + (n - 1)xn = a2, б) г)........................

x + z + t = c, 2x1 + 3x2 + 4x3 +... + xn = an.

y + z + t = d;

9.100. Имеются 13 гирь. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть на каждую, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют одну и ту же массу, если известно, что: а) масса каждой гири равна целому числу граммов; б) масса каждой гири равна рациональному числу граммов; в) масса каждой гири может быть равна любому действительному (неотрицательному) числу.

9.101. Известно, что a1 - 4a2 + 3a3 0, a2 - 4a3 + 3a4 0,..............

- 4a100 + 3a1 0, a a100 - 4a1 + 3a2 0.

Пусть a1 = 1; чему равны тогда числа a2,..., a100 Глава Неравенства В этой главе все величины, входящие в неравенства (за исключением специально оговоренных случаев), будут считаться положительными.

1. Различные неравенства В задачах 10.1 – 10.37 докажите неравенства.

10.1. x + 1/x 2.

10.2. Неравенство между средним квадратическим и средним арифметическим.

a2 + b2 a + b.

2 10.3. (a + b + c + d)2 4(a2 + b2 + c2 + d2).

10.4. (a + c)(b + d) ab + cd.

a + 3b 10.5. ab3.

a + 2b + 3c + 4d 10.6. ab2c3d4.

10.7. x2 + y2 + z2 xy + yz + xz.

10.8. x2 + y2 + 1 xy + x + y.

10.9. x2 + x2 + x2 + x2 + x2 x1(x2 + x3 + x4 + x5).

1 2 3 4 10.10. x4 + y4 + 8 8xy.

3 a + b + c 10.11..

1/a + 1/b + 1/c 10.12. (ab + bc + ac)2 3abc(a + b + c).

1 4 x x x 10.13. 2 + 2 2 · 2.

10.14. ab + bc + ac 0 при a + b + c = 0.

x + y 10.15. < 1, при |x|, |y| < 1.

1 + xy 1. Различные неравенства 10.16. xy x + y, при условии, что + = 1 (, > 0).

10.17. a2b2 + b2c2 + a2c2 abc(a + b + c).

10.18. (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) 16abc.

10.19. (a + b + c + d + 1)2 4(a2 + b2 + c2 + d2), при a, b, c, d [0; 1].

10.20. x4 + y4 + z2 + 1 2x(xy2 - x + z + 1).

10.21. ( x + y)8 64xy(x + y)2 (x, y 0).

10.22. (a + b)(b + c)(a + c) 8abc.

10.23. (a + b + c)(a2 + b2 + c2) 9abc.

10.24. a2(1 + b4) + b2(1 + a4) (1 + a4)(1 + b4).

10.25. a4 + b4 + c4 abc(a + b + c).

10.26. a3b + b3c + c3a abc(a + b + c).

10.27. 2(a3 + b3 + c3) ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c).

ak a1 +... + an ak 10.28. min max.

1 k n bk b1 +... + bn 1 k n bk x y z 10.29. 1 + 1 + 1 + 8.

y z x a b c 10.30. + + 3.

b c a a b c 10.31. + +.

b + c a + c a + b 1 1 1 10.32. + +.

b + c a + c a + b 2(a + b + c) 10.33. 3(a1b1 + a2b2 + a3b3) (a1 + a2 + a3)(b1 + b2 + b3) при a1 a2 a3, b1 b2 b3.

10.34. Докажите, что если a1 a2... an, b1 b2... bn, то наибольшая из сумм вида a1bk + a2bk +... + anbk 1 2 n (k1, k2,..., kn — перестановка чисел 1, 2,..., n), это сумма a1b1 + a2b2 +... + anbn, а наименьшая — сумма a1bn + a2bn-1 +... + anb1.

144 10. Неравенства 10.35. Неравенство Чебышёва. Докажите, что a1b1 + a2b2 +... + anbn a1 + a2 +... + an b1 + b2 +... + bn ·.

n n n 10.36. Докажите неравенства:

a2 + b2 a2 + c2 b2 + c2 a3 b3 ca + b + c + + + +.

2c 2b 2a bc ac ab 10.37. Неравенство Коробова. Докажите, что при a1 a2... an выполняется неравенство a1 a2 an a2 + a2 +... + a2 +... +.

+ 1 2 n 1 + 0 2 + 1 n + n - 10.38. Докажите неравенство (1+x1)... (1+xn) 2n, где x1... xn = 1.

10.39. Докажите, что для любого натурального n справедливо неравенство 1 1 + +... + > 1.

n + 1 n + 2 3n + 10.40. Докажите, что для любого натурального n сумма 1 1 + +... + n + 1 n + 2 2n лежит в пределах от 1/2 до 3/4.

1 10.41*. Даны рациональные положительные p, q, причем + = 1.

p q Докажите, что для положительных a и b выполняется неравенство ap bq ab +.

p q 10.42. Найдите наименьшую величину выражения x2 + (1 - x2)2 + x2 + (1 - x3)2 +... + x2 + (1 - x1)2.

1 2 2n 10.43. Для натурального n докажите неравенства:

n + n а) n n! ;

n n n n б) < n! < ;

3 n n n n в) < n! < n.

e e 2. Суммы и минимумы 10.44. Докажите, что при x 0; выполняется неравенство 1 0 < - < 1.

sin2 x x(См. также 7.81.) 10.45. Докажите, что для любых натуральных m и n хотя бы одно m n из чисел n, m не больше 3.

...

10.46. Как расставить скобки в выражении 22, чтобы оно было максимальным 10.47. Докажите справедливость оценок:

1 1 1 а) + +... + (n 1);

n + 1 n + 2 2n n 1 б) 1 + +... + n (n 1);

2 2 2n - 1 1 3 99 в) < · ·... · < ;

15 2 4 100 1 3 99 г) · ·... · <.

2 4 100 x y z 10.48. Докажите, что уравнение + + = 1 неразрешимо в y z x натуральных числах.

2. Суммы и минимумы 10.49. Сумма минимумов и минимум суммы. Предположим, что имеется набор функций f1(x),..., fn(x), определенных на отрезке [a; b]. Докажите неравенство:

min f1(x) +... + min fn(x) min (f1(x) +... + fn(x)).

x[a;b] x[a;b] x[a;b] 10.50. Докажите неравенство:

b2 b2 (b1 +... + bn)1 n +... +.

a1 an a1 +... + an 10.51. Выведите из неравенства предыдущей задачи а) неравенство Коши – Буняковского:

(c1d1 +... + cndn)2 (c2 +... + c2 )(d2 +... + d2 );

1 n 1 n б) неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим:

a1 +... + an a2 +... + a1 n ;

n n 146 10. Неравенства в) неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим:

n b1 +... + bn.

1/b1 +... + 1/bn n 10.52. Докажите неравенство:

b b b b1 +... + bn 1+...+bn b1 1 bn n....

a1 +... + an a1 an 10.53. Используя результат предыдущей задачи, докажите неравенства:

a1 +... + an n а) a1... an ;

b n b1 +... + bn 1+...+bn n б) bb... bb ;

1 n n n в) cb... cb c1b1 +... + cnbn, где b1 +... + bn = 1.

1 n 10.54. Спортпрогноз. Предположим, что ожидается баскетбольный матч между двумя командами A и B, в котором возможно только два исхода: одна из команд выигрывает. Две букмекерские конторы принимают ставки с разными коэффициентами k(1), k(1), k(2), k(2). НаA B A B пример, если игрок сделал ставку N в первой конторе на команду A, и эта команда выиграла, то игрок получает сумму k(1) · N. Пусть A 3 k(1) = 2, k(1) =, k(2) =, k(2) = 3.

A B A B 2 Как, имея капитал N, распорядиться им оптимальным образом, то есть как сделать ставки в двух конторах, чтобы получить максимальный гарантированный выигрыш Проанализируйте случай произвольных коэффициентов k(1), k(1), A B k(2), k(2) и найдите связь между максимальным гарантированным выA B игрышем и средним гармоническим наибольших коэффициентов.

3. Выпуклость Определение. Пусть — график дифференцируемой функции f(x), заданной на отрезке [a; b]:

= {(x, y): x [a; b], y = f(x)}.

Функция f(x) называется выпуклой вверх, если для любой точки T кривая лежит ниже касательной к, проведенной в точке T. Аналогично определяется выпуклость вниз.

Достаточным условием выпуклости функции вниз (вверх) является положительность (отрицательность) второй производной.

3. Выпуклость 10.55. Докажите, что если функция f(x) выпукла вверх на отрезке [a; b], то для любых различных точек x1, x2 из [a; b] и любых положительных 1, 2 таких, что 1 + 2 = 1 выполняется неравенство:

f (1x1 + 2x2) > 1f(x1) + 2f(x2).

10.56. Неравенство Иенсена. Докажите, что если функция f(x) выпукла вверх на отрезке [a; b], то для любых различных точек x1, x2,..., xn (n 2) из [a; b] и любых положительных 1, 2,..., n таких, что 1 + 2 +... + n = 1, выполняется неравенство:

f(1x1 +... + nxn) > 1f(x1) +... + nf(xn).

10.57. Докажите, что для любых x1,..., xn [0; ] справедливо неравенство:

x1 +... + xn sin x1 +... + sin xn sin.

n n 10.58. Докажите неравенства:

а) n(x1 +... + xn) ( x1 +... + xn)2;

n3 1 б) +... + ;

(x1 +... + xn)2 x2 x1 n в) nx1... xn xn +... + xn;

1 n г) Неравенство Минковского.

1 (x1 +... + xn) +... + n2.

x1 xn 10.59. Докажите, что если x + y + z = 6, то x2 + y2 + z2 12.

10.60. Неравенство Гёльдера. Пусть p и q — положительные числа, причем 1/p + 1/q = 1. Докажите, что a1b1 + a2b2 +... + anbn (ap + ap +... + ap)1/p(aq + aq +... + aq)1/q.

1 2 n 1 2 n Определение. Для любого действительного = 0 средним степен ным чисел x1,..., xn порядка называется число 1/ x +... + x 1 n S(x) =.

n Частными случаями средних степенных являются: среднее гармоническое ( = -1), среднее арифметическое ( = 1), среднее квадратическое ( = 2). Средним степенным порядка 0 будем считать среднее геомет n рическое S0(x) = x1... xn.

148 10. Неравенства 10.61. Докажите, что выполняются классические неравенства между средними степенными:

S-1(x) S0(x) S1(x) S2(x).

10.62. Докажите, что если < и = 0, то S(x) S(x).

10.63*. Докажите, что если < 0 <, то S(x) S0(x) S(x), причем lim S(x) = lim S(x) = S0(x).

-0 +10.64. Докажите, что если <, то S S, причем равенство возможно только когда x1 = x2 =... = xn.

4. Симметрические неравенства 10.65. Докажите неравенства:

а) x4 + y4 + z4 x2yz + xy2z + xyz2;

б) x3 + y3 + z3 3xyz;

в) x4 + y4 + z4 + t4 4xyzt;

г) x5 + y5 x3y2 + x2y3.

Определение. Пусть имеется несколько неотрицательных переменных — для определенности, три переменные x, y и z. Наборы из такого же количества целых неотрицательных чисел, = (k, j, i), где k j i, будем называть показателями. Через T(x, y, z) = T(k,j,i)(x, y, z) будем обозначать симметрический многочлен T(x, y, z) = xaybzc {a,b,c}={k,j,i} (суммирование ведется по всем наборам {a, b, c} в количестве 3! являющимися перестановками чисел {k, j, i}).

Например неравенства из задачи 10.65 можно переписать в виде:

а) T(4,0,0)(x, y, z) T(2,1,1)(x, y, z);

б) T(3,0,0)(x, y, z) T(1,1,1)(x, y, z);

в) T(4,0,0,0)(x, y, z, t) T(1,1,1,1)(x, y, z, t);

г) T(5,0)(x, y) T(3,2)(x, y).

10.66. Запишите через многочлены вида T неравенства а) x4y + y4x x3y2 + x2y3;

б) x3yz + y3xz + z3xy x2y2z + y2z2x + z2x2y.

4. Симметрические неравенства Определение. Диаграммой Юнга, соответствующей показателям = (1,..., n) называется «лестница» из n ступенек, у которой высота k-й ступеньки равна k, а ширина — единице. Например Число s = 1 + 2 +... + n называется весом диаграммы Юнга.

10.67. Напишите многочлены T и нарисуйте соответствующие им диаграммы Юнга для следующих наборов :

а) (3, 2); б) (3, 2, 1); в) (3, 3, 0, 0); г) (4, 1, 1, 0).

10.68. Найдите число всех диаграмм Юнга с весом s, если а) s = 4; б) s = 5; в) s = 6; г) s = 7.

Определение. Пусть = (1,..., n) и = (1,..., n) — два набора показателей с равной суммой s = 1 +... + n = 1 +... + n.

Будем говорить, что мажорирует ( ), если справедлива система неравенств:

1 1, 1 + 2 1 + 2,.....................

1 +... + n-1 1 +... + n-1, 1 +... + n = 1 +... + n.

В этом случае будем также говорить, что диаграмма Юнга, соответствующая набору, мажорирует диаграмму Юнга, соответствующую набору.

Например, (4, 2, 1) (3, 2, 2), так как 4 3, 4 + 2 3 + 2, 4 + 2 + 1 = = 3 + 2 + 2.

10.69. Докажите, что = (1, 2, 3) = (1, 2, 3) тогда и только тогда, когда можно получить из проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операцию (k - 1, j + 1, i) (k, j, i) - (k - 1, j, i + 1) (k, j - 1, i + 1) Эту операцию можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга.

150 10. Неравенства 10.70. Нарисуйте все лестницы из s = 4 кирпичей в порядке убывания, начиная с самой крутой (4, 0, 0, 0), и заканчивая самой пологой (1, 1, 1, 1).

10.71. а) Проверьте, что диаграммы Юнга (4, 1, 1) и (3, 3, 0) не сравнимы, — ни одна из них не мажорирует другую. Есть ли еще такие несравнимые наборы с суммой 6 б) Найдите все несравнимые пары наборов для s = 7.

10.72. Пусть T(x, y, z) T(x, y, z) для всех неотрицательных x, y, z. Докажите, что.

10.73*. Неравенство Мюрхеда. Пусть = (1,..., n) и = (1,..., n) — два набора показателей с равной суммой. Докажите, что, если, то при всех неотрицательных x1,..., xn выполняется неравенство T(x1,..., xn) T(x1,..., xn).

10.74. Выведите из неравенства Мюрхеда неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Сколько «кирпичей» нужно свалить, чтобы от набора (n, 0,..., 0) из n чисел перейти к набору (1, 1,..., 1) 10.75. Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда:

а) x4y2z + y4x2z + y4z2x + z4y2x + x4z2y + z4x2y 2(x3y2z2 + x2y3z2 + + x2y2z3);

б) x5 + y5 + z5 x2y2z + x2yz2 + xy2z2;

в) x3 + y3 + z3 + t3 xyz + xyt + xzt + yxt.

10.76. Докажите неравенства из задачи 10.36 при помощи неравенства Мюрхеда. Как будут выглядеть диаграммы Юнга для соответствующих функций Глава Последовательности и ряды 1. Конечные разности Определение. Пусть задана последовательность чисел {bn} = b1, b2,..., bn,...

Будем обозначать {bn} последовательность, состоящую из разностей соседних членов последовательности {bn}:

bn = bn+1 - bn (n = 1, 2,... ).

(Считается, что b0 = 0.) называется разностным оператором) или оператором конечной разности.

11.1. Найдите а) n2; б) n(n - 1); в) nk; г) Ck.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.