WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 30 |

7.69. Докажите, что корни уравнения 1 1 + + = 0, z - a z - b z - c где a, b, c — попарно различные комплексные числа, лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c, или на его сторонах (в случае вырожденного треугольника).

7.70. Пусть f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) — многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.

7.71. Теорема Гаусса – Люка. Пусть f(x) — многочлен степени n с корнями 1,..., n. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек 1,..., n на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.

7.72. При каких n а) многочлен x2n + xn + 1 делится на x2 + x + 1 б) многочлен x2n - xn + 1 делится на x2 - x + 1 7.73. Докажите, что при любых целых a и натуральном n выражение (a + 1)2n+1 + an + 2 делится на a2 + a + 1.

7.74. При каких n многочлен (x + 1)n + xn + 1 делится на:

а) x2 + x + 1; б) (x2 + x + 1)2; в) (x2 + x + 1)3 7.75. При каких n многочлен (x + 1)n - xn - 1 делится на:

а) x2 + x + 1; б) (x2 + x + 1)2; в) (x2 + x + 1)3 7.76. Пусть (x - 1) | P(xn). Докажите, что (xn - 1) | P(xn).

7.77. Найдите остаток от деления многочлена P(x) = x6n + x5n + x4n + x3n + x2n + xn + на Q(x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1, если известно, что n кратно 7.

110 7. Комплексные числа 7.78. Найдите все корни уравнения (z - 1)n = (z + 1)n. Чему равна сумма квадратов корней этого уравнения 7.79. Докажите, что все корни уравнения a(z - b)n = c(z - d)n, где a, b, c, d — заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой. (См. также 7.10.) 7.80. Докажите, что при нечетном n > 1 справедливо равенство n- 1 n2 - =.

sin2(m/n) m=7.81*. Ряд обратных квадратов. а) Докажите, что при нечетном n > 1 справедливо равенство (n-1)/ 1 2 = - (0 < < 1).

m2 6 2n m=б) Докажите тождество:

1 =.

m2 m=7.82*. Положительные многочлены. Многочлен P(x) при всех действительных x принимает только положительные значения. Докажите, что найдутся такие многочлены a(x) и b(x), для которых P(x) = = a2(x) + b2(x).

2. Преобразования комплексной плоскости Будем пользоваться обозначениями:

Ta — параллельный перенос на вектор a;

Sl — симметрия относительно прямой l (осевая симметрия с осью l);

R — поворот вокруг точки A на угол против часовой стрелки;

A Hk — гомотетия с центром в точке A и коэффициентом k.

A 7.83. Во что перейдет треугольник с вершинами в точках: 0, 1 - i, 1 + i в результате преобразования 1 i w = + z 2 7.84. Во что перейдет угол с вершиной в начале координат в результате преобразования w = z3 2. Преобразования комплексной плоскости 7.85. Каким геометрическим преобразованиям плоскости соответствуют следующие отображения:

а) w = z + a; б) w = 2z; в) w = z(cos + i sin ); г) w = z 7.86. Как представить в виде w = f(z) симметрию относительно прямой l проходящей через начало координат под углом к оси Ox 7.87. Выразите в виде w = f(z) следующие геометрические преобразования:

а) H2 T3+4i; в) R/4; д) H2 H1/2;

O i 1 -б) T3+4i H2 ; г) Hk ; е) R/4 R/4 R/4 R/4.

O A i -1 -i Здесь точка O = (0; 0) — начало координат. Композиция преобразований делается справа налево: (f g)(z) = f(g(z)).

7.88. Представьте гомотетию H2 в виде композиции параллельного i переноса и гомотетии с центром в точке O.

7.89. Теорема о трех центрах подобия. Докажите при помощи комплексных чисел, что композицией двух гомотетий является гомотетия или параллельный перенос:

Ta, k1k2 = 1, 2 Hk Hk = A2 AHk, k1k2 = 1, A причем в первом случае вектор a параллелен прямой A1A2, а во втором случае центр результирующей гомотетии A лежит на прямой A1A2 и k = k1 · k2.

7.90. Постройте образ квадрата с вершинами A(0; 0), B(0; 2), C(2; 2), D(2; 0) при следующих преобразованиях:

а) w = iz; б) w = 2iz - 1; в) w = z2; г) w = z-1.

7.91. Куда переходит полоса 2 < Re z < 3 при отображениях:

а) w = z-1; б) w = (z - 2)-1; в) w = (z - 5/2)-1 7.92. Найдите а) образ окружности |z-a-bi| = a2 + b2 при отображении w = 1/z;

2aR б) образ окружности |z - a| = R при отображении w =.

z2 - a2 + R7.93*. Правильный n-угольник вписан в единичную окружность.

Докажите, что а) сумма квадратов всех сторон и всех диагоналей равна n2;

б) сумма всех сторон и всех диагоналей равна n ctg ;

2n в) произведение всех сторон и всех диагоналей равно nn/2.

112 7. Комплексные числа Определение. Дробно-линейными отображениями комплексной плоскости называются преобразования, записываемые формулами az + b w =, (7.1) cz + d az + b w =, (7.2) cz + d где = ad - bc = 0.

7.94. Как действуют отображения (7.1) и (7.2) в случае, когда = = ad - bc = 0 Определение. Расширенной комплексной плоскостью C называется комплексная плоскость C, к которой добавлена бесконечно удаленная точка =, то есть C = C {}.

7.95. Докажите, что дробно-линейные отображения являются взаимно однозначными отображениями расширенной комплексной плоскости.

7.96. Докажите, что произвольное дробно-линейное отображение вида (7.1) может быть получено композицией параллельных переносов и отображения вида w = R/z.

Глава Алгебра + геометрия 1. Геометрия помогает алгебре 8.1. Докажите, что сумма векторов, направленных из центра правильного n-угольника в его вершины, равна нулю.

8.2. Докажите равенства:

2 a) cos - cos = ;

5 5 1 1 б) = + ;

sin(/7) sin(2/7) sin(3/7) в) sin 9 + sin 49 + sin 89 +... + sin 329 = 0.

(См. также 7.26.) 8.3. Вычислите 4 7 3 а) cos cos cos ; б) cos + cos + cos.

9 9 9 7 7 8.4. Найдите cos 36 и cos 72.

8.5. а) Используя геометрические соображения, докажите, что основание и боковая сторона равнобедренного треугольника с углом 36 при вершине несоизмеримы (т. е. их отношение иррационально).

б) Придумайте геометрическое доказательство иррационально сти 2.

8.6. Решите уравнения при 0 < x < 90:

a) 13 - 12 cos x + 7 - 4 3 sin x = 2 3;

б) 2 - 2 cos x + 10 - 6 cos x = 10 - 6 cos 2x;

в) 5 - 4 cos x + 13 - 12 sin x = 10.

8.7. Докажите равенство:

1 arctg 1 + arctg + arctg =.

2 3 8.8. Докажите равенство:

ctg 30 + ctg 75 = 2.

114 8. Алгебра + геометрия 8.9. Пусть x, y, z — положительные числа и xyz(x + y + z) = 1.

Найдите наименьшее значение выражения (x + y)(x + z).

8.10. Неотрицательные числа x, y, z удовлетворяют неравенствам 5 x, y, z 8. Какое наибольшее и наименьшее значение может принимать величина S = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 - x4 - y4 - z4 8.11. Найдите все корни xk уравнения cos x + cos 2x + cos 3x + = 0.

Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют числа 2 cos xk (См.

также 7.58, 8.88.) 8.12. Решите систему ay + bx = c, cx + az = b, bz + cy = a.

Какой геометрический смысл она имеет (См. также 8.83.) 8.13. Положительные числа a, b, c, x, y, z таковы, что x2 + xy + y2 = a2, y2 + yz + z2 = b2, x2 + xz + z2 = c2.

Выразите величину xy + yz + xz через a, b и c. (См. также 9.16.) 2. Комплексные числа и геометрия В задачах этого пункта точки на комплексной плоскости отождествляются с числами. Поэтому с точками можно будет проделывать различные арифметические операции. Например, под суммой двух точек zи z2 будем понимать точку плоскости, соответствующую числу z1 + z2.

8.14. Пусть z1 и z2 — фиксированные точки комплексной плоскости.

Дайте геометрическое описание множеств всех точек z, удовлетворяющих соотношениям:

z - z1 z1 - z а) arg = 0; б) arg = 0.

z - z2 z - zОпределение. Комплексное число z2 - zV(z2, z1, z0) = z1 - z2. Комплексные числа и геометрия называется отношением трех точек (трех комплексных чисел) z2, z1, z0.

8.15. Докажите, что угол между прямыми, пересекающимися в точке z0 и проходящими через точки z1 и z2, равен аргументу отношения V(z2, z1, z0) точек z2, z1, z0.

8.16. Докажите, что три точки z2, z1, z0 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда V(z2, z1, z0) — вещественное число, или z0 - z2 z0 - z=.

z1 - z2 z1 - z8.17. Докажите, что прямая, проходящая через точки z1 и z2 — это геометрическое место точек z, для которых z - z2 z - z=.

z1 - z2 z1 - z8.18. Докажите, что уравнение прямой на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде Bz - Bz + C = 0, где C — чисто мнимое число.

8.19. Докажите, что условием того, что четыре точки z0, z1, z2, z3 лежат на одной окружности (или прямой) является вещественность числа V(z0, z1, z2) - z2 z0 - zz= :.

V(z0, z1, z3) z1 - z2 z1 - zОпределение. Комплексное число V(z0, z1, z2) W(z0, z1, z2, z3) = V(z0, z1, z3) называется двойным отношением четырех точек (четырех комплексных чисел) z0, z1, z2, z3.

8.20. Инвариантность двойного отношения. Пусть z1, z2, z3, z4 — четыре точки плоскости, в которые дробно-линейное отображение (7.1) переводит данные четыре точки z1, z2, z3, z4. Докажите, что W(z1, z2, z3, z4) = W(z1, z2, z3, z4).

8.21. Как изменяется двойное отношение W(z1, z2, z3, z4) при действии отображения (7.2) 116 8. Алгебра + геометрия 8.22. Круговое свойство дробно-линейных отображений.

Докажите, что дробно-линейное отображение переводит каждую прямую линию или окружность снова в прямую линию или окружность.

8.23. Докажите, что уравнение окружности (или прямой) на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде Azz + Bz - Bz + C = 0, (8.1) где A и C — чисто мнимые числа.

8.24. Докажите, что уравнение (8.1) при отображениях w = z + u и w = R/z переходит в уравнение такого же вида. Получите из этого круговое свойство дробно-линейных отображений.

Определение. Инверсией относительно окружности S с центром O и радиусом R называется преобразование плоскости, переводящее произвольную точку A, отличную от O, в точку A, лежащую на луче OA на расстоянии OA = R2/OA. Образом точки O считается бесконечно удаленная точка, а образом бесконечно удаленной точки, соответственно, точка O.

Инверсией относительно окружности S будем также называть инверсией с центром O и коэффициентом R2, а окружность S — окружностью инверсии.

8.25. Докажите, что отображение w = 1/z является инверсией относительно единичной окружности.

8.26. Представьте в виде композиции дробно-линейного отображеaz + b ния w = и комплексного сопряжения w = z инверсию относиcz + d тельно окружности а) с центром i и радиусом R = 1; б) с центром Rei и радиусом R;

в) с центром z0 и радиусом R.

8.27. Круговое свойство инверсии. Докажите, что инверсия переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.

8.28. Пусть уравнение некоторой прямой или окружности имеет вид (8.1). Пусть образ этой линии при отображении (7.1) задается уравнением A zz + B z - B z + C = 0, где A и C также чисто мнимые числа. Выразите A, B и C через A, B и C.

2. Комплексные числа и геометрия Определение. Степенью точки A относительно окружности радиуса R с центром в точке O называется величина |OA|2 - R2.

8.29. Докажите, что степень точки w относительно окружности Azz + Bz - Bz + C = равна B B C ww + w - w +.

A A A 8.30. Радикальная ось двух окружностей. Докажите, что геометрическое место точек w, степень которых относительно двух неконцентрических окружностей S1 и S2 одинакова, является прямой.

Такая прямая называется радикальной осью окружностей S1 и S2.

8.31. Радикальный центр трех окружностей. На плоскости даны три окружности S1, S2 и S3. Докажите, что если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке Q, то третья радикальная ось также проходит через эту точку.

Точка Q называется радикальным центром окружностей S1, S2 и S3.

8.32. Ортоцентр треугольника. Точки a1, a2 и a3 расположены на единичной окружности zz = 1. Докажите, что точка h = a1 + a2 + aявляется ортоцентром треугольника с вершинами в точках a1, a2 и a3.

8.33. Окружность Эйлера. Точки a1, a2 и a3 расположены на единичной окружности zz = 1. Докажите, что окружность с центром в точке e = h/2 и радиусом 1/2 проходит через середины сторон треугольника a1a2a3, основания высот и середины отрезков, соединяющих вершины a1, a2, a3 с ортоцентром h.

8.34. Цертр масс треугольника. Докажите, что точка m = (a1 + + a2 + a3)/3 является точкой пересечения медиан треугольника a1a2a3.

8.35. Прямая Эйлера. Докажите, что в произвольном треугольнике точка пересечения медиан, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой.

8.36. Прямая Симпсона. Пусть u — точка на единичной окружности zz = 1 и u1, u2, u3 — основания перпендикуляров, опущенных из u на стороны a2a3, a1a3, a1a2 треугольника a1a2a3.

а) Докажите, что числа u1, u2, u3 вычисляются по формулам u1 = (a2 + a3 + u - a2a3/u)/2, u2 = (a1 + a3 + u - a1a3/u)/2, u3 = (a1 + a2 + u - a1a2/u)/2.

118 8. Алгебра + геометрия б) Докажите, что точки u1, u2, u3 лежат на одной прямой.

8.37. На плоскости расположены 4 прямые общего положения. Каждым трем прямым поставим в соответствие окружность, проходящую через точки их пересечения. Докажите, что 4 полученных окружности проходят через одну точку.

3. Тригонометрия 8.38. Вычислите следующие произведения:

а) sin 20 sin 40 sin 60 sin 80; б) cos 20 cos 40 cos 60 cos 80.

8.39. Докажите равенство:

2 3 4 5 6 7 cos cos cos cos cos cos cos =.

15 15 15 15 15 15 15 8.40. Упростите выражение:

cos a · cos 2a · cos 4a ·... · cos 2n-1a.

8.41. Упростите выражения:

2 3 n а) sin sin sin ·... · sin ;

2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 2 3 (n - 1) б) sin sin sin ·... · sin ;

2n 2n 2n 2n 2 3 n в) cos cos cos ·... · cos ;

2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 2 3 (n - 1) г) cos cos cos ·... · cos.

2n 2n 2n 2n 8.42. Докажите равенство:

tg 20 · tg 40 · tg 80 = 3.

8.43. Решите уравнение:

x x x x x cos cos 2 cos 4 cos 8 cos 16 =.

31 31 31 31 31 8.44. Известно, что sin = 1/5 sin(2 + ). Докажите равенство:

tg( + ) = 3/2 tg.

8.45. Пусть и — острые и положительные углы, удовлетворяющие равенствам 3 sin2 + 2 sin2 = 1, 3 sin 2 - 2 sin 2 = 0.

3. Тригонометрия Докажите, что + 2 = /2.

8.46. Докажите равенства:

6 - 2 6 + а) sin 15 =, cos 15 = ;

4 -1 + 5 10 + 2 б) sin 18 =, cos 18 =.

4 8.47. Докажите равенства:

30 - 6 5 - 6 + 2 5 18 + 6 5 + 10 - 2 sin 6 =, cos 6 =.

8 8.48. Докажите тождества:

+ + + а) sin + sin + sin - sin( + + ) = 4 sin sin sin ;

2 2 + + + б) cos +cos +cos +cos(++) = 4 cos cos cos.

2 2 8.49. Докажите тождество:

sin( + + ) tg + tg + tg - = tg tg tg.

cos cos cos 8.50. Найдите алгебраическую связь между углами, и, если известно, что tg + tg + tg = tg · tg · tg.

8.51. Докажите, что если + + =, то sin + sin + sin = 4 cos cos cos.

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.