WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 58 | 59 || 61 | 62 |   ...   | 65 |

496 Дополнение 3. Представление чисел в виде суммы двух квадратов В одном из своих писем Пьер Ферма в 1658 г. сообщал, что он получил “неопровержимые доказательства” того, что любое простое число вида 4k + 1 является суммой двух квадратов, а любое число является суммой не более чем четырёх квадратов. Никаких записей этих доказательств Ферма не оставил. Прошло почти сто лет, и этими теоремами заинтересовался Леонард Эйлер. Первую из них он доказал в 1747 г., а через два года он нашёл другое изящное и сравнительно простое доказательство той же теоремы. Вторая теорема была доказана лишь в 1770 г. Лагранжем, после чего Эйлер сумел значительно упростить его доказательство.

В дальнейшем были найдены другие интересные доказательства теоремы о представлении простых чисел p = 4k + 1 в виде суммы двух квадратов; некоторые из них приведены в решениях задач 31.53–31.и 36.19 а). Но все они, как и доказательство Эйлера, были не вполне элементарны. И лишь совсем недавно1 было получено очень изящное и вполне элементарное доказательство этой теоремы.

Центральное место в этом доказательстве занимает простое, но важное понятие инволюции. Пусть M некоторое множество. Отображение : M M называют инволюцией, если ((m)) = m для любого элемента m множества M. Примером инволюции служит любая симметрия. Инволюция позволяет разбить точки (элементы множества M) на пары {m, (m)} “симметричных” точек. Для элемента (m) получается та же самая пара, что и для элемента m, так как ((m)) = m. Пара элементов не возникает лишь в том случае, когда (m) = m (такие точки m называют неподвижными). Поэтому если на конечном множестве M задана инволюция, то чётность количества элементов M совпадает с чётностью количества неподвижных точек инволюции (остальные элементы разбиваются на пары, поэтому их количество чётно).

Общая схема доказательства такова. Рассмотрим множество всех решений уравнения x2 + 4yz = p в натуральных числах. Достаточно доказать, что если p = 4k + 1, то у этого уравнения есть решение, для которого y = z. В самом деле, тогда p = x2 + (2y)2. Решение, для которого y = z, это неподвижная точка инволюции (x, y, z) = (x, z, y).

Поэтому достаточно доказать, что общее количество решений нечётно.

Для этого строится совсем другая инволюция, имеющая ровно одну D. Zagier, A one-sentence proof that every prime p 1 (mod 4) is a sum of two squares, Amer. Math. Monthly 97 (1990) P. 114.

Дополнение неподвижную точку. Вот эта инволюция:

(x + 2z, z, y - x - z), x < y - z; (1) (x, y, z) = (2y - x, y, x - y + z), y - z < x < 2y; (2) (x - 2y, x - y + z, y), 2y < x. (3) Отметим сначала, что x = 2y и x = y - z, так как иначе p = x2 + 4yz = = 4(y2 +yz) или p = (y-z)2 +4yz = (y+z)2. Проверим, далее, что любое решение уравнения x2 + 4yz = p инволюция действительно переводит в решение. Это следует из тождеств (x + 2z)2 + 4z(y - x - z) = x2 + 4yz, (x - 2y)2 + 4y(x - y + z) = x2 + 4yz.

Пусть (x, y, z) = (x, y, z ). Если x < y - z, то x = x+ 2z > 2z = 2y, т. е. точка типа (1) переходит в точку типа (3). Аналогично проверяется, что точка типа (3) переходит в точку типа (1), а точка типа (2) в точку типа (2). После этого уже легко проверить, что инволюция.

Точка типа (1) не может быть неподвижной, так как x = x+ 2z > x;

для точки типа (3) x = x - 2y < x. Поэтому неподвижной может быть лишь точка типа (2), причём для неё должно выполняться соотношение z = z = x - y + z, т. е. x = y. В таком случае p = x2 + 4yz = x(x + 4z), а значит, x = y = 1 (здесь мы используем простоту числа p). Если p = = 4k + 1, то (1, 1, k) неподвижная точка (здесь мы используем то, что число p имеет вид 4k + 1). Доказательство завершено.

Сделаем ещё некоторые замечания по поводу представления чисел в виде суммы двух квадратов. Прежде всего отметим, что простое число вида 4k + 3 нельзя представить в виде суммы двух квадратов. В самом деле, квадрат числа 2m + 1 равен 4(m2 + m) + 1, поэтому остаток от деления его на 4 равен 1. Следовательно, остаток от деления суммы двух квадратов на 4 равен 0, 1 или 2, но никак не 3.

Условие простоты числа p = 4k + 1 тоже существенно. Например, число 21 нельзя представить в виде суммы двух квадратов.

Отметим также, что если m = a2 + b2 и n = c2 + d2, то mn = (ac + +bd)2 + (ad- bc)2 тоже сумма двух квадратов. Поэтому произведение простых чисел вида 4k + 1 можно представить в виде суммы двух квадратов. Если же в какое-то натуральное число простой множитель вида 4k + 3 входит в нечётной степени, то это число нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Это следует из того, что если a2 + b2 делится на простое число p = 4k + 3, то оба числа a и b делятся на p (задача 31.2).

498 Дополнение 4. Построение правильного 17-угольника В Древней Греции геометры использовали для построений разные инструменты, но основными инструментами были циркуль и линейка.

А в самом знаменитом древнегреческом учебнике геометрии, “Началах” Евклида, никакие другие инструменты вообще не встречаются. Поэтому под геометрическими построениями обычно подразумевают построения циркулем и линейкой. Циркуль позволяет построить окружность данного радиуса с центром в данной точке, а линейка позволяет построить прямую, проходящую через две данные точки.

Построению правильных многоугольников в “Началах” Евклида уделено большое внимание. Построение правильного треугольника описано в Предложении 1 Книги I, а почти вся Книга IV посвящена построению других правильных многоугольников: квадрата, пятиугольника, шестиугольника, пятнадцатиугольника. Но ничего существенно нового геометры не могли добавить очень долго, вплоть до 1796 г., когда 19-летний Гаусс показал, что с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 17-угольник. Впоследствии он доказал, что если k число n = 22 + 1 простое, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный n-угольник. Гаусс утверждал также, что он умеет доказывать, что правильный n-угольник можно построить лишь в том случае, когда n = 2mp1... ps, где p1,..., ps различные простые чисk ла вида 22 + 1. Но ни в одной из его работ нет доказательства этого утверждения.

Построение правильного 17-угольника в большей степени относится не к геометрии, а к алгебре. Формула Муавра (cos + i sin )n = cos n + i sin n 2k 2k показывает, что корни уравнения xn-1 = 0 имеют вид cos +i sin.

n n На комплексной плоскости эти точки являются вершинами правильного n-угольника. Таким образом, построение правильного n-угольника тесно связано с решением уравнения xn - 1 = 0. Это уравнение имеет очевидный корень x = 1. Чтобы избавиться от него, поделим многочлен xn - 1 на x - 1. В результате получим многочлен xn-1 + xn-2 +... + + x2 + x + 1. Именно его мы будем рассматривать в дальнейшем.

Будем говорить, что комплексное число a+ib можно построить, если можно построить отрезки длиной a и b, т. е. можно построить точку a+ + ib на комплексной плоскости. Если задан отрезок единичной длины, то по данным отрезкам a и b можно построить отрезки a ± b, ab, a/b, Дополнение a. Несложно проверить, что 1/2 1/ a2 + b2 + a a2 + b2 - a a + ib = ± + i.

2 Поэтому если отрезки a и b можно построить, то число a + ib тоже можно построить. В итоге получаем, что если числа u и v можно построить, то корни уравнения x2 + ux + v = 0 тоже можно построить.

Разберём для начала с этой точки зрения построение правильных n-угольников при n = 3 и n = 5. При n = 3 получаем уравнение x2 +x+ +1 = 0. Это уравнение квадратное, поэтому его корни можно построить.

При n = 5 получаем уравнение x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0. Положим u = x + x-1. Легко проверить, что u2 + u - 1 = 0. Корни u1 и u2 этого уравнения можно построить. С их помощью можно построить корни уравнений x2 - u1x + 1 = 0 и x2 - u2x + 1 = 0. Эти корни являются корнями исходного уравнения.

Теперь можно непосредственно заняться построением правильного 17-угольника. Для этого, как мы убедились, достаточно доказать, что корни уравнения x16 + x15 +... + x + 1 = 0 можно получить, последовательно решая квадратные уравнения. Достаточно даже получить один 2 корень = cos + i sin ; остальные корни имеют вид 2, 3,..., 16.

17 Доказательство Гаусса основано на специальной нумерации этих корней. Он нумерует корни таким образом, чтобы при фиксированном l переход от k (корня с номером k) к k+l происходил по одному и тому же правилу, а именно, чтобы при таком переходе число k возводилось в некоторую фиксированную степень. Такую нумерацию можно k получить, положив k = g, где числа 1, g, g2, g3,..., g15 дают разные остатки при делении на 17. В самом деле, в таком случае k+l k l k+l = g = g gl = (k)g.

В качестве g можно взять, например, число 3. При этом 0 =, 1 = 3, 2 = 9, 3 = 10, 4 = 13, 5 = 5, 6 = 15, 7 = 11, 8 = 16, 9 = 14, 10 = 8, 11 = 7, 12 = 4, 13 = 12, 14 = 2, 15 = 6.

Рассмотрим сначала квадратное уравнение с корнями 7 x1 = 2k, x2 = 2k+1.

k=0 k=500 Дополнение По теореме Виета i = -1, поэтому x1 + x2 = -1. Легко проверить, что x1 = ( + 16) + (8 + 9) + (2 + 15) + (4 + 13) = = 2(cos + cos 8 + cos 2 + cos 4), x2 = 2(cos 3 + cos 7 + cos 5 + cos 6), где = 2/17. Воспользовавшись формулой 2 cos p cos q = cos(p + q) + cos(p - q), получим x1x2 = 8(cos + cos 2 + cos 3 +... + cos 8) = 4(x1 + x2) = -4.

Таким образом, x1 и x2 удовлетворяют квадратному уравнению x2 + + x - 4 = 0 с целыми коэффициентами. Следовательно, x1 и x2 можно построить.

Рассмотрим теперь квадратные уравнения с корнями y1 = 4k = 2(cos + cos 4), k= y2 = 4k+2 = 2(cos 8 + cos 2).

k=Легко проверить, что y1 + y2 = x1 и y1y2 = 2(cos + cos 2 + cos 3 +... + cos 8) = x1 + x2 = -1.

Таким образом, y1 и y2 корни квадратного уравнения y2 -x1y +1 = 0.

Аналогично доказывается, что y3 = 4k+1 = 2(cos 3 + cos 5), k= y4 = 4k+3 = 2(cos 7 + cos 6) k= корни квадратного уравнения y2 - x2y + 1 = 0. Следовательно, y1, y2, y3 и y4 можно построить.

Рассмотрим, наконец, квадратное уравнение с корнями z1 = 0 + 8 = 2 cos, z2 = 4 + 12 = 2 cos 4.

Ясно, что z1 + z2 = y1 и z1z2 = 2(cos 5 + cos 3) = y3. Таким образом, z1 и z2 корни квадратного уравнения z2 - y1z + y3 = 0. Поэтому число z1 = 2 cos можно построить, а значит, можно построить и число = cos +i sin. Но тогда можно построить и правильный 17-угольник.

Дополнение 5. Построения циркулем и линейкой Здесь мы докажем, что с помощью циркуля и линейки нельзя выпол нить некоторые построения, например, нельзя построить отрезок 2a, если задан отрезок длины a, и нельзя разделить произвольный угол на три равные части. Первая из этих задач называется удвоением куба, потому что она эквивалентна задаче о построении ребра куба в 2 раза большего объёма, чем куб с данным ребром. Вторая задача называется трисекцией угла. Кроме того, мы докажем, что с помощью циркуля и линейки нельзя построить треугольник по длинам его биссектрис.

Сначала нужно точно сформулировать, что такое построение циркулем и линейкой. В задаче на построение циркулем и линейкой обычно бывает задан некоторый набор точек. Окружность и прямую можно задать двумя точками, поэтому включать в набор исходных данных окружности и прямые нет необходимости. В некоторых задачах набор исходных данных может быть пустым множеством; например, в задаче о построении правильного треугольника или пятиугольника исходного набора данных нет. Задача на построение заключается в том, чтобы добавить к исходному набору точек некоторые другие точки так, чтобы при этом в новом наборе содержались некоторые требуемые точки. К исходным данным разрешается добавлять следующие точки, прямые и окружности:

1) прямую, проходящую через две данные точки;

2) окружность с данным центром, проходящую через данную точку;

3) точку пересечения двух данных прямых, двух данных окружностей или данной прямой и данной окружности;

4) произвольную точку.

Добавление произвольной точки требует пояснений. Подразумевается, что конечный результат должен не зависеть от выбора этой точки. Точнее говоря, если вместо выбранной произвольной точки мы возьмём любую другую достаточно близкую к ней точку, то при этом конечный результат не должен измениться. Отметим, что операция выбора произвольной точки на данной прямой l или данной окружности S не даёт ничего нового. Действительно, вместо этого можно выбрать две произвольные точки A и B и построить точку пересечения прямой AB с прямой l или с окружностью S.

Выясним, по каким алгебраическим правилам получаются координаты добавляемых точек из координат исходных точек. Введём на плоскости прямоугольную систему координат Oxy. Каждая точка плоскости 502 Дополнение имеет две координаты. Рассмотрим набор всех численных значений координат исходных точек, не различая координаты x и y.

Теорема 1. Предположим, что к набору точек с координатами t1,..., tn в процессе построений циркулем и линейкой добавилась ровно одна точка с координатами s1 и s2. Тогда либо число si (i = 1, 2) рационально, либо оно получается из чисел t1,..., tn применением операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.

Доказательство. Разберём все возможные варианты добавления одной точки.

а) Добавление произвольной точки. Для любой точки найдётся сколь угодно близкая к ней точка, обе координаты которой рациональны. Поэтому в качестве произвольной точки всегда можно выбрать точку с рациональными координатами.

б) Добавление точки пересечения двух прямых. Прямая, проходящая через точки с координатами (a1, b1) и (a2, b2), задаётся уравнением x - a1 a2 - a=, y - b1 b2 - bт.е. (b2 - b1)x + (a1 - a2)y = a1b2 - a2b1. Коэффициенты этого уравнения получаются из координат исходных точек применением операций умножения и вычитания.

Точка пересечения прямых, заданных уравнениями p1x + q1y = r1, p2x + q2y = r2, имеет координаты r1q2 - r2q1 p1r2 - p2r,.

p1q2 - p2q1 p1q2 - p2qЭти числа получаются из коэффициентов уравнений применением операций вычитания, умножения и деления. Следовательно, координаты точки пересечения двух прямых, проходящих через две пары данных точек, можно получить из координат этих четырёх данных точек, применяя операции вычитания, умножения и деления.

Операция извлечения квадратного корня пока не использовалась.

Она нужна лишь для нахождения координат точек пересечения прямой и окружности или двух окружностей.

в) Добавление точки пересечения прямой и окружности. Окружность с центром (a1, b1), проходящая через точку (a2, b2), имеет уравнение (x - a1)2 + (y - b1)2 = (a2 - a1)2 + (b2 - b1)2, Дополнение т.е. x2 - 2a1x + y2 - 2b1y = c1, где c1 = a2 - 2a1a2 + b2 - 2b1b2.

2 Для нахождения координат точек пересечения прямой px + qy = r и окружности x2 - 2ax + y2 - 2by = c нужно решить систему уравнений px + qy = r, x2 - 2ax + y2 - 2by = c.

Pages:     | 1 |   ...   | 58 | 59 || 61 | 62 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.