WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 54 | 55 || 57 | 58 |   ...   | 65 |

Предположим, что n1 s, но исключим случай, когда n1 = s = k. Сопоставим набору (n1, n2,..., nk) набор (n2,..., nk-n1, nk-n1+1 + 1, nk + 1);

если k = n1, то сопоставляемый набор имеет вид (n2 + 1,..., nk + 1). Новый набор тоже соответствует некоторому представлению числа m. Неравенство n1 s гарантирует, что числа nk-n1+1+1,..., nk+1 идут подряд. Ясно также, что (nk-n1+1 + 1) - nk-n1 > 1, поэтому в новом наборе подряд идут ровно n1 < n2 чисел.

Предположим, что n1 s, но исключим случай, когда n1 = s + 1 и s = k.

Сопоставим набору (n1, n2,..., nk) набор (s, n1,..., nk-s, nk-s+1 - 1,..., nk - 1);

если k = s, то сопоставляемый набор имеет вид (s, n1 - 1,..., nk - 1). Неравенство nk-s < nk-s+1 обеспечивается тем, что подряд идут только числа nk-s+1,..., nk. Мы получаем новый набор, который тоже соответствует представлению числа m. В новом наборе подряд идут по крайней мере s чисел.

Мы построили взаимно обратные соответствия между некоторыми представлениями числа m: каждому представлению, для которого n1 s, соответствует представление для которого n1 > s, но при этом некоторые представления исключены. Друг другу соответствуют представления, в которых число слагаемых отличаются на 1. Вклады таких представлений в коэффициент при xm взаимно сокращаются. Поэтому остаются только исключённые представления (k, k + 1,..., 2k - 1) и (k + 1, k + 2,..., 2k). Им соответствуют 3k2 - k члены (-1)kxa и (-1)kxb, где a = k + (k + 1) +... + (2k - 1) = и 3k2 + k b = (k + 1) + (k + 2) +... + 2k =.

36.30. Согласно задаче 36.28 1 + p(n)xn (1 - xk) = 1. Даn=1 k=лее, согласно задаче 36. 3k2-k 3k2+k 2 (1 - xn) = 1 + (-1)k x + x.

n=1 k=Запишем тождество 3k2-k 3k2+k 2 1 + p(n)xn 1 + (-1)k x + x = n=1 k=460 Глава 36. Формальные ряды и производящие функции и раскроем скобки. Приравнивая в левой части коэффициент при xn, n 1, нулю, получаем требуемое.

36.31. Для d(n) производящая функция равна (1 + x)(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4)..., а для l(n) производящая функция равна 1 1 1 · · · ·...

1 - x 1 - x3 1 - x5 1 - xЯсно, что 1 - x2 1 - x4 1 - x(1 + x)(1 + x2)(1 + x3)... = · · ·...

1 - x 1 - x2 1 - xВ правой части все числители сокращаются со всеми знаменателями вида 1 - x2k, поэтому остаются только знаменатели вида 1 - x2k+1.

36.32. Рассмотрим формальные ряды xi (-1)k xk i Ln 1 + = -, i = 1,..., n.

x k xk k=(Их можно рассматривать как формальные ряды от переменных xi/x.) Складывая эти формальные ряды, получаем x1 xn (-1)k sk Ln 1 +... 1 + = -.

x x k xk k=С другой стороны, x1 xn 1 2 n Ln 1 +... 1 + = Ln 1 + + +... + = x x x x2 xn k (-1)k 1 2 n = - 1 + + +... + = k x x2 xn k= (-1)k k! l ln = - · 11... n x-(l1+2l2+...+nln) = k l1!... ln! k=1 k=l1+...+ln (-1)l1+...+ln (l1 +... + ln - 1)! l ln = - 11... n x-(l1+2l2+...+nln).

l1!... ln! Сравнивая коэффициенты при, получаем требуемое.

xk 36.33. Рассмотрим формальный ряд x1 xn s1 s2 sLn 1 -... 1 - = - - - -...

x x x 2x2 3xВзяв формальную экспоненту, получим x1 xn s1 s2 s1 -... 1 - = Exp - Exp - Exp -... = x x x 2x2 3x sl1 sl2 sl= (-1)l1 1 (-1)l2 2 (-1)l3 3... = l1!xl1 l2!(2x)l2 l3!(3x)ll1=0 l2=0 l3= (-1)l1 +l2+l3+...sl1 sl2sl3...

1 2 =.

1l1 2l2 3l3... xl1+l2+l3+...

Глава 36. Формальные ряды и производящие функции С другой стороны, x1 xn 1 2 n 1 -... 1 - = 1 - + -... + (-1)n.

x x x x2 xn Сравним коэффициенты при, получаем требуемое.

xk Глава 37.

Исчисление конечных разностей 37.1. Свойства конечных разностей Пусть x0, x1, x2,... последовательность чисел. Ей можно сопоставить последовательность первых разностей x0, x1, x2,..., где xk = xk+1 - xk. Повторив эту операцию, получим последовательность вторых разностей 2xk = xk+1 - xk и т.д.

n n 37.1. Докажите, что nxk = (-1)n-l xk+l.

l=l n n 37.2. Докажите, что xn = lx0, где 0xk = xk.

l=l Последовательности разностей обычно рассматривают для xk = = f(x + hk), где f некоторая функция, h постоянное число, которое мы будем обозначать x. Число kx0 будем при этом обозначать kf(x).

37.3. Докажите, что если f(x) многочлен степени n, то его n-е разности постоянны, а именно, они равны n!anhn, где an старший коэффициент многочлена.

37.4. Докажите, что n 0 при n > m, n (-1)n-l lm = l m! при n = m.

l=37.5. Докажите, что napx+q = apx+q(apx - 1)n.

Глава 37. Исчисление конечных разностей 37.6. Докажите, что n ax ax n sin(ax + b) = 2 sin cos ax + b + n, 2 n ax ax n cos(ax + b) = 2 sin sin ax + b + n.

2 1 x 37.7. Докажите, что = -.

x x(x + x) x 37.8. Докажите, что arctg x = arctg.

1 + x(x + x) 37.9. Пусть функция (x) такова, что f(x) = (x) для некоторой функции f(x). Докажите, что (x) + (x + h) +... + (x + (n - 1)h) = f(x + nh) - f(x).

37.10. Докажите, что n-ah sin(a(x + nh) + b) - sin(ax + b) а) cos a(x + kh) + b + =.

k=ah 2 sin n-б) arctg = arctg n.

k=1 + k(k + 1) 37.2. Обобщённая степень Легко видеть, что k(k - 1) xk = (x + h)k - xk = kxk-1h + hk-2 +... + hk.

Это выражение, вообще говоря, не равно kxk-1h. В исчислении конечных разностей роль xk играет обобщённая степень x x(k) = x(x - h) ·... · (x - (k - 1)h).

h 37.11. Докажите, что x(k) = khx(k-1).

h h При h = 1 мы обозначаем обобщённую степень x(k). Формула x(k) = kx(k-1) является аналогом формулы дифференцирования xk.

n-n(k) 37.12. Докажите, что m(k) =.

m=k + 464 Глава 37. Исчисление конечных разностей 37.3. Формула суммирования Эйлера 37.13. Пусть функция f(x) непрерывно дифференцируема на отрезке [1, n]. Докажите, что n-n n f(k) = f(x) dx - f(n) - f(1) + B1({x})f (x) dx, 1 k=где B1(z) = z - многочлен Бернулли.

37.14. Пусть функция f(x) непрерывно дифференцируема m раз на отрезке [1, n]. Докажите, что n-n 1 Bf(k) = f(x) dx - f(n) - f(1) + f (n) - f (1) +...

2 2! k= (-1)mBm + f(m-1)(n) - f(m-1)(1) + Rmn, m! (-1)m+1 n где Rmn = Bm({x})f(m)(x) dx.

m! Решения 37.1. Применим индукцию по n. При n = 1 утверждение верно. Предположим, что оно верно для некоторого n. Тогда n n n+1xk = nxk+1 - nxk = (-1)n-l (xk+l+1 - xk+l) = l l=n+1 n n n = (-1)n-l+1 xk+l + (-1)n-l+1 xk+l.

l - 1 l l=1 l= n n n + Остаётся заметить, что + =.

l - 1 l l 37.2. Применим индукцию по n. При n = 1 получаем x1 = (x1 -x0)+x0 = = 1x0 +0x0. Предположим, что требуемое равенство верно для некоторого n. Тогда n n n n xn+1 = lx1 = l(1x0 + 0x0) = l l l=0 l=n n n n = lx0 + lx0.

l - 1 l l=1 l= n n n + Остаётся заметить, что + =.

l - 1 l l Глава 37. Исчисление конечных разностей 37.3. Равенство m m m x + (k + 1)h - (x + kh)m = h(x + kh)m-1 + h2(x + kh)m-2 +...

1 показывает, что первые разности для последовательных значений xm являются последовательными значениями некоторого многочлена степени m - m со старшим коэффициентом h = mh. Поэтому первые разности для последовательности xk = f(x + kh) имеют вид f1(x + kh), где f1 многочлен степени n - 1 со старшим коэффициентом nhan. Значит, вторые разности имеют вид f2(x + kh), где f2 многочлен степени n - 2 со старшим коэффициентом n(n - 1)h2an. Продолжая аналогично, получаем, что n-е разности это константа n(n - 1) ·... · 2 · 1hnan.

37.4. Пусть xk = km. Согласно задаче 37.3 mxk = m! и nxk = 0 при n > m. С другой стороны, согласно задаче 37.n n n n nxk = (-1)n-l xk+l = (-1)n-l (k + l)m.

l l l=0 l=При k = 0 получаем требуемое.

Замечание. По поводу других доказательств см. задачи 10.34 и 36.9.

37.5. Требуемое равенство достаточно доказать при n = 1. Ясно, что apx+q = ap(x+x)+q - apx+q = apx+q(apx - 1).

37.6. Требуемые равенства достаточно доказать при n = 1. Для синуса получаем sin(ax + b) = sin(ax + b + ax) - sin(ax + b) = ax ax = 2 sin cos ax + b + n.

2 Для косинуса вычисления аналогичны.

1 1 x 37.7. Ясно, что - = -.

x + x x x(x + x) 37.8. Если y = arctg(x+x)-arctg x, то по формуле для тангенса разности двух углов (x + x) - x x tg y = =.

1 + x(x + x) 1 + x(x + x) 37.9. По условию (x) = f(x + h) - f(x), (x + h) = f(x + 2h) - f(x + h),..., (x + (n - 1)h) = f(x + nh) - f(x + (n - 1)h). Складывая эти равенства, получаем требуемое.

37.10. Применим формулу из задачи 37.9 к тождествам из задач 37.и 37.8. В случае арктангенса мы полагаем x = 1.

466 Глава 37. Исчисление конечных разностей 37.11. Ясно, что x(k) = (x + h)x ·... · (x - (k - 2)h) - x(x - h) ·... · (x - (k - 1)h) = h = x(x - h) ·... · (x - (k - 2)h) (x + h) - (x - (k - 1)h) = = khx(k-1).

h x(k) 37.12. Пусть f(x) = и (x) = x(k). Тогда f(x) = (x) при h = 1.

k + Применяя формулу из задачи 37.9, получаем требуемое.

37.13. Интегрируя по частям, получаем k+1 k+k+1 {x} - f (x) dx = x - k - f(x) - f(x) dx = 2 k k k k+ = f(k + 1) + f(k) - f(x) dx.

k Запишем такие равенства для k = 1, 2,..., n - 1 и сложим их. В результате получим требуемое.

37.14. Напомним, что Bm(x) = mBm-1(x) (задача 36.27). Поэтому при m 1 интегрирование по частям даёт n 1 Bm({x})f(m)(x) dx = Bm+1(1)f(m)(n) - Bm+1(0)f(m)(1) m! (m + 1)! n - Bm+1({x})f(m+1)(x) dx.

(m + 1)! Напомним также, что Bm+1(1) = Bm+1(0) = Bm+1 согласно задаче 36.23. Запишем тождество из задачи 37.13 и будем последовательно применять только что доказанное тождество. В результате получим требуемое.

Глава 38.

Кривые на плоскости Представление кривой в виде графика функции не всегда бывает удобно. Такое представление возможно лишь в достаточно специальных случаях. Например, так нельзя представить даже обычную окружность.

Более широкий класс кривых можно получить с помощью параметризации кривой или задания кривой уравнением. Под параметризацией подразумевается представление кривой в виде x(t), y(t), где x(t) и y(t) некоторые функции от t. Например, окружность можно представить в виде (cos t, sin t).

38.1. Предположим, что x (t) = 0 y (t) = 0. Докажите, что каса и тельная к кривой x(t), y(t) в точке x(t0), y(t0) задаётся уравнением x - x(t0) y - y(t0) =.

x (t0) y (t0) Чтобы записать уравнение касательной к кривой, заданной уравнением f(x, y) = 0, нужно понятие частной производной:

f f(x, y0) - f(x0, y0) (x0, y0) = lim, x xx0 x - xf f(x0, y) - f(x0, y0) (x0, y0) = lim.

y yy0 y - yДругими словами, частная производная по x это обычная производная функции f(x, y0), где y0, фиксировано, а частная производная по y это обычная производная функции f(x0, y), где x0, фиксировано, f f 38.2. Предположим, что (x0, y0) = 0 и (x0, y0) = 0. Докажи x y те, что касательная в точке (x0, y0) к кривой, заданной уравнением 468 Глава 38. Кривые на плоскости f(x, y) = 0, задаётся уравнением f f (x - x0) (x0, y0) + (y - y0) (x0, y0) = 0.

x y 38.1. Полярные координаты Положение точки X в полярных координатах задаётся расстоянием r до начала координат O и углом между лучом OX и осью Ox.

Полярные координаты (r, ) связаны с прямоугольными координатами (x, y) следующим образом:

x = r cos, y = r sin ; r2 = x2 + y2, tg = x/y.

Лемниската это множество всех точек, для которых произведение расстояний от точек (a, 0) и (-a, 0) равно a2.

38.3. Найдите уравнение лемнискаты: а) в прямоугольных координатах; б) в полярных координатах.

38.2. Огибающая семейства кривых Мы говорим, что две кривые на плоскости касаются в некоторой точке, если в их касательные в этой точке совпадают.

Пусть на плоскости с координатами x, y задано семейство кривых C, зависящих от параметра. Огибающей семейства кривых C называют кривую C, которая касается каждой из кривых C. Огибающая семейства кривых может состоять из нескольких связных компонент.

Например, огибающая семейства окружностей фиксированного радиуса r с центрами на данной прямой l состоит из двух прямых, параллельных прямой l и удалённых от неё на расстояние r.

Мы будем предполагать, что кривые C заданы уравнениями вида f(x, y, ) = 0, где f дифференцируемая функция.

Найдём уравнение огибающей C, предполагая, что она задаётся параметрически: x = (), y = (), причём кривая C касается кривой C в точке (), ().

Пусть x0 = (0) и y0 = (0). Касательные к кривым C и C в точке (x0, y0) задаются уравнениями 1 d 1 d f f + = 0 и (x - x0) + (y - y0) = 0. (38.1) x - x0 d y - y0 d x y Глава 38. Кривые на плоскости Эти прямые совпадают, значит, f d f d · + · = 0. (38.2) x d y d Точка (), () лежит на кривой C, поэтому f (), (), = для всех. Дифференцируя это равенство, получаем f d f d f · + · + = 0. (38.3) x d y d f Теперь, учитывая (38.2), получаем = 0. Таким образом, огибающая (если она существует и задаётся параметрически указанным способом) находится исключением параметра из системы уравнений f f(x, y, ) = 0, (x, y, ) = 0. (38.4) Чтобы уравнения (38.1) действительно задавали касательные, нужf f но, чтобы в точке (x0, y0, 0) производные и не обращались в нуль x y одновременно. Если это условие выполнено, то рассуждения можно обратить; в таком случае кривая, найденная как решение системы (38.4), действительно будет огибающей.

Довольно часто огибающую можно найти при помощи следующих геометрических соображений. Предположим, что каждая пара кривых C и C (1 = 2) пересекается в одной точке, причём эти точки пере 1 сечения стремятся к некоторой точке x(), y() при 1 и 2.

Тогда эта точка x(), y() лежит на огибающей. Действительно, если f(x, y, 1) = 0 и f(x, y, 2) = 0, то f(x, y, 1) - f(x, y, 2) f 0 = = (x, y, ), 1 - где некоторая точка между 1 и 2. Поэтому для точки x(), y() имеют место равенства f f x(), y(), = 0 и x(), y(), = 0, а значит, эта точка лежит на огибающей.

38.4. Найдите огибающую семейства прямых, отсекающих от данного прямого угла треугольник площади a2/2.

38.5. На сторонах угла с вершиной O фиксированы точки A и B. На отрезках OA и OB выбираются точки A1 и B1 так, что OB1 : B1B = = AA1 : A1O. Докажите, что огибающая семейства прямых A1Bдуга параболы.

470 Глава 38. Кривые на плоскости 38.6. Найдите в фиксированной вертикальной плоскости огибающую траекторий материальной точки, выбрасываемой из начала координат со скоростью v0.

Кривую из задачи 38.6 называют параболой безопасности.

38.7. Докажите, что огибающая семейства прямых, высекающих на координатных осях отрезок постоянной длины l (рис. 38.1), задаётся уравнением x2/3 + y2/3 = l2/3.

Рис. 38.1.

Кривую из задачи 38.7 называют астроидой.

38.8. Докажите, что астроида является траекторией отмеченной точки окружности радиуса 1/4, которая катится по неподвижной окружности радиуса 1, причём меньшая окружность расположена внутри большей.

Pages:     | 1 |   ...   | 54 | 55 || 57 | 58 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.