WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 33 | 34 || 36 | 37 |   ...   | 65 |

26.13. Функция f(x) непрерывна на отрезке [0, 1] и принимает значения из того же отрезка. Докажите, что f(x) = x для некоторой точки x этого отрезка.

26.14. Существует ли функция, непрерывная на отрезке [0, 1], которая в рациональных точках принимает иррациональные значения, а в иррациональных рациональные, и при этом все значения принадлежат отрезку [0, 1] 26.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке 26.15. Докажите, что функция f(x), непрерывная на отрезке [a, b], ограничена на этом отрезке, т.е. множество всех значений f(x) для x из отрезка [a, b] ограниченное множество.

26.16. Функция непрерывна на интервале (a, b). Верно ли, что она ограничена на этом интервале 26.17. Докажите, что функция f(x), непрерывная на отрезке [a, b], достигает максимума и минимума в некоторых точках этого отрезка.

(Вейерштрасс) 284 Глава 26. Непрерывные и разрывные функции 26.7. Выпуклые функции Функцию f(x), определённую на отрезке [a, b], называют выпуклой, если x1 + x2 f(x1) + f(x2) f (1) 2 для всех x1 и x2, лежащих на отрезке [a, b].

С геометрической точки зрения неравенство (1) означает, что середина любой хорды кривой y = f(x) лежит над этой кривой (или на самой кривой).

Функцию f(x) называют вогнутой, если функция -f(x) выпукла.

26.18. Докажите, что функция f(x) выпукла на отрезке [a, b] тогда и только тогда, когда для любого n и любых точек x1,..., xn из этого отрезка имеет место неравенство x1 + x2 +... + xn f(x1) + f(x2) +... + f(xn) f. (2) n n 26.19. Пусть f(x) выпуклая функция, p и q положительные числа, сумма которых равна 1.

а) Докажите, что если числа p и q рациональные, то f(px1 + + qx2) pf(x1) + qf(x2).

б) Докажите, что если функция f(x) непрерывная, то f(px1 + + qx2) pf(x1) + qf(x2).

26.20. Пусть f(x) выпуклая функция, 1,..., n положительные числа, сумма которых равна 1.

а) Докажите, что если числа 1,..., n рациональные, то f(1x1 +... + nxn) 1f(x1) +... + nf(xn).

б) Докажите, что если функция f(x) непрерывная, то f(1x1 +... + nxn) 1f(x1) +... + nf(xn) (неравенство Йенсена).

26.21. Докажите, что функция f(x) = ln x вогнута на интервале (0, +).

26.22. Докажите неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел x1,..., xn:

x1 +... + xn n x1 ·... · xn.

n 26.23. Докажите, что если A, B, p и q положительные числа, 1 1 A B причём + = 1, то A1/pB1/q +.

p q p q Глава 26. Непрерывные и разрывные функции 26.8. Равномерная непрерывность Пусть множество D содержится в области определения функции f(x). Функцию f(x) называют равномерно непрерывной на множестве D, если для любого > 0 можно выбрать > 0 так, что для любых x1 и x2 из D неравенство |x1 - x2| < влечёт неравенство |f(x1) - f(x2)| <.

Отличие от обычной непрерывности заключается в том, что число одно и то же для всех точек области D. Ясно, что из равномерной непрерывности следует обычная непрерывность. Обратное, вообще говоря, неверно.

26.24. а) Приведите пример непрерывной функции на множестве всех действительных чисел, которая не является равномерно непрерывной.

б) Приведите пример непрерывной функции на интервале (0, 1), которая не является равномерно непрерывной.

26.25. Докажите, что любая функция f(x), непрерывная на отрезке [a, b], является равномерно непрерывной на этом отрезке.

26.9. Функции ограниченной вариации Пусть f ограниченная функция на отрезке [a, b]. Вариация Varb (f) функции f на отрезке [a, b] определяется как точная верхняя a m грань сумм вида |f(xk+1) - f(xk)| для всевозможных наборов тоk=чек x0 = a < x1 <... < xm < b = xm+1. Если Varb (f) <, то говорят, a что f функция ограниченной вариации на отрезке [a, b].

26.26. Пусть f(x) = x sin(1/x) при x = 0, f(0) = 0. Докажите, что на отрезке [0, 1] функция f непрерывна, но не является функцией ограниченной вариации.

26.27. Докажите, что функция f, определённая на отрезке [a, b], является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда её можно представить в виде разности двух неубывающих функций.

26.28. Пусть f функция ограниченной вариации на отрезке [a, b].

Для x [a, b] рассмотрим функцию V (x) = Varx(f) (предполагается, a то V (a) = 0). Докажите, что функция f непрерывна в точке x0 [a, b] тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывна функция V.

286 Глава 26. Непрерывные и разрывные функции Решения 26.1. О т в е т: x+y = 2. Функция f(x) = x3-3x2+5x = (x-1)3+2(x-1)+монотонно возрастает, поэтому для каждого вещественного числа c уравнение f(x) = c имеет ровно одно вещественное решение.

Функция f(x) - 3 обладает следующим свойством: если x - 1 = 1 - y, то f(x) - 3 = - f(y) - 3. Из монотонности функции f следует, что верно и обратное, т.е. если f(x) - 3 = - f(y) - 3, то x - 1 = 1 - y, т.е. x + y = 2. В рассматриваемом случае f(x) = 1 и f(y) = 5, поэтому указанное равенство выполняется.

26.2. Предположим, что T период функции f(x). Тогда f(T ) = f(0) = = 1 + a. Значит, cos T = 1 и cos T = 1, т.е. T = 2m и T = 2n, где m и n целые числа. Поэтому = n/m, что противоречит иррациональности.

26.3. Предположим, что у функции f(x) в точке x0 есть два предела: a и b, причём a = b. Для = |a - b| выберем 1 и 2 так, что |f(x) - a| < при |x - x0| < 1 и |f(x) - b| < при |x - x0| < 2. Тогда если x = x0 и |x - x0| < min(1, 2), то |a - b| |f(x) - a| + |f(x) - b| < 2 = |a - b|. Приходим к противоречию.

26.4. Предположим сначала, что limxx0 f(x) = a. Для заданного > выберем > 0 так, что из неравенства |x - x0| < следует неравенство |f(x) - a| <. Затем для данной последовательности {an}, сходящейся к x0, выберем N так, что |an - x0| < при n > N. Тогда |f(an) - a| <, поэтому limn f(an) = a.

Предположим теперь, что равенство limxx0 f(x) = a не имеет места.

Тогда существует > 0, обладающее следующим свойством: для любого > существует x = x0, для которого |x - x0| <, но |f(x) - a| >. Для = 1/n соответствующее x обозначим an. В результате получим последовательность {an}, для которой limn an = x0, но равенство limn f(an) = a не имеет места.

26.5. Согласно задаче 26.4 эти свойства пределов функций следуют из соответствующих свойств пределов последовательностей (задача 25.2).

sin 26.6. Согласно задаче 11.1 cos < < 1 при 0 < < /2. Такие же неравенства верны и при -/2 < < 0, поскольку cos(-) = cos и sin(-) sin =. Остаётся заметить, что lim0 = cos 0 = 1.

cos - 26.7. Воспользуемся задачей 26.5. Ясно, что limxx0 x = x0, поэтому, применив индукцию по n, получим limxx0 xn = xn. Значит, lim (anxn + an-1xn-1 +... + a0) = anxn + an-1xn-1 +... + a0.

0 xxЕсли Q(x0) = 0, то limxx0 P (x)/Q(x) = P (x0)/Q(x0).

26.8. Для данного > 0 выберем > 0 так, что если |y - y0| <, то |g(y) - g(y0)| <. Затем для 1 = выберем 1 так, что если |x - x0| < 1, Глава 26. Непрерывные и разрывные функции то |f(x) - f(x1)| < 1. Для данного > 0 мы выбрали 1 > 0 так, что если |x - x0| < 1, то |g f(x) - g f(x0) | <.

26.9. Ясно, что sin(x + ) - sin x = 2 sin cos x +.

2 Поэтому достаточно доказать, что limt0 sin t = 0. Но если |t| < /2, то | sin t| < |t| согласно задаче 11.1.

26.10. Ясно, что функция f(x) непрерывна во всех точках x = 0. Прове рим, что функция f(x) непрерывна в точке x = 0, т.е. для любого > 0 можно выбрать > 0 так, что если |x| <, то |f(x)| <. Но |f(x)| = |x sin | |x|.

x Поэтому можно положить =.

26.11. Пусть для определённости f(a) > 0 и f(b) < 0. Построим последовательности {an} и {bn} следующим образом. Положим a1 = a и b1 = b.

Пусть c середина отрезка [a, b]. Если f(c) < 0, то положим a2 = a1 и b2 = = c; если же f(c) > 0, то положим a2 = c и b2 = b1 (мы предполагаем, что f(c) = 0, поскольку иначе доказательство немедленно завершается). Затем берём середину отрезка [a2, b2] и повторяем то же самое и т.д. В результате получим неубывающую последовательность {an} и невозрастающую последовательность {bn}. Эти последовательности ограничены и limn(bn-an) = 0.

Поэтому по теореме Вейерштрасса limn an = x0 = limn bn. По построению f(an) 0 для всех n. Функция f(x) непрерывна, поэтому f(x0) 0. С другой стороны, f(bn) 0, поэтому f(x0) 0. Значит, f(x0) = 0. Ясно также, что a x0 b.

26.12. а) Если f непрерывная функция и уравнение f(x) = x не имеет вещественных решений, то либо f(x) > x для всех x, либо f(x) < x для всех x. В первом случае f(f(x)) < f(x) < x, а во втором случае f(f(x)) > f(x) > x.

б) Если f и g непрерывные функции и уравнение f(x) = g(x) не имеет вещественных решений, то либо f(x) > g(x) для всех x, либо f(x) < g(x) для всех x. В первом случае f(f(x)) > g(f(x)) = f(g(x)) > g(g(x)). Во втором случае f(f(x)) < g(g(x)).

26.13. Рассмотрим вспомогательную функцию (x) = f(x) - x. Ясно, что (0) = f(0) 0 и (1) = f(1) - 1 0. Поэтому (x) = 0 для некоторой точки x отрезка [0, 1]. В таком случае f(x) = x.

26.14. О т в е т: нет, не существует. Действительно, если f требуемая функция, то f(x) = x для любой точки x отрезка [0, 1]. Но согласно зада че 26.13 таких непрерывных функций нет.

26.15. Докажем, что функция f(x) ограничена сверху (ограниченность снизу доказывается аналогично). Предположим, что для любого натурального n на отрезке [a, b] есть точка xn, для которой f(xn) > n. Согласно задаче 25.12 из ограниченной последовательности {xn} можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {xnk}. Пусть limn xnk = x0 (ясно, что 288 Глава 26. Непрерывные и разрывные функции a x0 b). Тогда limn f(xnk) = f(x0). Но это противоречит тому, что f(xnk) > nk.

26.16. О т в е т: нет, не верно. Функция f(x) = 1/x непрерывна на интервале (0, 1), но она не ограничена сверху.

26.17. Докажем, что на отрезке [a, b] существует точка x0, для которой f(x0) = M, где M точная верхняя грань множества чисел f(x) для всех точек x отрезка [a, b]. (Для точной нижней грани доказательство аналогично.) Прежде всего заметим, что множество значений функции f(x) ограничено (задача 26.15), поэтому точная верхняя грань M существует (задача 25.45).

Следовательно, можно выбрать последовательность точек xn отрезка [a, b] так, что M - f(xn) M. Выберем из ограниченной последовательности n {xn} сходящуюся подпоследовательность {xnk }. Если limk xnk = x0, то a x0 b и f(x0) = M.

26.18. Достаточно доказать, что из неравенства (1) следует неравенство (2) для любого n. Если выполняется неравенство (1), то x1 + x2 + x3 + x4 x1 + x2 x3 + x4f 2f + 2f 4 2 f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4).

Аналогично доказывается, что неравенство выполняется для любого n = 2m.

Остаётся доказать, что если неравенство выполняется для n, то оно выполняется и для n - 1. Пусть даны числа x1,..., xn-1. Положим xn = = (x1 +... + xn-1). Тогда n - (n - 1)xn + xn x1 +... + xn-1 + xn f(xn) = f = f n n f(x1) +... + f(xn-1) + f(xn).

n f(x1) +... + f(xn-1) Следовательно, f(xn), что и требовалось.

n - m n - m 26.19. а) Если числа p и q рациональные, то p = и q =, где m, n n n и n - m натуральные числа. Применим неравенство из задачи 26.18 для чисел x1,..., x1, x2,..., x2 (m чисел x1 и n - m чисел x2). В результате получим требуемое.

б) Следует из задачи а), поскольку любое число является пределом последовательности рациональных чисел.

26.20. Решение аналогично решению задачи 26.19.

Требуется доказать, что если x1, x2 > 0, то 26.21.

x1 + x2 ln x1 + ln xln. Это неравенство эквивалентно неравенству 2 x1 + x2 ln x1 + ln x exp = x1x2.

2 Глава 26. Непрерывные и разрывные функции 26.22. Функция f(x) = ln x вогнута (задача 26.21). Поэтому согласно неравенству Йенсена x1 +... + xn ln x1 +... + ln xn ln.

n n Это неравенство эквивалентно требуемому.

Замечание. По поводу других доказательств неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим см. задачи 8.14 и 13.10.

26.23. Функция f(x) = ln x вогнута (задача 26.21). Поэтому согласно неравенству Йенсена A B 1 ln + ln A + ln B.

p q p q Это неравенство эквивалентно требуемому.

Замечание. Другое доказательство приведено в решении задачи 8.45.

26.24. а) Функция f(x) = x2 на множестве всех действительных чисел не является равномерно непрерывной. Действительно, если бы эта функция была равномерно непрерывной, то тогда для любого > 0 можно было бы выбрать > 0 так, что для любого x выполняется неравенство x x + - x2 <, т.е. + <. Но если x достаточно велико, то это 2 неравенство не может выполняться.

б) Функция f(x) = 1/x на интервале (0, 1) не является равномерно непрерывной. Действительно, предположим, что для любого > мы выбрали 1 > 0 так, что - < для всех x из интервала 0, 1 -. Это x x + (/2) x.

неравенство можно переписать в виде < x + При x 0 получаем 2 0. Приходим к противоречию.

26.25. Предположим, что функция f(x) на отрезке [a, b] является непрерывной, но не равномерно непрерывной. Тогда существует такое положительное число 0, что для любого > 0 найдутся точки x () и x () из отрезка [a, b], обладающие следующими свойствами: |x () - x ()| < и |f(x ()) - f(x ())| 0. Положим x = x (1/n) и x = x (1/n). Из ограn n ниченной последовательности {x } можно выбрать подпоследовательность n {x }, сходящуюся к некоторой точке x0 отрезка [a, b] (задача 25.12). Неравенnk ство |x -x | < показывает, что подпоследовательность {x } тоже сходитn n nk n ся к точке x0. Из непрерывности функции f(x) следует, что f(x ) f(x0) и nk f(x ) f(x0). Но это противоречит неравенству |f(x ()) - f(x ())| 0.

nk 290 Глава 26. Непрерывные и разрывные функции 26.26. Непрерывность функции f(x) доказана в решении задачи 26.10.

2 1 2 1 2 1 2 Пусть x1 =, x2 =, x3 =, x4 =, x5 =, x6 =, x7 =, x8 =, 3 2 5 3 7... Тогда f(x2k) = 0, поэтому 2 2 2 |f(xk+1 - f(xk)| = + + + +...

3 5 k=Этот ряд расходится (задача 30.7).

26.27. Ясно, что если функция g неубывающая или невозрастающая, то Varb (g) = |g(a) - g(b)|; в частности, g функция ограниченной вариации.

a Ясно также, что если g1 и g2 функции ограниченной вариации, то f = g1 + + g2 тоже функция ограниченной вариации.

m Рассмотрим сумму v = |f(xk+1) - f(xk)|. Пусть p сумма тех слаk=гаемых, для которых f(xk+1) - f(xk) > 0, а (-n) сумма тех слагаемых, для которых f(xk+1) - f(xk) < 0. Тогда v = p + n и f(b) - f(a) = p - n, поэтому v = 2p + f(a) - f(b) = 2n + f(b) - f(a).

Пусть V, P и N точные верхние грани чисел v, p и n для всех наборов точек x0 = a < x1 <... < xm < b = xm+1. Аналогично определим числа V (x), P (x) и N(x), заменив отрезок [a, b] на отрезок [a, x]. Ясно, что P (x) и N(x) неубывающие функции на отрезке [a, b]. Ясно также, что V (x) = 2P (x) + f(a) - f(x) = 2N(x) + f(x) - f(a), поэтому f(x) = f(a) + P (x) - N(x). Обе функции f(a) + P (x) и N(x) неубывающие.

26.28. Предположим сначала, что функция V непрерывна в точке x0.

Pages:     | 1 |   ...   | 33 | 34 || 36 | 37 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.