WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 30 |

9.46. Вавилонский алгоритм вычисления 2. Последовательность чисел {xn} задана условиями:

1 x0 = 1, xn+1 = xn + (n 0).

2 xn Докажите, что lim xn = 2. (См. также 9.65.) n 3. Итерации 9.47. К чему будет стремиться последовательность из предыдущей задачи, если в качестве начального условия выбрать x0 = -1 9.48. Итерационная формула Герона. Докажите, что последовательность чисел {xn}, заданная условиями 1 k x0 = 1, xn+1 = xn +, (n 0), 2 xn сходится. Найдите предел этой последовательности.

9.49. Пусть a и k > 0 произвольные числа. Определим последовательность {an} равенствами 1 k a0 = a, an+1 = an + (n 0).

2 an Докажите, что при любом неотрицательном n выполняется равенство n an - k a - k =.

an + k a + k 9.50. Зафиксируем числа a0 и a1. Построим последовательность {an} в которой an + an-an+1 = (n 1).

Выразите an через a0, a1 и n.

9.51. Старый калькулятор I. а) Предположим, что мы хотим найти x (x > 0) на калькуляторе, который кроме четырех обычных арифметических действий умеет находить x. Рассмотрим следующий алгоритм. Строится последовательность чисел {yn}, в которой y0 — про извольное положительное число, например, y0 = x, а остальные элементы определяются соотношением yn+1 = xyn (n 0).

Докажите, что lim yn = x.

n б) Постройте аналогичный алгоритм для вычисления корня пятой степени.

9.52. Старый калькулятор II. Производная функции ln x при x = 1 равна 1. Отсюда ln(1 + x) ln(1 + x) - ln lim = lim = 1.

x0 x x0 (1 + x) - 132 9. Уравнения и системы Воспользуйтесь этим фактом для приближенного вычисления натурального логарифма числа N. Как и в задаче 9.51, разрешается использовать стандартные арифметические действия и операцию извлечения квадратного корня.

9.53. Метод итераций. Для того, чтобы приближенно решить уравнение, допускающее запись f(x) = x, применяется метод итераций.

Сначала выбирается некоторое число x0, а затем строится последовательность {xn} по правилу xn+1 = f(xn) (n 0). Докажите, что если эта последовательность имеет предел x = lim xn, и функция f(x) непреn рывна, то этот предел является корнем исходного уравнения: f(x) = x.

Определение. Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит итерационная ломаная. Для ее построения на плоскости Oxy рисуется график функции f(x) и проводится биссектриса координатного угла — прямая y = x. Затем на графике функции отмечаются точки A0(x0, f(x0)), A1(x1, f(x1)),..., An(xn, f(xn)),..., а на биссектрисе координатного угла — точки B0(x0, x0), B1(x1, x1),...

..., Bn(xn, xn),... Ломаная B0A0B1A1... BnAn... называется итерационной.

9.54. Постройте итерационные ломаные для следующих данных:

x а) f(x) = 1 +, x0 = 0, x0 = 8;

б) f(x) =, x0 = 2;

x в) f(x) = 2x - 1, x0 = 0, x0 = 1,125;

3x г) f(x) = - + 6, x0 = ;

2 д) f(x) = x2 + 3x - 3, x0 = 1, x0 = 0,99, x0 = 1,01;

е) f(x) = 1 + x, x0 = 0, x0 = 8;

x3 5x2 25x ж) f(x) = - + + 3, x0 = 3.

3 2 9.55. Последовательность чисел {an} задана условиями a1 = 1, an+1 = an + (n 1).

an Верно ли, что эта последовательность ограничена 9.56. Для последовательности {an} an lim an+1 - = 0.

n Докажите, что lim an = 0.

n 3. Итерации 9.57. Числа a1, a2,..., ak таковы, что равенство lim (xn + a1xn-1 +... + akxn-k) = n возможно только для тех последовательностей {xn}, для которых lim xn = 0. Докажите, что все корни многочлена n P() = k + a1k-1 + a2k-2 +... + ak по модулю меньше 1.

9.58. Исследуйте последовательности на сходимость:

а) xn+1 =, x0 = 1;

1 + xn б) xn+1 = sin xn, x0 = a (0; );

в) xn+1 = a + x, a > 0, x0 = 0.

9.59. Что останется от прямоугольника Золотой прямоугольник — это такой прямоугольник, стороны a и b которого находятся в пропорции золотого сечения, то есть удовлетворяют равенству a : b = b : (a - b). Представим, что такой прямоугольник вырезан из бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший квадрат, который можно из него вырезать; остаток будет снова золотым прямоугольником. Далее становимся по левую сторону стола так, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим. Таким образом обходим стол вокруг по направлению хода часовой стрелки и по очереди отсекаем квадраты. Каждая точка прямоугольника за исключением одной, будет раньше или позже отсечена. Определите положение этой исключительной точки.

9.60. Алгоритм приближенного вычисления a. Последовательность {an} определяется условиями:

1 a a0 = a > 0, an+1 = 2an + (n 0).

an Докажите, что lim an = a.

n 9.61. Укажите способ приближенного нахождения положительного корня уравнения x3 - x - 1 = 0.

9.62. Последовательность чисел {an} задана условиями 3an a1 = 1, an+1 = + (n 1).

4 an 134 9. Уравнения и системы Докажите, что а) последовательность {an} ограничена;

б) |a1000 - 2| < (3/4)1000.

9.63. Найдите предел последовательности, которая задана условиями an an a1 = 2, an+1 = + (n 1).

2 9.64. Сходимость итерационного процесса. Предположим, что функция f(x) отображает отрезок [a; b] в себя, и на этом отрезке |f (x)| q < 1. Докажите, что уравнение f(x) = x имеет на отрезке [a; b] единственный корень x. Докажите, что при решении этого уравнения методом итераций будут выполняться неравенства:

qn |xn+1 - xn| |x1 - x0| · qn, |x - xn| |x1 - x0| · (n 0).

1 - q 9.65. Докажите, что для чисел {xn} из задачи 9.46 можно в явном виде указать разложения в цепные дроби:

xn = [1; 2,..., 2 ] (n 0).

2n- Оцените разность |xn - 2|. (См. также 9.81) 9.66. С какой гарантированной точностью вычисляется k при помощи алгоритма задачи 9.48 после пяти шагов 9.67. Решите систему уравнений 2x = x2, 1 + x 2x= x3, 1 + x 2x = x1.

1 + x9.68. Решите систему:

y2 = 4x3 + x - 4, z2 = 4y3 + y - 4, x2 = 4z3 + z - 4.

9.69. Последовательность чисел {xn} задана условиями:

x1 -a, xn+1 = a + xn.

3. Итерации Докажите, что последовательность {xn} монотонна и ограничена. Найдите ее предел.

9.70. Игра на монотонности. Докажите, что для монотонно возрастающей функции f(x) уравнения x = f(f(x)) и x = f(x) равносильны.

9.71. Решите уравнение a + a + a + x = x.

9.72. Арифметико-геометрическое среднее. Пусть a и b — два положительных числа, причем a > b. Построим по этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам:

an + bn a0 = a, b0 = b, an+1 =, bn+1 = anbn (n 0).

Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.

Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается µ(a, b).

9.73. Арифметико-гармоническое среднее. Пусть a и b — два положительных числа, и a < b. Определим две последовательности чисел {an} и {bn} формулами:

2anbn an + bn a0 = a, b0 = b, an+1 =, bn+1 = (n 0).

an + bn а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.

Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a и b.

б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.

в) Пусть a = 1, b = k. Как последовательность {bn} будет связана с последовательностью {xn} из задачи 9.48 9.74. Геометрико-гармоническое среднее. Назовем геометрико-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {an} и {bn}, построенных по правилу 2anbn a0 = a, b0 = b, an+1 =, bn+1 = anbn (n 0).

an + bn Обозначим его через (a, b). Докажите, что величина (a, b) связана с µ(a, b) (см. задачу 9.72) равенством 1 1 = µ,.

(a, b) b a 136 9. Уравнения и системы 9.75. Найдите все действительные решения системы - x2 = x2, - x2 = x3,..........

- x2 = xn, n- 1 - x2 = x1.

n 9.76. Найдите с точностью до 0,01 сотый член x100 последовательности {xn}, если а) x1 [0; 1], xn+1 = xn(1 - xn), (n > 1);

б) x1 [0,1; 0,9], xn+1 = 2xn(1 - xn), (n > 1).

9.77. Докажите, что касательная к графику функции f(x), построенная в точке с координатами (x0; f(x0)) пересекает ось Ox в точке с координатой f(x0) x0 -.

f (x0) 9.78. Метод Ньютона. Для приближенного нахождения корней уравнения f(x) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле f(xn) xn+1 = xn -, f (xn) (начальное условие x0 следует выбирать поближе к искомому корню).

Докажите, что для функции f(x) = x2 - k и начального условия x0 > 0 итерационный процесс всегда будет сходиться к k, то есть lim xn = k.

n Как будет выражаться xn+1 через xn Сравните результат с формулой из задачи 9.48.

9.79. Метод Ньютона и числа Фибоначчи. Применим метод Ньютона для приближенного нахождения корней многочлена f(x) = x2 - x - 1.

Какие последовательности чисел получатся, если а) x0 = 1; б) x0 = 0 К каким числам будут сходиться эти последовательности Опишите разложения чисел xn в цепные дроби.

9.80. Пусть p и q — отличные от нуля действительные числа и p2 - 4q > 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся:

3. Итерации q а) y0 = 0, yn+1 = (n 0);

p - yn q б) z0 = 0, zn+1 = p - (n 0).

zn Установите связь между предельными значениями этих последовательностей y, z и корнями уравнения x2 - px + q = 0.

9.81. Метод Ньютона и цепные дроби. Предположим, что цепные дроби q q = p - и = q q p - p q q p - p......

сходятся. Согласно задаче 9.80, они будут сходиться к корням многочлена x2 - px + q = 0. С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона:

x2 - pxn + q x2 - q n n xn+1 = xn - =.

2xn - p 2xn - p Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби или, то числа x1, x2,... также будут совпадать с подходящими дробями к или. (См. также 9.65.) 9.82. Метод Ньютона не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения f(x) = 0. Для многочлена f(x) = x(x - 1)(x + 1) найдите начальное условие x0 такое, что f(x0) = x0 и x2 = x0.

9.83. Метод Лобачевского. Пусть многочлен P(x) = xn + an-1xn-1 +... + a1x + aимеет корни x1, x2,..., xn, причем |x1| > |x2| >... > |xn|. В задаче 6.был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа x2, x2,..., x2. На основе этого рассужде1 2 n ния Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится последовательность многочленов P0(x), P1(x), P2(x),... такая, что P0(x) = P(x) и k k многочлен Pk(x) имеет корни x2,..., x2. Пусть 1 n Pk(x) = xn + a(k) xn-1 +... + a(k)x + a(k).

n-1 1 Докажите, что k 1/a(k) k n-l а) lim (-a(k) )1/2 = x1; б) lim - = xl (1 l n).

n-k k a(k) n-l+138 9. Уравнения и системы 9.84. Метод Лобачевского и числа Люка. Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского применить для приближенного нахождения корней многочлена x2-x-1.

Какие последовательности будут сходиться к корням x1 и x2, если |x1| > |x2| 9.85. Метод Архимеда. Для приближенного нахождения числа рассмотрим окружность радиуса 1/2. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через Pn (для описанного) и pn (для вписанного).

а) Найдите P4, p4, P6 и p6.

б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:

2Pnpn P2n =, p2n = pnP2n (n 3).

Pn + pn в) Найдите P96 и p96. Докажите неравенства 10 3 < < 3.

71 9.86. Формула Ферма. Докажите равенство 2 1 1 1 1 1 1 1 1 = · + · + +...

2 2 2 2 2 2 2 2 9.87. Последовательность чисел x0, x1, x2,... задается условиями n x0 = 1, xn+1 = ax (n 0).

Найдите наибольшее число a, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого a 9.88. Последовательность чисел a1, a2, a3,... задается условиями a1 = 1, an+1 = an + (n 0).

an Докажите, что а) эта последовательность неограничена;

б) a9000 > 30;

a n в) найдите предел lim.

n n 9.89*. Тройки чисел (xn, yn, zn) (n 1) строятся по правилу:

x1 = 2, y1 = 4, z1 =, 2xn 2yn 2zn xn+1 =, yn+1 =, zn+1 = (n 1).

x2 - 1 y2 - 1 z2 - n n n 4. Системы линейных уравнений а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.

б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (xn, yn, zn), для которой xn + yn + zn = 0 4. Системы линейных уравнений 9.90. Коля Васин гулял после школы пять часов. Сначала он шел по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Его скорость была 4 км/ч на горизонтальном участке пути, 3 км/ч при подъеме в гору и 6 км/ч — при спуске с горы. Какое расстояние прошел Коля Васин Метод Гаусса. Предположим, что имеется система из n линейных уравнений от переменных x1,..., xn. Одним из возможных методов решения такой системы является метод Гаусса. Он заключается в том, что с помощью первого уравнения переменная x1 исключается из остальных уравнений. Затем с помощью нового второго уравнения переменная x2 исключается из всех следующих уравнений. И так далее, пока из последнего уравнения не получится значение последней переменной.

После чего остальные переменные находятся в обратном порядке.

9.91. Решите системы x - 3y + 2z - t = 3, x + 2y + 3z = 2, 2x + 4y - 3z + t = 5, x - y + z = 0, а) в) 4x - 2y + z + t = 3, x + 3y - z = -2, 3x + y + z - 2t = 10; 3x + 4y + 3z = 0;

x + 2y + 3z - t = 0, x + 2y + 3z - t = 0, x - y + z + 2t = 4, x - y + z + 2t = 4, б) г) x + 5y + 5z - 4t = -4, x + 5y + 5z - 4t = -4, x + 8y + 7z - 7t = -8; x + 8y + 7z - 7t = 6.

9.92. На рисунках изображены разбиения прямоугольников на квадраты. Найдите стороны этих квадратов, если в первом случае сторона наименьшего квадрата равна 1, а во втором — 2.

а) б) 140 9. Уравнения и системы 9.93. За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из гномов переливает 1/4 своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и, наконец, четвертый гном 1/4 оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2л. Сколько молока было первоначально в кружках, если а) в конце у всех гномов молока оказалось поровну б) в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было в начале 9.94. Решите системы уравнений. Для каждой из них выясните, при каких значениях параметров система не имеет решений, а при каких имеет бесконечно много решений.

ax + y = a2, ax + y = a3, а) д) x + ay = 1; x + ay = 1;

ax + ay = a2, ax - ay = ab, б) е) x + ay = 2; 2ax - y = a;

(a + 1)x + 8y = 4a, ax + by = a, в) ж) ax + (a + 3)y = 3a - 1; bx + ay = b;

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.