WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 38 | 39 || 41 | 42 |   ...   | 65 |

Из минимальности n следует, что многочлен Pn(x) отличен от нуля. Поделив обе части тождества (1) на Pn(x), получим R0(x)enx + R1(x)e(n-1)x +... + Rn-1(x)ex + 1 = 0, где R0(x),..., Rn-1(x) рациональные функции, причём R0(x) = 0. Продиф ференцировав это тождество и поделив обе части на ex, получим тождество (R0 + nR0)e(n-1)x + (R1 + (n - 1)R1)e(n-2)x +... + (Rn-1 + Rn-1) = 0. (2) Из этого тождества легко получить тождество для многочленов: достаточно умножить обе части на общий знаменатель рациональных функций. Поэтому из минимальности n следует, что R0 + nR0 = 0,..., Rn-1 + Rn-1 = 0. Пусть R0 = P/Q, где P и Q взаимно простые многочлены (мы знаем, что P = 0).

Из равенства R0 + nR0 = 0 следует, что P Q - P Q + nP Q = 0. Многочлены P Q и P Q делятся на Q, поэтому P Q делится на Q, а значит, Q делится на Q. Это возможно лишь в том случае, когда Q константа. Аналогично доказывается, что P константа. Поэтому R0 = 0, а значит, R0 = -R0/n = 0.

Получено противоречие.

28.76. а) Достаточно заметить, что k k k xk = a + (x - a) = ai(x - a)k-i.

i i=б) Чтобы найти A0, положим x = a. В результате получим f(a) = A0.

Продифференцировав выражение для f(x), получим f (x) = A1 + 2A2(x - a) +... + nAn(x - a)n-1.

Положив x = a, получаем f (a) = A1. Теперь дифференцируем выражение для f (x):

f (x) = 1 · 2A2 + 2 · 3A3(x - a) +... + (n - 1)nAn(x - a)n-2.

Снова подставляя x = a, получаем f (a) = 1 · 2A2. Продолжая эти рассуждеf(k)(a) ния дальше, будем получать Ak = для k n.

k! 326 Глава 28. Производная 28.77. Ясно, что T (a) = f(a). Далее, f (a) f(n)(a) T (x) = f (a) + (x - a) +... + (x - a)n-1, 1! (n - 1)! f (a) f(n)(a) T (x) = f (a) + (x - a) +... + (x - a)n-2, 1! (n - 2)!......

(n) T (x) = f(n)(a), (n+1) T (x) = 0.

(n) (n+1) Поэтому T (a) = f (a), T (a) = f (a),..., T (a) = f(n)(a) и T (x) = 0.

Рассмотрим вспомогательную функцию (x) = f(x)-T (x). Для неё (a) = = (a) = (a) =... = (n)(a) = 0 и (n+1)(x) = f(n+1)(x). Рассмотрим (x - a)n+ещё вспомогательную функцию (x) =. Для неё (a) = (a) = (n + 1)! = (a) =... = (n)(a) = 0 и (n+1)(x) = 1. Более того, ни сама функция, ни её производные до (n+ 1)-й включительно не обращаются в нуль в точках, отличных от a.

(x) Фиксируем точку x = a. Из равенств (a) = (a) = 0 следует, что = (x) (x) - (a) =. Поэтому по теореме Коши (задача 28.44) существует точка (x) - (a) (x) (x1) x1 между a и x, для которой =. Из равенств (a) = (a) = (x) (x1) (x) (x) - (a) = 0 следует, что =. Поэтому по теореме Коши существует (x) (x) - (a) (x1) (x2) точка x2 между a и x1 (а значит, между a и x), для которой =.

(x1) (x2) Продолжая эти рассуждения, получаем (x) (x1) (x2) (n+1)(xn+1) = = =... =, (x) (x1) (x2) (n+1)(xn+1) где точка xn+1 лежит между a и x.

Напомним, что (n+1)(x) = f(n+1)(x) и (n+1)(x) = 1. Пусть = xn+1.

(x) f(n+1)() Тогда = f(n+1)(), т.е. f(x) - T (x) = (x - a)n+1.

(x) (n + 1)! 28.78. Эти утверждения непосредственно следуют из формулы Тейлора для a = 0 и соответствующих функций f(x).

Глава 29.

Интеграл 29.1. Неопределённый интеграл Функцию F (x), для которой F (x) = f(x), называют первообразной или неопределённым интегралом функции f(x). Для функции, определённой на отрезке (или на всей вещественной прямой), её первообразная определена с точностью до прибавления некоторой константы C. Действительно, если F1(x) и F2(x) первообразные функции f(x), а (x) = F1(x) - F2(x), то по условию (x) = 0. Поэтому согласно задаче 28.38 функция (x) постоянна.

Первообразную функции f(x) обозначают f(x) dx.

dx 1 x - a 29.1. Докажите, что = ln + C.

x2 - a2 2a x + a 29.2. Пусть F (x) первообразная функции f(x) на отрезке [a, b], (y) дифференцируемая функция на отрезке [p, q], причём a (y) b для всех y из отрезка [p, q] и у любой точки y0 из отрезка [p, q] есть такая окрестность U(y0), что если y принадлежит U(y0) и y = y0, то (y) = (y0). Докажите, что тогда F ((y)) первообразная функции f((y)) (y).

Результат задачи 29.2 можно сформулировать следующим образом:

если f(x) dx = F (x) + C, то f((y)) (y) dy = F ((y)) + C. Удобно ввести обозначение (y) dy = d(y).

dx exdx cos x dx 29.3. Вычислите ; ;.

1 + e2x 1 + sin2 x x(1 + ln2 x) 29.4. Вычислите tg x dx.

328 Глава 29. Интеграл 29.5. Докажите, что f(x) dx можно вычислить следующим образом. Пусть x = (y) дифференцируемая функция, имеющая обрат ную функцию y = (x). Вычислим f((y)) (y) dy = F (y) и положим y = (x). Тогда F ((x)) искомый интеграл.

29.6. Вычислите 1 - x2dx.

29.7. Вычислите 1 + x2dx.

dx 29.8. Вычислите.

1 + x 29.9. Докажите, что f(x)g (x) dx = f(x)g(x) - f (x)g(x) dx (формула интегрирования по частям).

29.10. Вычислите с помощью интегрирования по частям:

а) x3 ln x dx; б) arctg x dx; в) x cos x dx; г) xexdx.

ln x 29.11. Вычислите dx.

x 29.12. Вычислите: а) eax sin bx dx; б) eax cos bx dx.

29.13. Докажите, что fg(n+1)dx = fg(n) - f g(n-1) + f g(n-2) -... + + (-1)nf(n)g + (-1)n+1 f(n+1)g dx.

29.14. Пусть P многочлен. Вычислите: а) P (x)eaxdx; б) (x) P (x) sin ax dx; в) P (x) cos ax dx.

29.2. Определённый интеграл Пусть на отрезке [a, b] задана функция f(x). Разобьём этот отрезок на части точками x0 = a < x1 < x2 <... < xn-1 < b = xn. На каждом отрезке [xk, xk+1] выберем произвольную точку k и рассмотрим n-так называемую интегральную сумму f(k)(xk+1 - xk). Оказыk=вается, что если функция f(x) непрерывна и наибольшая длина отрезка разбиения стремится к нулю, то интегральные суммы имеют конечный предел, который не зависит от выбора разбиения и от выбора точек k.

Этот предел называют определённым интегралом от функции f(x) по b отрезку [a, b] и обозначают f(x) dx.

a Глава 29. Интеграл Функцию f(x) называют интегрируемой на отрезке [a, b], если для неё существует указанный предел интегральных сумм. Интегрируемыми могут быть не только непрерывные функции, но нас в основном будут интересовать непрерывные функции.

Чтобы доказать интегрируемость непрерывных функций, введём следующие вспомогательные понятия. Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x) и задано некоторое разбиение этого отрезка. Для каждого отрезка [xk, xk+1] рассмотрим Mk и mk наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на этот отрезке. Суммы n-1 n- Mk(xk+1 - xk) и mk(xk+1 - xk) k=0 k=назовём верхней и нижней интегральными суммами; они зависят только от разбиения и не зависят от выбора точек k. Ясно, что каждая интегральная сумму заключена между верхней и нижней интегральными суммами для того же самого разбиения.

29.15. Докажите, что при добавлении новых точек разбиения нижняя интегральная сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

29.16. Докажите, что любая нижняя интегральная сумма не больше любой верхней интегральной суммы.

29.17. Пусть I точная верхняя грань нижних интегральных сумм, произвольная интегральная сумма, s и S нижняя и верхняя интегральные суммы, соответствующие тому же разбиению, что и.

Докажите, что | - I| S - s.

29.18. Докажите, что любая непрерывная функция f(x) на отрезке [a, b] интегрируема.

29.19. Пусть f(x) непрерывная функция на отрезке [a, b]. Дока b жите, что на отрезке [a, b] существует точка, для которой f(x) dx = a = f()(b - a).

29.20. Докажите, что если непрерывная функция f(x) неотрица b тельна на отрезке [a, b], то f(x) dx 0. Более того, если f(x0) > a b для некоторой точки x0 отрезка [a, b], то f(x) dx > 0.

a Часто бывает удобно рассматривать определённые интегралы a a b f(x) dx для a < b. А именно, мы полагаем f(x) dx = - f(x) dx.

b b a 330 Глава 29. Интеграл При таких соглашениях остаются верными формулы замены переменных и соотношение b c c f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx.

a b a 29.21. Пусть f(x) непрерывная функция на отрезке [a, b] и F (x) = x = f(t) dt. Докажите, что F (x) = f(x), т.е. F (x) первообразная a функции f(x).

29.22. Пусть f(x) непрерывная функция на отрезке [a, b]. Докажите, что b f(x) dx = F (b) - F (a), a где F (x) первообразная функции f(x) (формула Ньютона– Лейбница).

Для разности F (b)-F (a) мы будем использовать обозначение F (x)|b.

a 29.3. Вычисление интегралов /29.23. Пусть Un = cosn x dx.

(n - 1)!! а) Докажите, что если n нечётно, то Un =, а если n чётно, n!! (n - 1)!! то Un =, где n!! обозначает произведение всех натуральных n!! чисел, не превосходящих n и имеющих с n одинаковую чётность.

1 (2n)!! б) Докажите, что = limn (формула Валлиса).

n (2n - 1)!! /29.24. Докажите, что ln(sin x)dx = - ln 2.

x x a a 29.25. Пусть f1(x) = f(t) dx, f2(x) = f1(t) dx,..., fn(x) = x = fn-1(t) dx. Докажите, что a (-1)n-1 x fn(x) = f(t)(t - x)n-1dt.

(n - 1)! a 29.4. Вычисление площадей Пусть функция f(x) на отрезке [a, b] неотрицательна. Член f(k)(xk-1 - xk) интегральной суммы заключён между m(xk-1 - xk) и Глава 29. Интеграл M(xk-1 - xk), где m и M наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [xk, xk+1]. Таким образом, этот член заключён между площадью прямоугольника, содержащегося в фигуре под графиком функции y = f(x), и площадью прямоугольника, содержащего часть этой фигуры, расположенную над отрезком [xk, xk+1]. Поэтому опре b делённый интеграл f(x) dx это площадь фигуры, ограниченной a графиком y = f(x) и прямыми y = 0, x = a и x = b.

29.26. Вычислите площадь круга радиуса 1 с помощью определённого интеграла.

29.27. Вычислите площадь под графиком функции y = sin x на отрезке от 0 до.

29.5. Вычисление объёмов Пусть тело расположено в пространстве с прямоугольными координатами Oxyz, причём проекция этого тела на ось Ox это отрезок [a, b].

Предположим, что плоскость, проходящая через точку x отрезка [a, b] перпендикулярно оси Ox, высекает на этом теле фигуру площади S(x).

b Тогда объём этого тела определяется как S(x) dx.

a 29.28. Вычислите с помощью определённого интеграла объём V конуса с радиусом R и высотой h.

29.29. Вычислите с помощью определённого интеграла объём V шара радиуса R.

29.30. Найдите объём фигуры, образованной при пересечении двух прямых круговых цилиндров радиуса R, оси которых перпендикулярны и пересекаются.

29.31. Найдите объём фигуры, отсекаемой от цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр его основания. Известны радиус цилиндра R и высота полученной фигуры h.

29.6. Длина кривой Рассмотрим кривую y = f(x), где f(x) непрерывная функция на отрезке [a, b]. Пусть x0 = a < x1 <... < xn-1 < b = xn точки на этом отрезке. Рассмотрим ломаную с вершинами Ak = xk, f(xk), k = 0, 1,..., n. Если длина этой ломаной стремится к конечному пределу l, когда длина наибольшего звена ломаной стремится к нулю, то это число l называют длиной кривой.

332 Глава 29. Интеграл 29.32. Докажите, что если функция f(x) на отрезке [a, b] имеет непрерывную производную, то кривая y = f(x) имеет длину b 1 + f 2(x) dx.

a 29.33. Вычислите с помощью определённого интеграла длину окружности радиуса R.

29.34. Вычислите длину дуги параболы 2y = x2 от точки (0, 0) до xточки x0,.

29.35. Вычислите длину дуги кривой y = ch x, заключённой между точками (x1, y1) и (x2, y2).

29.36. Пусть график функции y = f(x) на отрезке [a, b] параметризован параметром t, т.е. задана монотонно возрастающая функция x(t), причём a = x(t0) и b = x(t1), и мы полагаем y(t) = f(x(t)). Докажите, t1 dx dy что длина этого графика равна x 2 + y 2dt, где x = и y =.

tdt dt 29.37. Вычислите длину астроиды, заданной уравнением x2/3 + + y2/3 = a2/3.

29.38. Вычислите длину ветви циклоиды x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t), где 0 t 2.

29.7. Площадь поверхности Пусть f(x) непрерывная положительная функция на отрезке [a, b], x0 = a < x1 <... < xn-1 < b = xn некоторые точки на отрезке [a, b].

Будем вращать кривую y = f(x) вокруг оси Ox. Ломаная с вершинами Ak = (xk, f(xk)) заметает при этом некоторую поверхность, состоящую из усечённых конусов. Если сумма площадей боковых поверхностей этих конусов имеет предел, когда длина наибольшего из отрезков AkAk+стремится к нулю, то этот предел называют площадью поверхности вращения, заметаемой кривой y = f(x).

29.39. Докажите, что если положительная функция f(x) на отрезке [a, b] имеет непрерывную производную, то площадь поверхности вращения, заметаемой кривой y = f(x), равна b 2 f(x) 1 + (f (x))2dx.

a Глава 29. Интеграл 29.40. Докажите, что площадь поверхности шара радиуса R, заключённой между двумя параллельными плоскостями (пересекающими шар), равна 2Rh, где h расстояние между этими плоскостями.

29.8. Неравенства 29.41. Пусть t > 0.

t3 t2 t2 tа) Докажите, что t - sin t t и 1 - cos t 1 - +.

6 4 2 б) Докажите, что t3 t5 t4n+3 t3 t5 t4n+t - + -... - sin t t - + -... +, 3! 5! (4n + 3)! 3! 5! (4n + 1)! t2 t4 t4n+2 t2 t4 t4n 1 - + -... - cos t 1 - + -... +.

2! 4! (4n + 2)! 2! 4! (4n)! sin t 29.42. Докажите, что если 0 < t /2, то > cos t.

t 1 1 29.43. Докажите, что если 0 < t /2, то + 1 -.

t2 sin2 t 29.44. Докажите, что 3 sin t < 2t + t cos t для любого t > 0.

29.45. Пусть t > 0. Докажите, что t2 t3 t4 t2n t2 t3 t4 t2n+t - + - +... - < ln(1 + t) < t - + - +... +.

2 3 4 2n 2 3 4 2n + 29.46. Докажите, что для любого t > t3 t5 t7 t4n-1 t3 t5 t7 t4n+t - + - +... - < arctg t < t - + - +... +.

3 5 7 4n - 1 3 5 7 4n + 29.47. а) Докажите, что если 0 t a, то t2 t3 tn t2 t3 tn-1 tn 1 + t + + +... + et 1 + t + + +... + + ea.

2! 3! n! 2! 3! (n - 1)! n! б) Докажите, что если 0 t a, то при нечётном n имеют место такие же неравенства, а при чётном n знаки неравенств заменяются на обратные.

* * * 29.48. Функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, b], длина которого равна. Докажите, что на отрезке [a, b] есть точка x, для которой f (x) - f(x) < 1.

334 Глава 29. Интеграл 29.9. Вычисление пределов n-1 n 29.49. Вычислите предел limn k=0.

n2 + k n-1 n2 k29.50. Вычислите предел limn k=0.

n 2n 29.51. Вычислите limn k=n.

k n-1 29.52. Вычислите limn k=0.

n2 - kСм. также задачу 25.42.

29.10. Тождества 29.53. Докажите следующее тождество для биномиальных коэффициентов:

n 1 n 1 n 1 1 1 - +... + (-1)n-1 = 1 + + +... +.

1 1 2 2 n n 2 3 n 29.54. а) Вычислите (x2 - 1)ndx, где n натуральное число, с -помощью формулы из задачи 29.13.

б) Докажите, что 1 n 1 n 1 n 1 n (-1)n22n(n!)- + - +...+(-1)n =.

2n + 1 1 2n - 1 2 2n - 3 3 2n - 5 n (2n + 1)! См. также задачу 14.17.

29.11. Примеры и конструкции 29.55. Докажите, что для любого натурального n 3 существует многочлен f(x) степени n с вещественными коэффициентами и корнями a1 < a2 <... < an, для которого a2 a3 an-|f(x)| dx = |f(x)| dx =... = |f(x)| dx.

Pages:     | 1 |   ...   | 38 | 39 || 41 | 42 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.