WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 34 | 35 || 37 | 38 |   ...   | 65 |

Функция f является суммой двух монотонных функций, поэтому существуют односторонние пределы f(x0+) и f(x0-). Из определения функции V следует, что если x0 < x b, то |f(x) - f(x0)| V (x) - V (x0), поэтому |f(x0+) - f(x0)| V (x0+) - V (x0) = 0, т.е. f(x0+) = f(x0). Аналогично доказывается, что f(x0-) = f(x0).

Предположим теперь, что функция f непрерывна в точке x0 (a, b).

Тогда для заданного > 0 существует такое > 0, что если |x - x0| <, то |f(x)-f(x0)| < /2. Для того же самого существует такое разбиение отрезка [x0, b], что m V (b) - V (x0) < |f(xk+1) - f(xk)| + /2. (1) k=Выражение, стоящее в правой части неравенства, при измельчении разбиения не уменьшается, поэтому можно считать, что x0 < x1 < x0 +. В таком случае m m |f(xk+1)-f(xk)| = |f(x1)-f(x0)|+ |f(xk+1)-f(xk)| /2+(V (b)-V (x1)).

k=0 k=(2) Глава 26. Непрерывные и разрывные функции Сравнивая неравенства (1) и (2), получаем V (x1) - V (x0) <. Ясно также, что V (x1) V (x0). Следовательно, V (x0+) = V (x0). Аналогично V (x0-) = = V (x0). Если x0 = a или x0 = b, то нужно рассматривать только один из односторонних пределов.

Глава 27.

Логарифм и показательная функция 27.1. Определение показательной функции и логарифма Определим сначала показательную функцию ax для рациональных x. (Показательную функцию мы определяем только для положительных a.) Пусть a > 0 и x = p/q, где p и q натуральные числа. Опреде q лим ax как ap, где имеется виду арифметическое (положительное) в nq q значение корня. Ясно, что anp = ap. Действительно, это равенство эквивалентно равенству (anp)q = (ap)nq. При x < 0 мы полагаем ax = = 1/a-x.

1 27.1. а) Пусть a > 1. Докажите, что если x1 > x2, то ax > ax.

1 б) Пусть a < 1. Докажите, что если x1 > x2, то ax < ax.

27.2. Пусть a > 1. Докажите, что ax может быть сколь угодно велико, если x достаточно велико.

1 1 27.3. Докажите, что ax +x2 = ax ax.

27.4. Докажите, что ax = (ax) для любого рационального.

27.5. Пусть a положительное число, {xn} последовательность рациональных чисел, причём limn xn = 0. Докажите, что n limn ax = 1.

27.6. Докажите, что если существует предел limn xn = x, где {xn} последовательность рациональных чисел, то существует предел Глава 27. Логарифм и показательная функция n limn ax, причём этот предел зависит только от x.

Пусть a положительное число. Определим ax для произвольного x следующим образом. Пусть {xn} последовательность рациональных n чисел, сходящаяся к x. Положим ax = limn ax.

27.7. а) Пусть a > 1. Докажите, что если x > y, то ax > ay.

б) Пусть a < 1. Докажите, что если x > y, то ax < ay.

27.8. Докажите, что если limn xn = x, где {xn} последовательность произвольных (не обязательно рациональных) чисел, то n limn ax = ax.

1 1 27.9. Докажите, что ax +x2 = ax ax для произвольных (не обязательно рациональных) чисел x1 и x2.

27.10. Пусть a положительное число, причём a = 1. Докажите, что для любого положительного числа x существует единственное число y, для которого ay = x.

Пусть a и x положительные числа, причём a = 1. Логарифм x по основанию a это число y = loga x, для которого ay = x. Для логарифмов по основанию 10 используется обозначение lg, а для логарифмов по основанию e используется обозначение ln.

27.11. Докажите, что функция f(x) = loga x непрерывна.

27.12. Докажите, что loga(x1x2) = loga x1 + loga x2.

27.2. Показательная функция 27.13. Решите уравнение 52x-1 + 5x+1 = 250.

27.14. Решите уравнение 6x - 2x = 32.

27.15. Сколько цифр имеет число 2100 27.3. Тождества для логарифмов logb x 27.16. а) Докажите, что loga x =.

logb a б) Докажите, что loga b =.

logb a 27.17. Предположим, что a2 + b2 = 7ab и ab = 0. Докажите, что a + b lg = (lg |a| + lg |b|).

3 294 Глава 27. Логарифм и показательная функция 27.4. Неравенства и сравнения чисел 27.18. Докажите, что 1 2 < +.

log2 log27.19. Докажите, что 3/10 < lg 2 < 1/3.

27.20. Сравните числа loga-1 a и loga(a + 1), где a > 1.

27.21. Сравните числа log2 3 и log3 5.

27.22. Сравните числа log20 80 и log80 640.

27.23. Сравните числа log5 7 и log13 17.

27.24. Сравните числа log3 7 и log7 27.

27.5. Иррациональность логарифмов 27.25. Докажите, что следующие числа иррациональны: а) log2 3;

б) log2 3; в) log5+32(3 + 5 2).

27.26. Приведите пример положительных иррациональных чисел a и b, для которых число ab целое.

27.6. Некоторые замечательные пределы x 27.27. Докажите, что limx± 1 + = e.

x ln(1 + x) 27.28. Докажите, что limx0 = 1.

x (1 + x)a - 27.29. Докажите, что limx0 = a для любого вещественx ного a.

ax - 27.30. Докажите, что limx0 = ln a для любого положительx ного a.

27.7. Гиперболические функции Такую же роль, какую играют для окружности тригонометрические функции, для гиперболы x2 - y2 = 1 играют гиперболические функции:

ex - e-x sh x = (гиперболический синус);

Глава 27. Логарифм и показательная функция ex + e-x ch x = (гиперболический косинус);

ex - e-x th x = (гиперболический тангенс);

ex + e-x ex + e-x cth x = (гиперболический котангенс).

ex - e-x Очевидно, что sh(-x) = - sh x и ch(-x) = ch x.

27.31. Докажите, что точка с координатами x = ch t, y = sh t лежит на гиперболе x2 - y2 = 1.

27.32. Докажите, что sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y, ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y.

Обратные гиперболические функции определяются следующим образом:

если x = sh y, то y = Arsh x (ареасинус1 гиперболический);

если x = ch y, то y = Arch x (ареакосинус гиперболический) ;

если x = th y, то y = Arth x (ареатангенс гиперболический) ;

если x = cth y, то y = Arcth x (ареакотангенс гиперболический).

27.33. Докажите, что Arsh x = ln(x + x2 + 1);

Arch x = ln(x ± x2 - 1) = ± ln(x + x2 - 1);

1 1 + x Arth x = ln.

2 1 - x Гиперболической амплитудой числа x называют угол (-/2 < < /2), для которого sh x = tg.

27.34. Докажите следующие свойства гиперболической амплитуды:

а) ch x = 1/ cos ;

б) th(x/2) = tg(/2).

Решения 27.1. а) Можно считать, что x1 = p1/q и x2 = p2/q. Тогда ap1 > ap2, поскольку a > 1. Для положительных чисел и неравенство > эквивалентно неравенству q > q. Поэтому ap1/q > ap2/q.

От латинского area площадь.

296 Глава 27. Логарифм и показательная функция б) Решение аналогично, но в этом случае ap1 < ap2, поскольку a < 1.

27.2. Положим a = 1 +, где > 0. Тогда n(n - 1) (1 + )n = 1 + n + 2 +... > n.

Поэтому если n > y/, то an > y.

27.3. Можно считать, что x1 = p1/q и x2 p2/q. Ясно, что ap1+p2 = = q q q = ap1ap2. Поэтому ax1+x2 = ap1+p2 = ap1 · ap2 = ax1ax2.

27.4. Для натурального это следует из задачи 27.3. Если = p/q, то достаточно извлечь корень степени q из обеих частей равенства apx = (ax)p.

27.5. Рассмотрим сначала следующий частный случай: xn = 1/n. В этом случае требуемое утверждение доказано в решении задачи 25.20.

Для исходной последовательности {xn} можно построить последователь1 ность натуральных чисел kn так, что - < xn <. Тогда kn kn a-1/kn < axn < a1/kn при a > 1 и a1/kn < axn < a-1/kn при a < 1. Остаётся заметить, что limn a1/kn = 1 = limn a-1/kn.

Замечание. Не обращаясь к задаче 25.20, равенство limn a1/n = 1 можно доказать следующим образом. Достаточно рассмотреть случай, когда a > 1. Согласно задаче 27.1 последовательность {a1/n} монотонна. Ясно также, что эта последовательность ограничена, поэтому она имеет некоторый предел limn a1/n = c. Её подпоследовательность {a1/(2n)} имеет тот же самый предел, поэтому c = c2, так как a1/n = (a1/(2n))2. Таким образом, c = 0 или 1. Но a1/n 1, поэтому c 1.

27.6. Будем считать, что a > 1; случай a < 1 разбирается аналогично.

Рассмотрим вспомогательные последовательности рациональных чисел {x } n и {x }, сходящиеся к x, причём {x } монотонно возрастает, а {x } моноn n n тонно убывает. Согласно задаче 27.1 последовательность {axn} монотонно возрастает. Эта последовательность ограничена, поэтому существует предел limn axn = c. Аналогично существует предел limn axn = c. Ясно, что x - x 0, поэтому согласно задаче 27.5 c /c = limn axn-xn = 1, т.е.

n n c = c = c.

Теперь для исходной последовательности {xn} мы можем выбрать последовательность натуральных чисел kn так, что x < xn < x. Поэтому kn kn limn axn = c. Число c зависит только от x.

27.7. а) Выберем рациональные числа p и q так, что x > p > q > y.

Тогда можно выбрать последовательности рациональных чисел {xn} и {yn} так, что они сходятся к x и y и при этом xn p и yn q для всех n.

Согласно задаче 27.1 имеют место неравенства axn ap aq ayn, поэтому ax ap aq ay.

б) Решается аналогично.

Глава 27. Логарифм и показательная функция 27.8. Решение аналогично решению задачи 27.6. Мы снова выбираем такие же последовательности {x } и {x }. Согласно задаче 27.7 из нераn n венств x < xn < x следуют неравенства axkn < axn < axkn, а потому kn kn limn axn = c = ax.

27.9. Соотношение ax1+x2 = ax1ax2 для произвольных чисел следует из аналогичного соотношения для рациональных чисел (задача 27.3), поскольку функция f(x) = ax непрерывна (задача 27.8).

27.10. Функция f(x) = ax непрерывна (задача 27.8) и монотонна (это легко вывести из утверждения задачи 27.1, воспользовавшись непрерывностью функции f). Кроме того, согласно задаче 27.2 число ay может быть как сколь угодно велико, так и сколь угодно близко к нулю (для доказательства последнего утверждения нужно заметить, что a-y = 1/ay). Поэтому согласно теореме о промежуточном значении для любого x > 0 найдётся такое число y, что ay = x. Единственность числа y следует из монотонности функции f.

27.11. Докажем непрерывность в точке x0 = ay0, где y0 = loga x0. Для заданного > 0 возьмём в качестве наименьшее из двух положительных чисел |ay0 - ay0+| и |ay0 - ay0-|. Функция g(y) = ay монотонна, поэтому из неравенства |ay0 - ay| < следует неравенство |y0 - y| <, т.е. из неравенства |x0 - x| < следует неравенство | loga x0 - loga x| <.

27.12. Это следует из соответствующего свойства показательной функции: ay1+y2 = ay1ay2 (задача 27.9).

27.13. О т в е т: x = 2. Функция f(x) = 52x-1 + 5x+1 монотонно возрастает, поэтому она принимает значение 250 лишь при одном значении x. Ясно также, что f(2) = 53 + 53 = 250.

27.14. О т в е т: x = 2. Поделив обе части уравнения на 2x = 0, перейдём к уравнению 3x - 2 = 32 · 2-x. Функция f(x) = 3x - 2 монотонно возрастает, а функция g(x) = 32 · 2-x монотонно убывает. Поэтому уравнение f(x) = g(x) не может иметь больше одного решения. А одно решение легко угадывается.

27.15. О т в е т: 31 цифру. Ясно, что 2100 = (1024)10 > 100010, поэтому число 2100 имеет не меньше 31 цифры. С другой стороны, 10 102410 1025 41 41 40 39 32 < = < · ·... = < 10;

100010 1000 40 40 39 38 31 Таким образом, 2100 = (1024)10 < 10·100010, поэтому число 2100 имеет меньше 32 цифр.

27.16. а) По определению aloga x = x. Прологарифмировав обе части этого равенства по основанию b, получим loga x · logb a = logb x.

б) Запишем тождество из задачи а) для x = b и заметим, что logb b = 1.

(a + b)27.17. Требуемое равенство можно переписать в виде lg = lg ab (мы воспользовались тем, что ab > 0). Из условия следует, что (a + b)2 = a2 + + b2 + 2ab = 7ab + 2ab = 9ab.

298 Глава 27. Логарифм и показательная функция lg 2 lg 27.18. Правая часть требуемого неравенства равна +. Поэтому lg lg нужно доказать, что 2 lg < lg 2 + lg 5, т.е. lg(2) < lg 10. Остаётся заметить, что 2 < 9, 87 (задача 33.4).

27.19. Неравенство 3/10 < lg 2 эквивалентно тому, что 103 < 210 = 1024, а неравенство lg 2 < 1/3 эквивалентно тому, что 8 = 23 < 10.

27.20. Неравенство (a-1)(a+1) < a2 показывает, что loga(a-1)+loga(a+ + 1) < 2. С другой стороны, loga(a - 1) + loga(a + 1) > 2 loga(a - 1) loga(a + 1).

Поэтому loga(a - 1) loga(a + 1) < 1, т.е. loga-1 a > loga(a + 1).

27.21. Пусть a = log2 3 и b = log3 5. Тогда 2a = 3, поэтому 8a = 33 > 52 = = 9b > 8b. Значит, log2 3 > log3 5.

27.22. Ясно, что log20 80 = 1 + 2 log20 2 и log80 640 = 1 + 3 log80 2.

1 Далее, log20 2 = и log80 2 =. Кроме того, 3 log2 20 = log2 20 log2 = log2 8000 > log2 6400 = 2 log2 80. Поэтому log20 80 < log80 640.

7 27.23. Ясно, что log5 7 - 1 = log5 и log13 17 - 1 = log13. Легко прове5 7 17 7 7 рить, что >. Поэтому log5 > log13 > log13. В итоге получаем, что 5 13 5 5 log5 7 > log13 17.

27.24. Ясно, что log7 27 = 3 log7 3 =. Покажем, что (log3 7)2 > 3, т.е.

log3 log3 7 > 3. Легко проверить, что 3 < 7/4. Поэтому неравенство 7 > следует из неравенства 74 > 37, т.е. 2401 > 2187 В итоге получаем, что log3 7 > log7 27.

27.25. а) Предположим, что log2 3 = p/q, где p и q натуральные числа.

Тогда 2p/q = 3, т.е. 2p = 3q. Этого не может быть.

б) Предположим, что log2 3 = p/q, где p и q натуральные числа. Тогда ( 2)p/q = 3, т.е. 2p = 32q. Этого не может быть.

в) Эта задача эквивалентна задаче 6.25.

27.26. Положим a = 2 и b = log2 3. Числа a и b иррациональные (за дачи 6.16 и 27.25). При этом ab = ( 2)log 2 3 = 3.

n 27.27. Мы воспользуемся тем, что limn 1 + = e (задача 25.37).

n Для каждого x 1 можно выбрать натуральное число n так, что n x < n+ + 1. Тогда x n+1 n 1 1 1 1 + < 1 + = 1 + 1 +, x n n n x n n+1 -1 1 1 1 + > 1 + = 1 + 1 +.

x n + 1 n + 1 n При n пределы правых частей обоих неравенств равны e.

Глава 27. Логарифм и показательная функция Докажем теперь, что при x - предел получается тот же самый. Для этого положим y = -x и заметим, что -y y y-1 1 y 1 1 - = = 1 + 1 +.

y y - 1 y - 1 y - При y правая часть стремится к e.

27.28. Согласно задаче 27.27 limx0(1 + x)1/x = e. Из этого, воспользовавшись непрерывностью логарифма, получаем limx0 ln(1 + x) = 1.

x 27.29. Пусть (1 + x)a = 1 + y. Тогда y 0 при x 0. Далее, a ln(1 + x) = = ln(1 + y). Поэтому (1 + x)a - 1 y y a ln(1 + x) = = ·.

x x ln(1 + y) x Воспользовавшись пределом из задачи 27.28, получаем требуемое.

ln(1 + y) 27.30. Пусть ax - 1 = y. Тогда y 0 при x 0. Кроме того, x =.

ln a ax - 1 y Поэтому = · ln a. Воспользовавшись пределом из задачи 27.28, x ln(1 + y) получаем требуемое.

27.31. Формула для разности квадратов показывает, что 2 et + e-t et - e-t - = et · e-t = 1.

2 27.32. Ясно, что 4 sh x ch y = ex+y + ex-y - e-x+y - e-x-y, 4 ch x sh y = ex+y - ex-y + e-x+y - e-x-y, Из этого легко получается первое равенство. Второе равенство доказывается аналогично.

ey - e-y 27.33. Пусть y = Arsh x. Тогда x = sh y =. Поэтому e2y -2xey -1 = 0. Решая это квадратное уравнение относительно ey, получаем ey = x± x2 + 1. Но ey 0, поэтому ey = x+ x2 + 1, т.е. y = ln(x+ x2 + 1).

Pages:     | 1 |   ...   | 34 | 35 || 37 | 38 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.