WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 55 | 56 || 58 | 59 |   ...   | 65 |

Траекторию отмеченной точки окружности радиуса r, которая катится по неподвижной окружности радиуса R, причём окружность радиуса r расположена внутри окружности радиуса R, называют гипоциклоидой.

Траекторию отмеченной точки окружности радиуса r, которая катится по неподвижной окружности радиуса R, причём окружность радиуса r расположена вне окружности радиуса R, называют эпициклоидой.

Если число r/R рационально, то соответствующие гипо- и эпициклоиды являются замкнутыми кривыми с конечным числом особых точек Глава 38. Кривые на плоскости (точек возврата). Некоторые из них имеют специальные названия. Например, эпициклоиду с одной точкой возврата называют кардиоидой (по форме она напоминает сердце), а эпициклоиду с двумя точками возврата называют нефроидой (по форме она напоминает почку). Гипоциклоида с четырьмя точками возврата это астроида.

38.9. а) Фиксируем число k = 0, ±1 и рассмотрим семейство пря мых, каждая из которых соединяет точки ei и eik. Докажите, что огибающая этого семейства прямых гипо- или эпициклоида.

б) Для каждого целого числа k = 0, ±1 найдите число точек возвра та.

38.10. Докажите, что огибающая семейства прямых, являющихся отражениями от кругового зеркала пучка параллельных лучей, нефроида (точнее говоря, половина нефроиды: рис. 38.2).

Рис. 38.2. Рис. 38.3.

38.11. Рассмотрим окружность S и выберем на ней точку A. Из точки A выпускаются лучи света и отражаются от окружности. Докажите, что огибающая отражённых лучей кардиоида (рис. 38.3).

38.3. Кривизна Пусть (t) = x(t), y(t) параметризованная кривая. Мы будем d предполагать, что v(t) = (t) = 0 при всех t.

dt Параметр t удобно заменить на так называемый натуральный пара t ds метр s = s(t) = v() d. Для натурального параметра = v(t), dt 472 Глава 38. Кривые на плоскости d d dt v(t) d поэтому = =, т.е. = 1.

ds dt ds v(t) ds d(s) Конец вектора v(s) = движется по единичной окружности, поds dv этому v. Пусть n единичный вектор на плоскости, ортогональный ds dv вектору v. Тогда = k(s)n. Число |k(s)| называют кривизной кривой ds в данной точке.

38.12. Докажите, что кривизна окружности радиуса R равна 1/R.

38.13. Докажите, что для кривой (t) = x(t), y(t) с произвольной параметризацией t кривизна вычисляется по формуле (x y - y x )k2 =.

(x 2 + y 2)x2 y38.14. Вычислите кривизну эллипса + = 1 в каждой точке.

a2 b38.4. Соприкасающаяся окружность Рассмотрим на плоскости две кривые, заданные уравнениями y = = f(x) и y = g(x). Эти кривые пересекаются, если f(x0) = g(x0). В точке пересечения кривые касаются (имеют соприкосновение порядка 1), если f (x0) = g (x0). Касающиеся кривые имеют соприкосновение порядка n, если f(x0) = g(x0), f (x0) = g (x0),..., f(n)(x0) = g(n)(x0). Кривые, имеющие соприкосновение порядка 2, называют соприкасающимися.

Если кривизна кривой в некоторой точке отлична от нуля, то однозначно определена окружность, соприкасающаяся с кривой в этой точке (соприкасающаяся окружность). Уравнение соприкасающейся окружности в случае, когда кривая задана уравнением y = f(x), находится следующим образом. Пусть y = g(x) функция, локально задающая окружность радиуса R с центром (a, b), т.е. g удовлетворяет соотношению (x - a)2 + g(x) - b = R2.

Дифференцируя это соотношение, последовательно получаем 2(x - a) + 2g (x) g(x) - b = 0, 2 + 2g (x) g(x) - b + 2 g (x) = 0.

Глава 38. Кривые на плоскости Если кривая y = f(x) соприкасается с указанной окружностью в точке (x0, y0), то (x0 - a)2 + (y0 - b)2 = R2, (x0 - a) + y0(y0 - b) = 0, 1 + y0 (y0 - b) + (y0)2 = 0, где y0 = f (x0) и y0 = f (x0). Более того, если эта система уравнений для a, b, R имеет решение, то верно и обратное: кривая соприкасается с окружностью. Легко видеть, что если y0 = 0, то эта система уравнений имеет единственное решение. Например, если y0 = 0 (а этого всегда можно добиться подходящим выбором системы координат), то a = x0, 1 b = y0 +, R2 =.

y0 (y0 )Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны кривой. Согласно задаче 38.13 в рассматриваемой ситуации k2 = (y0 ) = = (y0 )2. Таким образом, центр кривизны лежит на нормали (1 + y02)к кривой в данной точке и удалён от этой точки на расстояние ±1/k.

38.15. Докажите, что центр кривизны является предельным положением точки пересечения близких нормалей.

38.5. Фокальные точки. Эволюта Пусть (s) = x(s), y(s) кривая с натуральной параметризацией. Фиксируем на плоскости точку q = (x0, y0) и рассмотрим функцию F (s) = (s) - q 2. Точку s0 называют критической точкой функции F, если F (s0) = 0. Критическую точку называют вырожденной, если F (s0) = 0. Ясно, что d F (s) = 2 (s) - q,, ds d d F (s) = 2 + 2 (s) - q, = 2 1 + ((s) - q, kn) ds ds(число k и вектор n определяются на с. 472.) Поэтому точка s0 является критической точкой функции F тогда и только тогда, когда вектор --- (s0)q ортогонален кривой в точке (s0), а критическая точка s0 яв--- ляется вырожденной тогда и только тогда, когда k(s0) = 0 и (s0)q = = n. Точку q называют фокальной точкой кривой, если для этой k(s0) точки функция (s) - q 2 имеет вырожденную критическую точку. В 474 Глава 38. Кривые на плоскости таком случае, если s0 вырожденная критическая точка, то точка q од--- нозначно определяется равенством (s0)q = n. С геометрической k(s0) точки зрения это означает, что точка q является центром окружности, соприкасающейся с кривой в точке (s0). Таким образом, q предельное положение точки пересечения нормалей к кривой в точках (s1) и (s2), когда s1 s0 и s2 s0. Отметим, в частности, что фокальная точка не зависит от выбора параметризации.

Эволютой кривой называют множество всех её фокальных точек.

Учитывая, что фокальные точки являются предельными положениями точек пересечения близких нормалей к кривой, приходим к другому определению: эволюта огибающая семейства всех нормалей к кривой.

x2 y38.16. Для эллипса + = 1 найдите фокальную точку, соответa2 bствующую точке (a cos t0, b sin t0); найдите радиус кривизны эллипса в этой точке.

38.17. Найдите уравнение эволюты эллипса.

Циклоидой называют кривую, которую описывает фиксированная точка окружности, катящейся по фиксированной прямой.

38.18. Докажите, что эволютой циклоиды является такая же циклоида (полученная из исходной кривой параллельным переносом).

Решения 38.1. Искомая касательная задаётся уравнением y - y(t0) = k x - x(t0), где y - y(t0) y - y(t0) t - t0 y (t0) k = lim = lim · =.

tt0 x - x(t0) tt0 t - t0 x - x(t0) x (t0) 38.2. Мы будем предполагать, что в достаточно малой окрестности точки (x0, y0) рассматриваемая кривая является графиком функции y = (x), хотя в действительности при сделанных предположениях о том, что частные производные не обращаются в нуль, это можно было бы доказать.

По теореме о конечных приращениях f f(x1, y0) - f(x0, y0) = (, y0)(x1 - x0), x f f(x1, y1) - f(x1, y0) = (x0, )(y1 - y0), y где число заключено между x0 и x1, а число заключено между y0 и y1.

Поэтому если точка (x1, y1) тоже лежит на рассматриваемой кривой, то f f (, y0)(x1 - x0) + (x0, )(y1 - y0) = 0.

x y Глава 38. Кривые на плоскости Искомая касательная задаётся уравнением y - y0 = k(x - x0), где f f (, y0) (x0, y0) y1 - yx x k = lim = - lim = -.

f f x1x0 - x0 x1xx(x0, ) (x0, y0) y y 38.3. а) О т в е т: (x2+y2)2 = 2a2(x2-y2). Непосредственно из определения видно, что лемниската задаётся уравнением (x - a)2 + y2 (x + a)2 + y2 = a4, т.е. x4 +a4 +y4 -2a2x2 +2a2y2 +2x2y2 = a4. После несложных преобразований получаем уравнение, указанное в ответе.

б) О т в е т: r2 = 2a2 cos2 2. Выразив прямоугольные координаты через полярные, получим для лемнискаты уравнение r4 = 2a2r2(cos2 - sin2 ).

Остаётся заметить, что cos2 - sin2 = cos 2.

38.4. Введём систему координат, направив оси по сторонам данного прямого угла. Интересующие нас прямые пересекают оси координат в точках (a, 0) и (0, a/), где > 0. Прямая, соответствующая параметру, задаётся уравнением x + 2y = a. Две прямые, соответствующие параметрам и aa, пересекаются в точке с координатами,. Если 1 2 1 + + a a и 2, то мы получаем точку,. Такие точки лежат на гиперболе 2 xy = a2/4.

38.5. Можно считать, что O начало координат, A = (1, 1) и B = (-1, 1).

Тогда A1 = (1-, 1-) и B1 = (-, ) для некоторого [0, 1]. Прямая, проходящая через точки A1 и B1, задаётся уравнением (2 - 1)x + y = 2(1 - ).

Легко проверить, что если (x0, y0) точка пересечения прямых, соответствующих параметрам 1 и, то x0 = 1 - 1 - 2 1 и 2, то. Если x0 1 - 2. Поэтому огибающая задаётся уравнением -x2 + y = (1 - x2), 1 + xт.е. y =.

38.6. Направим ось Oy вертикально вверх, а ось Ox направим по горизонтальной составляющей скорости v0. Тогда в момент времени t материальная gtточка имеет координаты x(t) = v0 cos t, y(t) = v0 sin t -, где угол, под которым она была выброшена. Например, если точка выбрасываgtется вертикально вверх, то y(t) = v0t -, поэтому y(t) максимально при v0 vt = и при этом y(t) =. Если предположить, что огибающая является g 2g vпараболой, то она должна задаваться уравнением y = - kx2. Чтобы найти 2g 476 Глава 38. Кривые на плоскости k, вычислим наибольшую возможную координату пересечения траектории с осью Ox (наибольшую дальность выстрела). Если y(t0) = 0 и t0 = 0, то t0 = 2 2v0 sin 2v0 sin cos v0 sin =. При этом x(t0) = =. Поэтому наибольшая g g g vдальность выстрела равна. Соответственно, для k получаем уравнение g 2 v0 v0 g y = - k = 0, откуда находим k =.

2g g 2vv0 g Докажем теперь, что парабола y = - x2 действительно является 2g 2vогибающей рассматриваемого семейства траекторий. Для этого достаточно доказать, что любая траектория лежит ниже этой параболы и имеет с ней одну общую точку, т.е. для всех t имеет место неравенство v0 g cos2 gt- t2 v0(sin )t -, 2g 2 причём для некоторого t оно обращается в равенство. Заменив cos2 на 1 - sin2, переходим к неравенству v0 g sin- v0(sin )t + t2 0, 2g g v0 vт.е. - sin t 0. Оно обращается в равенство при t =.

2 g g sin 38.7. Пусть отрезок с концами (a1, 0) и (0, b1) имеет длину l и отрезок с a1 + a2 b1 + bконцами (a2, 0) и (0, b2) тоже имеет длину l. Если a = и b =, 2 то a1 = a +, b1 = b -, a2 = a -, b2 = b + для некоторых и. Из соотношения (a + )2 + (b - )2 = (a - )2 + (b + )2 получаем a = b.

Найдём координаты точки пересечения рассматриваемых отрезков (предполагается, что a1 и a2 одного знака и b1 и b2 тоже одного знака). Прямые, на которых лежат эти отрезки, задаются уравнениями x y x y + = 1, + = 1.

a + b - a - b + Рассматривая сумму и разность этих уравнений, получаем ax by x y + = 1, =.

a2 - 2 b2 - 2 a2 - 2 b2 - Если учесть соотношение a = b, то последнее равенство можно переписать x y в виде =. Подставляя это выражение в первое равенство, a(a2 - 2) b(b2 - 2) находим a(a2 - 2) b(b2 - 2) x =, y =.

a2 + b2 a2 + bНас интересует предел при 0, 0. Ясно, что предельные выражения такие: x = a3/l2 и y = b3/l2. Тогда x2/3 + y2/3 = (a2 + b2)/l4/3 = l2/l4/3 = l2/3.

Глава 38. Кривые на плоскости 38.8. П е р в о е р е ш е н и е. Выведем параметрическое представление траектории отмеченной точки в общем случае, когда окружность радиуса r катится внутри окружности радиуса R. Это движение отмеченной точки можно представить как вращение центра меньшей окружности по окружности радиуса r1 = R - r с угловой скоростью 1 и вращение меньшей окружности радиуса r2 = r с угловой скоростью 2. При этом 1 и 2 имеют разные знаки и связаны соотношением (r1 + r2)1 = r2(-2 + 1), которое выражает равенство дуг неподвижной окружности радиуса R = r1 + r2 и подвижной окружности радиуса r = r2 (качение без скольжения). После сокращения это соотношение записывается в виде r11 = -r22.

Траектория отмеченной точки параметрически задаётся так:

x = r1 cos 1t + r2 cos 2t, y = r1 sin 1t + r2 sin 2t.

В случае, когда R = 4r, получаем r1 = 3r, r2 = r и 2 = -31. Положив 1 = 1, получим x = 3r cos t + r cos 3t = 4r cos3 t, y = 3r sin t - r sin 3t = 4r sin3 t, а значит, x2/3 + y2/3 = (4r)2/3 = R2/3.

Замечание. Точно такое же параметрическое представление траектории получается и в случае, когда окружность радиуса r катится по внешней части круга радиуса R. Тогда движение отмеченной точки можно представить как вращение центра окружности радиуса r2 = r по окружности радиуса r1 = R + r с угловой скоростью 1 и вращение окружности радиуса r2 = r с угловой скоростью 2. При этом 1 и 2 имеют одинаковые знаки и связаны соотношением (r1 - r2)1 = r2(2 - 1). После сокращения это соотношение записывается в виде r11 = r22.

В т о р о е р е ш е н и е. Рассмотрим окружность радиуса l = 4r с центром в начале координат O. Пусть окружность радиуса r катится внутри её, причём в начальный момент отмеченная точка совпадает с точкой P = (l, 0).

Пусть через некоторое время отмеченная точка переместилась в точку X, а окружности теперь касаются в точке A. Тогда дуги AP и AX равны, поэтому центральный угол, опирающийся на дугу AX, равен 4AOP, а вписанный угол равен 2AOP. Пусть B середина отрезка OA, а M и N точки пересечения прямой BX с координатными осями. Треугольники OBM и OBN равнобедренные, поскольку в них внешний угол при вершине B вдвое больше внутреннего угла при вершине O. Поэтому MN = 2OB = OA = l.

Прямая MN касается траектории отмеченной точки в точке X. Действительно, прямая MN перпендикулярна прямой AX, а вектор скорости движения точки X перпендикулярен AX, поскольку точка A является мгновенным центром вращения точки X. Таким образом, траектория точки X является 478 Глава 38. Кривые на плоскости огибающей семейства прямых, высекающих на координатных осях отрезок постоянной длины l.

38.9. а) Пусть A = ei, B = eik, A = ei(+), B = eik(+). Пусть, далее, C предельное положение точки пересечения прямых AB и A B при 0.

Ясно, что если k > 0, то точка C лежит на отрезке AB, а если k < 0, то точка C лежит вне этого отрезка. Покажем, что AC : CB = 1: |k|. Действительно, AC : CB = sin B : sin A = ± sin : sin k 1: ± k, а CB : CB = = sin B : sin B 1. В результате получаем, что точка C, лежащая на огибающей, имеет координаты eik + kei = (cos k + k cos, sin k + k sin ).

1 + k 1 + k Как видно из первого решения задачи 38.8, точки с такими координатами образуют гипо- или эпициклоиду.

б) О т в е т: |k-1|. Точки возврата соответствуют положениям, когда точки ei и eik диаметрально противоположны, т.е. ei + eik = 0. После сокращения на ei получаем уравнение ei(k-1) = -1. Оно имеет |k - 1| решений.

38.10. Будем считать, что лучи параллельны оси Ox и отражаются от единичной окружности. Пусть луч попадает в точку A = ei. После отражения этот луч попадает в точку A1, которая получается следующим образом.

Pages:     | 1 |   ...   | 55 | 56 || 58 | 59 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.