WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 47 | 48 || 50 | 51 |   ...   | 65 |

Назовём многочлен унитарным если его старший коэффициент равен 1. Несложно показать, что если корень произвольного (т.е. не обязательно неприводимого) унитарного многочлена с целыми коэффициентами, то целое алгебраическое число. Иными словами, если унитарный многочлен с целочисленными коэффициентами представлен в виде произведения двух унитарных многочленов с рациональными коэффициентами, то все эти рациональные коэффициенты целые числа.

Это утверждение одна из возможных формулировок леммы Гаусса Глава 32. Многочлены II (задача 32.11).

32.36. Пусть x0 корень многочлена a0xn + a1xn-1 +... + an-1x + an = с целыми коэффициентами a0, a1,..., an. Докажите, что число a0xцелое алгебраическое.

32.37. Пусть корень неприводимого многочлена f(x) = anxn + + an-1xn-1 +... + a0, где n 2. Докажите, что существует такое число c p c > 0 (зависящее только от ), что - > для любого целого p и q qn натурального q (теорема Лиувилля).

32.38. Докажите, что число = 2-k! трансцендентное (Лиk=увилль).

32.39. а) Пусть и алгебраические числа, (x, y) произвольный многочлен с рациональными коэффициентами. Докажите, что тогда (, ) алгебраическое число.

б) Пусть и целые алгебраические числа, (x, y) произвольный многочлен с целыми коэффициентами. Докажите, что тогда (, ) целое алгебраическое число.

В частности, если и алгебраические числа (целые алгебраические числа), то и ± тоже алгебраические числа (целые алгебраические числа). Кроме того, если = 0 алгебраическое число, то - тоже алгебраическое число. В самом деле, если корень многочлена akxk степени n, то -1 корень многочлена akxn-k. Но если целое алгебраическое число, то число -1 не обязательно целое алгебраическое. Таким образом, алгебраические числа образуют поле, а целые алгебраические числа образуют кольцо.

32.40. Пусть и алгебраические числа, связанные соотношением (, ) = 0, где многочлен с рациональными коэффициентами.

Докажите, что тогда для любого числа i, сопряжённого с, найдётся число j, сопряжённое с, для которого (i, j) = 0.

32.41. Пусть корень многочлена f(x) = xn + n-1xn-1 +... + 0, где 0,..., n-1 целые алгебраические числа. Докажите, что тогда целое алгебраическое число.

Алгебраическое число называют вполне вещественным, если все сопряжённые с ним числа вещественны. Иными словами, все корни неприводимого многочлена с корнем вещественны.

32.42. Докажите, что число = 2 cos(k/n) вполне вещественно.

404 Глава 32. Многочлены II 32.6. Присоединение корня многочлена Пусть k подполе поля комплексных чисел, f(x) многочлен с коэффициентами из k. Если корень многочлена f(x) не принадлежит k, то можно рассмотреть наименьшее поле, которое одновременно содержит k и. Это поле обозначают k(). При этом говорят, что оно получено из k присоединением. Поле, которое получается присоединением всех корней многочлена f(x) называют полем разложения этого многочлена (над полем k).

32.43. Пусть f(x) неприводимый многочлен степени n над полем k, некоторый его корень. Докажите, что поле k() состоит из чисел вида cn-1n-1 + cn-2n-2 +... + c1 + c0, где c0,..., cn-1 числа из поля k.

32.44. Пусть f(x) неприводимый многочлен степени n над по n-лем k, некоторый его корень. Докажите, что если cmm = m= n-= dmm, где c0,..., cn-1 и d0,..., dn-1 числа из поля k, то m=cm = dm для m = 0, 1,..., n - 1.

Решения 32.1. Рассмотрим на комплексной плоскости векторные поля v(z) = f(z) и w(z) = g(z). Из условия (1) следует, что ни в какой точке кривой векторы v и w не являются противоположно направленными.

Индексом1 кривой относительно векторного поля v называют количество оборотов вектора v(z) при полном обходе точки z вдоль кривой. Рассмотрим векторное поле vt = tv + (1 - t)w. При этом v0 = w и v1 = v. Ясно также, что в любой точке z вектор vt(z) ненулевой. Это означает, что для кривой определён индекс ind(t) относительно векторного поля vt. Целое число ind(t) непрерывно зависит от t, поэтому ind(t) = const. В частности, индексы кривой относительно векторных полей v и w совпадают.

Несложно показать, что индекс кривой относительно векторного поля v равен сумме индексов особых точек, в которых v(z) = 0. (Индекс особой точки z0 определяется как индекс кривой |z - z0| =, где достаточно мало.) Для векторного поля v(z) = f(z) индекс особой точки z0 равен кратности корня z0 многочлена f. Таким образом, из совпадения индексов кривой относительно векторных полей v(z) = f(z) и w(z) = g(z) следует, что внутри кривой расположено одинаковое количество корней многочленов f и g.

Для более подробного знакомства со свойствами индекса мы советуем обратиться к главе 6 книги В.В.Прасолов, Наглядная топология, МЦНМО 1995.

Глава 32. Многочлены II 32.2. Пусть a = max |ai|. Многочлен g(z) = zn имеет внутри рассматi риваемого круга корень 0 кратности Поэтому достаточно проверить, что n. f(z) f(z) g(z).

если |z| = 1 + то - g(z) < + Мы даже докажем, что a, f(z) - g(z) < g(z), т.е.

|a1zn-1 +... + an| < |z|n.

Ясно, что если |z| = 1 + a, то |z|n - |a1zn-1 +... + an| a |z|n-1 +... + 1 = a = |z|n - 1 < |z|n.

|z| - 32.3. Пусть точка x движется по отрезку [a, b] от a к b. Число N(x) изменяется лишь в том случае, когда x проходит через корень многочлена f(m) при некотором m n.

Рассмотрим сначала случай, когда точка x проходит через rкратный корень x0 многочлена f(x). В окрестности точки xмногочлены f(x), f (x),..., f(r)(x) ведут себя приблизительно как (x - x0)rg(x0), (x - x0)r-1rg(x0),..., r!g(x0). Таким образом, при x < xв этой последовательности происходит r перемен знака, а при x > x0 в этой последовательности перемен знака не происходит (имеется в виду, что точка x достаточно близка к x0).

Предположим теперь, что точка x проходит через корень многочлена f(m), который не является корнем многочлена f. Если этот корень является также и корнем многочлена f(m-1), то мы заменим m на m - 1 и т.д. Поэтому можно считать, что точка x проходит через r-кратный корень x0 многочлена f(m), не являющийся корнем многочлена f(m-1). Требуется доказать, что при проходе через x0 число перемен знака в последовательности f(m-1)(x), f(m)(x),..., f(m+r)(x) изменяется на неотрицательное чётное число. В окрестности точки x0 эти многочлены ведут себя приблизительно как F (x0), (x - x0)rG(x0), (x - x0)r-1rG(x0),..., r!G(x0). Если исключить F (x0), то в оставшейся последовательности при x < x0 происходит ровно r перемен знака, а при x > x0 перемен знака не происходит. Что же касается первых двух членов, F (x0) и (x - x0)rG(x0), то в случае чётного r число перемен знака при x < x0 и при x > x0 одно и то же, а в случае нечётного r число перемен знака при x < x0 на 1 больше или меньше, чем при x > x0 (в зависимости от того, имеют ли F (x0) и G(x0) один и тот же знак или разные знаки).

Итак, при чётном r изменение числа перемен знака равно r, а при нечётном r изменение числа перемен знака равно r ± 1. В обоих случаях это изменение чётно и неотрицательно.

32.4. а) Так как f(r)(0) = r!an-r, то N(0) совпадает с числом перемен знака в последовательности коэффициентов многочлена f. Ясно также, что N(+) = 0.

б) Достаточно применить правило Декарта к многочлену f(-x) = b0xn + + b1xn-1 +... + bn, где bk = (-1)n-kak.

406 Глава 32. Многочлены II 32.5. Оценим количество положительных и отрицательных корней данного многочлена по правилу, сформулированному в задаче 32.4. Предположим, что между двумя членами an-kxk и an-k+2m+1xk-2m-1 отсутствуют 2m промежуточных членов. Если бы они не отсутствовали, то для положительных и отрицательных корней они дали бы 2m + 1 перемен знака. Вместо этого мы получаем только одну перемену знака (если числа an-k и an-k+2m+1 разного знака, то для положительных корней, а если эти числа одного знака, то для отрицательных корней). Таким образом, оценка общего числа положительных и отрицательных корней уменьшается на 2m, и мы получаем по крайней мере 2m мнимых корней.

Предположим теперь, что между членами an-kxk и an-k+2m+2xk-2m-отсутствуют 2m + 1 промежуточных членов. Тогда вместо 2m + 2 перемен знака мы получили бы либо две перемены знака (если числа an-k и an-k+2m+разного знака), либо ни одной перемены знака (если эти числа одного знака).

Таким образом, число вещественных корней уменьшается либо на 2m, либо на 2m + 2.

32.6. Рассмотрим сначала случай, когда многочлен f не имеет кратных корней (т.е. многочлены f и f не имеют общих корней). В таком случае fn некоторая ненулевая константа.

Проверим сначала, что если мы проходим через один из корней многочленов f1,..., fn-1, то число перемен знака не изменяется. В рассматриваемом случае соседние многочлены не имеют общих корней, т.е. если fr() = 0, то fr±1() = 0. Кроме того, из равенства fr-1 = qrfr - fr+1 следует, что fr-1() = -fr+1(). Но в таком случае число перемен знака в последовательности fr-(),, fr+1() равно 2 как при > 0, так и при < 0.

Будем двигаться от a к b. Если мы проходим через корень x0 многочлена f, то сначала числа f(x) и f (x) будут разного знака, а потом эти числа будут одного знака. Таким образом, количество перемен знака в последовательности Штурма уменьшается на 1. Все остальные перемены знака, как уже было показано, при прохождении через точку x0 сохраняются.

Рассмотрим теперь случай, когда многочлен f имеет корень x0 кратности m. В таком случае f и f1 имеют общий делитель (x-x0)m-1, поэтому многочлены f1,..., fr делятся на (x-x0)m-1. Поделив f, f1,..., fr на (x-x0)m-1, получим последовательность Штурма, 1,..., r для многочлена (x) = = f(x)/(x - x0)m-1. Многочлен имеет некратный корень x0, поэтому при прохождении через x0 число перемен знака в последовательности, 1,..., r увеличивается на 1. Но при фиксированном x последовательность f, f1,..., fr получается из последовательности, 1,..., r умножением на константу, поэтому число перемен знака в этих последовательностях одно и то же.

32.7. Пусть P (z) = (z - z1) ·... · (z - zn). Легко проверить, что P (z) 1 = +... +. (1) P (z) z - z1 z - zn Предположим, что P (w) = 0, P (w) = 0 и w не принадлежит выпук лой оболочке точек z1,..., zn. Тогда через точку w можно провести пряГлава 32. Многочлены II мую, не пересекающую выпуклой оболочки точек z1,..., zn. Поэтому векторы w-z1,..., w-zn лежат в одной полуплоскости, заданной этой прямой. Следова1 тельно, в одной полуплоскости лежат и векторы,...,, поскольку w-z1 w-zn 1 z P (z) 1 =. Следовательно, = +... + = 0. Получено проти z |z|2 P (z) z - z1 z - zn воречие. Поэтому w принадлежит выпуклой оболочке корней многочлена P.

32.8. Пусть z1 < z2 <... < zn-1 корни производной многочлена с корнями x1,..., xn, а z1 < z2 <... < zn-1 корни производной многочлена с корнями x1,..., x,..., xn. Для корней zk и zk соотношение (1) из решения i задачи 32.7 принимает вид n n 1 = 0, = 0. (2) zk - xi zk - x i i=1 i= Предположим, что утверждение неверно, т.е. zk < zk для некоторого k.

Тогда zk - x < zk - xi. При этом числа zk - x и zk - xi одного знака. В самом i i деле, zj < xi, zj < x при j i - 1 и zj > xi, zj > x при j i. Следовательно, i i 1 < при всех i = 1,..., n. Но в таком случае соотношения (2) не zk - xi zk - x i могут выполняться одновременно.

32.9. Пусть многочлен q не делится на p. Тогда НОД(p, q) = 1, т.е. существуют такие многочлены a и b, что ap + bq = 1. Умножив обе части этого равенства на r, получим apr + bqr = r. Многочлены pr и qr делятся на p, поэтому r делится на p.

32.10. Существование разложения легко доказывается индукцией по n = = deg f. Прежде всего отметим, что для неприводимого многочлена f требуемое разложение состоит из самого многочлена f. При n = 1 многочлен f неприводим. Пусть разложение существует для любого многочлена степени меньше n и f многочлен степени n. Можно считать, что многочлен f приводим, т.е. f = gh, где deg g < n и deg h < n. Но тогда разложения для g и h существуют по предположению индукции.

Докажем теперь единственность разложения. Пусть ag1·...·gs = bh1·...·ht, где a, b k и g1,..., gs, h1,..., ht неприводимые многочлены над k со старшим коэффициентом 1. Ясно, что в таком случае a = b. Многочлен g1... gs делится на неприводимый многочлен h1. Это означает, что один из многочленов g1,..., gs делится на h1. Чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться задачей 32.9.

Пусть для определённости g1 делится на h1. Учитывая, что g1 и hнеприводимые многочлены со старшим коэффициентом 1, получаем g1 = h1.

Сократим обе части равенства g1 ·... · gs = h1 ·... · ht на g1 = h1. После нескольких таких операций получим s = t и g1 = hi1,..., gs = his, где набор {i1,..., is} совпадает с набором {1,..., s}.

32.11. Достаточно рассмотреть случай, когда cont(f) = cont(g) = 1. В самом деле, коэффициенты многочленов f и g можно разделить на cont(f) и cont(g) соответственно.

408 Глава 32. Многочлены II Пусть f(x) = aixi, g(x) = bixi, fg(x) = cixi. Предположим, что cont(fg) = d > 1 и p простой делитель числа d. Тогда все коэффициенты многочлена fg делятся на p, а у многочленов f и g есть коэффициенты, не делящиеся на p. Пусть ar первый коэффициент многочлена f, не делящийся на p, bs первый коэффициент многочлена g, не делящийся на p. Тогда cr+s = arbs + ar+1bs-1 + ar+2bs-2 +... + ar-1bs+1 + ar-2bs+2 +...

arbs 0 (mod p), так как bs-1 bs-2... b0 0 (mod p), ar-1 ar-2... a0 0 (mod p).

Получено противоречие.

32.12. Пусть f многочлен с целыми коэффициентами и f = gh, где g, h многочлены с рациональными коэффициентами. Можно считать, что cont(f) = 1. Выберем для многочлена g натуральное число m так, что многочлен mg имеет целые коэффициенты. Пусть n = cont(mg). Тогда рациональное число r = m/n таково, что многочлен rg имеет целые коэффициенты и cont(rg) = 1. Аналогично выберем положительное рациональное число s для многочлена h. Покажем, что в таком случае rs = 1, т.е. разложение f = = (rg)(sh) является разложением над кольцом целых чисел. Действительно, согласно лемме Гаусса cont(rg) cont(sh) = cont(rsgh), т.е. 1 = cont(rsf). Учитывая, что cont(f) = 1, получаем rs = 1.

32.13. Предположим, что f = gh = bkxk clxl, причём g и h многочлены положительной степени с целыми коэффициентами. Число b0c0 = a0 делится на p, поэтому одно из чисел b0 и c0 делится на p.

Пусть, для определённости, b0 делится на p. Тогда c0 не делится на p, так как a0 = b0c0 не делится на p2. Если все числа bi делятся на p, то an делится на p.

Pages:     | 1 |   ...   | 47 | 48 || 50 | 51 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.