WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 30 |

5.76. Ним-сумма. Будем говорить, что число n является ним-суммой чисел m и k (m k = n), если оно получается из чисел m и k после следующих преобразований.

1) m и k записываются в двоичной системе счисления m = (ms... m1m0)2, k = (ks... k1k0)(меньшее число дополняется спереди нулями).

2) Полученные наборы цифр как векторы складываются покомпонентно по модулю 2:

(ms,..., m1, m0) + (ks,..., k1, k0) (ns,..., n1, n0) (mod 2).

80 5. Числа, дроби, системы счисления 3) Набор цифр (ns,..., n1, n0) переводится в число n:

(ns... n1n0)2 = n.

Например, 4 9 = 3, так как 4=(100)2, 9=(111)2, (1, 0, 0)+(1, 1, 1)(0, 1, 1) (mod 2), (011)2=3.

Докажите, что ним-сумма удовлетворяет следующим свойствам:

а) m m = 0; б) m k = k m; в) (m t) k = m (t k);

г) если n = 0 и m1 m2... ml = n, (5.1) то найдется такой номер j (1 j l), для которого mj n < mj.

5.77. Игра «Ним». Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять любое (ненулевое) количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последний камень.

Для анализа игры каждому набору кучек камней m1, m2,..., ml поставим в соответствие его ним сумму (5.1).

а) Докажите, что если игрок делает ход из позиции с нулевой ним-суммой, то в результате получается позиция с ним-суммой n = 0.

б) Докажите, что из позиции с ненулевой ним-суммой всегда можно сделать ход в позицию с ним-суммой n = 0.

в) Опишите выигрышную стратегию в игру «Ним».

г) Какой следует сделать ход, если перед вами три кучки: 3, 4 и камней 5.78. Марсианские амебы II. При помощи ним-сумм можно исследовать самые разные игры и процессы. Например, можно получить еще одно решение задачи 4.20.

Постройте на множестве марсианских амеб {A, B, C} функцию f, для которой выполнялись бы равенства f(A) f(B) = f(C), f(A) f(C) = f(B), f(B) f(C) = f(A).

Какие рассуждения остается провести, чтобы решить задачу про амеб 5.79. Игра «Йога» II. Проанализируйте при помощи ним-сумм игру «Йога» из задачи 4.21.

5.80. Игра «Шоколадка». Имеется шоколадка, состоящая из 6 8 = 48 долек. Одна из долек отмечена:

3. Двоичная и троичная системы счисления Двое игроков по очереди разламывают ее по какой-нибудь прямой, делящей шоколадку на дольки, и съедают ту половину, которая не содержит отмеченной дольки. Проигрывает тот, кто не может сделать хода, то есть ему остается лишь одна отмеченная долька.

а) Опишите выигрышную стратегию в этой игре. Кто из игроков выиграет, если отмеченная долька располагается так, как показано на рисунке б) При каких размерах шоколадки начинающий игрок выигрывает при любом расположении отмеченной дольки в) При каких размерах шоколадки начинающий игрок проигрывает при любом расположении отмеченной дольки 5.81. Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять из одной кучки от 1 до 5 камней.

Определите выигрышную стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а) выигрывает; б) проигрывает. (См. также 4.59.) 5.82*. Пешечное противостояние. На доске 3 n расставлены n черных и n белых пешек так, как показано на рисунке:

Пешки ходят и бьют по шахматным правилам, к которым добавляется одно: бить обязательно. Тот, кто не может сделать ход: а) выигрывает; б) проигрывает. Какой из игроков выигрывает в этой игре в зависимости от значения n 5.83. 4 монеты. Из четырех монет одна фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но не известно, в какую сторону). Требуется за два взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету.

5.84*. 12 монет. Из двенадцати монет одиннадцать настоящих, а одна фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но не известно, в какую сторону). Требуется за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету и выяснить, легче она или тяжелее настоящей.

82 5. Числа, дроби, системы счисления 5.85*. 13 монет. Предположим теперь, что имеется 13 монет, из которых одна — фальшивая. Как за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету, если не требуется выяснять, легче она или тяжелее настоящей Глава Многочлены 1. Квадратный трехчлен Теорема Виета для квадратного уравнения. Пусть x1, x2 — корни уравнения x2 + px + q = 0. Тогда справедливы равенства x1 + x2 = -p, x1x2 = q.

6.1. Пусть x1, x2 — корни уравнения x2 + px + q = 0. Выразите через p и q следующие величины 1 1 1 1 1 а) + ; б) + ; в) x3 + x3; г) +.

x1 x2 x2 x2 1 2 (x1 + p)2 (x2 + p)1 6.2. Для многочленов f(x) = x2 + ax + b и g(y) = y2 + py + q с корнями x1, x2 и y1, y2 соответственно, выразите через a, b, p, q их результант, который определяется равенством R(f, g) = (x1 - y1)(x1 - y2)(x2 - y1)(x2 - y2).

Вычисление результанта позволяет проверить многочлены f(x) и g(y) на наличие у них общих корней.

6.3. Уравнение x2 + px + q = 0 имеет корни x1 и x2. Напишите уравнение, корнями которого будут числа y1, y2 равные:

1 1 1 1 x2 xа) x3, x3; б), ; в) x1 +, x2 + ; г),.

1 x2 x1 x1 xx2 x1 6.4. Пусть x1, x2 — корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 и Sn = xn + xn (n 0). Докажите формулу 1 aSm + bSm-1 + cSm-2 = 0 (m 2).

6.5. При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x2 + 2ax + 2a2 + 4a + 3 = является наибольшей Чему равна эта сумма 6.6. Какими должны быть p и q, чтобы выполнялось равенство Ax4 + Bx2 + C = A(x2 + px + q)(x2 - px + q) 84 6. Многочлены 6.7. При каких значениях параметра a один из корней уравнения x2 - x + a3 = 0 является квадратом другого 6.8. Пусть f(x) = x2+px+q. При каких p и q выполняются равенства f(p) = f(q) = 0 6.9. При каких p и q уравнению x2 + px + q = 0 удовлетворяют два различных числа 2p и p + q 6.10. При каких a уравнение а) ax2 + (a + 1)x - 2 = 0; б) (1 - a)x2 + (a + 1)x - 2 = имеет два различных корня 6.11. Нарисуйте множество всех таких точек координатной плоскости, из которых к параболе y = 2x2 можно провести две перпендикулярные друг другу касательные.

6.12. Рассмотрим графики функций y = x2 + px + q, которые пересекают оси координат в трех различных точках. Докажите, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих точках, имеют общую точку.

6.13. Известно, что уравнение x2 + 5bx + c = 0 имеет корни x1 и x2, x1 = x2, а некоторое число является корнем уравнения y2+2x1y+2x2 = и корнем уравнения z2 + 2x2z + 2x1 = 0. Найти b.

6.14. Известно, что многочлены ax2 + bx + c и bx2 + cx + a (a = 0) имеют общий корень. Найдите его.

6.15. При каких a уравнения x2 + ax + 1 = 0 и x2 + x + a = 0 имеют хотя бы один общий корень 6.16. Пусть — корень уравнения x2 + px + q = 0, а — уравнения x2 - px - q = 0. Докажите, что между и лежит корень уравнения x2 - 2px - 2q = 0.

6.17. Укажите все точки плоскости (x; y), через которые не проходит ни одна из кривых семейства y = p2 + (4 - 2p)x - x2.

6.18. Укажите все точки плоскости (x; y), через которые не проходит хотя бы одна кривая семейства y = p2 + (2p - 1)x + 2x2.

6.19. Изобразите ту часть плоскости (x; y), которая накрывается всевозможными кругами вида (x - a)2 + (y - a)2 2 + a2.

1. Квадратный трехчлен 6.20. Докажите, что корни уравнения а) (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - a)(x - c) = 0;

б) c(x - a)(x - b) + a(x - b)(x - c) + b(x - a)(x - c) = — всегда вещественные.

Определение. Каждому квадратному трехчлену x2 + px + q будем ставить в соответствие на координатной плоскости Opq точку с координатами (p; q). Эту плоскость назовем фазовой. Прямые вида a2 + ap + q = 0 будем называть корневыми, а параболу p2 - 4q = 0 — дискриминантной.

6.21. Каким точкам фазовой плоскости соответствуют квадратные трехчлены, не имеющие корней 6.22. Для каждого действительного a построим на плоскости Opq корневую прямую a2+ap+q = 0. Докажите, что полученное множество прямых совпадает с множеством всех касательных к дискриминантной параболе p2 - 4q = 0. (См. также 9.20.) 6.23. Обозначим корни уравнения x2 + px + q = 0 через x1, x2. Нарисуйте на фазовой плоскости Opq множества точек M(p; q), которые задаются условиями:

а) x1 = 0, x2 = 1; в) x1 = x2;

б) x1 0, x2 2; г) -1 x1 0, 1 x2 2.

6.24. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых уравнение 4x2 - 2x + a = 0 имеет два корня, причем x1 < 1, x2 > 1.

6.25. Найдите все такие q, что при любом p уравнение x2+px+q = имеет два действительных корня.

6.26. Фазовая плоскость Opq разбивается параболой p2 - 4q = 0 и прямыми p + q + 1 = 0, -2p + q + 4 = 0 на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен x2 + px + q = 0 на интервале (-2; 1).

6.27. На фазовой плоскости через точку (p; q) проведены касательные к дискриминантной параболе p2 - 4q = 0. Найдите координаты точек касания.

6.28. При каких значениях параметра a один из корней уравнения (a2 + a + 1)x2 + (2a - 3)x + (a - 5) = больше 1, а другой — меньше 1 6.29. Известно, что модули корней уравнений x2 + ax + b = 0 и x2 + cx + d = 0 меньше 1. Докажите, что модули корней уравнения a + c b + d x2 + x + = 2 86 6. Многочлены также меньше 1.

6.30. В квадратном уравнении x2 + px + q = 0 коэффициенты p и q независимо пробегают все значения от -1 до 1. Найдите множество значений, которые могут при этом принимать действительные корни этого уравнения.

6.31. При каких значениях параметра a оба корня уравнения (2 - a)x2 - 3ax + 2a = 0 больше 6.32. При каких значениях параметра a оба корня уравнения (1 + a)x2 - 3ax + 4a = 0 больше 1 6.33. При каких значениях параметра a уравнение (a - 1)x2 - 2(a + 1)x + 2(a + 1) = 0 имеет только одно неотрицательное решение 6.34. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения x2 - (m + 1)x + m - 1 = 0 является наименьшей 6.35. Найдите все значения параметра r, при которых уравнение (r - 4)x2 - 2(r - 3)x + r = 0 имеет два корня, причем каждый из которых больше -1.

6.36. Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству (2 - a)x3 + (1 - 2a)x2 - 6x + 5 + 4a - a2 < хотя бы при одном значении a [-1; 2].

2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу 6.37. Деление многочленов с остатком. Пусть P(x) и Q(x) — многочлены, причем Q(x) не равен нулю тождественно. Докажите, что существуют многочлены T(x) и R(x) такие, что P(x) = Q(x)T(x) + R(x), и deg R(x) < deg Q(x); и покажите, что при этом T(x) и R(x) определяются однозначно.

Определение. Если многочлен P(x) поделен на Q(x) с остатком P(x) = Q(x)T(x) + R(x), то T(x) называется неполным частным, а R(x) — остатком. Если многочлен R(x) тождественно равен нулю, то в этом случае T(x) — полное частное, и Q(x) называется делителем P(x) (Q(x) | P(x)).

2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу 6.38. Теорема Безу. Докажите, что остаток от деления многочлена P(x) на x - c равен P(c).

6.39. Докажите, что многочлен степени n имеет не более чем n корней.

6.40. Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше, чем n касательных 6.41. Пусть x1, x2,..., xn — корни уравнения anxn+...+a1x+a0 = 0.

Какие корни будут у уравнений а) a0xn +... + an-1x + an = 0; б) anx2n +... + a1x2 + a0 = 0 6.42. Пусть многочлен P(x) = xn + an-1xn-1 +... + a1x + aимеет корни x1, x2,..., xn, то есть P(x) = (x - x1)(x - x2)... (x - xn).

Рассмотрим многочлен Q(x) = P(x) P(-x). Докажите, что а) многочлен Q(x) имеет степень 2n и содержит только четные степени переменной x;

б) функция Q( x) является многочленом с корнями x2, x2,..., x2.

1 2 n (См. также 9.83.) 6.43. Разделите многочлены с остатком:

а) x4 - 4x3 + 6x2 - 3x + 1 на x2 - x + 1;

б) 2x3 + 2x2 + x + 6 на x2 + 2x + 1;

в) x4 + 1 на x5 + 1.

6.44. Найдите остаток от деления многочлена P(x) = x5 - 17x + 1 на x + 2.

6.45. При каком значении a многочлен P(x) = x1000 +ax2 +9 делится на x + 1 6.46. Найдите остаток от деления многочлена P(x) = x81 + x27 + x9 + x3 + x на a) x - 1; б) x2 - 1.

6.47. Докажите, что многочлен P(x) = (x + 1)6 - x6 - 2x - 1 делится на x(x + 1)(2x + 1).

6.48. Многочлен P(x) дает остаток 2 при делении на x-1, и остаток при делении на x-2. Какой остаток дает P(x) при делении на многочлен (x - 1)(x - 2) 88 6. Многочлены 6.49. Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение x3 + y3 + z3 + k xyz делилось на x + y + z.

6.50. При каких n многочлен 1 + x2 + x4 +... + x2n-2 делится на 1 + x + x2 +... + xn-1 Определение. Пусть m(x) — не равный тождественно нулю многочлен. Два многочлена a(x) и b(x) называются сравнимыми по модулю m(x), если их разность делится на m(x). Как и для чисел, соотношение сравнимости для двух многочленов записывается в виде a(x) b(x) (mod m(x)).

6.51. Китайская теорема об остатках для многочленов.

Пусть m1(x),..., mn(x) попарно взаимно простые многочлены, то есть (mi(x), mj(x)) = 1 при i = j, a1(x),..., an(x) — произвольные многочлены. Докажите, что тогда существует ровно один многочлен p(x) такой, что p(x) a1(x) (mod m1(x)),....................

p(x) an(x) (mod mn(x)) и deg p(x) < deg m1(x) +... + deg mn(x). (См. также 6.131 и 6.140.) 6.52. Пусть P(x) = (2x2 - 2x + 1)17(3x2 - 3x + 1)17. Найдите a) сумму коэффициентов этого многочлена;

б) суммы коэффициентов при четных и нечетных степенях x.

6.53. При каких a и b многочлен P(x) = (a + b)x5 + abx2 + 1 делится на x2 - 3x + 2 6.54. Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэффициентами имеют общее решение. Докажите, что у кубического уравнения есть рациональный корень.

6.55. Найдите остаток R(x) от деления многочлена xn + x + 2 на x2 - 1.

6.56. Один из корней уравнения x3 -6x2 +ax-6 = 0 равен 3. Решите уравнение.

6.57. При каких значениях параметра a многочлен P(x) = xn+axn-(n 2) делится на x - 2 6.58. При каких действительных p и q двучлен x4 + 1 делится на x2 + px + q 2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу 6.59. При каких a многочлен P(x) = a3x5 + (1 - a)x4 + (1 + a3)x2 + (1 - 3a)x - aделится на x - 1 6.60. Найдите все многочлены, которые удовлетворяют тождеству x P(x - 1) = (x - 26) P(x).

6.61. Дано уравнение xn -an-1xn-1 -...-a1x-a0 = 0, где an-1,...

..., a1, a0 0. Докажите, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

6.62. Правило знаков Декарта. Докажите, что количество положительных корней многочлена f(x) = anxn +... + a1x + aне превосходит числа перемен знака в последовательности an,...

..., a1, a0.

6.63. Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отрицательных корней многочлена f(x) = anxn +... + a1x + a0 6.64. Докажите, что многочлен a3(b2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2) делится на (b - c)(c - a)(a - b).

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 30 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.