WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 40 | 41 || 43 | 44 |   ...   | 65 |

1 + x Действительно, (1 - x + x2 - x3 +... - x2n-1)(1 + x) = 1 - x2n < 1, (1 - x + x2 - x3 +... + x2n)(1 + x) = 1 + x2n+1 > 1.

dx t t Требуемые неравенства следуют из того, что = ln(1 + t) и xkdx = 0 1 + x tk =.

k dx t 29.46. Мы воспользуемся тем, что = arctg t. Для имеем 1 + x2 1 + xнеравенства 1 - x2 + x4 - x6 +... - t4n-2 < < 1 - x2 + x4 - x6 +... + t4n.

1 + xИнтегрируя эти неравенства, получаем требуемое.

29.47. а) Так как e > 1, то 1 ex ea при 0 x t. Поэтому t t t 1 dx exdx eadx, т.е. t et-1 eat. Из неравенства 1+x ex 1+ 0 0 t2 t+ eax аналогично получаем 1 + t + et 1 + t + ea и т.д.

2 б) Доказательство аналогично. При 0 x t получаем 1 ex ea.

0 0 Поэтому 1 dx exdx eadx, т.е. -t 1 - et -eat. Последнее t t t неравенство переписывается в виде t et - 1 eat. Из неравенства 1 + t2 t+ x ex 1 + eax аналогично получаем 1 + t + et 1 + t + ea и 2 т.д.

29.48. Предположим, что если a x b, то f (x) - f(x) 1, т.е.

f (x) 1. Рассмотрим функцию F (x) = arctg f(x). Тогда F (x) = 1 + f(x) f (x) b = 1, поскольку (arctg y) =. Значит, F (x) dx b - a = a 1 + y1 + f(x) =, т.е. F (b) - F (a). Но арктангенс принимает лишь значения, заключённые между -/2 и /2, поэтому F (b) - F (a) <. Получено противоречие.

29.49. О т в е т: /4. Рассматриваемую сумму можно записать в виде n-1 1 dx. При n эта сумма стремится к =.

k=0 n 1 + (k/n)2 1 + x2 29.50. О т в е т: /4. Рассматриваемую сумму можно записать в виде n-1 1 k 1 -. При n эта сумма стремится к 1 - x2 dx =.

k=0 n n Глава 29. Интеграл 29.51. О т в е т: ln 2. Заметим, что рассматриваемая сумма равна 1 1 1 1 dx 1 + + +... + = ln 2.

n 1 + 1/n 1 + 2/n 1 + n/n 1 + x Замечание. Другое доказательство можно найти в решении задачи 30.8 а).

29.52. О т в е т: /2. Рассматриваемую сумму можно записать в виде n-1 1 dx. Эта сумма стремится к = arcsin x|1 =.

k=0 n - (k/n)2 1 - x1 - qn 29.53. Запишем тождество 1 + q + q2 +... + qn-1 = для q = 1 - t. В 1 - q n-1 - (1 - t)n результате получим тождество (1 - t)k =. Требуемое тождеk=t ство получается интегрированием этого тождества от 0 до 1. Действительно, 1 (1 - t)kdt = xkdx = и 0 k + 1 1 - (1 - t)n 1 n n n dt = - t +... + (-1)n-1 tn-1 dt = t 1 2 n 0 n 1 n 1 n = - +... + (-1)n-1.

1 1 2 2 n n 29.54. а) Запишем подынтегральную функцию в виде P (x)(x + 1)n, где P (x) = (x - 1)n. Воспользовавшись формулой из задачи 29.13, получим (x + 1)n+1 (x + 1)n+(x2 - 1)ndx = (x - 1)n - n(x - 1)n-1 +...

n + 1 (n + 1)(n + 2) - (x + 1)2n+... + (-1)nn!.

(n + 1)(n + 2)... (2n + 1) -При x = -1 все члены обращаются в нуль, а при x = 1 обращаются в нуль все члены, кроме последнего. Поэтому 22n+1 (-1)n22n+1(n!)(x2 - 1)ndx = (-1)nn! =.

(n + 1)(n + 2)... (2n + 1) (2n + 1)! - n n б) Заметим, что (x2 -1)n = x2n - x2n-2 + x2n-4 -... и проинтегри1 руем это выражение почленно. Остаётся приравнять полученное выражение выражению из задачи а).

29.55. У многочлена f(x) нет кратных корней, поэтому эквивалентное a2 a3 aусловие таково: f(x) dx = - f(x) dx =... = f(x) dx =... Пусть a1 a2 a f(x) = F (x) для некоторого многочлена F. Тогда получим следующее условие: F (a2) - F (a1) = F (a2) - F (a3) = F (a4) - F (a3) = F (a4) - F (a5) =..., т.е.

F (a1) = F (a3) = F (a5) =... и F (a2) = F (a4) = F (a6) =...

Покажем, что если F (x) = Tn+1(x) многочлен Чебышёва, то F обладает требуемым свойством. Из равенства Tn+1(cos ) = cos(n + 1) следует, что 346 Глава 29. Интеграл - sin Tn+1(cos ) = -(n + 1) sin(n + 1). Поэтому если Tn+1(cos ) = 0, то sin(n + 1) = 0, а значит, Tn+1(cos ) = cos(n + 1) = ±1. Ясно также, что при прохождении через корень F (x) меняет знак.

29.56. Ясно, что xadx = xa+1. Если a > -1, то a+1 > 0. Поэтому a + функция xa+1 обращается в нуль при x = 0. Таким образом, xadx = a + при -1 < a < 0.

29.57. Интегрируя по частям, получаем xke-xdx = -xke-x + k xk-1e-xdx.

0 Функция xke-x обращается в нуль как при x = 0, так и при x =. Поэто му для Jk = xke-xdx получаем рекуррентное соотношение Jk = kJk-1.

Остаётся заметить, что e-xdx = -e-x = 1.

0 Глава 30.

Ряды Пусть {an} некоторая последовательность, bn = a1 + a2 +... + + an. последовательность {bn} имеет предел, то говорят, что Если ряд an сходится (в противном случае расходится). Число n=limn bn называют при этом суммой ряда.

30.1. Вычисление бесконечных сумм 1 1 1 30.1. Докажите, что + + + +... = 1.

1 · 2 2 · 3 3 · 4 4 · 30.2. Вычислите сумму ряда для каждого n=n(n + 1)... (n + k) натурального k.

30.3. Пусть |x| < 1. Вычислите сумму ряда nxn-1.

n= 30.4. Вычислите сумму ряда sin nx.

n=n 30.2. Вычисление бесконечных произведений 30.5. Пусть a1 = 1 и an = n(an-1 + 1) при n 2. Докажите, что 1 + = e.

n=an 348 Глава 30. Ряды 30.3. Гармонический ряд Ряд называют гармоническим. Этот ряд расходящийся (заn=n дача 30.6). Мы будем использовать обозначение 1 1 1 Hn = 1 + + + +... +.

2 3 4 n 30.6. Докажите, что для любого натурального n ln(n + 1) < Hn < 1 + ln n.

1 1 30.7. Докажите, что ряд 1 + + + +... расходится.

3 5 1 1 30.8. а) Пусть an = + +...+. Вычислите предел limn an.

n n + 1 2n 1 1 1 б) Пусть bn = 1- + - +...-. Докажите, что limn bn = ln 2.

2 3 4 2n 30.9. а) Докажите, что 1 1 1 + + + +... = ln 2.

1 · 2 3 · 4 5 · 6 7 · б) Докажите, что 1 1 + + +... = 1 - ln 2.

2 · 3 4 · 5 6 · 30.10. Докажите, что 1 1 1 1 1 1 1 - - + - - + -... = ln 2.

2 4 3 6 8 5 1 1 1 30.11. Пусть an = + + +... +. Докажите, 2n + 1 2n + 3 2n + 5 4n - что limn an = ln 2.

30.12. Докажите, что 1 1 1 + + +... = ln 2.

1 · 2 · 3 5 · 6 · 7 9 · 10 · 11 30.13. Докажите, что 1 1 1 + + +... = ln 2 -.

1 · 2 · 3 3 · 4 · 5 5 · 6 · 7 Глава 30. Ряды 30.14. Докажите, что n n xk n (x - 1)k = Hn +.

k k k k=1 k=30.15. Пусть p1 = 2, p2 = 3,... последовательные простые числа.

а) Докажите, что -1 -1 1 -1 pm 1 1 - 1 -... 1 - >.

2 3 pm n n= m б) Докажите, что 1 + > ln ln pm.

n=pn 30.16. Докажите, что существует предел 1 lim 1 + +... + - ln n.

n 2 n Предел = 0, 5772157... из задачи 30.16 называют постоянной Эйлера.

e1/n 30.17. Докажите, что = e, где постоянная Эйлера.

1 + n=n 30.4. Ряд для логарифма 30.18. Докажите, что если -1 < x < 1, то x2 x3 x4 xln(1 + x) = x - + - + -...

2 3 4 30.19. Докажите, что если -1 < x < 1, то 1 + x x3 x5 xln = 2 x + + + +....

1 - x 3 5 30.20. а) Докажите, что для любого натурального n 1 1 ln(n + 1) = ln n + 2 + + +....

2n + 1 3(2n + 1)3 5(2n + 1)б) Докажите, что 2 1 1 ln 2 = 1 + + + +....

3 3 · 9 5 · 92 7 · 350 Глава 30. Ряды 30.21. а) Докажите, что 1 1 1 < n + ln 1 + < 1 +.

2 n 12n(n + 1) n!en б) Докажите, что последовательность an = имеет (конечный) nn+ предел a.

в) Докажите, что n! = ann+ 2 e-n+ 12n для некоторого между 0 и 1.

30.22. Докажите, что число a из задачи 30.21 равно 2, т.е.

n n n n 2n < n! < 2n e1/12n e e (формула Стирлинга).

30.5. Ряды для числа 1 1 1 30.23. Пусть an = 1 - + - +... + (-1)n.

3 5 7 2n + а) Докажите, что limn an = /4.

1 б) Докажите, что - a2k-1.

2(4k + 1) 4 4k + 30.24. Докажите, что 1 1 1 1 + + + +... =.

22 32 42 30.25. а) Докажите, что (a1 + a2 +... + an)2 < (a2 + 22a2 +... + n2a2 ).

1 2 n б) Докажите, что (a1 + a2 +... + an)4 < 2(a2 + a2 +... + a2 )(a2 + 22a2 +... + n2a2 ) 1 2 n 1 2 n (неравенство Карлсона).

30.6. Экспонента в комплексной области Для любого комплексного числа z можно определить ez как сумму z2 zряда 1 + z + + +....

2! 3! Глава 30. Ряды 30.26. Докажите, что этот ряд сходится для любого z.

30.27. Докажите, что ezew = ez+w для любых комплексных z и w.

30.28. Докажите, что если x вещественное число, то eix = cos x + + i sin x (Эйлер).

30.29. Докажите, что ei = -1 и e2i = 1.

Замечание. В вещественной области функция f(x) = ex при разных x принимает разные значения. В комплексной области это свойство уже не выполняется. Например, f(0) = 1 = f(2i).

30.7. Доказательства неравенств 30.30. Докажите, что при 0 < x < /4 выполняется неравенство (sin x)sin x < (cos x)cos x.

30.8. Сходящиеся и расходящиеся ряды 30.31. а) Пусть a1, a2, a3,... возрастающая последовательность натуральных чисел, в десятичной записи которых не встречается цифра 1. Докажите, что ряд 1/an сходится.

n=б) Пусть a1, a2, a3,... возрастающая последовательность натуральных чисел, в десятичной записи которых не встречается подряд сто единиц. Докажите, что ряд 1/an сходится.

n=30.32. а) Пусть a1, a2, a3,...

возрастающая последовательность натуральных чисел, причём ряд 1/an расходится. Докажите, что n=число 0, a1a2a3... иррационально.

б) Докажите, что число 0, 12357111317... (подряд записываются последовательные простые числа) иррационально.

30.9. Сходимость бесконечных произведений Пусть a1, a2,...

действительные числа, отличные от -1. Бесконечное произведение (1 + ak) k= nназывают сходящимся, если существует (конечный) предел limn k=1(1 + ak), причём этот предел отличен от нуля.

352 Глава 30. Ряды 30.33. Докажите, что если ak 0, то бесконечное произведение (1 + сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ak) ряд ak.

30.34. Докажите, что если 0 bk < 1, то бесконечное произведение (1 - bk) сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд bk.

Бесконечное произведение (1 + ak) называют абсолютно сходя щимся, если бесконечное произведение (1 + |ak|) сходится. Зада ча 30.33 показывает, что произведение (1 + ak) абсолютно сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд |ak|.

30.35. Докажите, что абсолютно сходящееся бесконечное произведение сходится.

Решения 1 1 30.1. Воспользуйтесь тем, что = -.

n(n + 1) n n + 30.2. О т в е т:. Легко проверить, что k · k! 1 1 1 = -.

n(n + 1)... (n + k) k n(n + 1)... (n + k - 1) (n + 1)(n + 2)... (n + k) Поэтому m 1 1 1 = -.

n(n + 1)... (n + k) k k! (m + 1)(m + 2)... (m + k) n=30.3. О т в е т:. Согласно задаче 9.(1 - x)m+ (m + 1)xm+2 - (m + 2)xm+1 + nxn-1 =.

(1 - x)n=Ясно также, что limm xm = 0.

- x x 30.4. О т в е т: 0 при x = 2k и + в остальных случаях.

2 При замене x на x + 2k рассматриваемая сумма и предполагаемый ответ не изменяются. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда 0 < x < 2.

Напомним, что (2n + 1)x sin cos x + cos 2x + cos 3x +... + cos nx = x 2 sin Глава 30. Ряды (задача 11.28). Поэтому функция 2n + cos x 1 1 x fn(x) = sin x + sin 2x +... + sin nx + + x 2 n (2n + 1) sin дифференцируема на интервале (0, 2) и x 2n + cos cos x 2 fn(x) = - 0.

x (4n + 2) sinПрименим теорему Лагранжа к функции fn(y) на отрезке между x и. В результате получим fn(x) - fn() = fn()(x - ). При n это равенство x принимает вид sin nx + - = 0.

n=n 2 an+30.5. Из равенства an+1 = (n + 1)(an + 1) следует, что an + 1 =.

n + N 1 N an+1 aN+Поэтому PN = 1 + = =. Значит, PN+1 = n=an n=1 (n + 1)an (N + 1)! aN+1 + 1 PN = PN = PN + = PN +. Поэтому PN = (PN - PN-) + aN+1 aN+1 (N + 1)! 1 1 + (PN-1 - PN-) +... + (P2 - P1) + P1 = + +... + + 1.

N! (N - 1)! 1! 1 30.6. Согласно задаче 28.48 б) < ln(k + 1) - ln k < для любого k + 1 k натурального k. Складывая такие неравенства для k = 1, 2,..., n, получаем Hn+1 - 1 < ln(n + 1) < Hn.

1 1 30.7. Неравенство > показывает, что если бы сходился ряд + 2n + 1 2n 1 1 1 1 + + +..., то сходился бы и ряд 1 + + +.... Но согласно задаче 30.5 7 2 2 этот ряд расходится.

k + 1 1 k 30.8. а) О т в е т: ln 2. Согласно задаче 28.48 б) ln < < ln.

k k k - Сложим такие неравенства для k = n, n + 1,..., 2n. В результате получим 2n + 1 2n ln < an < ln. Значит, limn an = ln 2.

n n - Замечание. Другое доказательство можно найти в решении задачи 29.51.

б) Согласно задаче 13.4 bn = an.

1 1 30.9. а) Заметим, что = -. Поэтому сумма ряда из задаn(n + 1) n n + чи 30.8 б) равна сумме рассматриваемого ряда.

б) Непосредственно следует из задачи 30.1 и задачи а).

354 Глава 30. Ряды 30.10. Достаточно доказать, что сумма первых 3n членов стремится к ln 2. Эта сумма равна 1 1 1 1 1 1 1 + + +... + - - - -... - = 3 5 2n - 1 2 4 6 4n 1 1 1 = H2n - Hn - H2n = (H2n-1 - Hn) +.

2 2 2 4n Согласно задаче 30.8 а) H2n-1 - Hn ln 2 при n.

30.11. Легко проверить, что an = H4n-1 - H2n - (H2n-1 - Hn).

Согласно задаче 30.8 а) H4n-1 - H2n ln 2 и H2n-1 - Hn ln 2.

30.12. Легко проверить, что члены ряда имеют вид 1 1 1 + -, n = 1, 2,...

2 4n - 3 4n - 1 2n - 1 Поэтому удвоенная сумма первых n членов ряда равна + + 2n + 1 2n + 1 + +... +. Остаётся воспользоваться результатом задачи 30.11.

2n + 3 4n - 30.13. Заметим, что 1 1 1 1 = + -.

(n - 1)n(n + 1) 2 n - 1 n + 1 n 1 1 1 1 1 1 Далее, сумма членов 1 + -, + -,..., 2 3 2 2 3 5 1 1 1 + - равна 2 2n - 1 2n + 1 2n 1 1 1 - + H2n-1 + - Hn - Hn.

2 2n + 1 2 Остаётся заметить, что H2n-1 - Hn ln 2 (задача 30.8 а).

n xk n (x - 1)k 30.14. Положим f(x) = -. Ясно, что f(1) = Hn.

k=k k k Поэтому достаточно доказать, что f (x) = 0 для всех x. Ясно, что f (x) = n n n n n = xk-1 - (x - 1)k-1. Пусть g(x) = (x - 1)k-1. Тогда k=1 k=1 k=k k n xn - (x - 1)g(x) + 1 = (x - 1 + 1)n, поэтому g(x) = = xk-1, что и k=x - требовалось.

-1 1 1 30.15. а) Ясно, что 1 - = 1 + + + +... Поэтому рассматp p p2 pриваемое произведения является суммой чисел, где n делится по крайней n мере на одно из чисел 2, 3,..., pm (или n = 1). Все числа, где 1 n pm, n в эту сумму входят.

Глава 30. Ряды 1 б) Согласно задаче 28.48 б) ln 1 + <. Поэтому n n - pm pm m m 1 1 1 pk ln 1 + < < 1 - = = n=1 n=1 k=1 k=n n pk pk - m pm 1 pm = 1 +. Ясно также, что ln 1 + = ln(n + k=1 n=1 n=n pk - + 1) - ln n = ln(pm + 1). Поэтому ln ln pm < ln ln(pm + m m 1 1 1 + 1) < ln 1 + <. Далее, = +.

k=1 k=pk - 1 pk - 1 pk - 1 pk (pk - 1)pk m 1 m 1 1 1 Поэтому < + + + +... Остаётся заметить, k=1 k=pk - 1 pk 1 · 2 2 · 3 3 · 1 1 что + + +... = 1 согласно задаче 30.1.

1 · 2 2 · 3 3 · 30.16. Рассмотрим последовательность 1 1 m + 1 1 um = - ln = - dt.

m m m m + t Ясно, что если 0 t 1, то 1 1 t 0 - =, m m + t m(m + t) m поэтому 0 um 1/m2. Следовательно, ряд um сходится (задаm=ча 30.24). Но 1 1 1 1 n um = 1 + +... + - ln(n + 1) = 1 + +... + - ln n + ln.

2 n 2 n n + m= n Остаётся заметить, что limn ln = 0.

n + 30.17. Произведение первых n членов равно 1 1 1+ + +...+ 1 1 2 3 n e n n = e1+ 2 + 3 +...+ -ln n.

Pages:     | 1 |   ...   | 40 | 41 || 43 | 44 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.