WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 53 | 54 || 56 | 57 |   ...   | 65 |

Например, p(1) = 1, p(2) = 2 (1 + 1; 2), p(3) = 3 (1 + 1 + 1; 1 + 2; 3), p(4) = 5 (1 + 1 + 1 + 1; 1 + 1 + 2; 1 + 3; 2 + 2; 4) и т.д.

Глава 36. Формальные ряды и производящие функции 36.28. Докажите, что - 1 + p(n)xn = (1 - xn).

n=1 n=36.29. Докажите, что 3n2-n 3n2+n 2 (1 - xn) = 1 + (-1)n x + x n=1 n=(тождество Эйлера).

36.30. Докажите, что 3k2 - k 3k2 + k p(n) = (-1)k+1 p n - + p n 2 k=(предполагается, что p(0) = 1 и p(m) = 0 при m < 0).

36.31. Пусть d(n) количество разбиений числа n на разные слагаемые, l(n) количество разбиений числа n на нечётные слагаемые.

Докажите, что d(n) = l(n). (Эйлер) 36.9. Формулы Варинга Пусть 1,..., n элементарные симметрические многочлены от x1,..., xn, т.е. 1 = x1 +... + xn, 2 = xixj,..., n = x1 ·... · xn.

i

1 n 36.32. Докажите, что (-1)ksk (-1)l1+l2+...+ln(l1 + l2 +... + ln - 1)! l1 ln = 1... n, k l1!... ln! где суммирование ведётся по всем наборам целых неотрицательных чисел l1,..., ln, для которых l1 + 2l2 +... + nln = k (первая формула Варинга).

36.33. Докажите, что (-1)l1+l2+...+ln 1 n (-1)kk = sl... sl, 1 n 1l12l2... nlnl1!... ln! где суммирование ведётся по всем наборам целых неотрицательных чисел l1,..., ln, для которых l1 + 2l2 +... + nln = k (вторая формула Варинга).

452 Глава 36. Формальные ряды и производящие функции Решения 36.1. О т в е т: а) 1 + 2x + 3x2 + 4x3 +...; б) 1 + x2 + x4 + x6 +....

36.2. О т в е т: g(x) = 1 - x.

36.3. Должны выполняться равенства a0b0 = 1, a1b0 + a0b1 = 0, a2b0 + 1 a1b+ a1b1 + a0b2 = 0,... Из этих равенств следует, что b0 =, b1 = -, a0 aa2b0 + a1bb2 = - и т.д.

a 36.4. б) Пусть f(x) = akxk и g(x) = bkxk. Коэффициент при k= k=xk-1 у формального ряда D f(x)g(x) равен k aibj, а у формального i+j=k ряда f(x)D g(x) + g f(x) коэффициент при xk-1 равен jaibj + i+j=k (x)D + iaibj = k aibj.

i+j=k i+j=k в) Применим индукцию n, воспользовавшись задачей б): D( f(x)n+1 = по = D f(x) f(x)n = f(x)D f(x)n + f(x)nD f(x) = nf(x)f(x)n-1D f(x) + · n + f(x)nD f(x) = (n + 1) f(x) D f(x).

-г) Применим результат задачи б) к произведению f(x) · f(x) = 1.

В результате получим fD(f-1) + f-1D(f) = 0, т.е. D(f-1) = -f-2D(f).

Затем воспользуемся результатом задачи в): D(f-n) = D (f-1)n = = n(f-1)n-1D(f-1) = -nf-n-1D(f).

д) Задача 36.6 показывает, что ряд fr однозначно определён. Пусть r = = m/n, где m и n целые Тогда согласно задаче в) D (fr)n = числа.

= n(fr)n-1D(fr) и D (fr)n = D(fm) = mfm-1D(f). Поэтому D(fr) = m fm-1 fm-= D(f) = r D(f) = rfr-1D(f).

n frn-r fm-r 36.5. Согласно определению Dn(f) = j(j - 1)... (j - n + 1)ajxj-n.

j=n Поэтому S Dn(f) = n!an.

36.6. Индукцией по n легко доказать, что (1 + b1x + b2x2 +...)n = 1 + + c1x + c2x2 +..., где c1 = nb1, c2 = nb2 + pn,2(b1), c3 = nb3 + pn,3(b1, b2),..., ck = nbk+pn,k(b1,..., bk-1),... (здесь pn,m многочлены с целыми коэффициентами). Из равенств a1 = nb1, a2 = nb2 + pn,2(b1), a3 = nb3 + pn,3(b1, b2),..., a1 a2 - pn,2(b1) a3 - pn,3(b1, b2) последовательно получаем b1 =, b2 =, b3 = и n n n т.д.

36.7. Согласно задаче 36.4 д) D (1 + x)r = r(1 + x)r-1D(1 + + x) = r(1 + x)r-1. Поэтому индукцией по n получаем Dn (1 + x)r = = r(r - 1)(r - 2)... (r - n + 1)(1 + x)r-n. Воспользуемся теперь формулой из задачи 36.5. Если f = (1 + x)r, то S Dn(f) = r(r - 1)(r - 2)... (r - n + 1).

Поэтому xn r(r - 1)(r - 2)... (r - n + 1) f = S Dn(f) = xn.

n! n! n=0 n=Глава 36. Формальные ряды и производящие функции m ak bm-k (a + b)m 36.8. а) Требуется доказать, что =, т.е. (a + k=m! k! (m - k)! m m! m! m + b)m = akbm-k. Но =.

k=k!(m - k)! k!(m - k)! k б) Следует из а) индукцией по k.

n n 36.9. Рассмотрим сумму формальных рядов (-1)n-k Exp(kx) = k=k n kmxm n n n xm = (-1)n-k = (-1)n-kkm.

k=0 m=0 m=0 k=k m! k m! Если воспользоваться результатом задачи 36.8 б), то эту сумму n n можно записать следующим образом: (-1)n-k Exp(kx) = k=k n n k n n x2 x= (-1)n-k Exp(x) = Exp(x) - 1 = x + + +....

k=k 2! 3! У полученного формального ряда коэффициент при xm, где m < n, равен нулю, а коэффициент при xn равен 1.

Замечание. По поводу других доказательств см. задачи 10.34 и 37.4.

1 36.10. Ясно, что D Ln(f) = D(g- g2+ g3-...). Воспользовавшись тем, 2 что каждый коэффициент формального ряда Ln(f) определяется конечной 1 1 1 суммой, получим D(g - g2 + g3 -...) = D(g) - D(g2) + D(g3) -... = 2 3 2 = D(g)-gD(g)+g2D(g)-... = D(g)(1-g+g2-...) = D(g)(1+g)-1 = f-1D(f), поскольку D(f) = D(f - 1) = D(g).

36.11. Воспользовавшись результатом задачи 36.10 и свойствами фор мальной производной, получим D Ln(fh) = (fh)-1D(fh) = (fh)-1 fD(h) + +hD(f) = h-1D(h)+f-1D(f) = D Ln(f)+Ln(h). Кроме того, формальные ряды Ln(fh) и Ln(f) + Ln(h) имеют нулевые коэффициенты при x0. Поэтому Ln(fh) = Ln(f) + Ln(h).

36.12. Сначала докажем, что Ln(f-1) = - Ln(f). Согласно задаче 36.из равенства f-1f = 1 следует, что Ln(f-1) + Ln(f) = Ln(f-1f) = Ln(1) = 0.

С помощью задачи 36.11 индукцией по n получаем Ln(fn) = n Ln(f) для любого натурального n. Кроме того, равенство Ln(f-1) = - Ln(f) показывает, что Ln(fn) = n Ln(f) для любого целого n.

Если r = m/n, где числа m и n целые, то m Ln(f) = Ln(fm) = Ln (fr)n = m = n Ln(fr), поэтому Ln(fr) = Ln(f) = r Ln(f).

n 36.13. Сначала докажем, что если Ln(f) = 0, то f = 1. Действительно, D Ln(f) = D(0) = 0, поэтому f-1D(f) = 0. Значит, D(f) = 0 и f = 1.

Если Ln(f) = Ln(h), то согласно задаче 36.11 Ln(f-1h) = Ln(f-1) + Ln(h).

Кроме того, согласно задаче 36.12 Ln(f-1) = - Ln(f). Поэтому Ln(f-1h) = и f-1h = 1.

r r(r - 1)(r - 2)... (r - n + 1) 36.14. Будем использовать обозначение = n n! для любого рационального числа r и натурального числа n. Пусть h = 1 + 454 Глава 36. Формальные ряды и производящие функции r + gn. Требуется доказать, что (1 + g)r = h. Ясно, что D(h) = n=n r = D(g) n gn-1, поэтому n=n r r (1 + g)D(h) = D(g) n gn-1 + D(g) n gn = n n n=1 n= r r = D(g) n gn-1 + D(g) (n - 1) gn-1 = n n - n=1 n= r r = rD(g) + D(g) n + (n - 1) gn-1 = n n - n= r = rD(g) + D(g) r gn-1 = n - n= r = rD(g) r gn = rD(g)h.

n n=Умножив обе части этого равенства на h-1(1 + g)-1, получаем h-1D(h) = -= r(1 + g)-1D(g) = r(1 + D(1 + g). Учитывая, что h-1D(h) = Ln(h) g) D и r(1 + g)-1D(1 g) = D r Ln(1 + g) = D Ln 1 + g)r, получаем D Ln(h) = + = D Ln 1 + g)r. У формальных рядов Ln(h) и Ln 1 + g)r коэффициенты при x0 равны нулю, поэтому Ln(h) = Ln 1 + g)r. Воспользовавшись результатом задачи 36.13, получаем h = (1 + g)r.

anxn 36.15. Рассмотрим формальные ряды A(x) = и B(x) = n=n! bnxn =. По условию n=n! n n bnxn n anxn anxn = =.

n! i n! i!(n - i)! i=0 i=Значит, n bnxn anxn B(x) = = = Exp(x)A(x).

n! i!(n - i)! n=0 n=0 i=Умножив обе части этого равенства на Exp(-x), получим A(x) = = Exp(-x)B(x). Сравнивая коэффициенты при xn/n!, получаем an = n n = (-1)n-i bi.

i=i n 36.16. Коэффициент при xn зависит лишь от конечного произведения (1 + xm).

m=36.17. а) Положим n n F (y) = (1 + x2i-1y)(y + x2i-1) = Ai(x)yn+i, (1) i=1 i=-n Глава 36. Формальные ряды и производящие функции где Ai(x) многочлен с целыми коэффициентами. Несложная проверка показывает, что (y + x2n-1)F (x2y) = x2n-1(1 + x2n+1y)F (y), т.е.

n n (y + x2n-1) Ai(x)x2n+2iyn+i = x2n-1(1 + x2n+1y) Ai(x)yn+i.

i=-n i=-n Приравнивая коэффициенты при yn+i, получаем Ai-1(x)x2n+2i-2 + Ai(x)x4n+2i-1 = Ai-1(x)x4n + Ai(x)x2n-1, т.е.

1 - x2n+2i 1 - x2n+2i Ai-1(x) = Ai(x) = Ai(x).

x2i-1 - x2n+1 x2i-1(1 - x2n-2i+2) Ясно также, что An(x) = x · x3 · x5... x2n-1 = xn. Поэтому 2 - x4n)(1 - x4n-2)... (1 - x4n-2k+2) (An-k(x) = x(n-k), т.е.

(1 - x2)(1 - x4)... (1 - x2k) n-j Aj(x) = xj (1 - x4n-2i+2)(1 - x2i)-1 = i=n-j = xj (1 - x4n-2i+2)(1 + x2i + x4i + x6i +...).

i=Положим в равенстве (1) y = -1. В результате получим n n (1 - x2i-1)2 = (-1)iAi(x).

i=1 i=-n Тождество а) теперь легко получается при. Действительно, фиксируем n r. Коэффициент при xr в выражении (1 - x2m-1)2 такой же, как в m= n выражении (1 - x2i-1)2 при достаточно большом n. Далее, у многочлена i=Ai(x) коэффициент при xr равен нулю при r < i2. Если же r i2, то при достаточно большом n у многочлена Ai(x) коэффициент при xr такой же, как коэффициент при xr в выражении xi (1 - x2m)-1.

m= б) Воспользуемся тождеством а), предварительно умножив обе части на (1 - x2m)(1 + xm). В результате получим m= (1 + xm) (-1)kxk = (1 - x2m-1)2(1 - x2m)(1 + xm).

m=1 k=- m= Затем воспользуемся очевидными тождествами (1 - x2m-1)(1 - x2m) = m== (1-xm) и (1-xm)(1+xm) = (1-x2m). Ещё раз применив m=1 m=1 m=первое из этих тождеств, получим требуемое.

m 1 - xn 36.18. а) Пусть fm =. Тогда D Ln(fm) = n=1 + xn m = D Ln(1 - xn) - Ln(1 + xn). Воспользовавшись тем, что n=456 Глава 36. Формальные ряды и производящие функции D Ln(h) = h-1D(h), получаем m nxn-1 nxn-D Ln(fm) = - + = 1 - xn 1 + xn n=m = -2 nxn-1 + nx3n-1 + nx5n-1 +... = n= = -2 sm(n)xn-1, n=где sm(n) сумма тех делителей d числа n, для которых n/d нечётно и d m;

если m n, то sm(n) = s(n).

-С другой стороны, D Ln(fm) = fm m D(fm). Поэтому D(fm) = = fmD Ln(fm) = -2fm n=1 s(n)xn-1 + sm(n)xn-1. Если число n=m+r фиксировано, то при достаточно больших m коэффициенты при xr у формальных рядов D(fm), D(f) и -2fg одинаковые.

б) Тождество из задачи 36.17 б) показывает, что f = 1 + + 2 (-1)mxm. Подставим это выражение в тождество D(f) = m= = -2fg. В левой части получим 2 (-1)mm2xm -1. В правой чаm=сти получим формальный ряд, коэффициент которого при xn-1 равен -2 s(n) - 2s(n - 1) + 2s(n - 22) - 2s(n - 32) +.... Приравнивая коэффициенты при xn-1 в обеих частях, получаем требуемое.

36.19. а) Если число n не является квадратом, то число s(n) чётно. Действительно, если n чётно, а n/d нечётно, то d чётно; поэтому для чётного n число s(n) представляет собой сумму чётных чисел. Если же n нечётно и не является полным квадратом, то s(n) можно представить в виде суммы чётных чисел d + n/d.

Если число n не является суммой двух квадратов, то ни одно из чисел n - m2 не является квадратом. Поэтому числа s(n - m2) чётны, а значит, число s(n) делится на 4.

Если p нечётное простое число, то s(p) = p + 1. Значит, если p не сумма двух квадратов, то p + 1 делится на 4. Поэтому любое простое число вида 4k + 1 можно представить в виде суммы двух квадратов.

б) Продолжим дальше рассуждения из решения задачи а). Если число n не является суммой трёх квадратов, то ни одно из чисел n - m2 не является суммой двух квадратов. Поэтому числа s(n - m2) делятся на 4, а значит, число s(n) делится на 8. Таким образом, если p нечётное простое число, которое не является суммой трёх квадратов, то число s(p) = p + 1 делится на 8. Поэтому любое простое число p вида 8k + 3 можно представить в виде суммы трёх квадратов.

n n n 36.20. Ясно, что (1+x)n = + x+...+ xn = a0+a1x+...+anxn.

0 1 n 36.21. а) Ясно, что f(x) = c1c1x2+(c1c2+c2c1)x3+(c1c3+c2c2+c3c1)x4+ +... = f(x) - x.

Глава 36. Формальные ряды и производящие функции 1 б) Тождество f(x) = f(x) - x показывает, что f(x) = ± 1 - 4x.

2 1 Кроме того, f(0) = 0, поэтому f(x) = - 1 - 4x. Согласно задаче 36.2 1 - 1 2 (1 - 4x)1/2 = 1 + (-4x) + (-4x)2 +...

2 2! 1 1 1 - 1 - 2... - n + 2 2 2... + (-4x)n +...

n! 1(-1)(-3)(-5)... (-2n + 3) Коэффициент при xn равен (-4)n = 2nn! 1 · 3 · 5... (2n - 3) (2n - 2)! (2n - 2)! = - 2n = - 2n = -2, Поэтому n! n!2n-1(n - 1)! n!(n - 1)! (2n - 2)! cn =.

n!(n - 1)! 36.22. Из определения чисел Бернулли следует, что x x2 x3 Bn 1 + + + +... xn = 1.

2! 3! 4! n! n=В выражении в левой части коэффициент при xk-1 равен k k-1 Bp 1 B0 1 B1 1 B2 1 Bk-p · + · + · +... + · =.

k! 0! (k - 1)! 1! (k - 2)! 2! 1! (k - 1)! k! p=При k > 1 этот коэффициент равен нулю, поэтому после умножения на k! получаем требуемое.

n n 36.23. По определению Bn(z) = Bkzn-k. Поэтому Bn(0) = Bn k=k n n и Bn(1) = Bk = Bn согласно задаче 36.22.

k=k 36.24. При k = 2 получаем 2B1 + B0 = 0, поэтому B1 = -. При k = получаем 3B2 + 3B1 + B0 = 0, поэтому B2 =. При k = 4 получаем 4B3 + + 6B2 + 4B1 + B0 = 0, поэтому B3 = 0. Аналогично получаем B4 = - и B5 = 0.

36.25. Для краткости будем писать ex вместо Exp(x). С одной стороны, -x Bn = (-x)n.

e-x - 1 n! n=С другой стороны, -x -xex x Bn = = x + = x + xn.

e-x - 1 1 - ex ex - 1 n! n=458 Глава 36. Формальные ряды и производящие функции Таким образом, Bn Bn x + xn = (-x)n.

n! n! n=0 n=Поэтому для любого нечётного n > 1 должно выполняться равенство Bn = = -Bn.

36.26. а) По определению n k-1 n k Bn(z + 1) - Bn(z) = Bn-k zp.

k p k=0 p=Выражение в правой части не содержит zp для p > n-1. Кроме того, коэффи n n циент при zn-1 равен = n. Остаётся доказать, что для фиксироn n - n n k ванного p, 0 p n- 2, Bn-k = 0. Положим m = n- k. Тоk=p+k p n-p-1 n n - m гда требуемое равенство перепишется в виде Bm = m=n - m p n n - m n n - p = 0. Легко проверить, что =. Остаётся замеn - m p p m n-p-1 - p n тить, что Bm = 0 согласно задаче 36.22.

m=m б) Складывая равенства Bn+1(1) - Bn+1(0) = (n + 1) · 0n, Bn+1(2) - Bn+1(2) = (n + 1) · 1n,......

Bn+1(k + 1) - Bn+1(k) = (n + 1) · kn, получаем требуемое.

n n 36.27. По определению Bn(z) = Bkzn-k. Поэтому k=k n n-1 n!(n - k) n - Bn(z) = Bkzn-k-1 = n Bkzn-1-k = nBn-1(z).

k!(n - k)! k k=0 k=36.28. Ясно, что (1-xn)-1 = 1+xn+x2n+x3n+.... Поэтому коэффициент - при xm в формальном ряду (1 - xn) равен количеству представлеn=ний числа m в виде a1 + 2a2 +... + kak, где a1, a2,..., ak неотрицательные целые числа. Такое представление можно записать следующим образом:

1 +.. + 1 + 2 +.. + 2 +... + k +.. + k.

...

a1 a2 ak Поэтому количество представлений числа m в таком виде равно p(m).

36.29. Бесконечному произведению (1- xn) соответствует формальn=ный ряд, в котором коэффициент при xm получается следующим образом.

Глава 36. Формальные ряды и производящие функции Рассмотрим все представления числа m в виде m = n1 + n2 +... + nk, где n1 < n2 <... < nk различные натуральные числа, и каждому такому представлению сопоставим число (-1)k. Сумма всех этих чисел и есть коэффициент при xm.

Фиксируем число m и рассмотрим все его представления в виде m = n1 + + n2 +... + nk, где n1 < n2 <... < nk. Пусть s наибольшее число, для которого s чисел nk-s+1, nk-s+2,..., nk идут подряд, т.е. nk - nk-s+1 = s - 1.

Pages:     | 1 |   ...   | 53 | 54 || 56 | 57 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.