WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 51 | 52 || 54 | 55 |   ...   | 65 |

34.8. Ясно, что f(2x) = f(x + x) = f(x) + f(x) = 2f(x), f(3x) = f(2x + + x) = f(2x) + f(x) = 2f(x) + f(x) = 3f(x). Аналогично доказывается, что f(nx) = nf(x) для любого натурального n. Далее, f(x) = f(x + 0) = f(x) + + f(0), поэтому f(0) = 0, а значит, f(x) + f(-x) = f(x - x) = f(0) = 0. Таким образом, равенство f(nx) = nf(x) выполняется для всех натуральных n.

Для любого рационального числа x = m/n получаем f(nx) = nf(x), т.е.

f(m/n) = f(m)/n = (m/n)f(1). Функция f непрерывна, поэтому f(x) = xf(1) для любого (вещественного) x. Действительно, любое число x является пределом рациональных чисел.

34.9. Ясно, что f(x) = axf(x/2) = axax/2f(x/4) = axax/2ax/4f(x/8) = 1 1 x 1+ + +...+ 2 2k =... = a f(x/2k+1). Если k, то f(x/2k+1) f(0), по1 1 скольку функция f непрерывна. Кроме того, 1 + + +... + 2 при 2 4 2k k. Поэтому f(x) = a2xf(0). Таким образом, f(x) = Ca2x, где C произвольная константа.

34.10. Равенство f(x)f(x0 - x) = f(x0) показывает, что f(x) = 0 для всех x. Но тогда f(x) > 0 для всех x поскольку f(x) = f(x/2)f(x/2).

Индукцией по n легко доказать, что n f(nx) = f(x) (1) для всех натуральных n. Ясно также, что f(0) = 1, поскольку f(x) = f(x + + 0) = f(x)f(0). Кроме того, f(x)f(-x) = f(0) = 1. Поэтому равенство (1) выполняется для всех целых n. В частности, f(n) = an, где a = f(1).

Докажем теперь, что равенство f(r) = ar выполняется для любого рационального числа r = m/n. Запишем равенство (1) для x = m/n: f(m) = = (f(m/n))n. Учитывая, что f(m) = am, получаем am = (f(m/n))n, т.е.

f(m/n) = am/n.

432 Глава 34. Функциональные уравнения Равенство f(x) = ax доказано для всех рациональных x. Поэтому из непрерывности функции f следует, что f(x) = ax для всех x.

34.11. а) Сделаем замену u = loga x, т.е. x = au, и рассмотрим функцию g(u) = f(x) = f(au). Функция g тоже непрерывна. Она удовлетворяет соотношению g(u + v) = g(u) + g(v). Действительно, g(u + v) = f(au+v) = = f(auav) = f(au) + f(av) = g(u) + g(v). Поэтому согласно задаче 34.8 g(u) = = ug(1) = uf(a) = u. Таким образом, f(x) = g(u) = u = loga x.

б) Легко проверить, что f(xn) = nf(x0) для любого целого n. Поэтому функция f принимает значения как больше 1, так и меньше 1.

34.12. Ясно, что 2 f(2x) = 2f(x) + f(x) = 1 + f(x) - 1. (1) Покажем индукцией по n, что для любого натурального n выполняется равенство n f(nx) = 1 + f(x) - 1. (2) Действительно, из этого равенства следует, что f (n + 1)x) = f(nx + x) = f(nx) + f(x) + f(x)f(nx) = n n = 1 + f(x) - 1 + f(x) + f(x) 1 + f(x) - f(x) = n+= 1 + f(x) - 1.

Пусть f(1) = c. Запишем равенство (2) для x = 1:

f(n) = (1 + c)n - 1.

Запишем также это равенство для x = m/n:

n m m f n = 1 + f - 1.

n n m Но f n = f(m) = (1 + c)m - 1, поэтому n n m m 1 + f = (1 + c)m, т.е. f = (1 + c)m/n - 1.

n n Здесь всегда нужно брать положительное значение корня, потому что, если x заменить в равенстве (1) x на x/2, то получим f(x) + 1 = 1 + f 0.

В итоге по соображениям непрерывности получаем, что если x > 0, то f(x) = kx - 1, где k = c + 1 0.

Положим в исходном функциональном уравнении x = 0, а потом y = -x:

f(y) = f(0) + f(y) + f(0)f(y), f(0) = f(x) + f(-x) + f(x)f(-x).

Если f(y) -1, то f(0) = 0. В таком случае для x > 0 получаем 0 = kx - 1 + f(-x) + (kx - 1)f(-x) = = kx - 1 + kxf(-x), Глава 34. Функциональные уравнения откуда f(-x) = k-x - 1.

Итак, мы получили, что либо f(x) -1, либо f(x) 0, либо f(x) = = kx - 1, где k > 0, k = 1. Несложная проверка показывает, что все эти функции удовлетворяют данному функциональному уравнению.

34.13. Пусть f(0) = a и f(1) = b. Положив в исходном функциональном t уравнении x = y = t/2, получим f = af(t), поэтому f = ab = 2 1/2 a 1 1 = a = ac1/2, где c = b/a, f = af = ac1/4 и вообще f = b 4 2 2n n = ac1/2 (если a = 0, то всё равно получаем f = 0, поскольку в этом 2n случае можно обойтись без деления на a).

Положим теперь в исходном функциональном уравнении x = и y = 2n-=. В результате получим 2n 3 1 f f = f, 2n 2n 2n-т.е.

2 -1 n n-1 n f = ac1/2 ac1/2 = ac3/2.

2n n n m - 1 m Ясно также, что если f = ac(m-1)/2 и f = acm/2, то можно 2n 2n m положить x = и y =. Тогда из равенства 2n 2n m + 1 m - 1 m f f = f 2n 2n 2n n n m + 1 m следует, что f = ac(m+1)/2. Значит, f = acm/2 для всех нату2n 2n ральных m. Поэтому по непрерывности f(x) = acx для всех положительных x.

Положим в исходном уравнении x = 0. В результате получим f(y)f(-y) = f(0) = a2, a2 aа значит, f(-y) = = = ac-y.

f(y) acy Легко проверить, что функция f(x) = acx удовлетворяет данному функциональному уравнению.

34.14. Эквивалентное условие таково: f2(x) = 0, поэтому функция f2(x) постоянна. Из непрерывности функции f следует, что функция f(x) тоже постоянна.

34.15. Для x = 0 получаем 0 = -26P (0), т.е. P (0) = 0. Для x = 1 получаем P (0) = -25P (1), т.е. P (1) = 0. Далее полагаем x = 2, 3,..., 25 и последовательно получаем 2P (1) = -24P (2),..., 25P (24) = -P (25). Поэтому P (0) = = P (1) =... = P (25) = 0. Значит, P (x) = x(x - 1)(x - 2)... (x - 25)Q(x), где 434 Глава 34. Функциональные уравнения Q(x) некоторый многочлен. При этом из тождества xP (x-1) = (x-26)P (x) следует, что Q(x - 1) = Q(x), т.е. Q(x) = c постоянное число.

34.16. Положим t = y - x. Тогда P (x, t + x) = P (x + 1, t + x + 1) для всех x и t. Рассмотрим многочлен Q(t, x) = P (x, t + x). Он обладает следующим свойством: Q(t, x) = Q(t, x + 1) для всех x. Поэтому Q(t, x) не зависит от x.

Действительно, фиксируем t = t0 и рассмотрим многочлен g(x) = Q(t0, x).

Тогда g(x + 1) - g(x) = 0, поэтому g(x) константа.

34.17. При y = 0 и y = 1 уравнение (34.1) принимает вид n f(x) = ckxk + xnh(x), x = 0, (2) k=n f(x) = dkxk + (x - 1)nh(x), x = 1. (3) k=Следовательно, n (dk - ck)xk k=h(x) =.

xn - (x - 1)n Это равенство выполняется при x = 0, 1, а при чётном n нужно ещё исклю чить и x = 1/2.

Фиксировав y = 2 и y = 4, аналогичным образом получим равенство n (fk - ek)xk k=h(x) =, (x - 2)n - (x - 4)n которое выполняется при x = 2, 3, 4.

В итоге получаем, что функция h бесконечно дифференцируема, но тогда из (2) и (3) следует, что функция f тоже бесконечно дифференцируема.

Продифференцировав n раз по x равенство (34.1), получим dn f(n)(x) = n!gn(y) + (x - y)nh(x).

dxn При фиксированном x из этого равенства следует, что gn(y) многочлен.

Теперь можно продифференцировать равенство (34.1) по x не n, а n-1 раз, и аналогичным образом получить, что gn-1(y) многочлен и т.д. В частности, g0,..., gn бесконечно дифференцируемы.

Продифференцируем равенство (34.1) по y и положим y = 0. В результате получим n n 0 = - kxk-1gk(0) + kxkgk(0) - nxn-1h(x).

k=0 k=Из этого равенства следует, что xn-1h(x) многочлен степени не выше n.

А если равенство (34.1) продифференцировать n раз по y и положить y = = 0, то можно показать, что h(x) многочлен (тоже степени не выше n).

Глава 34. Функциональные уравнения Но если h(x) многочлен, а xn-1h(x) многочлен степени не выше n, то h(x) = ax + b.

Так как h(x) = ax + b и f(x) бесконечно дифференцируема, то из (2) следует, что f(x) многочлен степени не выше n + 1. Поэтому n+ f(k)(y) f(x + y) = xk.

k! k=С другой стороны, заменив x на x + y, соотношение (34.1) можно записать в виде n f(x + y) = xkgk(y) + xn(ax + ay + b).

k=Это означает, что f(k)(y) gk(y) = при k = 0, 1,..., n - 1, k! f(n)(y) f(n+1)(y) gn(y) = - ay - b и = a.

n! (n + 1)! 34.18. Оба утверждения непосредственно следуют из задачи 34.17.

34.19. Дело в том, что если равенство (34.3) выполняется при всех вещественных x, y, x = y, то x + y (x) + (y) =.

2 Чтобы доказать это, заменим в (34.3) x на x + y, а y на x - y. В результате получим f(x + y) - g(x - y) = (x) (4) 2y при всех вещественных x, y, y = 0. Положив в (4) x = u + v и x = u - v, получаем f(u + v + y) - g(u + v - y) = 2y(u + v), f(u - v + y) - g(u - v - y) = 2y(u - v).

Заменим теперь в (4) x на u, а y сначала на v - y, а потом на y - v:

f(u + v + y) - g(u - v - y) = 2(v + y)(u), f(u - v + y) - g(u + v - y) = -2(v - y)(u).

Сравнивая сумму этих двух уравнений с суммой предыдущих уравнений, получаем (u + v) + (u - v) = 2(u).

Положив u + v = x, u - v = y, получим требуемое равенство x + y (x) + (y) = 2.

436 Глава 34. Функциональные уравнения 34.20. а) Если = 1 и f(x) = a0xn + a1xn-1 +... + an, где a0 = 0, то получаем тождество f(x) = a0xn + a1xn-1 +... + an = a0(x + )n + a1(x + )n-1 +... + an.

Такое тождество возможно лишь в том случае, когда a1 = a1 + a0n, т.е.

= 0.

Если = -1, то уравнение f(-x+) = f(x) после замены g(x) = f(x+/2) сводится к уравнению g(x) = g(-x), решениями которого служат многочлены вида a0x2n + a2x2n-2 +... + a2n.

б) При произвольном сравнение коэффициентов при старшем члене многочлена f(x) = a0xn +... показывает, что n = 1.

34.21. Достаточно рассмотреть многочлены вида f(x) = xn + a1xn-1 + n j +... + an. Требуется доказать, что aj = при j = 1,..., n - 1.

j ( - 1)j Доказательство проведём индукцией по j.

Сравнение коэффициентов при xn-j для многочленов f(x) и f(x + ) показывает, что j-1 n - s (1 - n-j)aj = as n-jj-s. (1) j - s s= n При j = 1 получаем (1 - n-1)a1 = n-1. По условию n = 1, поэтому n -1 n a1 = =.

1 1 - -1 1 - База индукции доказана.

Для доказательства шага индукции (т.е. перехода от j = k к j = k + 1) мы снова воспользуемся соотношением (1) и условием n = 1. По предположению n s индукции as = при s = 1,..., k. Поэтому s ( - 1)s k n - s n-k+1k+n n (1 - n-k-1)ak+1 = n-k-1k+1 +.

k + 1 s k + 1 - s ( - 1)s s= n - s n k + n Легко проверить, что =. Поэтому s k + 1 - s k + 1 s (1 - n-k-1)ak+1 = n k + 1 1 k + 1 = n-k-1k+1 1 + +... +.

k + 1 1 - 1 k ( - 1)k Ясно также, что выражение в квадратных скобках равно k+1 k+1 k+1 1 1 1 + - =.

- 1 - 1 ( - 1)k+Глава 34. Функциональные уравнения Следовательно, 1 n n - n-k-ak+1 = k+1.

1 - n-k-1 k + 1 ( - 1)k+Учитывая, что n = 1, получаем n k+ak+1 =.

k + 1 ( - 1)k+Глава 35.

Цепные дроби 35.1. Определение и основные свойства Рассмотрим бесконечную последовательность натуральных чисел a1, a2,... Пусть a0 целое число и 1 a0a1 + 1 p[a0; a1] = a0 + = =, a1 a1 qa0a1a2 + a0 + a2 p[a0; a1, a2] = a0 + = =, 1 a1a2 + 1 qa1 + aa0a1a2a3 + a0a1 + a0a3 + a2a3 + 1 p[a0; a1, a2, a3] = a0 + = = 1 a1a2a3 + a1 + a3 qa1 + a2 + aи т.д. Дробь pk/qk называют подходящей дробью порядка k для рассматриваемой последовательности, а предел limk pk/qk = [a0; a1, a2,...] называют цепной дробью1.

Каждому положительному числу можно сопоставить его разложение в цепную дробь, т.е. последовательность чисел a0, a1,.., для.

которой [a0; a1, a2,...] =. А именно, a0 = [], a1 =, a2 = - aТакое название пришло из немецкого языка (Kettenbrchen). Иногда используется название непрерывные дроби, которое пришло из английского языка (continued fractions).

Глава 35. Цепные дроби 1, a3 = = и т.д.

1 - a1 - a - a0 - a - a35.1. Докажите, что цепная дробь [0; 1, 1, 1,...] равна отношению меньшего отрезка к большему в золотом сечении, а цепная дробь [1; 1, 1, 1,...] отношению большего отрезка к меньшему.

35.2. Докажите, что цепные дроби связаны с алгоритмом Евклида следующим образом. Пусть m < n два натуральных числа. Применим к ним алгоритм Евклида: n = a0m + r1, m = a1r1 + r2, r1 = a2r2 + r3,..., rs-1 = asrs. Пусть xk = [0; ak, ak+1,..., as] для k = 0, 1,..., s. Тогда m r1 r2 rs x0 =, x1 =, x2 =,..., xs =.

n m r1 rs-35.3. Пусть p0 = a0 и q0 = 1.

а) Докажите, что при k 2 выполняются соотношения pk = akpk-1+ + pk-2 и qk = akqk-1 + qk-2.

б) Докажите, что pk-1qk - qk-1pk = (-1)k.

в) Докажите, что pk-2qk - qk-2pk = (-1)k-1ak.

35.4. Докажите, что последовательность pk/qk сходится.

35.5. Решите в натуральных числах уравнение 1 - [0; 2, 3, 4,..., n] = [0; x1, x2,..., xn].

35.6. Докажите, что pn 1 1 1 (-1)n-= a0 + - + -... +.

qn q0q1 q1q2 q2q3 qn-1qn Рассмотрим последовательность многочленов K0 = 1, K1(x1) = x1, Kn(x1,..., xn) = xnKn-1(x1,..., xn-1) + Kn-2(x1,..., xn-2). Согласно задаче 35.3 a) pn = Kn+1(a0,..., an) и qn = Kn(a1,..., an), т.е.

Kn+1(a0,..., an) [a0; a1,..., an] =.

Kn(a1,..., an) 35.7. Докажите, что Kn(x1,..., xn) представляет собой сумму всех мономов, которые получаются из x1x2... xn вычёркиванием нескольких непересекающихся пар соседних переменных xixi+1. При этом можно как ничего не вычёркивать, так и вычёркивать всё; в последнем случае считаем, что остаётся моном 1. (Эйлер).

440 Глава 35. Цепные дроби 35.8. Докажите, что другое рекуррентное соотношение Kn(x1,..., xn) = x1Kn-1(x2,..., xn) + Kn-2(x3,..., xn) приводит к той же самой последовательности многочленов.

35.9. Докажите, что количество мономов в Kn(x1,..., xn) равно числу Фибоначчи Fn+1.

35.2. Наилучшие приближения Пусть положительное число, x и y целые неотрицательные числа, причём y > 1. Дробь x/y называют наилучшим приближением числа, если для любой другой дроби a/b с меньшим знаменателем выполняется неравенство |a - b| > |x - y|.

35.10. Докажите, что наилучшими приближениями числа являются подходящие дроби разложения в цепную дробь и только они.

35.3. Цепные дроби и уравнение Пелля Здесь мы обсудим ещё один подход к построению решений уравнения Пелля, основанный на разложении числа d в цепную дробь.

35.11. Пусть d натуральное число, свободное от квадратов. Тогда все решения уравнения x2 - dy2 = ±1 в натуральных числах находятся среди подходящих дробей разложения числа d в цепную дробь.

Теперь нужно выяснить, какие именно подходящие дроби соответствуют решениям уравнения x2 - dy2 = ±1.

Пусть и корни одного и того же неприводимого квадратного трёхчлена, т.е. и сопряжённые числа (см. с. 69). Квадратичную иррациональность называют приведённой, если > 1 и -1 < < 0, т.е. -1/ > 1. Например, квадратичная иррациональность [ d] + d приведённая.

35.12. Докажите, что цепная дробь приведённой квадратичной иррациональности чисто периодическая, т.е. она имеет вид [a0; a1,..., ak, a0, a1,..., ak,...].

35.13. Пусть d = [a0; a1,..., ak-1, 2a0, a1,...], т.е. число k делится на период. Докажите, что тогда подходящая дробь pk-1/qk-1 даёт решение уравнения x2 - dy2 = (-1)k.

Глава 35. Цепные дроби Решения 35.1. Пусть x = [0; 1, 1, 1,...]. Тогда x =, т.е. x(1 + x) = 1. Ясно 1 + x также, что x > 0. Решая квадратное уравнение и отбрасывая отрицательный корень, получаем требуемое.

Pages:     | 1 |   ...   | 51 | 52 || 54 | 55 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.