WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 65 |

3.4. Количество решений системы уравнений 3.16. Система уравнений второго порядка x2 - y2 = 0, (x - a)2 + y2 = Глава 3. Системы уравнений имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях a число решений системы уменьшается до трёх или до двух 3.5. Линейные системы уравнений 3.17. Решите систему x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 = 1, x1 + 3x2 + 4x3 + 4x4 + 4x5 = 2, x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 + 6x5 = 3, x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 + 8x5 = 4, x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 5.

3.18. Решите систему уравнений x1 + x2 + x3 = 6, x2 + x3 + x4 = 9, x3 + x4 + x5 = 3, x4 + x5 + x6 = -3, x5 + x6 + x7 = -9, x6 + x7 + x8 = -6, x7 + x8 + x1 = -2, x8 + x1 + x2 = 2.

3.19. Пусть a, b, c попарно различные числа. Решите систему уравнений x + ay + a2z + a3 = 0, x + by + b2z + b3 = 0, x + cy + c2z + c3 = 0.

3.20. Пусть a1,..., an попарно различные числа. Докажите, что система линейных уравнений x1 +... + xn = 0, a1x1 +... + anxn = 0, a2x1 +... + a2 xn = 0, 1 n.........

an-1x1 +... + an-1xn = 1 n имеет только нулевое решение.

3.21. Найдите все решения системы уравнений 1 1 x 1 - + y 1 - + z 1 - = 0, 2n 2n+1 2n+32 Глава 3. Системы уравнений где n = 1, 2, 3, 4,...

3.22. Дано 100 чисел a1, a2, a3,..., a100, удовлетворяющих следующим условиям:

a1 - 3a2 + 2a3 0, a2 - 3a3 + 2a4 0, a3 - 3a4 + 2a5 0,......

......

a99 - 3a100 + 2a1 0, a100 - 3a1 + 2a2 0.

Докажите, что все числа ai равны между собой.

3.23. Решите систему 10x1 + 3x2 + 4x3 + x4 + x5 = 0, 11x2 + 2x3 + 2x4 + 3x5 + x6 = 0, + 15x3 + 4x4 + 5x5 + 4x6 + x7 = 0, 2x1 + x2 - 3x3 + 12x4 - 3x5 + x6 + x7 = 0, 6x1 - 5x2 + 3x3 - x4 + 17x5 + x6 = 0, 3x1 + 2x2 - 3x3 + 4x4 + x5 - 16x6 + 2x7 = 0, 4x1 - 8x2 + x3 + x4 - 3x5 + 19x7 = 0.

3.24. Докажите, что система уравнений x1 - x2 = a, x3 - x4 = b, x1 + x2 + x3 + x4 = имеет хотя бы одно положительное решение x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > тогда и только тогда, когда |a| + |b| < 1.

3.25. Имеется система уравнений x + y + z = 0, x + y + z = 0, x + y + z = 0.

Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа. Докажите, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.

Глава 3. Системы уравнений Решения 3.1. Данная система линейна относительно неизвестных x1 = yz, y1 = xz, z1 = xy. Чтобы найти x1, нужно сложить два последних уравнения и вычесть из них первое уравнение. В результате получим x1 = (32 + 27 - 35)/2 = 12.

После этого находим y1 = 15 и z1 = 20.

(xy)(xz) 20 · Итак, yz = 12, xz = 15, xy = 20. Поэтому x2 = = = 25, yz т.е. x = ±5. Кроме того, y = 20/x = ±4 и z = 15/x = ±3. В итоге получаем два решения (5, 4, 3) и (-5, -4, -3).

3.2. Данную систему можно переписать в виде x1y1 = 20, y1z1 = 12, x1z1 = 15, где x1 = x + 1, y1 = y + 1, z1 = z + 1. Поэтому (x1, y1, z1) = (5, 4, 3) или (-5, -4, -3), т.е. (x, y, z) = (4, 3, 2) или (-6, -5, -4).

3.3. Вычтя из первого уравнения второе, получим 2(y - x) = y2 - x2 = = (y - x)(y + x). Значит, либо y = x, либо y + x = 2. Если y = x, то 2x = 4- x2, т.е. x = -1± 5. Если y + x = 2, то 2(2- x) = x2, т.е. x2 = 2x. В результате 4- получаем четыре решения: (-1 + 5, -1 + 5), (-1 - 5, -1 - 5), (0, 2), (2, 0).

3.4. О т в е т: (0, 0, a), (0, a, 0) и (a, 0, 0).

Тождество (x + y + z)2 - (x2 + y2 + z2) = 2(xy + yz + xz) показывает, что xy + yz + xz = 0. (1) Тождество (x + y + z)3 - (x3 + y3 + z3) = 3(x + y)(y + z)(z + x) показывает, что (x + y)(y + z)(z + x) = 0. Учитывая равенство (1), получаем xyz = (xy + + yz + xz)(x + y + z) - (x + y((y + z)(z + x) = 0. Если x = 0, то равенство (1) показывает, что yz = 0. Поэтому либо y = 0 и z = a, либо z = 0 и y = a.

Аналогично разбираются остальные варианты. В итоге получаем следующие решения: (0, 0, a), (0, a, 0) и (a, 0, 0).

3.5. О т в е т: x1 = x2 =... = xn = ±1 при нечётном n, x1 = x3 =... = = xn-1 = a и x2 = x4 =... = xn = (a = 0) при чётном n.

a Пусть n нечётно. Ясно, что x2 = 0, поэтому из первого и второго урав нений получаем x1 = x3. Из второго и третьего уравнений получаем x2 = xи т.д. Кроме того, из первого и последнего уравнений получаем xn = x2. В итоге получаем x1 = x3 =... = xn = x2 = x4 =... = xn-1. Поэтому из первого уравнения получаем x2 = 1, т.е. x1 = ±1. Очевидно, что оба указанных в ответе набора неизвестных действительно являются решениями системы.

При чётном n точно так же получаем x1 = x3 =... = xn-1, x2 = x4 =... = = xn-2 и x2 = xn. Очевидно, что такие наборы чисел являются решениями данной системы уравнений.

3.6. Пусть y = kx. Сразу отметим, что k = 1. Из уравнений x3 - k3x3 = 26, kx3y - k2x3 = 34 Глава 3. Системы уравнений 26 получаем x3 = и x3 =. Следовательно, 1 - k3 k - k26 =.

1 - k3 k - kЭто уравнение можно умножить на 1 - k. В результате получим 26 =, 1 + k + k2 k откуда k = 3 или. Поэтому x3 = -1 или x3 = 27. В итоге 1 ± i 3 получаем следующие решения: (-1, -3),, (1 ± i 3), (3, 1), 2 -3 ± 3i 3, (-1 ± i 3).

2 3.7. Рассмотрим сначала случай, когда b = 0. В этом случае последние два уравнения запишутся в виде z = -x - y и z2 = x2 + y2. Возведя первое из них в квадрат, получим xy = 0. Значит, x = 0, z = -y или y = 0, z = -x.

Первое уравнение исходной системы при этом выполняется.

Рассмотрим теперь случай, когда b = 0. Воспользуемся тождеством 3xyz - x3 - y3 - z3 = (x + y + z)(xy + yz + xz - x2 - y2 - z2).

Из первого и второго уравнений следует, что xy + yz + xz - x2 - y2 - z2 = b=. Возведя в квадрат уравнение x + y + z = 2b, получим x2 + y2 + z2 + + 2xy + 2yz + 2xz = 4b2. Следовательно, x2 + y2 + z2 = b2 и xy + yz + xz = = b2. Сравнивая первое из этих уравнений с последним уравнением исходной системы, получаем z = 0. Таким образом, x2 + y2 = b2 и xy = b2. Решая эту -1 -систему уравнений, находим x = 1 ± b, y = 1 b.

2 3.8. Запишем эти уравнения следующим образом:

x2 + y2 = 2z2 + 2a2, x + y = 4(a2 + 1) - 2z, -xy = a2 - z2.

Второе уравнение возведём в квадрат, прибавим к нему третье уравнение, умноженное на 2, и вычтем первое уравнение. В результате получим:

0 = 16(a2 + 1)2 - 16(a2 + 1)z, т.е. z = a2 + 1. Теперь второе и третье уравнения записываются так:

x + y = 2(a2 + 1), xy = a4 + a2 + 1.

Решение этой системы сводится к решению квадратного уравнения; решая его, находим x = a2 ± a + 1, y = a2 a + 1.

Глава 3. Системы уравнений 3.9. Пусть u = x + y и v = xy. Тогда u + v = 2 + 3 2 и u2 - 2v = 6, поэтому u2 + 2u = 6 + 2(2 + 3 = 10 + 6 2. Значит, u = -1 ± 11 + 6 2 = -1 (3 + 2) ± + 2), т.е. u = 2 + 2 или -4 - 2. При этом v = 2 + 3 2 - u = 2 2 или 6 + 2. Если u = - 2 и v = 6 + 4 2, то (x - y)2 = (x + y)2 - 4xy = (4 + 4 -+ 2)2 - 4(6 + 4 2) < 0. Поэтому x + y = + 2 и = 2 2. Эта система 2 xy уравнений имеет два решения: (x, y) = (2, 2) или ( 2, 2). Оба они являются решениями исходной системы уравнений.

3.10. Из второго уравнения следует, что если x = 0 или ±1, то y = ±или 0. Ясно также, что x = -1 и y = -1. Поэтому решений такого вида ровно два: x = 0, y = 1 и x = 1, y = 0. Покажем, что других решений нет.

Нас интересует случай, когда 0 < |x|, |y| < 1. В таком случае |x|3 + + |y|3 < x4 + y4 = 1. Поэтому если числа x и y оба положительны, то решений нет. Если оба эти числа отрицательны, то решений тоже нет. Пусть теперь, например, x > 0 и y < 0. Тогда x3 + y3 < x3 < 1. В этом случае решений тоже нет.

3.11. Из второго уравнения следует, что xy 1. Числа x и y не могут быть оба отрицательны, поскольку их сумма равна 2. Значит, числа x и y положительны и x + y 2 xy 2, причём равенство x + y = 2 возможно лишь в том случае, когда x = y = 1. В таком случае z = 0.

3.12. Умножим первое уравнение на y, второе на x и сложим полученные уравнения. В результате получим 2xy - 1 = 3y. В частности, y = 0, поэтому 3 x = +. Подставив это выражение во второе уравнение, после несложных 2 2y преобразований получим 4y4 - 3y2 - 1 = 0. Учитывая, что y2 0, получаем y2 = 1, т.е. y1 = 1 и y2 = -1. Этим значениям y соответствуют x1 = 2 и x2 = 1.

3.13. После циклической перенумерации неизвестных можно считать, что x1 xi (i = 2, 3, 4, 5). Функция f(x) = x5 монотонно возрастающая, поэтому 3x2 = (x4 + x5 + x1)5 (x3 + x4 + x5)5 = 3x1. Значит, x1 = x2 и x3 = x1. Кроме того, 3x4 = (x1 + x2 + x3)5 (x5 + x1 + x2)5 = 3x3. Значит, x4 = x3 и x5 = x3.

Мы получили, что x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x. Это число x должно удовлетворять уравнению (3x)5 = 3x. Получаем три решения: x = 0 или ±1/3.

3.14. У рассматриваемой системы есть решение x1 = x2 = x3 = 0. Ясно также, что если одно из чисел x1, x2, x3 равно нулю, то равны нулю и остальные два числа. Поэтому будем предполагать, что x1x2x3 = 0. Тогда 1 2 1 2 1 уравнения можно записать в виде 1 + =, 1 + =, 1 + =.

x2 x2 x2 x3 x2 x1 2 Сложив эти уравнения, получаем 2 2 1 1 1 - + 1 - + 1 - = 0.

x1 x2 xЗначит, x1 = x2 = x3 = 1.

36 Глава 3. Системы уравнений 3.15. Пусть xmin = xi наименьшее из чисел x1,..., x5, xmax = xj наибольшее. Тогда x2 = xi-2 + xi-1 2xmin (здесь подразумевается, что min x0 = x5 и x-= x4) и x2 = xj-+ xj- 2xmax. Числа xmin и xmax max положительны, поэтому xmin 2 xmax. Следовательно, xmin = xmax = 2.

3.16. О т в е т: число решений уменьшается до трёх при a = ±1, число решений уменьшается до двух при a = ± 2.

Из первого уравнения получаем y = ±x. Подставив это выражение во второе уравнение, получим (x - a)2 + x2 = 1. (1) Число решений системы уменьшается до трёх, если одно из решений уравнения (1) обращается в нуль. Подставив в (1) x = 0, получим a2 = 1, т.е.

a = ±1. Число решений системы уменьшается до двух, если уравнение (1) имеет единственный корень (т.е. два совпадающих корня). Приравнивая ну лю дискриминант уравнения (1), получаем a = ± 2.

3.17. О т в е т: x1 = x3 = x5 = 1, x2 = x4 = -1.

Запишем сначала первое уравнение, потом второе, из которого вычтено первое, потом третье, из которого вычтено второе, и т.д.:

x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 = 1, x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 = 1, x3 + 2x4 + 2x5 = 1, x4 + 2x5 = 1, x5 = 1.

Теперь можно последовательно найти x5, x4, x3, x2, x1.

3.18. О т в е т: x1 = -x8 = 1, x2 = -x7 = 2, x3 = -x6 = 3, x4 = -x5 = 4.

Сложив все уравнения, получим 3(x1 + x2 +... + x8) = 0. Затем сложим первое уравнение, четвёртое и седьмое. В результате получим 2x1 + x2 + x3 + +...+x8 = 1, а значит, x1 = 1. Остальные неизвестные находятся аналогично.

3.19. Рассмотрим многочлен P (t) = t3 + t2z + ty + x. Попарно различные числа a, b, c являются корнями многочлена P (t). Поэтому P (t) = = (t - a)(t - b)(t - c), а значит, x = -abc, y = ab + bc + ca, z = -(a + b + c).

3.20. Пользуясь тем, что числа a1,..., an попарно различны, построим многочлен P (t), который равен 0 при t = a2,..., an и равен 1 при t = a1. Для этого положим P (t) = (t - a2)... (t - an), где (a1 - a2)... (a1 - an) = 1, т.е.

=.

(a1 - a2)... (a1 - an) Запишем многочлен P (t) в виде P (t) = p0 + p1t +... + pn-1tn-1. Умножим первое уравнение из рассматриваемой системы на p0, второе на p1,..., последнее на pn-1. Сложив все эти уравнения, получим P (a1)x1 + P (a2)x2 + +... + P (an)xn = 0, т.е. x1 = 0. Аналогично доказывается, что x2 = 0,..., xn = 0.

Замечание. Более общее утверждение доказано в решении задачи 10.35.

Глава 3. Системы уравнений 3.21. О т в е т: y = -3x, z = 2x (x произвольное число).

Докажем, что указанная бесконечная система уравнений эквивалентна системе двух уравнений:

x + y + z = 0, 4x + 2y + z = 0.

Во-первых, если мы вычтем из первого уравнения второе уравнение, умноженное на, то получим n-е уравнение исходной системы. Во-вторых, уже 2n+из первых двух уравнений исходной системы 1 1 x 1 - + y 1 - + z 1 - = 0, 2 4 1 1 x 1 - + y 1 - + z 1 - = 4 8 следуют указанные два уравнения. Действительно, вычтя из первого уравнеx y z ния второе, получим + + = 0. Прибавив это уравнение ко второму 4 8 уравнению, получим x + y + z = 0.

3.22. Сложим все эти неравенства. Коэффициент при ak окажется равным 1-3+2 = 0. Таким образом, у нас есть набор неотрицательных чисел a1-3a2+ +2a3,..., сумма которых равна 0. Значит, каждое из чисел равно 0, т.е. у нас есть система не неравенств, а уравнений. Эти уравнения удобно переписать в виде (a1 - a2) + 2(a3 - a2) = 0, (a2 - a3) + 2(a4 - a3) = 0,......

(a100 - a1) + 2(a2 - a1) = 0.

Из этих уравнений последовательно получаем a2 - a3 = (a1 - a2)/2, a3 - a4 = = (a2 - a3)/2 = (a1 - a2)/22,..., a1 - a2 = (a100 - a1)/2 = (a1 - a2)/2100.

Последнее равенство возможно лишь при a1 = a2. Но тогда a2 = a3, a3 = a4,..., a100 = a1.

3.23. О т в е т: x1 = x2 =... = x7 = 0.

Запишем уравнения рассматриваемой системы в виде aijxi = 0. Коi= эффициенты aij обладают следующим свойством: |ajj| > |aij| для кажi =j дого j. Пусть x1,..., x7 решение рассматриваемой системы. Предположим, что хотя бы одно из чисел x1,..., x7 отлично от нуля. Пусть xk наибольшее по абсолютной величине из этих чисел. Тогда |akkxk| > | aikxi|, поэтому i =k равенство aikxi = 0 не может выполняться. Приходим к противоречию.

i=3.24. Если a 0, то запишем первое уравнение в виде x1 = x2 + a, а если a < 0, то запишем его в виде x2 = x1 - a. Во втором случае сделаем замену x = x2, x = x1. Таким образом, можно считать, что x1 = x2 + a и a 0.

1 Аналогично можно считать, что x3 = x4 + b и b 0. Поэтому если данная 38 Глава 3. Системы уравнений система имеет положительное решение, то 1 = x1 + x2 + x3 + x4 = 2x2 + 2x4 + +a+b > a+b (если хотя бы одно из чисел a, b отрицательное, то мы получаем неравенство 1 > |a| + |b|).

Предположим теперь, что a + b < 1, причём числа a и b неотрицательные.

Тогда можно положить x2 = x4 = (1 - a - b)/4, x1 = x2 + a, x3 = x4 + b. В результате получим положительное решение данной системы.

3.25. Начинающий первым ходом записывает произвольный коэффициент при z в первом уравнении. Затем на ход второго он отвечает следующим образом. Если второй записывает какой-то коэффициент при x или при y, то первый записывает в том же самом уравнении при y или при x такой же коэффициент. Если же второй записывает какой-то коэффициент при z, то первый записывает произвольный коэффициент при z в оставшемся уравнении. Полученная система имеет решение (1, -1, 0).

Глава 4.

Делимость 4.1. Чёт и нечёт 4.1. Можно ли в равенстве 1 2 3... 10 = 0 вместо звёздочек поставить знаки плюс и минус так, чтобы получилось верное равенство 4.2. Докажите, что количество различных делителей натурального числа n (включая 1 и само число) нечётно тогда и только тогда, когда это число является полным квадратом.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.