WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 50 | 51 || 53 | 54 |   ...   | 65 |

3) Аналогично может случиться, что a > c. Тогда ak+1 = ak + 1 и ck+1 = = ck - 1, поэтому fk - fk+1 = 1.

Глава 33. Алгоритмы и вычисления 4) При сравнении чисел a и d одно из чисел bk или ck увеличивается на 1, а число dk уменьшается на 1, поэтому fk - fk+1 =.

5) При сравнении двух чисел из группы bk число ak увеличивается на 1, а bk уменьшается на 1, поэтому fk - fk+1 = 1.

6) Может случиться, что b < c. Тогда ничего не меняется.

7) Может случиться, что b < d. Тогда ck увеличивается на 1, а dk уменьшается на 1, поэтому fk - fk+1 =.

8) При сравнении двух чисел из группы ck число ak увеличивается на 1, а ck уменьшается на 1, поэтому fk - fk+1 = 1.

9) Может случиться, что c > d. Тогда bk увеличивается на 1, а dk уменьшается на 1, поэтому fk - fk+1 =.

10) При сравнении двух чисел из группы dk оба числа bk и ck увеличиваются на 1, а dk уменьшается на 2, поэтому fk - fk+1 = 1.

33.13. а) Будем последовательно делить набор из n чисел примерно пополам, как это описано в задаче 33.10. Согласно решению этой задачи процесс останавливается после m шагов. Группы, полученные на (m - 1)-м шаге, состоят из пар чисел и отдельных чисел. В каждой такой группе сравним числа и найдём среди них наибольшее (отдельные числа пока ни с чем не сравниваются). Затем аналогично найдём наибольшее число в каждой группе, полученной на (m - 2)-м шаге, и т.д. В результате найдём наибольшее число. При этом будет сделано n - 1 сравнений. Действительно, при каждом сравнении отсеивается один кандидат на звание наибольшего числа, причём в результате будет отсеяно n - 1 число.

Займёмся теперь поиском второго по величине числа. Ясно, что оно выбыло из дальнейшей борьбы в результате сравнения с наибольшим числом, поскольку у любого другого числа оно бы выиграло. Таким образом, второе по величине число нужно искать среди тех чисел, которые сравнивались непосредственно с самым большим числом. Таких чисел m. Выбрать из них наибольшее можно за m - 1 сравнений.

б) Будем говорить, что число проигрывает сравнение, если оно оказывается меньше числа, с которым оно сравнивается. Пусть ki количество чисел, проигравших не менее i сравнений (косвенные проигрыши, когда из неравенств a < b и b < c делается вывод, что a < c, не учитывается; количество всех проигрышей равно количеству всех сравнений). Тогда сумма всех чисел ki равна количеству всех сравнений, поскольку после каждого сравнения ровно одно из чисел ki увеличивается на 1. Действительно, пусть при очередном сравнении проигрывает число, которое уже проиграло j сравнений. Тогда kj+1 увеличивается на 1, а остальные числа ki не изменяются.

Достаточно доказать, что при любом алгоритме сравнений может получиться так, что после того, как удалось выявить наибольшее число и следующее за ним, будет выполняться неравенство k1 + k2 n+ m - 2. Прежде всего заметим, что после того, как алгоритм закончит работу, будет выполняться 424 Глава 33. Алгоритмы и вычисления неравенство k1 n - 1, поскольку все числа, кроме одного, должны были кому-то проиграть (если бы два числа никому не проиграли, то мы не знали бы, какое из них больше другого). Остаётся доказать, что при неудачных исходах может выполняться неравенство k2 m - 1.

На каждом шаге работы алгоритма будем называть лидером число, которое пока никому не проиграло. Покажем, что неравенство k2 m - 1 выполняется, если исходы сравнений следующие:

(1) при сравнении двух не лидеров результат произвольный;

(2) при сравнении лидера с не лидером всегда выигрывает лидер;

(3) при сравнении двух лидеров выигрывает тот, у кого было больше выигрышей (если выигрышей было поровну, то результат произвольный).

Такие исходы сравнений возможны потому, что на лидера нет никаких ограничений сверху: если его увеличить, то результат предыдущих сравнений не изменится.

Введём теперь понятие подчинения лидеру. Первоначально все числа подчинены только самим себе. При сравнениях типа (1) и (2) подчинение лидерам не изменяется. При сравнении типа (3) проигравший и все его подчинённые переподчиняются новому лидеру.

Покажем индукцией по k, что если лидер выиграл k сравнений, то ему подчинено (вместе с ним самим) не более 2k чисел. При k = 0 лидеру подчинён только он сам. Пусть лидер, выигравший k сравнений, выигрывает у кого-то в очередной раз. Тот, у кого он выиграл, по нашему соглашению о сравнениях типа (3) выиграл не более k сравнений. Поэтому как выигравшему, так и проигравшему, подчинено не более 2k чисел; при объединении этих двух групп получается не более 2k+1 чисел, что и требовалось.

Итак, наибольшее число выиграло по крайней мере m сравнений, поскольку ему в итоге будут подчинены все n чисел. Среди m чисел, проигравших наибольшему числу, есть только одно число, которое больше никому не проиграло (иначе мы не будем знать второе по величине число). Следовательно, k2 m - 1.

Глава 34.

Функциональные уравнения 34.1. Метод подстановки Метод подстановки позволяет решить довольно узкий класс функциональных уравнений. Он заключается в следующем. Пусть (x) функция, которая обладает таким свойством: если 1(x) = (x) и k+1(x) = k(x) при k 1, то n(x) = x для некоторого n. Например, если (x) = 1-x, то 2(x) = x. Предположим, функциональное что уравнение содержит только функции f(x), f (x),..., f n-1(x). Тогда вместо x можно подставить 1(x), 2(x),..., n-1(x) и получить систему уравнений, которую иногда удаётся решить.

34.1. Найдите все функции f(x), для которых 2f(1-x)+1 = xf(x).

34.2. Найдите все функции f(x), которые определены при x = 1 и удовлетворяют соотношению f(x) + f = x.

1 - x 34.3. Найдите все функции f(x), которые определены для всех x = 0, ±1 и удовлетворяют соотношению x - xf(x) + 2f = 1.

x + 426 Глава 34. Функциональные уравнения 34.2. Функциональные уравнения для произвольных функций 34.4. а) Предположим, что каждому рациональному числу x сопоставлено действительное число f(x) так, что f(x + y) = f(x) + f(y) и f(xy) = f(x)f(y). Докажите, что либо f(x) = x для всех x, либо f(x) = = 0 для всех x.

б) Решите ту же самую задачу в случае, когда число f(x) сопоставляется не только рациональным числам, но и всем действительным числам.

34.5. Найдите все функции f(x), которые определены для всех x и удовлетворяют соотношению xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y) для всех x, y.

34.6. Найдите функцию f(x), которая определена для всех x, в некоторой точке отлична от нуля и для всех x, y удовлетворяет уравнению f(x)f(y) = f(x - y).

* * * 34.7. Докажите, что не существует функции f(x), которая определена для всех x и удовлетворяет соотношению f(f(x)) = x2 - 2.

34.3. Функциональные уравнения для непрерывных функций 34.8. Непрерывная функция f(x) определена для всех x и удовлетворяет соотношению f(x + y) = f(x) + f(y).

Докажите, что f(x) = Cx, где C = f(1).

34.9. Найдите все непрерывные функции, которые определены для всех x и удовлетворяют соотношению f(x) = axf(x/2), где a фиксированное положительное число.

34.10. Непрерывная функция f(x) определена для всех x, причём f(x0) = 0 для некоторого x0. Докажите, что если выполнено соотноше ние f(x + y) = f(x)f(y), Глава 34. Функциональные уравнения то f(x) = ax для некоторого a > 0.

34.11. Непрерывная функция f(x) определена для всех x > 0 и удовлетворяет соотношению f(xy) = f(x) + f(y).

а) Докажите, что если f(a) = 1 для некоторого a, то f(x) = loga x.

б) Докажите, что если f(x0) = 0 для некоторого x0, то f(a) = 1 для некоторого a.

34.12. Найдите все непрерывные решения функционального уравнения f(x + y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y).

34.13. Найдите все непрерывные решения функционального уравнения f(x + y)f(x - y) = f(x) (Лобачевский).

34.4. Функциональные уравнения для дифференцируемых функций 34.14. Найдите все дифференцируемые функции f, для которых f(x)f (x) = 0 для всех x.

34.5. Функциональные уравнения для многочленов 34.15. Найдите все многочлены P (x), для которых справедливо тождество xP (x - 1) = (x - 26)P (x).

34.16. Многочлен P (x, y) обладает следующим свойством: P (x, y) = n = P (x+1, y+1) для всех x и y. Докажите, что P (x, y) = ak(x-y)k.

k=Согласно задаче 28.76 для многочлена f степени n + 1 выполняется равенство f(n+1)(y) f(x) = f(y) + (x - y)f (y) +... + (x - y)n+1.

(n + 1)! 428 Глава 34. Функциональные уравнения При этом f(n+1) константа, а значит, f(n+1)(y) (x - y)n+1 = (n + 1)! -yf(n+1)(y) xf(n+1)(x) = (x - y)n - c + (x - y)n + c.

(n + 1)! (n + 1)! Таким образом, у функционального уравнения n f(x) = (x - y)kgk(y) + (x - y)nh(x) (34.1) k=есть решение следующего вида:

(а) f многочлен степени не выше n + 1;

(б) gk(y) = f(k)(y)/k! при k = 0, 1,..., n - 1;

(в) gn(y) = f(n)(y)/n! - yf(n+1)(y)/(n + 1)! - c;

(г) h(x) = xf(n+1)(x)/(n + 1)! + c.

34.17. Пусть f, g0,..., gn, h произвольные функции, которые при всех вещественных x, y, x = y, удовлетворяют уравнению (34.1). Дока жите, что тогда эти функции имеют указанный выше вид (а)–(г).

34.18. а) Пусть функция f(x) дифференцируема n раз и при всех вещественных x, y, x = y, выполняется равенство n- - y)k (x f(x) - f(k)(y) k! f(n)(x) + f(n)(y) k==.

(x - y)n (n + 1)! Докажите, что тогда f многочлен степени не выше n.

б) Докажите, что если при всех вещественных x, y, x = y, выполня ется равенство f(x) - g(y) (x) + (y) =, (34.2) x - y то f многочлен степени не выше 2, g = f и = f.

34.19. Докажите, что функциональное уравнение x + y f(x) - g(y) = (34.3) x - y сводится к функциональному уравнению (34.2) 34.20. а) Найдите полиномиальные решения функционального уравнения f(x + ) = f(x) при = ±1.

б) Докажите, что если решением функционального уравнения f(x + ) = f(x) является многочлен степени n, то n = 1. (В частности, если = ±1, то n 3).

Глава 34. Функциональные уравнения 34.21. Пусть многочлен f степени n 3 удовлетворяет соотношению f(x + ) = f(x), где = ±1 и n = 1. Докажите, что тогда n f(x) = a0 x + + c.

- Решения 34.1. Подставив 1 - x вместо x, получим 2f(x) + 1 = (1 - x)f(1 - x).

xf(x) - Исходное уравнение показывает, что f(1 - x) =. Подставим это выxf(x) - ражение в новое соотношение, получим 2f(x) + 1 = (1 - x), а значит, x - f(x) =. Непосредственная проверка показывает, что эта функция x2 - x + удовлетворяет требуемому соотношению.

1 34.2. Пусть 1(x) =. Тогда 2(x) = 1 - и 3(x) = x. Поэтому 1 - x x получаем систему уравнений f(x) + f = x, 1 - x 1 1 f + f 1 - =, 1 - x x 1 - x 1 f 1 - + f(x) = 1 -.

x x Сложим первое уравнение с третьим и вычтем из них второе уравнение. В результате получим 1 1 f(x) = x + 1 - -.

2 x 1 - x Непосредственная проверка показывает, что эта функция удовлетворяет требуемому соотношению.

x - 1 34.3. Для 1(x) = последовательно находим: 2(x) = -, 3(x) = x + 1 x x + = и 4(x) = x. Поэтому получаем систему уравнений 1 - x x - xf(x) + 2f = 1, x + - 1 x - x f + 2f - = 1, x + 1 x + 1 x 1 1 x + - f - + 2f = 1, x x 1 - x x + 1 x + f + 2f(x) = 1.

1 - x 1 - x Чтобы сократить вычисления, поступим следующим образом. Умножим третье уравнение на 2x и сложим его со вторым уравнением. Затем к полу1 - x ченному уравнению прибавим первое уравнение, умноженное на, и 2(x + 1) 430 Глава 34. Функциональные уравнения 4x(x - 1) последнее уравнение, умноженное на. В результате получим x + 15x(x - 1) 12x2 - 3x + f(x) =.

2(x + 1) 2(x + 1) 4x2 - x + Значит, если x = 0, ±1, то f(x) =. Непосредственная проверка 5(x - 1) показывает, что эта функция f(x) удовлетворяет требуемому соотношению.

34.4. а) Предположим, что f(x) = 0 хотя бы для одного числа x. Тогда из равенства f(x · 1) = f(x)f(1) следует, что f(1) = 1. Далее, f(0) = f(0 + 0) = = f(0) + f(0), поэтому f(0) = 0.

Из равенства f(x + y) = f(x) + f(y) следует, что если n натуральное число, то f(nx) = nf(x). Значит, f(n) = n, f(1) = nf(1/n), т.е. f(1/n) = 1/n, и f(m/n) = mf(1/n) = m/n для любого натурального числа m. Наконец, f(-x) + f(x) = f(x - x) = f(0) = 0.

б) Докажем, что если x y, то f(x) f(y). Действительно, если x > y, то x = y + t2 для некоторого действительного числа t. Поэтому f(x) = f(y) + + f(t2) = f(y) + f(t) f(y).

Предположим, что f(x) = x для некоторого действительного числа x (мы рассматриваем случай, когда f(x) = 0 хотя бы для одного числа x). Пусть, например, f(x) > x. Тогда существует рациональное число r, для которого f(x) > r > x. Из неравенства r > x следует, что f(r) f(x), т.е. r f(x).

Получено противоречие. Если f(x) < x, то рассуждения аналогичны.

34.5. Положим x = y. Тогда получим 2xf(x) = 2x f(x). Если x = 0, то f(x) = 0 или 1.

Предположим, что f(a) = 0 для некоторого a = 0. Положив x = a, полу чим af(y) = 0 для всех y, т.е. f = 0.

Предположим, что f(a) = 1 для некоторого a = 0. Положив x = a, по лучим af(y) + y = (a + y)f(y), т.е. y = yf(y). Значит, f(y) = 1 для всех y = 0.

В результате получаем, что либо f(x) = 0 для всех x, либо f(x) = 1 для всех x = 0 и f(0) = c произвольное число.

34.6. Возьмём точку x0, для которой f(x0) = 0, и положим y = 0. Тогда f(x0)f(0) = f(x0), поэтому f(0) = 1. Положив x = y, получаем f(x) = = f(0) = 1. Значит, f(x) = ±1. Наконец, положив y = x/2, получим f(x)f(x/2) = f(x/2), причём f(x/2) = ±1 = 0. Поэтому f(x) = 1.

34.7. Рассмотрим функции g(x) = x2 - 2 и h(x) = g(g(x)) = x4 - 4x2 + 2.

Корни уравнения g(x) = x равны -1 и 2. Оба эти числа являются также и корнями уравнения h(x) = x. Чтобы найти остальные корни этого уравнения, поделим x4 -4x2-x+2 на x2 -x-2. В результате получим трёхчлен x2 +x-1.

-1 ± Его корни равны. Таким образом, уравнение h(x) = x имеет корни -1 ± -1, 2,. (1) Глава 34. Функциональные уравнения Докажем, что не существует даже функции f(x), которая определена для этих четырёх значений x и удовлетворяет указанному соотношению.

Пусть a и b числа из множества (1). Докажем, что если f(a) = f(b), то a = b. Действительно, если f(a) = f(b), то g(a) = f(f(a)) = f(f(b)) = g(b).

Поэтому h(a) = h(b). Но h(a) = a и h(b) = b.

Если a = -1 или 2, то g(f(a)) = f(f(f(a))) = f(g(a)) = f(a), поэтому f(a) = -1 или 2.

-1 ± Если a =, то h(f(a)) = f(h(a)) = f(a), поэтому f(a) одно из чисел (1). Мы доказали, что f взаимно однозначно отображает множество (1) на себя. Более того, f отображает подмножество, состоящее из чисел -1 и 2, на -1 себя. Поэтому f(a) = a или f(a) =. Равенство f(a) = a невозможно, -1 + 5 -1 - поскольку тогда g(a) = a. Таким образом, если = и =, 2 то f() = и f() =. Но тогда = f() = f(f()) = g(). Приходим к противоречию.

Pages:     | 1 |   ...   | 50 | 51 || 53 | 54 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.