WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 30 |

Определение. Наибольшим общим делителем двух или нескольких многочленов называется многочлен максимальной степени, на который делится каждый из данных.

Как и для чисел, наибольший общий делитель многочленов P1(x),...

..., Pk(x) обозначается (P1(x),..., Pk(x)).

6.65. Докажите, что из равенства P(x) = Q(x) T(x) + R(x) следует соотношение (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x)).

6.66. Алгоритм Евклида для многочленов. Пусть P(x) и Q(x) — многочлены, причем Q(x) не равен нулю тождественно и Q(x) P(x).

Докажите, что при некотором s 1 существуют многочлены A0(x), 90 6. Многочлены A1(x),..., As(x) и R1(x),..., Rs(x) такие, что deg Q(x) > deg R1(x) > deg R2(x) >... > deg Rs(x) 0, P(x) = Q(x) · A0(x) + R1(x), Q(x) = R1(x) · A1(x) + R2(x), R1(x) = R2(x) · A2(x) + R3(x),.......................

Rs-2(x) = Rs-1(x) · As-1(x) + Rs(x), Rs-1(x) = Rs(x) · As(x), и (P(x), Q(x)) = Rs(x). (Сравните с задачей 3.36.) 6.67. Пусть (P(x), Q(x)) = D(x). Докажите, что существуют многочлены U(x) и V(x) такие, что deg U(x)

(Сравните с задачей 3.37.) 6.68. Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде P(x) U(x) + Q(x) V(x):

а) P(x) = x4 + x3 - 3x2 - 4x - 1, Q(x) = x3 + x2 - x - 1;

б) P(x) = 3x4 - 5x3 + 4x2 - 2x + 1, Q(x) = 3x3 - 2x2 + x - 1.

6.69. Найдите (xn - 1, xm - 1).

6.70. Последовательность a0, a1, a2,... задана условиями a0 = 0, an+1 = P(an) (n 0), где P(x) — многочлен с целыми коэффициентами, P(x) > 0 при x 0.

Докажите, что для любых натуральных m и k (am, ak) = a(m,k).

6.71. Решите систему x6 - x5 + x4 - x3 + 5x2 = 5, x6 - 2x5 + 3x4 - 4x3 + 2x = 0.

6.72. При каком положительном значении p уравнения 3x2-4px+9 = = 0 и x2 - 2px + 5 = 0 имеют общий корень 6.73. Найдите многочлены P(x) и Q(x) такие, что (x + 1) P(x) + (x4 + 1) Q(x) = 1.

6.74. При помощи метода неопределенных коэффициентов (смотрите раздел 3, с. 92) найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство P(x)(x2 - 3x + 2) + Q(x)(x2 + x + 1) = 21.

2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу 6.75. Найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство P(x)(2x3 - 7x2 + 7x - 2) + Q(x)(2x3 + x2 + x - 1) = 2x - 1.

2n + 6.76. Сколько представлений допускает дробь в виде суммы n(n + 1) двух положительных дробей со знаменателями n и n + 1 6.77. Схема Горнера. Значение многочлена Pn(x) = anxn + an-1xn-1 +... + a1x + a0 (an = 0) в точке x = c можно вычислить, используя ровно n умножений. Для этого нужно представить многочлен Pn(x) в виде Pn(x) = (... (anx + an-1)x +... + a1)x + a0.

(См. также 5.63.) Пусть bn, bn-1,..., b0 — это значения выражений, которые получаются в процессе вычисления Pn(c), то есть bn = an, bk = c · bk+1 + ak (k = n - 1,..., 0).

Докажите, что при делении многочлена Pn(x) на (x - c) с остатком, у многочлена в частном коэффициенты будут совпадать с числами bn-1,..., b1, а остатком будет число b0. Таким образом, будет справедливо равенство:

Pn(x) = (x - c)(bnxn-1 +... + b2x + b1) + b0.

6.78. Формулы сокращенного умножения. Докажите следующие равенства:

an+1 - bn+1 = (a - b)(an + an-1b +... + bn);

a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n - a2n-1b + a2n-2b2 -... + b2n).

6.78. Докажите, что при n.

.

nn-1 - 1. (n - 1)6.79. Формула Тейлора для многочлена. Докажите, что любой многочлен Pn(x) можно единственным образом разложить по степеням (x - c):

n Pn(x) = ck · (x - c)k, k=92 6. Многочлены причем коэффициенты ck могут быть найдены по формуле P(k)(x) ck = (0 k n).

k! x=c (См. также 11.21.) 6.80. Пользуясь схемой Горнера, разложите x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + по степеням x + 1.

6.81. Разложите P(x + 3) по степеням x, где P(x) = x4 - x3 + 1.

3. Разложение на множители Метод неопределенных коэффициентов. В задачах о разложении многочленов на множители часто оказывается полезным подход, который называется методом неопределенных коэффициентов.

Сначала записывается предполагаемое разложение с неизвестными (неопределенными) коэффициентами. После раскрытия скобок получается выражение, которое должно совпадать с исходным. Равенство коэффициентов при соответствующих одночленах дает систему уравнений, из которой находятся неопределенные коэффициенты, а, тем самым, и разложение на множители.

Соотношения на неопределенные коэффициенты можно также получать, подставляя в предполагаемое равенство конкретные значения переменных.

6.82. Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены:

а) x4 + 4; ж) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3;

б) 2x3 + x2 + x - 1; з) (x - y)5 + (y - z)5 + (z - x)5;

в) x10 + x5 + 1; и) a8 + a6b2 + a4b4 + a2b6 + b8;

г) a3 + b3 + c3 - 3abc; к) (x2 + x + 1)2 + 3x(x2 + x + 1) + 2x2;

д) x3 + 3xy + y3 - 1; л) a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2a2c2 - 2b2c2;

е) x2y2 - x2 + 4xy - y2 + 1; м) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15.

(См. также 9.8.) 6.83. Можно ли разлложить на множители с целыми коэффициентами многочлен x4 + x3 + x2 + x + 12 6.84. Докажите, что многочлен x4 +px2 +q всегда можно разложить в произведение двух многочленов второй степени.

6.85. Упростите выражение:

(a + b + c)5 - a5 - b5 - c.

(a + b + c)3 - a3 - b3 - c4. Многочлены с кратными корнями 6.86. Докажите, что при нечетном m выражение (x + y + z)m - xm - ym - zm делится на (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3.

6.87. Пусть a, b, c — попарно различные числа. Докажите, что выражение a2(c - b) + b2(a - c) + c2(b - a) не равно нулю.

6.88. Докажите, что если три действительных числа a, b, c связаны соотношением 1 1 1 + + =, a b c a + b + c то обязательно какие-либо два из этих чисел в сумме дают ноль.

6.89. Докажите, что если a + b + c = 0, то 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2).

6.90. Теорема о рациональных корнях многочлена. Докажите, что если (p, q) = 1 и p/q — рациональный корень многочлена P(x) = anxn +... + a1x + aс целыми коэффициентами, то..

а) a0. p; б) an. q.

..

Эти соотношения позволяют перечислить все рациональные числа, которые могут быть корнями данного многочлена. (См. также 7.41.) 6.91. Докажите при помощи предыдущей задачи, что 17 — иррациональное число.

6.92. Докажите, что cos 20 — число иррациональное.

6.93. Найдите рациональные корни многочленов:

а) x5 - 2x4 - 4x3 + 4x2 - 5x + 6;

б) x5 + x4 - 6x3 - 14x2 - 11x - 3.

6.94. Решите уравнения:

а) x4 + x3 - 3a2x2 - 2a2x + 2a4 = 0; б) x3 - 3x = a3 + a-3.

4. Многочлены с кратными корнями Определение. Пусть P(x) = (x - a)k Q(x), k 1 и Q(a) = 0. Тогда число a называется корнем многочлена P(x) кратности k. Если a — 94 6. Многочлены корень кратности 1, то он называется простым корнем, если кратность больше 1, то число a называется кратным корнем.

6.95. Докажите, что корень a имеет кратность больше 1 тогда и только тогда, когда P(a) = 0 и P (a) = 0.

6.96. Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), имеющий те же корни, что и P(x), но все кратности 1.

Положим Q(x) = (P(x), P (x)) и R(x) = P(x) Q-1(x). Докажите, что а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);

б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.

6.97. Постройте многочлен R(x) из предыдущей задачи, если:

а) P(x) = x6 - 6x4 - 4x3 + 9x2 + 12x + 4;

б) P(x) = x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + x + 1.

6.98. Докажите, что многочлен x2 xn P(x) = 1 + x + +... + 2! n! не имеет кратных корней.

6.99. При каких A и B многочлен Axn+1 + Bxn + 1 имеет число x = не менее чем двукратным корнем 6.100. Докажите, что многочлен x2n - nxn+1 + nxn-1 - 1 при n > имеет трехкратный корень x = 1.

6.101. Докажите, что многочлен P(x) делится на свою производную тогда и только тогда, когда он имеет вид P(x) = an(x - x0)n.

6.102. Докажите, что при n > 0 многочлен nxn+1 - (n + 1)xn + делится на (x - 1)2.

6.103. Докажите, что при n > 0 многочлен n2xn+2 - (2n2 + 2n - 1)xn+1 + (n + 1)2xn - x - делится на (x - 1)3.

6.104. Докажите, что при n > 0 многочлен x2n+1 - (2n + 1)xn+1 + (2n + 1)xn - делится на (x - 1)3.

6.105. Докажите, что многочлен P(x) = a0 + a1x +... + anxn 5. Теорема Виета имеет число -1 корнем кратности m тогда и только тогда, когда выполнены условия:

a0 - a1 + a2 - a3 +... + (-1)nan = 0, - a1 + 2a2 - 3a3 +... + (-1)nnan = 0,...........................

- a1 + 2ma2 - 3ma3 +... + (-1)nnman = 0.

(См. также 11.12.) 6.106. Докажите, что многочлен P(x) = (xn+1 - 1)(xn+2 - 1)... (xn+m - 1) без остатка делится на Q(x) = (x1 - 1)(x2 - 1)... (xm - 1).

(См. также 11.95.) 5. Теорема Виета Теорема Виета. Пусть x1, x2,..., xn — корни многочлена anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +... + a1x + a(an = 0). Тогда справедливы равенства x1 + x2 +... + xn = -an-1/an, x1x2 + x2x3 +... + xn-1xn = an-2/an,......................

x1x2... xn = (-1)na0/an.

Определение. Многочлен, не изменяющийся при любых перестановках своих переменных, называется симметрическим.

Многочлены 1(x1, x2,..., xn) = x1 + x2 +... + xn, 2(x1, x2,..., xn) = x1x2 + x2x3 +... + xn-1xn,.............................

n(x1, x2,..., xn) = x1x2... xn, называются элементарными симметрическими.

Теорема. Всякий симметрический многочлен F(x1,..., xn) представим в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов: F(x1,..., xn) = G(1,..., n) и единственным образом (См. [23].) 96 6. Многочлены При этом коэффициенты G получаются из коэффициентов F только при помощи операций сложения, вычитания и умножения, то есть, если все коэффициенты F были целыми числами, то и коэффициенты G также будут целыми числами.

Задачи о выражении симметрических многочленов через элементарные симметрические могут быть решены при помощи метода неопределенных коэффициентов (см. с. 92). Для нахождения искомого представления многочлена F(x1,..., xn) степени m достаточно рассмотреть сумn му с неопределенными коэффициентами одночленов вида a... a, 1 n суммарная степень (a1 + 2a2 +... + nan) каждого из которых равна m.

6.107. Выразите через элементарные симметрические многочлены следующие выражения:

а) (x + y)(y + z)(x + z); г) (x2 + y2)(y2 + z2)(x2 + z2);

б) x3 + y3 + z3 - 3xyz; д) x2 + x2 +... + x2 ;

1 2 n в) x3 + y3; е) x4 + y4 + z4.

6.108. Известно, что a+b+c = 0, a2+b2+c2 = 1. Найдите a4+b4+c4.

6.109. Числа x, y, z удовлетворяют системе x + y + z = a, 1 1 1 + + =.

x y z a Докажите, что хотя бы одно из этих чисел равно a.

6.110. Решите систему:

x + y + z = a, x2 + y2 + z2 = a2, x3 + y3 + z3 = a3.

6.111. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых корни x1, x2, x3 многочлена x3 - 6x2 + ax + a удовлетворяют равенству (x1 - 3)3 + (x2 - 3)3 + (x3 - 3)3 = 0.

6.112. Постройте кубический многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена x3 + x2 - 2x - 1 = 0.

6.113. Известно, что x1, x2, x3 — корни уравнения x3 - 2x2 + x + 1 = 0.

Составьте кубической уравнение, корнями которого были бы числа y1 = x2x3, y2 = x1x3, y3 = x1x2.

5. Теорема Виета 6.114. Выразите свободный член c кубического уравнения x3 + ax2 + bx + c = через коэффициенты a и b, зная, что корни этого уравнения образуют арифметическую прогрессию.

6.115. Пусть известно, что все корни уравнения x3 + px2 + qx + r = положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник 6.116. а) Известно, что x + y = u + v, x2 + y2 = u2 + v2.

Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство xn + yn = un + vn.

б) Известно, что x + y + z = u + v + t, x2 + y2 + z2 = u2 + v2 + t2, x3 + y3 + z3 = u3 + v3 + t3.

Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство xn + yn + zn = un + vn + yn.

6.117. Решите системы:

x + y + z = 6, x2 y2 + =, 1 1 1 11 y x а) г) + + =, x y z 6 1 1 + = ;

y x xy + yz + xz = 11;

x(y + z) = 2, x + y + z = 1, б) y(z + x) = 2, д) xy + xz + yz = -4, z(x + y) = 3; x3 + y3 + z3 = 1;

x2 + y2 + x + y = 32, x2 + y2 = 12, в) е) 12(x + y) = 7xy; x + y + xy = 9.

6.118. Числа a, b, c являются тремя из четырех корней многочлена x4 - ax3 - bx + c.

98 6. Многочлены Найдите все такие многочлены.

6.119. Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству a + b + c = 0. Докажите, что 2a4 + 2b4 + 2c4 — квадрат целого числа.

6.120. Найдите зависимость между коэффициентами кубического уравнения ax3 + bx2 + cx + d = 0, если известно, что сумма двух его корней равна произведению этих корней.

6.121. При каких a и b уравнение x3 + ax + b = 0 имеет три различных решения, составляющих арифметическую прогрессию 6.122. Путь a, b, c — стороны треугольника, p — его полупериметр, а r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.

Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от p, r, R, корнями которого являются числа a, b, c. Докажите равенство 1 1 1 + + =.

ab bc ac 2rR 6.123. Решите в натуральных числах систему x + y = uv, u + v = xy.

6.124. В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше а) 4x3 - 18x2 + 24x = 8, 4x3 - 18x2 + 24x = 9;

б) 4x3 - 18x2 + 24x = 11, 4x3 - 18x2 + 24x = 12 6. Интерполяционный многочлен Лагранжа 6.125. Решите уравнение (x - a)(x - b) (x - a)(x - c) (x - b)(x - c) c + b + a = x.

(c - a)(c - b) (b - a)(b - c) (a - b)(a - c) 6.126. Докажите тождество (x - a)(x - b) (x - a)(x - c) (x - b)(x - c) c2 + b2 + a2 = x2.

(c - a)(c - b) (b - a)(b - c) (a - b)(a - c) 6.127. Пусть x1 < x2 <... < xn — действительные числа. Постройте многочлены f1(x), f2(x),..., fn(x) степени n-1, которые удовлетворяют условиям fi(xi) = 1 и fi(xj) = 0 при i = j (i, j = 1, 2,..., n).

6.128. Опишите явный вид многочлена f(x) = f1(x) + f2(x) +... + fn(x), 6. Интерполяционный многочлен Лагранжа где fi(x) — многочлены из предыдущей задачи.

6.129. Пусть x1 < x2 <... < xn — действительные числа. Докажите, что для любых y1, y2,..., yn существует единственнный многочлен f(x) степени не выше n - 1 такой, что f(x1) = y1,..., f(xn) = yn.

6.130. Пусть A, B и C — остатки от деления многочлена P(x) на x - a, x - b и x - c. Найдите остаток от деления того же многочлена на произведение (x - a)(x - b)(x - c).

Определение. Многочлен степени не выше n-1, значения которого в данных точках x1,..., xn (узлах интерполяции) совпадают с заданными числами y1,..., yn, называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.