WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 65 |

Действительно, пусть x-y = u и y -z = v. Тогда (x-y)5 +(y -z)5 +(z -x)5 = = u5 + v5 - (u + v)5 = -5(u4v + 2u3v2 + 2u2v3 + vu4) = -5uv(u+ v)(u2 + uv + v2) и 5(y - z)(z - x)(x - y) = -5uv(u + v). Остаётся заметить, что u2 + uv + v2 = = x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz.

5.18. Докажем, что a b c a b c 1 1 + + = + + + +.

(b - c)2 (c - a)2 (a - b)2 b - c c - a a - b b - c c - a a - b Действительно, сумма трёх дробей a 1 1 ac - ab + =, b - c c - a a - b (a - b)(b - c)(c - a) b 1 1 ab - bc + =, c - a b - c a - b (a - b)(b - c)(c - a) c 1 1 bc - ac + = a - b b - c c - a (a - b)(b - c)(c - a) равна нулю.

5.19. Заметим, что n2 + 3n + 5 = (n + 7)(n - 4) + 33. Если число n2 + 3n + делится на 121, то число (n + 7)(n - 4) делится на 11. Но (n + 7) - (n - 4) = = 11, поэтому оба множителя делятся или не делятся на 11 одновременно.

Следовательно, если число (n + 7)(n - 4) делится на 11, то оно делится на 121. Но тогда число (n + 7)(n - 4) + 33 не может делиться на 121.

5.20. Представим данное выражение в виде (x + 2y)(x - y)(x + y)(x - 2y)(x + 3y).

64 Глава 5. Тождества При y = 0 все пять сомножителей этого произведения попарно различны, а число 33 нельзя представить в виде произведения пяти целых попарно различных сомножителей (хотя и можно представить в виде произведения четырёх попарно различных сомножителей, два из которых равны ±1). При y = рассматриваемое выражение превращается в x5. Ни при каком целом x число x5 не равно 33.

5.21. Число 24n+2 + 1 можно представить как в виде произведения (22 + + 1)(24n - 24n-2 +... - 22 + 1), так и в виде произведения (22n+1 + 2n+1 + + 1)(22n+1 - 2n+1 + 1). При n 2 эти разложения различны.

5.22. Воспользуемся тождеством (a - b)3 + (b - c)3 + c3 = 3b2(a - c) + a3 - 3b(a2 - c2).

Возьмём рациональное число t и положим a = 12t(t + 1), b = (t + 1)3 и c = 12t(t - 1). Тогда получим 72t(t + 1)6 = (a - b)3 + (b - c)3 + c3.

Если t = -1, то число w = 72t является суммой трёх кубов рациональных чисел:

3 3 a - b b - c c w = + +.

(t + 1)2 (t + 1)2 (t + 1)Остаётся заметить, что -72 = (-4)3 + (-2)3 + 03.

a b (a + b)x + (a - b) 5.23. Ясно, что + =. Поэтому = x - 1 x + 1 x2 - 1 x2 - 1 1 2x 1 = - и = +.

x - 1 x + 1 x2 - 1 x - 1 x + 5.24. Докажем требуемое утверждение индукцией по n. При n = 2 можно 1 положить A1 = и A2 =. Предположим теперь, что a2 - a1 a1 - a1 B1 Bn-= +.

(x + a1) ·... · (x + an-1) x + a1 x + an-Bi cni dni Представим каждую дробь в виде + и сложим (x + ai)(x + an) x + ai x + an такие выражения для i = 1, 2,..., n - 1. В результате получим требуемое выражение.

5.25. Применим индукцию по n. При n = 1 утверждение очевидно. Предположим, что требуемое утверждение доказано для n - 1 чисел. Тогда 1 B1 Bn-= +... +, (x + a1)... (x + an-1) x + a1 x + an-1 C2 Cn = +... +, (x + a2)... (x + an) x + a2 x + an где B1, C2 > 0, B2, C3 < 0, B3, C4 > 0,... При этом 1 1 an - a- =, (x + a1)... (x + an-1) (x + a2)... (x + an) (x + a1)... (x + an) Глава 5. Тождества где an-a1 > 0. Требуемые неравенства следуют из того, что (an -a1)A1 = B1, (an - a1)A2 = B2 - C2,..., (an - a1)An-1 = Bn-1 - Cn-1, (an - a1)An = -Cn.

5.26. Если указанное равенство справедливо для всех x, y, z, то a11 = b1c1, 2a12 = b1c2 + b2c1, a22 = b2c2, 2a13 = b1c3 + b3c1, a33 = b3c3, 2a23 = b2c3 + b3c2.

Действительно, это утверждение эквивалентно тому, что если A11x2 + A22y2 + A33z2 + 2A12xy + 2A13xz + 2A23yz = для всех x, y, z, то все коэффициенты Aij равны нулю. При x = 1, y = z = получаем A11 = 0. Аналогично A22 = A33 = 0. Теперь при x = y = 1, z = получаем A12 = 0. Аналогично A13 = A23 = 0.

Подставим в выражения a11a22a33+2a13a12a23 и a2 a11+a2 a22+a2 a33 по23 13 лученные представления aij через bp и cq. После несложных преобразований получаются одинаковые выражения.

5.27. Рассмотрим функцию 1 n - f(x) = [nx] - [x] - x + -... - x +.

n n Ясно, что 1 1 2 n - f x + = [nx + 1] - x + - x + -... - x + - [x + 1] = n n n n 1 n - = [nx] - [x] - x + -... - x + = f(x).

n n Поэтому f(x) = f(y) для некоторого числа y, удовлетворяющего неравенствам 0 y 1/n. Но для такого числа f(y) = 0.

5.28. Рассмотрим прямоугольник 0 x p, 0 y q и проведём в нём диагональ y = qx/p. Интересующая нас сумма равна числу точек с целыми координатами, лежащих строго внутри (не на границе) этого прямоугольника и под его диагональю. Симметрия относительно центра прямоугольника показывает, что под диагональю лежит столько же целочисленных точек, сколько и над диагональю. Из взаимной простоты чисел p и q следует, что на диагонали лежат только две вершины; других целочисленных точек на ней нет. Остаётся заметить, что всего внутри прямоугольника лежит (p - 1)(q - 1) целочисленных точек.

p - 1 q - 5.29. Рассмотрим прямоугольник 1 x, 1 y и проведём 2 прямую y = qx/p. Интересующая нас сумма состоит из двух частей. Первая часть равна числу целочисленных точек этого прямоугольника, лежащих под этой прямой, а вторая над. Внутри прямоугольника нет целочисленных точек, лежащих на рассматриваемой прямой. Поэтому интересующая нас сумма равна количеству целочисленных точек рассматриваемого прямоугольника, p - 1 q - т.е. она равна ·.

2 66 Глава 5. Тождества 5.30. Сначала сравним числа n + n + 1 и 4n + 2. Вместо знака неравенства поставим знак и будем рассматривать только преобразования, кото рые сохраняют знак неравенства: n+ n + 1 4n + 2 n+2 n(n + 1)+ + n + 1 4n + 2 2 n(n + 1) 2n + 1 4n2 + 4n 4n2 + 4n + 1. Значит, n + n + 1 < 4n + 2.

Предположим, что существует натуральное число m, для которого n + + n + 1 m 4n + 2. Тогда 2n + 1 + 2 n(n + 1) m2 4n + 2, а значит, 4n(n+1) (m-2n-1)2 4n(n+1)+1. Число 4n(n+1) не может быть полным квадратом, поэтому первое неравенство строгое. Значит, m2 - 2n - 1 = 2n + 1, т.е. m2 = 2(2n + 1), чего не может быть.

5.31. Положим x = n+ n + 1+ n + 2. Тогда x2 = 3n+3+2( n(n + 1)+ + n(n + 2) + (n + 1)(n + 2)). При n 1 выполняются неравенства 2 2 n + < n(n + 1) < n +, 5 n + < n(n + 2) < (n + 1)2, 2 7 n + < (n + 1)(n + 2) < n +.

5 2 7 7 5 1 Учитывая, что n + + n + + n + = 3n + и n + + n + 1 + n + = 3n + 3, 5 10 5 2 2 получаем 9n + 8 < x2 < 9n + 9, а значит, [x] = [ 9n + 8].

5.32. Согласно задаче 8.41 для любых чисел a > b > 0 выполняется a + b a3 + bнеравенство <. Применив это неравенство для a = n + 2 3 1 n + n + 3 3 3 и b = n, получим n + > > n n + 1 = n2 + n.

2 3 3 6 Значит, 8n + 4 > n + n + 1 > 64n2 + 64n > 8n + 3. Поэтому ес 3 ли 8n + 3 > m, то n n 1 > m. Кроме того, не существует целого + + 3 числа m, для которого n + n + 1 m > 8n + 3, поскольку иначе 8n + + 4 > m3 > 8n + 3, а между целыми числами 8n + 3 и 8n + 4 никаких других целых чисел нет.

Глава 6.

Рациональные и иррациональные числа 6.1. Сравнение чисел 6.1. Сравните, какое из больше: а) 2 + 3 или 11; б) 6 + чисел + 2 7 или 10 + 21; в) 11 или 5 - 5.

6.2. Сравните, какое из чисел больше: 2 + 2 + 2 +... (выражение состоит из какого-то конечного числа корней) или 2 6.2. Иррациональности в знаменателях В следующих задачах нужно избавиться от иррациональности в знаменателе дроби.

1 1 6.3. а) ; б) ; в).

2 + 3 2 + 3 2 + 3 + 1 6.4. а) ; б).

3 3 x - y x + y 1 6.5. а) ; б).

n 2n+n 2n+x - y x + y 6.6.

x - y 6.7..

3 x + y + z 68 Глава 6. Рациональные и иррациональные числа 6.8. Докажите, что можно избавиться от иррациональности в знаменателе, который представляет собой сумму квадратных корней из рациональных чисел.

6.3. Тождества с радикалами 6.9. Докажите, что если a > b, то a + a2 - b a - a2 - b ± = a ± b.

2 6.10. Представьте следующие числа в виде a ± b, где a и b натуральные числа. а) 3 + 2 2; б) 9 + 4 5; в) 7 - 2 10.

6.11. Докажите, что 4 + 7 - 4 - 7 = 2.

3 6.12. Докажите, что число 20 + 14 2+ 20 - 14 2 рационально.

6.13. Докажите, что следующие числа рациональны:

242 3 а) 3 + + 3 - ;

27 847 3 б) 6 + + 6 -.

27 3 3 6.14. Докажите, что 4 - 1 + 16 - 4 = 3.

6.15. Докажите следующие тождества Рамануджана:

1 2 3 3 3 а) 2 - 1 = - + ;

9 9 3 3 3 3 б) 5 - 4 = 2 + 20 - 25 ;

5 3 3 в) 7 20 - 19 = - ;

3 4 3 + 2 5 5 + г) = ;

4 3 - 2 5 5 - 3 3 3 д) 28 - 27 = 98 - 28 - 1 ;

3 32 27 1 3 5 5 5 5 е) - = + -.

5 5 25 25 Глава 6. Рациональные и иррациональные числа 6.4. Доказательства иррациональности и рациональности 6.16. Докажите, что следующие числа иррациональны: а) p, где p простое число; б) p1... pk, где p1,..., pk различные простые p1... pk числа; в), где p1,..., pn различные простые числа.

pk+1... pn 6.17. Докажите, что число 2 + 3 иррационально.

6.18. Выясните, рационально ли число 3 = 4 + 15 + 4 - 15.

6.19. а) Докажите, что если числа a, b, a + b рациональные, то числа a и b тоже рациональные.

б) Докажите, что если числа a, b, c, a + b + c рациональные, то числа a, b и c тоже рациональные.

в) Докажите, что если числа a1,..., an, a1 +... + an рациональ ные, то числа a1,..., an тоже рациональные.

6.20. Пусть p1,..., pk различные простые числа. Докажите, что число pk нельзя представить в виде суммы рационального числа и чисел pi... pi, где 1 i1 <... < is k - 1, с рациональными 1 s коэффициентами.

6.5. Сопряжённые числа 6.21. а) Пусть p простое число. Докажите, что никакое число нельзя представить двумя разными способами в виде m + n p, где m и n рациональные числа.

б) Докажите аналогичное утверждение для представлений в виде m + n p, где p произведение попарно различных простых чисел.

Таким образом, для каждого числа z вида m + n p, где m и n рациональные числа, а p произведение попарно различных простых чисел, можно определитьсопряжённое число z = m - n p.

6.22. Докажите, что если (a + b p)n = An + Bn p, где p произведение различных простых чисел, а числа a, b, An, Bn рациональные, то (a - b p)n = An - Bn p.

6.23. Найдите первую цифру после запятой числа (2 + 3)1000.

70 Глава 6. Рациональные и иррациональные числа 6.24. Докажите, что рациональных чисел x, y, z и t не может выполняться равенство (x + y 2)2 + (z + t 2)2 = 5 + 4 2.

6.25. Докажите, что для натуральных чисел m и n не может выпол няться равенство (5 + 3 2)m = (3 + 5 2)n.

6.26. а) Докажите, что ( 2 - 1)n = k - k - 1, где k некоторое натуральное число.

б) Пусть m и n натуральные числа. Докажите, что ( m - m - 1)n = k - k - 1, где k некоторое натуральное число.

6.27. Докажите, что для любого натурального n число [(1+ 3)2n+1] делится на 2n+1 и не делится на 2n+2.

6.6. Последовательность Фарея 6.28. Расположим в порядке возрастания все рациональные числа, которые заключены между нулём и единицей и знаменатели которых не превосходят n. Пусть a/b и c/d два соседних числа в этой последовательности. Докажите, что |bc - ad| = 1.

Последовательность чисел из задачи 6.28 называют последовательностью Фарея и обозначают Fn.

a x c 6.29. Пусть < < три последовательные дроби в последоваb y d x a + c тельности Фарея. Докажите, что =.

y b + d a c 6.30. Пусть < две последовательные дроби в последовательb d ности Фарея Fn. Докажите, что b + d > n.

6.31. В последовательности Фарея Fn вычислите дроби, соседние с 1/2.

6.32. а) Докажите, что сумма знаменателей дробей в последовательности Фарея в 2 раза меньше суммы числителей.

б) Докажите, что сумма дробей в последовательности Фарея в 2 раза меньше количества её членов.

6.33. Докажите, что количество членов в последовательности Фарея n Fn равно (q), где функция Эйлера.

q=Глава 6. Рациональные и иррациональные числа 6.7. Задачи с целыми частями 6.34. Пусть и положительные числа. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

(1) каждое натуральное число ровно один раз встречается среди чисел [], [], [2], [2], [3], [3],...

1 (2) + = 1, причём иррационально.

6.35. Пусть 1,..., k положительные числа, обладающие следующим свойством: каждое натуральное число ровно один раз встречается среди чисел [], [], [2], [2], [3], [3],... Докажите, что k 2.

Решения 6.1. Вместо знака неравенства поставим знак и будем рассматривать только преобразования, которые сохраняют знак неравенства.

а) 2 + 3 11 2 + 2 6 + 3 11 2 6 6 6 9. Значит, 2 + 3 < 11.

б) 6 + 21 6 + 4 42 + 28 10 + 2 210 + 21 3 + 2 7 10 + + 4 42 2 210 9 + 24 42 + 672 840 24 42 159 24 192 25 281.

Значит, 6 + 2 7 < 10 + 21.

3 в) 11 5 + 5 5 5 - 11 125 - 5 75 11 + 165 - 11 86 11 285 81 356 81 225. Значит, 11 > 5 + 5.

6.2. Если a < 2, то 2 + a < 2 + 2 = 2. Поэтому 2 + 2 + 2 +... < 2.

1 2 - 6.3. а) = = 2 - 3.

2 + 3 (2 + 3)(2 - 3) 1 3 - б) = = 3 - 2.

2 + 3 ( 2 + 3)( 3 - 2) в) Нужно воспользоваться тем, что ( 2 + 3 + 5)( 2 + 3 - 5)( 2 - 3 + 5)( 2 - 3 - 5) = = ( 2 - 3)2 - 5 ( 2 + 3)2 - 5 = = (2 - 2 6 + 3 - 5)(2 + 2 6 + 3 - 5) = -24.

6.4. а) Домножьте знаменатель x2 + xy y2.

на + б) Домножьте знаменатель на x2 - xy + y2.

n n n 6.5. а) Домножьте знаменатель на xn-1 + xn-2y +... yn-1.

+ 2n+2n+1 2n+б) Домножьте знаменатель на x2n- x2n-1y+ x2n-2y2-...+ n + y2n.

72 Глава 6. Рациональные и иррациональные числа 3 6.6. Домножьте знаменатель на ( x + y)(x2 + x y2 + y4).

6.7. Воспользовавшись тождеством из задачи 5.4, запишем 3 3 3 3 3 3 3 x + y + z - 3 xyz = ( x + y + z)( x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx).

После этого остаётся избавиться от иррациональности в знаменателе дроби. Это мы уже делали в задаче 6.4: нужно домножить знаме x + y + z - 3 xyz натель на (x + y + z)2 + 3(x + y + z) xyz + 9 x2y2z2.

6.8. После умножения числителя и знаменателя на некое натуральное число можно считать, что в знаменателе получится сумма с целыми коэффициентами квадратных корней из простых чисел p1,..., pk и произведений этих квадратных корней. Применим индукцию по k. Знаменатель можно предста вить в виде a + b pk, где числа a и b выражаются через квадратные корни из p1,..., pk-1. Равенство 1 a - b pk = a + b pk a2 - b2pk позволяет сделать шаг индукции, если a2 - b2pk = 0. Ясно также, что можно считать, что b = 0. Остаётся рассмотреть случай, когда pk = a2/b2, т.е. pk = = ±a/b. По условию a + b pk = 0, поэтому pk = a/b и a + b pk = 2a. Шаг индукции очевиден и в этом случае.

6.9. В левой части стоит положительное число, поэтому достаточно проверить, что после возведения обеих частей в квадрат получим тождество. Это легко проверяется, поскольку (a + a2 - b)(a - a2 - b) = b.

6.10. Воспользовавшись формулой из задачи 6.9, получим следующие от веты: а) 1 + 2; б) 2 + 5; в) 5 - 2.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.