WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 56 | 57 || 59 | 60 |   ...   | 65 |

Пусть A исходная точка луча света, т.е. точка, симметричная точке A относительно оси Oy. Тогда точка A1 симметрична точке A относительно диаметра AB. Несложные вычисления углов показывают, что A1 = ei(3+).

Положим = +. Тогда 3 + = 3 + 3 + = 3 + для = -. В результате мы оказываемся в ситуации задачи 38.9 для k = 3, что соответствует эпициклоиде с двумя точками возврата.

38.11. Будем считать, что окружность единичная, а A = (-1, 0). Тогда луч, попадающий в точку ei, после отражения попадает в точку ei(2+).

Положим = +. Тогда 2 + = 2 + 2 + = 2 + для = -. В результате мы оказываемся в ситуации задачи 38.9 для k = 2, что соответствует эпициклоиде с одной точкой возврата.

38.12. Окружность радиуса R параметрически можно задать формулами x(t) = R cos t, y(t) = R sin t. При этом v(t) = (-R sin t, R cos t). Пусть dv = 1/R. Тогда v(t) = 1, т.е. t натуральный параметр. При этом = dt dv = -R-1(cos t, sin t) и k = = 1/R.

dt d d ds d 38.13. Если s натуральный параметр, то = · и = 1. По dt ds dt ds 2 2 -1/ d ds d d d этому =. Следовательно, =. Дифференцируя dt dt ds dt dt Глава 38. Кривые на плоскости это равенство по t, получаем -1/2 -3/ d2 ds d2 d d d d2 d · = · - ·, · = ds2 dt dt2 dt dt dt dt2 dt (, ) 2 - (, ) = - =.

2 ( 2)3 ( 2) 2 d2 ds Возведём это равенство в квадрат. Учитывая, что = k2 и = 2, ds2 dt получаем 2 2 - (, )2 (x 2 + y 2)(x 2 + y 2) - (x x + y y )k2 = =.

( 2)3 (x 2 + y 2)Последнее выражение легко преобразуется к требуемому виду.

38.14. Рассмотрим следующую параметризацию эллипса: x(t) = a cos t, y(t) = b sin t. Тогда x y - y x = -ab(cos2 t + sin2 t) = -ab, 2 x + y = a2 sin2 t + b2 cos2 t.

Поэтому согласно задаче 38.a2bk2 =.

(a2 sin2 t + b2 cos2 t)Замечание. Другим способом кривизна эллипса вычисляется в задаче 38.16.

38.15. Можно считать, что кривая задаётся уравнением y = f(x), причём f (0) = 0. При этом нас интересует центр кривизны для точки 0,. Нор f(0) маль к кривой в точке, f() задаётся уравнением (x-)+f () y -f() = = 0; нормаль в точке 0, f(0) это координатная ось Ox. Пересече ние этих нормалей точка 0, f() +. При 0 получаем точку f () 0, f(0) +. Это как раз и есть центр кривизны.

f (0) 38.16. Для фиксированной точки (x0, y0) рассмотрим на эллипсе функцию F (t) = (x0 - a cos t)2 + (y0 - b sin t)2. Нас интересует точка (x0, y0), для которой F (t0) = 0 и F (t0) = 0, т.е.

x0a sin t0 - y0b cos t0 + (b2 - a2) sin t0 cos t0 = 0, x0a cos t0 + y0b sin t0 + (b2 - a2)(cos2 t0 - sin2 t0) = 0.

Решая эту систему уравнений, находим a2 - b2 a2 - bx0 = cos3 t0, y0 = - sin3 t0.

a b 480 Глава 38. Кривые на плоскости Теперь радиус кривизны R вычисляется по формуле (a2 sin2 t0 + b2 cos2 t0)R2 = (x0 - a cos t0)2 + (y0 - b sin t0)2 =.

a2b38.17. Выражения для фокальных точек, полученные в решении задачи 38.16, показывают, что они лежат на кривой (ax)2/3 + (by)2/3 = (a2 - b2)2/3.

38.18. Пусть фиксированная прямая это ось Ox, а в начальный момент фиксированная точка совпадает с началом координат O. Будем также предполагать, что окружность имеет радиус 1 и катится она в верхней полуплоскости. Пусть через некоторое время фиксированная точка сместилась в точку X; при этом катящаяся окружность S1 касается оси Ox в точке P (рис. 38.4). Тогда длина отрезка OP равна длине дуги P X. Пусть P Q диаQ SX X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X P O O1 x X Sl Q O Рис. 38.4.

метр окружности S1 и O1 точка (, 0), т.е. середина отрезка с концами в первом и втором положении фиксированной точки на оси Ox. Тогда длина отрезка O1P равна длине дуги QX. Поэтому если мы рассмотрим окружность S1, симметричную S1 относительно точки P, и рассмотрим на ней точки X и Q, симметричные X и Q, то длина дуги Q X равна длине отрезка Q1P. Рассмотрим прямую l, которая проходит через точку Q параллельно исходной фиксированной прямой. Пусть O проекция точки O1 на эту прямую. Тогда длина отрезка O1P равна длине отрезка Q O. Поэтому длина дуги Q X равна длине отрезка Q O, т.е. точка X расположена на циклоиде, которая получается, когда окружность радиуса 1 катится по прямой l навстречу исходной Глава 38. Кривые на плоскости окружности, причём в начальный момент фиксированная точка расположена в точке O.

Покажем, что прямая XX одновременно является нормалью к первой циклоиде и касательной ко второй циклоиде. Точка P является мгновенным центром вращения точки X, поэтому прямая P X является нормалью к первой циклоиде. Точка Q является мгновенным центром вращения точки X, поэтому прямая Q X является нормалью ко второй циклоиде, а прямая P X является касательной.

Глава 39.

Теория множеств 39.1. Конечные множества 39.1. Дано непустое конечное множество. Докажите, что количество его подмножеств, содержащих чётное число элементов, равно количеству подмножеств, содержащих нечётное число элементов.

39.2. Операции над множествами В теории множеств приняты следующие обозначения:

x X x элемент множества X (x принадлежит множеству X);

x X x не принадлежит X;

A X A подмножество X, т.е. каждый элемент множества A принадлежит X;

A B объединение множеств A и B; оно состоит из тех элементов, которые являются элементами множества A или множества B;

A B пересечение множеств A и B; оно состоит их тех элементов, которые одновременно являются элементами множества A и элементами множества B;

В том случае, когда фиксировано некоторое множество U, используют обозначение A дополнение множества A; оно состоит из тех элементов множества U, которые не являются элементами множества A.

39.2. а) Докажите, что A (B C) = (A B) (A C).

б) Докажите, что A (B C) = (A B) (A C).

Глава 39. Теория множеств 39.3. Докажите, что A B = A B и A B = A B (законы де Моргана).

Тождества, подобные тем, которые доказываются в задачах 39.и 39.3, удобно доказывать с помощью так называемых диаграмм Венна, на которых рассматриваемые множества изображаются в виде пересекающихся кругов. В случае n множеств берутся n выпуклых фигур (кругами не всегда можно обойтись), границы которых разбивают плоскость на 2n частей. Если все рассматриваемые множества лежат в фиксированном множестве U, то это множество U можно изобразить в виде круга, содержащего все остальные фигуры.

39.4. Решите задачи 39.2 и 39.3, нарисовав соответствующие диаграммы Венна.

39.3. Равномощные множества Два множества X и Y называют равномощными, если существует отображение f : X Y, которое является взаимно однозначным, т.е.

для любого элемента y Y существует ровно один элемент x X, для которого f(x) = y. Другими словами, между элементами множеств X и Y установлено соответствие, при котором каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества.

Мы будем использовать следующие обозначения и терминологию:

• отрезок [a, b] состоит из точек x, удовлетворяющих неравенствам a x b;

• интервал (a, b) состоит из точек x, удовлетворяющих неравенствам a < x < b;

• полуинтервал [a, b) состоит из точек x, удовлетворяющих неравенствам a x < b; полуинтервал (a, b] состоит из точек, удовлетворяющих неравенствам a < x b.

39.5. Докажите, что отрезки [0, 1] и [0, a] равномощны для любого положительного числа a.

39.6. Докажите, что интервал (0, 1) и луч (1, +) равномощны.

39.7. Докажите, что интервал (-1, 1) равномощен множеству всех действительных чисел.

39.8. Докажите, что множество всех бесконечных последовательностей a1, a2,..., где ai = 0 или 1 для всех i, равномощно множеству всех подмножеств натуральных чисел.

484 Глава 39. Теория множеств 39.9. Докажите, что отрезок [0, 1] равномощен полуинтервалу [0, 1).

39.4. Счётные множества Множество называют счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел.

39.10. Докажите, что множество целых чисел счётно.

39.11. Докажите, что множество рациональных чисел счётно.

39.12. Докажите, что любое подмножество счётного множества либо конечно, либо счётно.

39.13. Докажите, что объединение счётного множества счётных множеств счётно.

39.14. Докажите, что для каждого натурального n множество всех последовательностей из n натуральных чисел счётно.

39.15. Докажите, что множество всех конечных последовательностей натуральных чисел счётно.

39.16. Докажите, что множество всех алгебраических чисел счётно.

39.17. Докажите, что множество попарно не пересекающихся отрезков на прямой конечно или счётно.

39.18. Докажите, что множество попарно не пересекающихся кругов на плоскости конечно или счётно.

39.19. Докажите, что если множество X бесконечно, а множество Y конечно или счётно, то множество X Y равномощно X.

39.5. Мощность континуума Говорят, что множество имеет мощность континуума, если оно равномощно множеству действительных чисел.

39.20. а) Докажите, что множество точек интервала (0, 1) имеет мощность континуума.

б) Докажите, что множество точек отрезка [0, 1] имеет мощность континуума.

39.21. а) Докажите, что множество всех бесконечных последовательностей a1, a2,..., где ai = 0 или 1, имеет мощность континуума.

б) Докажите, что множество всех подмножеств множества натуральных чисел имеет мощность континуума.

Глава 39. Теория множеств 39.22. Докажите, что множество всех точек квадрата имеет мощность континуума.

39.6. Свойства мощности 39.23. Докажите, что никакое множество X не равномощно множеству P (X) всех своих подмножеств. (Кантор) 39.24. Докажите, что если множество имеет мощность континуума, то оно не счётно.

39.7. Парадоксы теории множеств С самого начала развития теории множеств выяснилось, что рассмотрение множеств, элементами которых служат другие множества, может привести к противоречию: два взаимно исключающих утверждения будут убедительно доказаны.

Парадокс Рассела Каждое множество X либо не является элементом самого себя1, либо является. Пусть Y множество, элементами которого являются все те множества X, которые не являются элементами самого себя. Попробуем выяснить, что верно: Y Y или Y Y Если Y Y, то по определению множество Y не является элементом Y, а если Y Y, то по определению множество Y является элементом Y.

Парадокс Кантора Пусть M множество всех множеств, P (M) множество всех его подмножеств. Из определения M видно, что P (M) содержится в M. С другой стороны, по теореме Кантора (задача 39.23) множество P (M) имеет строго б мощность, чем M, поэтому оно не может содерольшую жаться в M.

Чтобы избежать парадоксов такого рода, в аксиоматической теории множеств вводится так называемая аксиома фундирования: не существует бесконечной последовательности множеств X1 X2, X2 X3, Именно такими являются множества, с которыми обычно имеют дело в математике: множество натуральных чисел, множество действительных чисел и т.п.

486 Глава 39. Теория множеств X3 X4,... В частности, никакое множество не может быть элементом самого себя. Тогда парадокс Рассела разрешается так, что описанный указанным образом объект Y не существует (не является множеством).

Решения 39.1. Фиксируем в данном множестве один элемент x. Подмножества данного множества можно разбить на пары следующим образом: берём произвольное подмножество, не содержащее x, и в качестве второго множества пары берём то же самое подмножество и добавляем к нему элемент x. В каждой паре одно множество состоит из чётного числа элементов, а другое из нечётного.

39.2. а) Если x A (B C), то x A или x B C. Если x A, то x A B и x A C, поэтому x (A B) (A C). Если же x B C, то x B и x C, поэтому x A B и x A C, а значит, x (A B) (A C).

Если x (A B) (A C), то x A B и x A C. Поэтому x A или x B C. Значит, x A (B C).

б) Если x A (B C), то x A и x B C. Поэтому x A B или x A C.

Если x (A B) (A C), то x A B или x A C. Поэтому x A или x B C.

39.3. x A B x A B x A и x B x A B.

x A B x A B x A или x B x A B.

39.4. Требуемые диаграммы изображены на рис. 39.39.5. Взаимно однозначное отображение [0, 1] [0, a] задаётся формулой x ax.

39.6. Взаимно однозначное отображение (0, 1) (1, +) задаётся формулой x 1/x.

x 39.7. Функция f(x) = tg задаёт взаимно однозначное отображение интервала (-1, 1) на множество всех действительных чисел.

39.8. Сопоставим последовательности a1, a2,... множество, состоящее из тех натуральных чисел n, для которых an = 1. В результате получим взаимно однозначное соответствие между последовательностями указанного вида и множествами натуральных чисел.

39.9. Выберем бесконечную последовательность попарно различных чисел a1, a2,..., заключённых строго между 0 и 1. Построим отображение f : [0, 1] [0, 1) следующим образом: f(1) = a1, f(ai) = ai+1 и f(x) = x, если x отлично от 1 и от ai для всех i. Ясно, что отображение f взаимно однозначно. Действительно, обратное отображение f-1 : [0, 1) [0, 1] устроено следующим образом: f-1(a1) = 1, f-1(ai) = ai-1 при i 2 и f(x) = x, если x отлично от ai для всех i.

Глава 39. Теория множеств A B C Рис. 39.1.

39.10. В последовательности 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3,... каждое целое число встречается ровно один раз.

-k + 39.11. Для каждого натурального k запишем последовательность, -k + 2 -1 0 1 k -,...,,,,...,. Запишем такие последовательности для 2 k - 1 k k - 1 k = 1, 2, 3,... После этого будем идти по полученной последовательности и вычёркивать все те числа, которые уже встретились нам ранее. В результате получим последовательность, в которой каждое рациональное число встречается ровно один раз.

Замечание. По поводу другого доказательства см. задачу 4.13.

39.12. Занумеруем элементы данного счётного множества, и пусть элементы данного подмножества имеют номера i1 < i2 < i3 <... Множество этих номеров либо конечно (тогда данное подмножество конечно), либо бесконечно (тогда данное подмножество счётно).

39.13. Пусть k-е счётное множество состоит из элементов ak1, ak2, ak3,... Тогда последовательность элементов a11; a12, a21; a13, a22, a31; a14, a23, a32, a41;... содержит все элементы данных множеств. Нужно только вычеркнуть из неё повторяющиеся элементы.

39.14. Множество упорядоченных пар натуральных чисел можно представить как объединение счётного множества счётных множеств (первое число пары можно рассматривать как номер множества). Значит, это множество счётно (задача 39.13). Занумеруем пары натуральных чисел. Тройку натуральных чисел можно рассматривать как пару натуральных чисел и ещё одно 488 Глава 39. Теория множеств натуральное число. Поэтому множество троек натуральных чисел является объединением счётного множества счётных множеств и т.д.

39.15. Непосредственно следует из задач 39.13 и 39.14.

Pages:     | 1 |   ...   | 56 | 57 || 59 | 60 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.