WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 48 | 49 || 51 | 52 |   ...   | 65 |

Поэтому bi не делится на p при некотором i, где 0 < i deg g < n; можно считать, что i наименьший номер числа bi, не делящегося на p. С одной стороны, по условию число ai делится на p. С другой стороны, ai = bic0 + + bi-1c1 +... + b0ci, причём все числа bi-1c1,..., b0ci делятся на p, а число bic0 не делится на p. Получено противоречие.

32.14. К многочлену (x + 1)p - 1 p p f(x + 1) = = xp-1 + xp-2 +... + (x + 1) - 1 1 p - p можно применить признак Эйзенштейна, поскольку все числа xp-2,..., p делятся на p (задача 14.30).

p - Глава 32. Многочлены II 32.15. Пусть k k-я элементарная симметрическая функция от a, b, c, d. По условию 1 = 2 и 3 = 24. Поэтому 1 1 1 1 4 - 31 + 22 - + + + = = 1 - a 1 - b 1 - c 1 - d 1 - 1 + 2 - 3 + 4 - 6 + 22 - = = 2.

1 - 2 + 2 - 24 + 32.16. Производящие функции (t) и p(t) связаны соотношением (-t)p(t) = 1. Приравнивая коэффициенты при tn, n 1, в левой и правой части, получаем требуемое.

32.17. Производящая функция s(t) выражается через p(t) следующим образом:

d p (t) s(t) = ln p(t) =, т.е. s(t)p(t) = p (t).

dt p(t) Приравнивая коэффициенты при tn-1, получаем требуемое.

32.18. П е р в о е р е ш е н и е. Требуемое равенство можно переписать в виде s0n - s1n-1 + s2n-2 +... + (-1)nsn0 = 0.

Произведение sn-kk состоит из членов вида xn-kxj1... xjk. Если i совi падает с одним из чисел j1,..., jk, то этот член сокращается с членом xn-k+1(xj1... xi... xjk ) произведения sn-k+1k-1 (символ xi означает, что i число xi исключено из произведения), а если i отлично от j1,..., jk, то этот член сокращается с членом xn-k-1(xixj1... xjk ) произведения sn-k-1k+1.

i В т о р о е р е ш е н и е. Производящая функция s(t) выражается через (t) следующим образом:

d (t) s(-t) = - ln (t) = -, т.е. s(-t)(t) = - (t).

dt (t) Приравнивая коэффициенты при tn-1, получаем n nn = (-1)r-1srn-r.

r=32.19. Пусть 1 = x + y + z, 2 = xy + yz + zx, 3 = xyz и sk = xk + + yk + zk. Запишем формулы Ньютона для n = 1, 2 и 4, учитывая при этом, что 1 = s1 = 0. В результате получим 22 = -s2 и s4 + s22 = 0. Значит, 2s4 = -s2(22) = s2.

32.20. Запишем формулы Ньютона 1 = s1 и 22 = s11 - s2. По условию числа 1 = s1 и s2 делятся на n. Значит, 22 тоже делится на n. А так как число n нечётно, то 2 делится на n. Запишем теперь формулу Ньютона 55 = = s14 - s23 + s32 - s41 + s5. Числа s14, s23, s32, s41 делятся на n, поэтому s5 - 55 делится на n.

410 Глава 32. Многочлены II 32.21. Равенство xn+3 + pxn+1 + qxn = 0 показывает, что имеет место i i i рекуррентное соотношение sn+3 + psn+1 + qsn = 0. Ясно также, что s0 = 1 1 1 x2x3 + x1x3 + x1x2 p = 3 и s1 = 0. Кроме того, s-= + + = = -.

x1 x2 x3 x1x2x3 q Теперь можно вычислять sn, пользуясь известными значениями s-, s0, sи рекуррентным соотношением. В результате получим s2 = -2p, s3 = -3q, s4 = 2p2, s5 = 5pq, s6 = -2p3 + 3q2, s7 = -7p2q, s8 = 2p4 - 8pq2, s9 = = 9p3q - 3q3, s10 = -2p5 + 15p2q2.

32.22. Ясно, что p1 = x1x2 + (x1 + x2)x3 = x1x2 - x2 = -(b + c + d)(a + b + +c)-(d-a)2 и p2 = -(a+c+d)(a+b+d)-(b-c)2. Поэтому p1 -p2 = 3(ad-bc).

32.23. Определим числа x1, x2, x3, y1, y2, y3 и многочлены t3 + p1t + qи t3 + p2t + q2, как в условии задачи 32.22. Согласно этой задаче p1 = p2, поскольку ad = bc. Положим p1 = p2 = p.

n n n Пусть sn = xn + xn + xn и s = y1 + y2 + y3. Тогда f2n = s2n - s. В 1 2 3 n 2n задаче 32.21 получены выражения для sn при n 10. Воспользуемся этими выражениями. Числа s2 и s4 зависят только от p, поэтому f2 = f4 = 0. Далее, 2 2 2 2 2 f6 = - q2), = 8p(q2 - q1) и f10 = 15p2(q1 - q2). Поэтому 64f6f10 = 3(q1 f2 2 = 45 8p(q1 - q2) = 45f8.

32.24. а) Многочлен f(x1,..., xn) = ak1,...,knxk1... xkn называют одноn родным многочленом степени m, если k1 +... + kn = m для всех его мономов.

Достаточно рассмотреть случай, когда f однородный многочлен. Будем говорить, что моном x1 ·... · xn имеет более высокий порядок, чем моном n xµ1 ·... · xµn, если 1 = µ1,..., k = µk и k+1 > µk+1 (возможно, k = 0).

n Пусть ax1 ·... · xn старший моном многочлена f. Тогда 1... n.

n Рассмотрим симметрический многочлен 1-2 2-f1 = f - a1 · 2 ·... · nn. (1) 1-Старший член монома 1 ·... · nn равен x1-2(x1x2)2-3 ·... · (x1 ·... · xn)n = x1 · x2 ·... · xn, n 1 1 поэтому порядок старшего монома многочлена f1 строго ниже порядка старшего монома многочлена f. Применим к многочлену f1 снова операцию (1) и т.д. Ясно, что после конечного числа таких операций придём к нулевому многочлену.

Докажем теперь единственность представления f(x1,..., xn) = = g(1,..., n). Достаточно проверить, что если i in g(y1,..., yn) = ai1...iny11 ·... · yn ненулевой многочлен, то после подстановки y1 = 1 = x1+...+xn,..., yn = = n = x1 ·... · xn этот многочлен останется ненулевым. Ограничимся рассмотрением старших мономов ai1...inxi1+...+inxi2+...+in ·... · xin, n 1 получающихся в результате подстановки. Ясно, что самый старший среди этих мономов ни с чем сократиться не может.

Глава 32. Многочлены II б) Это непосредственно видно из решения задачи а).

32.25. Достаточно проверить, что f делится на. В самом деле, если f/ многочлен, то этот многочлен по очевидным причинам симметрический.

Покажем, например, что f делится на x1 - x2. Сделаем замену x1 = u + + v, x2 = v - u. В результате получим f(x1, x2, x3,..., xn) = f1(u, v, x3,..., xn), где f1 некоторый многочлен. Если x1 = x2, то u = 0. Поэтому f1(0, v, x3,..., xn) = 0. Это означает, что многочлен f1 делится на u, т.е. многочлен f делится на x1 - x2. Аналогично доказывается, что f делится на xi - xj при всех i < j.

32.26. Предположим сначала, что требуемое неравенство выполняется при всех x > 0. Пусть x1 =... = xk = a и xk+1 =... = xn = 1. Тогда 1 lim M(x)/Mµ(x) = lim a1+...+k/aµ1+...+µk.

a a Следовательно, 1 +... + k µ1 +... + µk.

При k = n, положив x1 =... = xn = a, получаем равенство M(x)/Mµ(x) = a1+...+n/aµ1+...+µn.

При a > 1, как и ранее, получим || |µ|. А при 0 < a < 1 получим || |µ|.

Доказательство утверждения в обратную сторону более сложно. Оно использует следующее преобразование Rij. Пусть µi µj > 0, где i < j. Положим Rijµ = µ, где µ = µi + 1, µ = µj - 1 и µ = µk при k = i, j. Легко i j k проверить, что µ > µ и |µ | = |µ|.

Лемма 1. Если = Rijµ, то M(x) Mµ(x), причём равенство достигается лишь в том случае, когда x1 =... = xn. (Предполагается, что числа x1,..., xn положительны.) Для каждой пары индексов p, q, где 1 p < q n, в M(x)-Mµ(x) входит слагаемое вида j µj µ A · xixq + xixpj - xµixq - xµixpj, (1) p q p q где A некоторое положительное число. Обозначим для наглядности xp = = a, xq = b, µi =, µj =. Напомним, что i = + 1, j = - 1 и.

Выражение (1), делённое на A, равно a+1b-1 + a-1b+1 - ab - ab = (ab)-1(a - b)(a+1- - b+1-) 0, причём равенство возможно лишь в том случае, когда a = b. Поэтому M(x) - Mµ(x) 0, причём если среди чисел x1,..., xn есть хотя бы два различных, то неравенство строгое.

Лемма 2. Если µ и || = |µ|, но = µ, то можно получить из µ с помощью конечного числа преобразований Rij.

412 Глава 32. Многочлены II Пусть i наименьший индекс, для которого i = µi. Тогда из условия µ следует, что i > µi. Равенство || = |µ|, означает, что (k - µk) = = 0, поэтому j < µj для некоторого индекса j. Ясно, что i < j и µj > 0.

Поэтому к µ можно применить преобразование Rij. В результате получим последовательность, для которой i = µi + 1, j = µj - 1 и k = µk при k = i, j. Учитывая, что i > µi и j < µj, получаем |i - µi| = |i - i| + 1, |j - µj| = |j - j| + 1.

Таким образом, |k - k| = |k - µk| - 2, т.е. с помощью преобразования Rij нам удалось уменьшить на 2 величину |k - µk|. Поэтому с помощью некоторого числа преобразований Rij эту величину можно сделать равной нулю.

Из лемм 1 и 2 неравенство Мюрхеда следует очевидным образом.

32.27. Формула cos(n + 1) + cos(n - 1) = 2 cos cos n показывает, что Tn+1(x) = 2xTn(x) - Tn-1(x).

Многочлены Tn(x), определённые этим рекуррентным соотношением и начальными условиями T0(x) = 1 и T1(x) = x, обладают нужным свойством.

32.28. О т в е т: T1(x) = x, T2(x) = 2x2 - 1, T3(x) = 4x3 - 3x, T4(x) = = 8x4 - 8x2 + 1, T5(x) = 16x5 - 20x3 + 5x.

32.29. Это следует из того, что Tn(x) = cos n при x = cos.

32.30. Это следует из рекуррентного соотношения Tn+1(x) = = 2xTn(x) - Tn-1(x), которое доказано при решении задачи 32.27.

32.31. Мы воспользуемся лишь одним свойством многочлена Tn(x) = = 2n-1xn +..., а именно тем, что Tn(cos(k/n)) = cos k = (-1)k при k = = 0, 1,..., n. Рассмотрим многочлен Q(x) = Tn(x) - Pn(x). Его степень 2n-не превосходит n - 1, поскольку старшие члены многочленов Tn(x) и 2n-Pn(x) равны. Из того, что |Pn(x)| при |x| 1 следует, что в точке 2n-xk = cos(k/n) знак числа Q(xk) совпадает со знаком числа Tn(xk). Таким образом, в концах каждого отрезка [xk+1, xk] многочлен Q(x) принимает значения разного знака, поэтому у многочлена Q(x) на этом отрезке есть корень.

Чуть более аккуратные рассуждения нужны в том случае, когда Q(xk) = 0.

В этом случае либо xk двукратный корень, либо внутри одного из отрезков [xk+1, xk] и [xk, xk-1] есть ещё один корень. Это следует из того, что в точках xk+1 и xk-1 многочлен Q(x) принимает значения одного знака (рис. 32.1).

Количество отрезков [xk+1, xk] равно n, поэтому многочлен Q(x) имеет по крайней мере n корней. Для многочлена степени не более n - 1 это означает, что он тождественно равен нулю, т. е. Pn(x) = Tn(x).

2n-Глава 32. Многочлены II Рис. 32.1.

Замечание. По поводу другого решения см. задачу 11.38.

32.32. Пусть x = cos. Тогда Tn(x) = cos(n) = y и Tm(y) = cos m(n), поэтому Tm(Tn(x)) = cos mn. Аналогично Tn(Tm(x)) = cos mn. Таким образом, равенство Tn(Tm(x)) = Tm(Tn(x)) выполняется при |x| < 1, а значит, это равенство выполняется при всех x.

32.33. а) Пусть n = 2k + 1 и = 2l/n. Тогда Tk+1(cos ) - Tk(cos ) = = cos(k + 1) - cos k. При этом (k + 1) + k = (2k + 1) = 2l. Значит, cos(k + 1) = cos k.

б) Пусть n = 2k и = 2l/n. Тогда Tk+1(cos ) - Tk-1(cos ) = cos(k + + 1) - cos(k - 1). При этом (k + 1) + (k - 1) = 2k = 2l. Значит, cos(k + 1) = cos(k - 1).

32.34. а) Пользуясь результатом задачи 32.28, получаем T2 - T1 = = 2x2 - x - 1, T3 - T2 = 4x3 - 2x2 - 3x + 1, T4 - T3 = 8x4 - 4x3 - 8x2 + 3x + 1, T5 - T4 = 16x5 - 8x4 - 20x3 + 8x2 + 5x - 1.

2 б) Согласно задаче 32.33 числа cos 0 = 1, cos и cos являются корнями 5 многочлена T3 - T2. Поделив этот многочлен на x - 1, получим требуемый многочлен.

2 4 в) Числа 1, cos, cos и cos являются корнями многочлена T4 - T3.

7 7 Поделив этот многочлен на x - 1, получим требуемый многочлен.

2 4 6 1 г) Числа 1, cos, cos, cos = - и cos являются корнями мно9 9 9 2 гочлена T5 - T4. Поделив этот многочлен на (2x + 1)(x - 1) = 2x2 - x - 1, получим требуемый многочлен.

32.35. Пусть = m/n несократимая дробь. Положим x0 = 2 cos t, где t =. Тогда Pn(x0) = 2 cos(nt) = 2 cos(n) = 2 cos(m) = ±2. Поэтому xкорень многочлена Pn(x)2 = xn+b1xn-1+...+bn с целыми коэффициентами.

Пусть x0 = 2 cos() = p/q несократимая дробь. Тогда pn + b1pn-1q +... + +bnqn = 0, а значит, pn делится на q. Но числа p и q взаимно простые, поэтому q = ±1, т. е. 2 cos() целое число.

32.36. Число y0 = a0x0 является корнем многочлена yn + a1yn-1 + a2a0yn-2 +... + an-1an-2y + anan-1 = 0.

0 При a0 = 0 это очевидно, а при a0 = 0 нужно положить y = a0x; после сокращения на an-1 получим исходный многочлен.

414 Глава 32. Многочлены II p 32.37. Если - 1, то требуемое неравенство выполняется при c = q p p = 1. Поэтому будем считать, что - < 1, а значит, < || + 1. Запишем q n q многочлен f(x) в виде f(x) = an i=1(x - i 1. Тогда ), где = n p f p p = |an| - - i < q q q i= n p p < |an| - (|| + 1 + |i |) = c1 -, q q i=где c1 положительное число, зависящее только от |an| и.

Будем считать, что a0,..., an целые числа, взаимно простые в совокупности. Тогда число |an| полностью определяется числом. Кроме того, число qnf(p/q) = anpn + an-1pn-1q +... + a0qn целое, поэтому |qnf(p/q)| 1. Следовательно, 1 1 c - p f p > =, q c1 q c1qn qn где c = c-1.

n 32.38. Для каждого натурального n рассмотрим число = 2-k! = p/q, k=где p целое число и q = 2n!. При этом 1 1 1 2 - p = 1 + + +... < =.

q 2(n+1)! 2n+2 2(n+2)(n+3) 2(n+1)! qn+Предположим, что алгебраическое число степени N. Тогда согласно задаче 32. c - p, q qN а значит, 2q-n-1 > cq-N, т.е. c < 2qN-n-1 = 2 · 2n!(N-n-1). Но lim 2n!(N-n-1) = 0. Приходим к противоречию.

n 32.39. а) Пусть {1 n,..., } и {1,..., m} наборы чисел, сопряжённых с и соответственно. Рассмотрим многочлен n m F (t) = t - (i, j).

i=1 j=Коэффициенты этого многочлена являются симметрическими функциями от 1 n,..., и 1,..., m. Поэтому они являются рациональными числами.

б) Решение аналогично.

Глава 32. Многочлены II 32.40. Пусть {1 n,..., } и {1,..., m} наборы чисел, сопряжённых с и соответственно. Рассмотрим многочлен m f(x) = (x, j).

j=Коэффициенты этого многочлена рациональны и f() = 0. Поэтому f(x) делится на (x - i ), а значит, f(i ) = 0, т.е. (i, j) = 0 для некоторого j.

32.41. Рассмотрим многочлен F (x) = (xn + n-1,ixn-1 +... + 0,l), i,...,l где {n-1,i},..., {0,l} все числа, сопряжённые с n-1,..., 0 соответственно. Легко проверить, что коэффициенты многочлена F целые числа. Ясно также, что корень многочлена F.

32.42. Ясно, что = +-1, где = exp(k/n). Пусть число сопряжено с. Из задачи 32.40 следует, что = 1 + -1, где число 1 сопряжено с. Число удовлетворяет уравнению xn - 1 = 0, поэтому 1 тоже будет корнем этого уравнения, а значит, 1 = exp(l/n). В таком случае число = = 2 cos(l/n) вещественно.

32.43. Ясно, что все числа указанного вида должны входить в k(). Поэтому достаточно доказать, что числа указанного вида образуют поле. Для этого, в свою очередь, достаточно доказать, что произведение чисел такого вида имеет такой же вид и обратный элемент для числа такого вида тоже имеет такой вид (ясно, что сумма чисел указанного вида имеет требуемый вид). Мы докажем более общее утверждение: если (x) и (x) многочлены с коэффициентами из поля k, причём () = 0, то () = cn-1n-1 + cn-2n-2 +... + c1 + c() для некоторых чисел c0,..., cn-1 из поля k.

Многочлен f(x) неприводим над k, поэтому он не имеет общих делителей с (x). Значит, найдутся многочлены a(x) и b(x) с коэффициентами их поля k, для которых a(x)(x) + b(x)f(x) = 1 (см. с. 396). При x = получаем 1 () = a(). Таким образом, = ()a(). Поделим многочлен (x)a(x) () () на f(x) с остатком: (x)a(x) = q(x)f(x) + r(x), где r(x) многочлен степени не выше n - 1. Остаётся заметить, что ()a() = r().

Pages:     | 1 |   ...   | 48 | 49 || 51 | 52 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.