WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 39 | 40 || 42 | 43 |   ...   | 65 |

a1 a2 an Глава 29. Интеграл 29.12. Несобственные интегралы b Интеграл f(x) dx называют несобственным в двух случаях:

a 1) если функция f(x) определена лишь на интервале (a, b), но не на всём отрезке [a, b];

2) если a = - и/или b =.

Несобственный интеграл понимается как предел интеграла v f(x) dx, когда u a+ (соответственно, u -) и v bu (соответственно, v +). Имеется в виду, что u и v стремятся к указанным пределам независимо друг от друга.

29.56. Вычислите несобственный интеграл xadx, где -1 < a < 0.

29.57. Докажите, что xke-xdx = k! для любого целого неотрицательного k.

Решения 1 x - a 29.1. Ясно, что ln = ln(x - a) - ln(x + a) = - = x + a x - a x + a 2a =.

x2 - a29.2. Формула для производной композиции функций (задача 28.4) по казывает, что F ((y)) = F ((y)) (y). Остаётся заметить, что F ((y)) = = f((y)).

29.3. Согласно задачам 29.2 и 28. dx d ln x dy = = = arctg y + C = arctg ln x + C;

x(1 + ln2 x) 1 + ln2 x 1 + y exdx dex dy = = = arctg y + C = arctg ex + C;

1 + e2x 1 + e2x 1 + y cos x dx d sin x dy = = = arctg y + C = arctg sin x + C.

1 + sin2 x 1 + sin2 x 1 + y29.4. Согласно задаче 29. d cos x tg x dx = - = - ln cos x + C.

cos x 29.5. Согласно задаче 29.2 f((y)) (y) dy = f((y)) d(y) = f(x) dx.

29.6. Положим x = sin y. Тогда, согласно задаче 29. 1 + cos 2y y 1 - x2dx = cos2 y dy = dy = + cos 2y d(2y) = 2 2 y sin 2y arcsin x x 1 - x= + + C = + + C.

2 4 2 336 Глава 29. Интеграл 29.7. Положим x = sh y. Тогда, согласно задаче 29. 1 + ch 2y y 1 + x2dx = ch2 y dy = dy = + ch 2y d(2y) = 2 2 y sh 2y Arsh x x 1 + x= + + C = + + C = 2 4 2 1 x 1 + x= ln(x + 1 + x2) + + C.

2 29.8. Положим x = y2. Тогда, согласно задаче 29. dx 2y dy = = 2 1 - dy = 1 + x 1 + y 1 + y = 2y - 2 ln(1 + y) + C = 2 x - 2 ln(1 + x) + C.

29.9. Требуется доказать, что f(x)g (x) dx = f(x)g(x) - f (x)g(x).

Это немедленно следует из формулы для производной произведения двух функций.

x4 x4 x29.10. а) x3 ln x dx = ln xd = ln x · - d(ln x) = 4 4 x4 x4 1 x4 x= ln x · - · dx = ln x - + C.

4 4 x 4 x dx б) arctg x dx = x arctg x - = x arctg x - ln(1 + x2) + C.

1 + x2 в) x cos x dx x d(sin x) = x x - sin x dx = x sin x + cos x + C.

= sin г) xexdx = x d(ex) = xex - exdx = xex - ex + C.

29.11. Применим формулу интегрирования по частям для f(x) = g(x) = = ln x. В результате получим 1 ln x dx = (ln x)2 - ln x dx.

x x Первообразная определена с точностью до константы, поэтому это равенство ln x нужно понимать так: I = (ln x)2 - (I + C), где I = dx. Таким образом, x ln x (ln x)dx = + C (константа C здесь другая).

x 29.12. а) Интегрируя по частям, получаем 1 a eax sin bx dx = - eax cos bx + eax cos bx dx = b b 1 a a= - eax cos bx + eax sin bx - eax sin bx dx.

b b2 b Для I = eax sin bx dx мы получили соотношение eax aI = (-b cos bx + a sin bx) - (I + C).

b2 bГлава 29. Интеграл Следовательно, eax eax sin bx dx = (a sin bx - b cos bx) + C.

a2 + bб) Аналогично получаем eax eax cos bx dx = (a cos bx + b sin bx) + C.

a2 + b29.13. Воспользуемся формулой из задачи 29.9, заменив в ней g на g(n):

fg(n+1)dx = fg(n) - f g(n)dx.

Аналогично получаем f g(n)dx = f g(n-1) - f g(n-1)dx, f g(n-1)dx = f g(n-2) - f g(n-2)dx,......

f(n)g dx = f(n)g - f(n+1)g dx.

Из этих формул легко следует требуемое.

29.14. а) Воспользуемся формулой из задачи 29.13. Если g(n+1) = eax, то eax eax g(n) =, g(n-1) =,... Поэтому a a P P P P (x)eaxdx = eax - + -... + C.

a a2 acos ax sin ax cos ax б) Если g(n+1) = sin ax, то g(n) = -, g(n-1) = -, g(n-2) =, a a2 a... Поэтому P P P P P (x) sin ax dx = sin ax - +... - cos ax - +... + C.

a2 a4 a aв) Аналогично решению задачи б) получаем P P P P P (x) cos ax dx = sin ax - +... + cos ax - +... + C.

a a3 a2 a29.15. Достаточно рассмотреть случай, когда добавляется одна точка деления. Пусть на отрезке [c, d] взята точка y и наибольшие значения функции f(x) на отрезках [c, d], [c, y] и [y, d] равны M, M1 и M2. Требуется доказать, что M1(y - c) + M2(d - y) M(d - c).

Ясно, что M1 M и M2 M. Поэтому M1(y - c) + M2(d - y) M(y - c) + M(d - y) = M(d - c).

338 Глава 29. Интеграл Для нижних интегральных сумм доказательство аналогично.

29.16. Пусть s1 нижняя интегральная сумма для одного разбиения, S2 верхняя интегральная сумма для другого разбиения. Разобьём отрезок всеми точками, входящими в эти разбиения. Пусть s и S нижняя и верхняя интегральная суммы для полученного разбиения. Согласно задаче 29.s1 s и S S2. Остаётся заметить, что s S.

29.17. Прежде всего заметим, что точная верхняя грань нижних интегральных сумм существует, поскольку согласно задаче 29.16 любая нижняя интегральная сумма s не превосходит некоторой фиксированной интегральной суммы S0. Из неравенства s S0 следует, что I S0. Это неравенство выполняется для произвольной верхней интегральной суммы S0. Таким образом, s I S. Ясно также, что s S. Из этих двух неравенств следует требуемое неравенство.

29.18. Согласно задаче 29.17 достаточно доказать, что если наибольшая длина отрезка разбиения стремится к нулю, то разность S - s стремится к нулю.

Функция f(x) равномерно непрерывна на отрезке [a, b] (задача 26.25), поэтому для любого > 0 можно выбрать > 0 так, что если расстояние между точками x и x отрезка [a, b] меньше, то |f(x ) - f(x )| <. Поэтому если наибольшая длина отрезка разбиения меньше, то Mk - mk <, а значит, n-1 n- S - s = (Mk - mk)(xk+1 - xk) < (xk+1 - xk) = (b - a).

k=0 k=Таким образом, если наименьшая длина отрезка разбиения стремится к нулю, то разность S - s стремится к нулю.

29.19. Пусть M и m наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [a, b]. Тогда каждая интегральная сумма заключена между m(b-a) b и M(b - a). Поэтому f(x) dx = c(b - a), где число c заключено между m a и M. Непрерывная функция на отрезке принимает все значения между m и M, поэтому c = f() для некоторой точки отрезка [a, b].

29.20. Если f(x) 0 для всех точек отрезка [a, b], то все интегральные суммы неотрицательны, поэтому их предел тоже неотрицателен.

Предположим теперь, что f(x0) = c > 0. Можно считать, что x0 внутренняя точка отрезка [a, b]. Выберем > 0 так, что f(x) > c/2 при |x-x0| <.

Можно считать, что a0 + x0 b -. Тогда b x0- x0+ b f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx + f(x) dx.

a a x0- x0+ c Два крайних интеграла неотрицательны, а средний интеграл больше 2 · = = c > 0.

29.21. Пусть точки x и x + x лежат на отрезке [a, b]. Тогда F (x + x+x + x) - F (x) = f(t) dt. Согласно задаче 29.19 этот интеграл раx Глава 29. Интеграл вен f()x, где некоторая точка между x и x + x. Следовательно, F (x + x) - F (x) limx0 = f(x), поскольку x при x 0.

x x 29.22. Рассмотрим функцию (x) = f(t) dt. Ясно, что (b) = a b = f(x) dx. Кроме того, согласно задаче 29.21 (x) = f(x). Поэтому (x) a тоже первообразная, а значит, (x) = F (x)+C, где C некоторая константа.

Заметим, что (a) = 0. Поэтому F (a) = -C. Следовательно, b f(x) dx = (b) = F (b) + C = F (b) - F (a).

a 29.23. а) Ясно, что U0 = и U1 = sin x|/2 = 1. Пусть теперь n > 1.

Тогда, интегрируя по частям, получаем /2 /Un = cosn-1 x d sin x = sin x cosn-1 x|/2 - sin x d cosn-1 x.

0 Первый член равен нулю, поэтому /2 /Un = (n - 1) cosn-2 x sin2 x dx = (n - 1) cosn-2 x(1 - cos2 x) dx, 0 n - т.е. Un = (n - 1)(Un-2 - Un). Таким образом, Un = Un-2. Значит, Un-2 = n n - = Un-4 и т.д. Последовательно применяя эту формулу, получаем требуn - емое.

б) Если 0 x /2, то cos2n+2 x cos2n+1 x cos2n x, поэтому U2n+2 < U2n+1 < U2n. Используя формулы из задачи а), получаем (2n + 1)!! (2n)!! (2n - 1)!! < <.

(2n + 2)!! 2 (2n + 1)!! (2n)!! Следовательно, 2n + 1 (2n)!! · < <.

2n + 2 2 (2n - 1)!! 2n + 1 2n + 1 n Учитывая, что limn = 1 и limn =, получаем требуемое.

2n + 2 2n + 1 29.24. П е р в о е р е ш е н и е. Напомним, что 2 (n - 1) n sin sin... sin = 2n 2n 2n 2n-(задача 23.8 б). Поэтому n--(n - 1) ln 2 + ln n k ln sin = · - ln 2, 2n 2n 2 n k=340 Глава 29. Интеграл поскольку ln n 0 (задача 25.17 б). Но указанная сумма это интегральn ная сумма для разбиения отрезка [0, /2] на n равных отрезков.

В т о р о е р е ш е н и е. Заметим, что /2 /2 /2 1 sin 2x ln(sin x)dx = ln(cos x)dx = ln dx, 2 0 0 sin 2x поскольку ln(sin x) + ln(cos x) = ln(sin x cos x) = ln. Далее, /2 /sin 2x ln dx = ln(sin 2x)dx - ln 2, 2 0 а /2 /dy ln(sin 2x)dx = ln(sin y) = ln(sin y)dy.

0 0 a /Таким образом, для a = ln(sin x)dx получаем соотношение a = - ln 2, 2 откуда a = - ln 2.

29.25. Согласно задаче 29. x fn(x) = fn-1(t) · 1 dx = a (t - x)2 (t - x)= fn-1(t)(t - x) - fn-2(t) + fn-3(t) -...

2! 3! x x (t - x)n-1 (t - x)n-... + (-1)n-2f1(t) - (-1)n-2 f(t) dt;

(n - 1)! (n - 1)! a a (n-1) (t - x)n-мы здесь воспользовались тем, что = 1. Все члены, кроме (n - 1)! последнего, обращаются в нуль при t = a, поскольку fk(a) = 0, и при t = x.

Поэтому остаётся только последний член, и мы получаем требуемое.

29.26. Площадь круга в 2 раза больше площади полукруга, ограниченного графиком y = 1 - x2 и прямой y = 0. Далее, площадь полукруга равна 1 1 arcsin x x 1 - x 1 - x2 dx = + 2 ---(см. задачу 29.6). Второе слагаемое обращается в нуль, а первое слагаемое равно.

29.27. Искомая площадь равна sin x dx = - cos x| = 2.

29.28. О т в е т: R2h. Выберем в качестве оси Ox ось конуса и поместим R h начало координат в вершину конуса. Тогда V = x dx = R2h.

h Глава 29. Интеграл 29.29. О т в е т: R3. Плоскость, удалённая от центра шара на расстоя ние x, высекает на шаре круг радиуса R2 - x2. Площадь этого круга равна (R2 - x2), поэтому R R x3 2R3 4R V = (R2 - x2)dx = 2R3 - = 2R3 - =.

3 3 -R -R 29.30. О т в е т: R3. Введём систему координат, направив оси Ox и Oy по осям цилиндров. Пересечение цилиндров задаётся неравенствами x2 + +z2 R и y2+z2 R. Его сечение плоскостью z = z0 задаётся неравенствами 2 x0 R2 - z0 и y0 R2 - z0. Таким образом, сечение квадрат со стороной 2 R2 - z0. Его площадь равна 4(R2 - z0). Поэтому объём рассматриваемой фигуры равен R R z3 8 4(R2 - z2)dz = 8R3 - 4 = 8R3 - R3 = R3.

3 3 -R -R 29.31. О т в е т: hR2. Рассматриваемая фигура задаётся неравенствами h x2 +y2 R2 и 0 z x. Сечение этой фигуры плоскостью y = y0 представR h 2 ляет собой прямоугольный треугольник с катетами R2 - y0 и R2 - y0.

R 1 h Его площадь равна (R2 - y0). Поэтому объём рассматриваемой фигуры 2 R равен R R 1 h h y3 h 4R (R2 - y2)dy = 2R3 - = ·.

2 R 2R 3 2R -R -R 29.32. Ясно, что AkAk+1 = (xk+1 - xk)2 + f(xk+1) - f(xk). По теореме Лагранжа f(xk+1) - f(xk) = f (k)(xk+1 - xk) для некоторой точки k отрезка [xk, xk+1]. Поэтому длина ломаной равна n- 1 + f 2(k)(xk+1 - xk), k= т.е. она равна интегральной сумме для непрерывной функции 1 + f 2(x).

Остаётся заметить, что длина отрезка [xk, xk+1] не превосходит AkAk+1, поэтому длина наибольшего отрезка разбиения стремится к нулю, когда стремится к нулю наибольшая длина звена ломаной.

29.33. Длина окружности равна удвоенной длине полуокружности y = -x = R2 - x2. Ясно, что y =, поэтому длина полуокружности равна R2 - x RR- R R dx x lim 1 + y 2 dx = lim = lim R arcsin =.

0 0 R -R+ R2 - x2 -R+ -R+ 342 Глава 29. Интеграл 29.34. Длина рассматриваемой дуги параболы равна x0 x x0 1 + x2 1 + y 2 dx = 1 + x2 dx = + ln(x0 + 1 + x2) 2 0 (см. задачу 29.7).

29.35. Ясно, что y = sh x и 1 + (y )2 = ch x. Поэтому длина рассматри xваемой дуги равна ch x dx = sh x2 - sh x1 (предполагается, что x1 < x2).

x29.36. По формуле замены переменных 2 t1 b t dy y 1 + dx = 1 + x dt = x 2 + y 2dt;

dx x a t0 tпри записи последнего равенства мы воспользовались тем, что x > 0.

29.37. О т в е т: 6a. Астроиду можно задать параметрически: x = a sin3 t, y = a cos3 t. Достаточно вычислить длину четверти астроиды, для которой x и y = = -3a неотрицательны. Ясно, что x 3a cos t sin2 t и y sin t cos2 t. Поэтому x 2 + y 2 = 3a sin t cos t, а значит, длина четверти астроиды равна /2 /2 3a 3a 3a sin t cos t dt = sin2 t =.

2 Длина всей астроиды равна 6a.

29.38. О т в е т: 8a. Ясно, что t x 2 + y 2 = a (1 - cos t)2 + sin2 t = 2a sin.

Поэтому длина ветви циклоиды равна 2 t t 2a sin dt = -4a cos = 8a.

2 29.39. Мы предполагаем известным из стереометрии, что площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению образующей на длину среднего сечения. Площадь боковой поверхности конуса, образованного вращением звена AkAk+1, равна f(xk) + f(xk+1) (xk+1 - xk)2 + f(xk+1) - f(xk).

По формуле Лагранжа f(xk+1) - f(xk) = f (k)(xk+1 - xk) для некоторой точки k отрезка [xk, xk+1]. Поэтому сумма площадей боковых поверхностей конусов равна n- f(xk) + f(xk+1) 1 + (f (k))2(xk+1 - xk).

k=Глава 29. Интеграл Нужно сравнить эту сумму с интегральной суммой n- 2 f(k) 1 + (f (k))2(xk+1 - xk).

k=Это сравнение несложно получить, основываясь на равномерной непрерыв ности функции f(x) и ограниченности функции 1 + (f (x))2.

29.40. Мы рассматриваем поверхность шара как фигуру, образованную -x при вращении кривой y = R2 - x2. Ясно, что y = и 1 + y 2 = R2 - xR =. Поэтому рассматриваемая площадь равна R2 - x a+h a+h R 2 R2 - x2 dx = 2R dx = 2Rh.

R2 - xa a 29.41. Из очевидного неравенства cos x 1 следует, что t t cos x dx 1 dx, т.е. sin t t. Из полученного неравенства следует, 0 t2 tt t что sin x dx x dx =, т.е. 1 - cos t. Затем из неравенства 0 2 t2 t1 - cos t аналогично получаем t - sin t и т.д.

2 t3 t2 t29.42. Воспользуемся неравенствами t - sin t и cos t 1 - + 6 2 (задача 29.41). Из первого неравенства следует, что 3 t2 3 t2 t4 tsin t 1 - = 1 - + -.

t 6 2 12 t2 t4 t6 t2 tПоэтому достаточно доказать, что 1 - + - > 1 - +. Это нера2 12 216 2 t4 tвенство эквивалентно неравенству - > 0, т.е. t2 < 9. При 0 < t /24 это неравенство выполняется.

1 1 29.43. Рассмотрим функцию f(t) = -. Ясно, что f = 1 -.

sin2 t t2 2 Кроме того, 2 2 cos t 2 sin t f (t) = - = - cos t.

t3 sin3 t sin3 t t Поэтому согласно задаче 29.42 f (t) > 0, т.е. на рассматриваемом ин тервале функция f(t) монотонно возрастает. Значит, f(t) f, т.е.

1 1 - 1 -.

sin2 t t2 29.44. Согласно задаче 29.t3 t3 sin t 3t - +, 2 t3 t5 t2t + t cos t 3t - + -.

2 24 344 Глава 29. Интеграл t5 t7 tПоэтому если - >, т.е. t2 < 12, то требуемое неравенство выполня24 720 ется. С другой стороны, требуемое неравенство очевидным образом выполняется, если 2t > 3, т.е. t > 3/2.

29.45. Если x > 0, то 1 - x + x2 - x3 +... - x2n-1 < < 1 - x + x2 - x3 +... + x2n.

Pages:     | 1 |   ...   | 39 | 40 || 42 | 43 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.