WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 41 | 42 || 44 | 45 |   ...   | 65 |

n + 1 n + n Остаётся заметить, что limn = 1, n + 1 1 limn 1 + + +... + - ln n = и ex непрерывная функция.

2 3 n 30.18. Тождество 1 (-1)ntn = 1 - t + t2 -... + (-1)n-1tn-1 + 1 + t 1 + t показывает, что если x > -1, то x dt x2 x3 xn ln(1 + x) = = x - + -... + (-1)n-1 + (-1)nRn, 1 + t 2 3 n tn x где Rn = dt.

1 + t xn x Если 0 x 1, то 0 Rn tndt = 0 при n.

n + 1 n + 356 Глава 30. Ряды Если -1 x < 0, то сделаем замену x = -y. Тогда Rn = tn 1 yn y = (-1)n+1 y dt, поэтому |Rn| tndt = 0 при 0 1 - t 1 - y (1 - y)(n + 1) n.

30.19. Вычитая почленно из ряда x2 x3 x4 xx - + - + -... = ln(1 + x) 2 3 4 ряд x2 x3 x4 x-x - - - - -... = ln(1 - x), 2 3 4 получаем требуемое.

30.20. а) Рассмотрим ряд из задачи 30.19 для x =. Поскольку 2n + 1 + x n + =, получаем требуемое.

1 - x n б) Непосредственно следует из а) при n = 1, поскольку ln 1 = 0.

30.21. а) Формулу из задачи 30.20 а) можно переписать в виде 1 1 1 n + ln 1 + = 1 + + +...

2 n 3(2n + 1)2 5(2n + 1)Остаётся заметить, что сумма этого ряда меньше 1 1 1 1 + + +... = 1 +.

3 (2n + 1)2 (2n + 1)4 12n(n + 1) б) и в) Неравенство из задачи а) можно переписать в виде n+ 1 1+ 12n(n+1) e < 1 + < e. (1) n А так как n+ 1 1 + an n!en (n + 1)n+1+ 2 n = · =, an+1 nn+ 1 (n + 1)!en+1 e то из неравенств (1) получаем an 12n(n+1) 1 < < e.

an+12(n+1) Таким образом, ane- 12n < an+1e и an > an+1. Поэтому последовательность {ane- 12n } возрастает, а последовательность {an} убывает. При 1 этом a1e- < ane- 12n < an < a1, поэтому обе последовательности имеют предел. Поскольку e- 12n 1, эти пределы равны одному и тому же числу a. Ясно, что ane- 12n < a < an, т.е. a = ane- 12n для некоторого между 0 и n!en 1. Таким образом, a = e- 12n.

nn+ Глава 30. Ряды 30.22. Формулу Валлиса (задача 29.23) можно переписать следующим 1 (2n)!! образом: = limn. Далее, n (2n - 1)!! (2n)!! 2 · 4 ·... · 2n (2 · 4 ·... · 2n)2 (n!)222n = = =.

(2n - 1)!! 1 · 3 ·... · (2n - 1) (2n)! (2n)! 1 Выразим n! и (2n)! как annn+ 2 e-n и a2n(2n)2n+ 2 e-2n и подставим эти выражения в формулу Валлиса:

1 a2 n2n+1e-2n22n a2 a n n = lim = lim =.

1 n n n a2n 2 a2nn2n+ 2 e-2n22n+ В результате получим a = 2.

30.23. Ясно, что limn(a2k-1 - a2k) = 0, поэтому достаточно решить 1 - t4k задачу б). Из тождества = 1 - t2 + t4 - t6 +... - t4k-2 следует, что 1 + t 1 1 1 - t4k 1 t4k = arctg 1 = dt = dt + dt = 4 1 + t2 1 + t2 1 + t0 0 = (1 - t2 + t4 - t6 +... - t4k-2)dt + Rk = 1 1 1 = 1 - + - +... - + Rk, 3 5 7 4k - t4k 1 t4k где Rk = dt. Но t4k t4k при 0 t 1, поэтому 1 + t2 2 1 + t1 Rk.

2(4k + 1) 4k + 1 30.24. Согласно задаче 11.1 ctg2 < < для 0 < < /2.

2 sin 2 n Просуммируем такие неравенства для =,,...,. Вос2n + 1 2n + 1 2n + пользовавшись после этого результатом задачи 23.7, получим 2 n(2n - 1) 2n + 1 1 1 2n(n + 1) < 1 + +... + <, 3 22 n2 т.е.

2n(2n - 1) 1 1 22n(n + 1) < 1 + +... + <.

3(2n + 1)2 22 n2 3(2n + 1)n(2n - 1) 2n(n + 1) Остаётся заметить, что limn = limn =.

(2n + 1)2 (2n + 1)2 30.25. а) Согласно неравенству Коши (задача 1.9) 1 (a1 + a2 +... + an)2 = a1 + 2a2 +... + nan 2 n 1 1 + +... + (a2 + 22a2 +... + n2a2 ).

n 22 n2 1 1 1 Кроме того, 1 + +... + < (задача 30.24).

22 n2 358 Глава 30. Ряды б) Пусть x произвольное положительное число. Снова воспользуемся неравенством Коши, но только теперь представим ak в виде k2 x + ak ·. В результате получим x kx + x x x x (a1 + a2 +... + an)2 + +... + 1 + x2 22 + x2 n2 + x x(a2 + a2 +... + a2 ) + (a2 + 22a2 +... + n2a2 ).

1 2 n 1 2 n x x x x Согласно задаче 11.35 + +... + <. Выберем теперь x 1 + x2 22 + x2 n2 + x2 так, что x(a2 + a2 +... + a2 ) = (a2 + 22a2 +... + n2a2 ) и возведём обе части 1 2 n 1 2 n x полученного неравенства в квадрат.

n n zk |z|k 30.26. Пусть sn = и m < n. Ясно, что |sn - sm|.

k=0 k=m+k! k! x2 xРяд 1 + x + + +..., где x = |z|, сходится. Поэтому, воспользовавшись 2! 3! критерием Коши, получаем, что исходный ряд тоже сходится.

n zk 30.27. Пусть fn(z) =. Равенство k=k! zk wl 1 m (z + w)m · = zkwl = k! l! m! k m! k+l=m k+l=m показывает, что выражение для fn(z)fn(w) содержит все слагаемые из выражения для fn(z + w) и ещё некоторые слагаемые из выражения для ez - fn(z) ew - fn(w). Поэтому |fn(z)fn(w) - fn(z + w)| e|z| - fn(|z|) e|w| - fn(|w|).

Выражение в правой части стремится к нулю при n, поэтому ezew = = limn fn(z)fn(w) = limn fn(z + w) = ez+w.

30.28. По определению x2 x3 x4 x5 x6 xeix = 1 + ix - - i + + i - - i +... = 2! 3! 4! 5! 6! 7! x2 x4 x6 x3 x5 x= 1 - + - +... + i x - + - +... = 2! 4! 6! 3! 5! 7! = cos x + i sin x.

30.29. Непосредственно следует из задачи 30.28.

30.30. Нетривиальность доказательства этого неравенства связана с тем, что функция f(t) = tt не монотонна на интервале (0, 1); она имеет минимум в точке t0 = 1/e 0, 367879.

Положим u = sin2 x и v = cos2 x. Тогда u+ v = 1 и 0 < u < < v < 1. Тре 1 u v буется доказать, что ( u) < ( v), т.е. u ln u < v ln v (логарифмы 2 Глава 30. Ряды здесь отрицательны). Воспользуемся разложением логарифма в ряд и тем, что u + v = 1. В результате получим v2 vln u = ln(1 - v) = - v + + +....

2 Таким образом, переходим к неравенству v2 v3 u2 uu v + + +... > v u + + +....

2 3 2 После сокращения на uv получаем неравенство v v2 u uv 1 + + +... > u 1 + + +....

2 3 2 Это неравенство очевидно, поскольку v > u > 0.

Замечание. Более общее неравенство доказано в задаче 28.56.

30.31. а) Если an 10k - 1, то n 9k - 1, поскольку на данных k местах могут стоять любые из девяти цифр, причём все цифры не могут быть одновременно нулями. Значит, если n 9k, то an 10k - 1 и an+1 10k.

k 9k+1 9k+1 - 9k Поэтому = 8. Итак, рассматриваемая сумма n=9k+k ak k 9 не превосходит 8 <.

k=б) Получить нужные оценки можно такими же рассуждениями, как при решении задачи 21.29.

30.32. а) Те же самые рассуждения, что и при решении задачи 30.31 б), показывают, что любая последовательность цифр встречается в одном из чисел an (доказательство нужно слегка изменить для последовательности из одних нулей, но мы можем обойтись и без этой последовательности). Из этого легко выводится, что рассматриваемая десятичная дробь непериодична.

б) Согласно задаче 30.15 ряд 1/pn, где p1, p2,... последовательные n=простые числа, расходится.

n 30.33. Последовательность pn = (1 + ak) неубывающая, поэтому она k=сходится либо к конечному положительному числу, либо к +. Несложно доказать, что a1 +... + an (1 + a1)... (1 + an) ea1+...+an. (1) Первое неравенство доказывается раскрытием скобок, а второе неравенство следует из того, что 1 + a ea при a 0. Неравенство (1) показывает, что (1 + ak) = + тогда и только тогда, когда ak = +.

n 30.34. Последовательность pn = (1 - bk) невозрастающая, поэтому k=она сходится либо к положительному числу, любо к нулю. Легко проверить, что если 0 bk < 1, то 1 - b e-b. Поэтому (1 - b1)... (1 - bn) e-b1-...-bn.

360 Глава 30. Ряды Это означает, что если ряд bk расходится, то limn pn = 0.

Предположим теперь, что ряд bk сходится. Тогда существует такое на туральное число N, что bk < 1/2. Если 1, 0, то k=N (1 - 1 - 2 - 1 - )(1 ) 1.

Пользуясь этим неравенством, индукцией по m легко показать, что если 1 m,..., 0, то (1 - 1 - m - 1 -... - m )... (1 ) 1.

Таким образом, если n > N, то pn = (1 - bN )(1 - bN+1)... (1 - bn) 1 - bN -... - bn >.

pN-1 Эти неравенства показывают, что последовательность pn невозрастающая и pn > pN-/2 > 0. Поэтому предел limn pn существует и не равен нулю.

n n 30.35. Пусть pn = (1 + ak) и Pn = (1 + |ak|). Тогда k=1 k=n-1 n- |pn - pn-1| = |an| |1 + ak| |an| (1 + |ak|) = Pn - Pn-1.

k=1 k= По условию существует предел limn Pn, поэтому ряд (Pn -Pn-1) сходит ся. Но в таком случае должен сходиться и ряд (pn - pn-1), поэтому существует предел limn pn. Нужно лишь проверить, что этот предел отличен от ak. Он сходится, поскольку сходится нуля. Рассмотрим для этого ряд 1 + ak ряд |ak| и последовательность 1+ ak имеет предел, равный 1. Следователь ak но, бесконечное произведение 1 - сходится абсолютно, поэтому, 1 + ak n ak как только что было доказано, последовательность qn = 1 1 + ak k=имеет конечный предел. Но qn = p-1, поэтому limn pn = 0.

n Глава 31.

Элементы теории чисел 31.1. Малая теорема Ферма 31.1. Докажите, что если p простое число и a не делится на p, то ap-1 1 (mod p) (малая теорема Ферма).

31.2. Пусть p = 4k + 3 простое число. Докажите, что если a2 + bделится на p, то оба числа a и b делятся на p.

31.3. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида 4k + 1.

31.4. а) Пусть p простое число. Докажите, что если q простой делитель числа 2p - 1, то q - 1 делится на p.

б) Приведите пример простого числа p, для которого число 2p - 1 не простое.

31.2. Псевдопростые числа Согласно малой теореме Ферма для любого простого p число 2p - делится на p. Натуральное число n > 1 называют псевдопростым, если 2n - 2 делится на n.

31.5. Докажите, что число 341 = 11 · 31 является псевдопростым.

31.6. Докажите, что если n псевдопростое число, то число 2n - тоже псевдопростое.

Замечание. Существуют и чётные псевдопростые числа. Например, число 161 038 псевдопростое.

362 Глава 31. Элементы теории чисел 31.3. Функция Эйлера Функция Эйлера (n) равна количеству тех из чисел 1, 2,..., n - 1, которые взаимно просты с n. Например, если p простое число, то (p) = p - 1.

31.7. а) Докажите, что если p простое число, то (pn) = pn -pn-1.

б) Докажите, что если числа m и n взаимно простые, то (mn) = = (m)(n).

31.8. Докажите, что если число a взаимно просто с n, то a(n) (mod n) (теорема Эйлера).

31.9. Числа a и n взаимно простые. Докажите, что для некоторого натурального числа m число am - 1 делится на n.

31.10. Докажите, что n = (d), где суммирование ведётся по всем числам d, делящим n.

31.11. а) Найдите остаток от деления 1712147 на 52.

б) Найдите остаток от деления 1261020 на 138.

31.12. Пусть a и m взаимно простые числа, k наименьшее натуральное число, для которого ak 1 (mod m). Докажите, что (m) делится на k.

31.13. Пусть a 2 и n натуральные числа. Докажите, что (an - 1) делится на n.

1 2 k Пусть n = p p... p разложение натурального числа n на 1 2 k простые множители. Назовём обобщённой функцией Эйлера функцию 1-k-L(n), которая равна 1 при n = 1 и НОК p (p1 - 1),..., p (pk - 1) 1 k при n > 1.

31.14. Докажите, что если числа x и n взаимно простые, то xL(n) (mod n).

31.4. Теорема Вильсона 31.15. а) Докажите, что (p - 1)! + 1 делится на p тогда и только тогда, когда число p простое (теорема Вильсона).

б) Докажите, что 2 0 (mod p), если p составное;

(p - 1)! 1 (mod p), если p простое.

Глава 31. Элементы теории чисел 31.16. Пусть a(n) и b(n) остатки от деления чисел (n - 1)! и (n-1)!+1 на n. Докажите, что f(n) = na(n)+2b(n) простое число, причём любое простое число можно представить в таком виде.

31.5. Задачи о сравнениях 31.17. Докажите, что если a b (mod n1),..., a b (mod nk), то a b (mod n), где n = НОК(n1,..., nn).

31.18. Пусть p простое число, n и a натуральные числа, не делящиеся на p. Докажите, что если сравнение xn a (mod p) имеет решение, то сравнение xn a (mod pr) имеет решение для любого натурального r.

31.19. Докажите, что если a b (mod pn), где p простое число, то ap bp (mod pn+1).

31.20. Пусть a 2 и n натуральные числа. Докажите, что ak (mod an - 1) тогда и только тогда, когда k делится на n.

* * * 31.21. Пусть p простое число, f(x1,..., xn) многочлен с целыми коэффициентами, степень которого по каждой переменной меньше p. Докажите, что если для всех целых x1,..., xn выполняется сравнение f(x1,..., xn) 0 (mod p), то все коэффициенты многочлена f(x1,..., xn) делятся на p.

31.22. Пусть p простое число, f(x1,..., xn) многочлен с целыми коэффициентами, для которого f(x1,..., xn) 0 (mod p) для всех целых x1,..., xn. Заменим в каждом мономе этого многочлена xm, где i m p, на xr, где r остаток от деления m на p. Докажите, что в i результате получится тождественное сравнение 0 0 (mod p).

31.23. Пусть f(x1,..., xn) многочлен с целыми коэффициентами и со свободным членом, равным нулю. Докажите, что если степень этого многочлена меньше n, то сравнение f(x1,..., xn) 0 (mod p), где p простое число, имеет решение, отличное от (0, 0,..., 0). (Шевалле) 31.24. Пусть a, b, c целые числа. Докажите, что сравнение ax2 + + by2 + cz2 0 (mod p) имеет решение (x, y, z) = (0, 0, 0) для любого простого числа p.

364 Глава 31. Элементы теории чисел 31.6. Функция k(n). Делители Пусть d1, d2,... различные делители числа n, включая 1 и n.

Функция k(n) определяется как сумма dk + dk +.... В частности, 0(n) 1 количество делителей числа n, 1(n) сумма делителей числа n.

Обычно используется обозначение (n) = 1(n).

31.25. а) Докажите, что если p простое число, то k(pa) = 1 + + pk + p2k +... + pak.

б) Докажите, что если числа m и n взаимно простые, то k(mn) = = k(m)k(n).

Число n называют совершенным, если (n) = 2n, т.е. сумма всех делителей числа n, отличных от n, равна самому числу n.

31.26. а) Докажите, что если число 2p - 1 простое, то число 2p-1(2p - 1) совершенное (Евклид).

б) Докажите, что если n чётное совершенное число, то существует простое число вида 2p - 1, для которого n = 2p-1(2p - 1) (Эйлер).

31.27. Докажите, что если n нечётное число, у которого есть ровно два разных простых делителя, то (n) < 2n.

31.28. Докажите, что натуральное число n можно выбрать так, что отношение (n)/n будет сколь угодно велико.

31.29. а) Приведите пример чисел m = n, для которых (n) = (m).

б) Докажите, что если m = n, то n(n) = m(m).

в) Приведите пример чисел m = n, для которых n(n) = m(m).

31.30. Докажите, что 2n n 2n 0(k) - = n.

k k=1 k=Функция Мёбиуса определяется следующим образом:

1 при n = 1;

µ(n) = (-1)k при n = p1... pk;

0 при n = p2m.

31.31. Докажите, что если F (n) = f(d), то d|n f(n) = µ(d)F (n/d) = µ(n/d)F (d), d|n d|n где сумма берётся по всем делителям d числа n (Мёбиус).

Глава 31. Элементы теории чисел 31.32. Докажите, что если F (n) = f(d), то d|n f(n) = F (n/d)µ(d) = F (d)µ(n/d).

d|n d|n 31.7. Квадратичные вычеты 31.33. Пусть p простое число, f(x) = xn + a1xn-1 +... + an многочлен с целыми коэффициентами. Докажите, что существует не более n различных целых чисел xi, для которых 0 xi p - 1 и f(xi) делится на p (Лагранж).

Pages:     | 1 |   ...   | 41 | 42 || 44 | 45 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.