WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 32 | 33 || 35 | 36 |   ...   | 65 |

n - 1 n - 1 n - n n - 1 = =.

1 n-n 1 2 n-n(3n-1)/2n + +...+ n n 1 + n +... + n n n n n n -n+n - 2n Если n 3, то n n-1/3.

n(3n-1)/2n n+.

25.22. Из неравенства (2n)! n(n + 1).. (2n) > следует, что n 2n 2n+2n 2n+(2n)! > nn+1 > n и (2n + 1)! > nn+1 > n.

25.23. Если 0 < an < bn, то an+1 > an и bn+1 < bn. Кроме того, 4anbn < (an+bn)2, т.е. an+1 < bn+1. Поэтому a0 < a1 < a2 <... < b2 < b1 < b0.

Значит, последовательности {an} и {bn} сходятся. Пусть limn an = и an + bn + limn bn =. Из того, что bn+1 =, следует, что =, т.е.

2 =.

2anbn an + bn Перемножив равенства an+1 = и bn+1 =, получим an + bn an+1bn+1 = anbn. Значит, anbn = ab при всех n. Поэтому = ab, т.е. 2 = ab.

25.24. Рассмотрим все натуральные числа a, для которых 10k-1 a < 10k. Среди них есть хотя бы одна степень двойки, поскольку не может оказаться, что 2m < 10k-1, а 2m+1 > 10k. Наименьшая из степеней двойки, заключённых в этих пределах, начинается с единицы, поскольку иначе мы могли бы поделить число a = 2m на 2 и получить число в тех же пределах. Степень двойки, следующая за наименьшей, начинается с цифры 2 или 3. Поэтому среди рассматриваемых чисел есть ровно одна степень двойки, начинающаяся с единицы. Значит, если 10k-1 2n < 10k, 1 an то an = k - 1. Таким образом, an n lg 2 < an + 1, т.е. lg 2 - < lg 2.

n n an Поэтому limn = lg 2.

n 25.25. Если бы мы знали, что существует предел limn xn = c, то найти c было бы легко. Действительно, c = a + c, поэтому c2 - c - a = 0. Следова 1 1 1 тельно, c = ± a +. Ясно также, что c 0, поэтому c = + a +.

2 4 2 Докажем теперь, что рассматриваемый предел существует. Прежде всего заметим, что последовательность {xn} монотонно возрастает.

Действительно, учитывая, что все числа xn положительны, получаем:

xn+1 > xn x2 > x2 a + xn > x2 a + xn > a + n+1 n n + xn-1 xn > xn-1. Остаётся заметить, что x2 = a + a > a = x1.

Докажем, что последовательность {xn} ограничена сверху, а именно, xn < c. Действительно, x1 < c. Кроме того, xn < c xn+1 < a + c = c.

Глава 25. Предел последовательности 25.26. Если бы мы знали, что существует предел limn xn = c, то найти a его было бы легко. Действительно, c =, поэтому c2 + c - a = 0. Ясно 1 + c также, что c 0. Поэтому c положительный корень уравнения x2+x-a = 0.

Такой корень единствен.

Докажем теперь существование предела. Пусть c единственный положительный корень уравнения x2 + x - a = 0. Если xn c, то x2 + xn a, n a a a т.е. xn = xn+1. Поэтому xn+1 =, т.е. xn+1 c.

1 + xn 1 + xn 1 + xn+Аналогично доказывается, что если xn c, то xn+1 c.

a a - xn - xn Далее, xn+2 - xn = - xn =. Поэтому если xn c, a 1 + a + xn 1 + 1 + xn то xn+2 - xn 0, а если xn c, то xn+2 - xn 0. Таким образом, одна из последовательностей x1, x3, x5,... и x2, x4, x6,... монотонно возрастает, а другая монотонно убывает. Предел каждой из этих последовательностей a является положительным корнем уравнения x =, которое эквиваa 1 + 1 + x лентно уравнению x2 + x - a = 0.

25.27. О т в е т: limn xn = a. Ясно, что xn+1 - a x2 - 2 axn + a xn - a n = =.

xn+1 + a x2 + 2 axn + a xn + a n n xn+1 - a x1 - a x1 - a Следовательно, =. Пусть q =. Ясно, что xn+1 + a x1 + a x1 + a n xn - a |q| < 1. Поэтому limn q2 = 0. Значит, limn = 0. Остаётся xn + a воспользоваться результатом задачи 25.5.

a + 2b a + 2b 25.28. О т в е т: limn xn =. Докажем, что xn = + 3 n-2 b - a -+. При n = 1 и 2 требуемое равенство легко проверяется.

2 Соотношение xn+1 = (xn + xn-1) тоже легко проверяется.

lg n 25.29. Пусть p1... pk n. Тогда pi n, поэтому i.

1 k i lg pi lg n lg n Значит, an + 1... + 1. Если n p1,..., pk, то lg p1 lg pk 2k an (lg n)k. Остаётся воспользоваться результатом задаlg p1... lg pk чи 25.18 б).

x0 + y0 2x0y25.30. Легко проверить, что x0 > > > y0, т.е.

2 x0 + yx0 > x1 > y1 > y0. Аналогично xn > xn+1 > yn+1 > yn для любого n. Таким образом, последовательности {xn} и {yn} монотонные и ограниченные, поэтому они сходятся к некоторым числам x и y. Если в равенстве xn+1 = xn + yn x + y = перейти к пределу, то получим x =, т.е. x = y. Ясно также, 2 276 Глава 25. Предел последовательности что xn+1yn+1 = xnyn. Поэтому xy = x0y0. А так как x = y, получаем требуемое.

x0 + y25.31. Легко проверить, что x0 > > x0y0 > y0, т.е.

x0 > x1 > y1 > y0. Аналогично xn > xn+1 > yn+1 > yn для любого n. Таким образом, последовательности {xn} и {yn} монотонные и ограниченные, поэтоxn + yn му они сходятся к некоторым числам x и y. Если в равенстве xn+1 = x + y перейти к пределу, то получим x =, т.е. x = y.

25.32. Пусть An = 6 · 2n tg и Bn = 6 · 2n sin, т.е. An полупе6 · 2n 6 · 2n риметр правильного 6·2n-угольника, описанного вокруг окружности радиуса 1, Bn полупериметр правильного 6 · 2n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Покажем, что an = An и bn = Bn. При n = 0 это очевидно.

An+1 2 tg Bn+1 2 sin Пусть =. Тогда = = 1 - tg2 и = =.

6 · 2n+1 An tg 2 Bn sin 2 cos An 1 An+1 1 Bn+1 1 An+Кроме того, = и =. Значит, = =, Bn cos 2 Bn+1 cos Bn cos Bn+ 2AnBn 2An cos т.е. Bn+1 = An+1Bn. Далее, =. Легко проверить, что An + Bn 1 + cos 2 cos 2 2AnBn = 1 - tg2. Поэтому = An+1.

1 + cos 2 An + Bn 25.33. а) Положим x0 = y0 cos, т.е. = arccos(x0/y0). Тогда x1 = 1 + cos = y0 = y0 cos2 и y1 = y0 cos2 y0 = y0 cos. Поэтому 2 2 2 x1 = y1 cos. Продолжая такие рассуждения дальше, получаем y2 = y0 sin y0 sin = y0 cos cos,..., yn = y0 cos cos... cos = и 2 22 2 22 2n 2n sin 2n xn = yn cos. Остаётся заметить, что cos 1 при n.

2n 2n б) Решение аналогично, только теперь мы полагаем x0 = y0 ch, т.е. = = Arch(x0/y0).

25.34. а) П е р в о е р е ш е н и е. Согласно задаче 13.9, если 0 < 1/n, n то выполняется неравенство 1 + n 1 + < 1 + n + n22. При = 1/n n получаем требуемое.

В т о р о е р е ш е н и е. Ясно, что n 1 1 n(n - 1) 1 n(n - 1)(n - 2) 1 + = 1 + n · + · + · +... < n n 2 n2 2 · 3 n1 1 < 1 + 1 + + + +..., 2 4 n - 1 1 n - 2 1 n - 3 поскольку <, <, < и т.д.

2n 3n 2 4n n б) Из неравенства 1 + < 3 следует, что n n+1 n n n + n + 1 n n + : = · < n + 1.

3 3 n Глава 25. Предел последовательности Поэтому индукцией по n получаем требуемое неравенство.

25.35. О т в е т: 2. Первая цифра числа 2400 = (210)40 = (1024)40 совпадает с первой цифрой числа 1, 02440. С одной стороны, согласно задаче 25. 1, 02440 < 1, 02540 = 1 + < 3. С другой стороны, 1, 02440 > 1 + 40 · + 40 · 0, 024 + 0, 0242 = 2, 40928 > 2.

25.36. Достаточно доказать требуемые неравенства в случае, когда m = = n + 1.

П е р в о е р е ш е н и е. Пусть 0 < a < b. Тогда bn+1 - an+(n + 1)an < < (n + 1)bn, (1) b - a bn+1 - an+поскольку = bn+bn-1a+...+an. Неравенства (1) можно записать b - a в виде an (n + 1)b - na < bn+1, bn (n + 1)a - nb < an+1.

1 Подставим в эти неравенства a = 1 + и b = 1 +. В результате получим n + 1 n n n+1 (n + 1)2 n(n + 2) 1 + - < 1 +, n + 1 n n + 1 n n n+1 1 + < 1 +.

n n + Остаётся заметить, что 2 (n + 1)2 n(n + 2) n3 + 4n2 + 4n + n + - = > 1.

n + 2 n n + 1 n(n + 2) n+1 n 1 В т о р о е р е ш е н и е. Неравенство 1 + > 1 + эквиваn n + n 1 (n + 1)лентно неравенству 1 + >. Согласно задаче 13.9 б) n + 1 n(n + 2) n n (n + 1)2 1 1 = 1 + < 1 + +.

n(n + 2) n2 + 2n n + 2 (n + 2)1 1 Неравенство + < легко проверяется.

n + 2 (n + 2)2 n + n+2 n+1 Неравенство 1 + < 1 + эквивалентно неравенству 1 + n 1 n + n+1 + < 1 +. Согласно задаче 13.9 а) n + 1 n2 + 2n n+1 n + 1 + > 1 +.

n2 + 2n n2 + 2n n + 1 Неравенство > легко проверяется.

n2 + 2n n + 278 Глава 25. Предел последовательности n 25.37. Согласно задаче 25.36 последовательность an = 1 + моноn тонно возрастает, а согласно задаче 25.34 эта последовательность ограничена сверху.

25.38. а) По формуле бинома Ньютона n 1 n 1 n 1 n 1 + = 1 + n + +... + +... +.

n n 2 n2 k nk n nn n n(n - 1)... (n - k - 1) nk Кроме того, = <.

k k! k! б) Если k n, то n 1 1 1 + = 1 + 1 + 1 - +...

n 2! n 1 1 k - 1 1 1 n -... + 1 -... 1 - +... + 1 -... 1 - k! n n n! n n 1 1 1 1 k - 1 + 1 + 1 - +... + 1 -... 1 - = bn.

2! n k! n n 1 1 Ясно, что limn bn = 1 + 1 + + +... +. Поэтому 2! 3! k! n 1 1 1 e = lim 1 + lim bn = 1 + 1 + + +... +.

n n n 2! 3! k! в) Очевидным образом следует из задач а) и б).

25.39. Согласно задаче 25. 1 1 1 1 1 e - 1 + 1 + + +... + = + + +... = 2! 3! n! (n + 1)! (n + 2)! (n + 3)! 1 1 = 1 + + +... < (n + 1)! n + 2 (n + 2)(n + 3) 1 1 1 1 < 1 + + +... = = (n + 1)! n + 2 (n + 2)2 (n + 1)! 1 n + 1 n + 2 1 n + = =.

(n + 1)! n + 1 n! (n + 1)n + 2 Остаётся заметить, что <, поскольку n2 + 2n < n2 + 2n + 1.

(n + 1)2 n 25.40. О т в е т: да, сходится к 0. Согласно задаче 25.39 дробная часть числа n!e заключена между 0 и 1/n. Поэтому 0 < sin(2n!e) < sin(2/n) при n 4.

25.41. Предположим, что e = m/n, где m и n натуральные числа. Тогда согласно задаче 25. m 1 1 0 < - 2 + +... + <.

n 2! n! n!n Глава 25. Предел последовательности После умножения на n! получим, что 0 < a <, где a целое число. Этого n не может быть.

n! an+1 (n + 1)! nn 25.42. П е р в о е р е ш е н и е. Пусть an =. Тогда = · = nn an (n + 1)n n! 1 1 = n. Поэтому согласно задаче 25.9 limn n an =, т.е.

e e 1 + n n! limn =.

n e В т о р о е р е ш е н и е. Ясно, что n n! ln = ln n! - ln n = n n n n 1 = ln k - ln n = n n k=1 k= n k = ln.

n n k= При n последнее выражение превращается в ln(x) dx = -1.

25.43. 1 = 1 + 2 + 3, 2 = 1 - 2 + 3, 3 = 1 + 2 - 3, Пусть 4 = 1 - 2 - 3. Тогда n = qn + rn 2 + sn 3 + tn 6, n = qn - rn 2 + sn 3 - tn 6, n = qn + rn 2 - sn 3 - tn 6, n = qn - rn 2 - sn 3 + tn 6.

Поэтому n + n + n + n = 4qn, 1 2 3 n + n - n - n = 4sn 3, 1 2 3 n - n + n - n = 4rn 2, 1 2 3 n - n - n + n = 4tn 6.

1 2 3 n n n Ясно также, что limn 2 = limn 3 = limn 4 = 0. Поэтому n n n 1 1 n rn 1 sn 1 tn limn 1 = 4, limn =, limn =, limn =, qn n n n 4 2 4 3 4 1 1 rn 1 sn 1 tn а значит, limn =, limn = и limn =.

qn qn qn 2 3 25.44. Точная верхняя грань равна 0. Максимума нет, поскольку 0 не входит в рассматриваемое множество.

25.45. Проведём доказательство только для точной верхней грани. Пусть x0 и x1 две точные верхние грани, причём x1 > x0. Тогда для = x1 - x= найдётся x (число из рассматриваемого множества), для которого 280 Глава 25. Предел последовательности x1 - x0 x1 + xx + > x1, т.е. x > > x0. Но это противоречит тому, что x2 точная верхняя грань.

Докажем теперь существование точной верхней грани. Построим неубывающую последовательность {an} и невозрастающую последовательность {bn} так, что для каждого n существует x an и не существует x bn. А именно, в качестве a1 возьмём произвольное число из рассматриваемого множества, а в качестве b1 число c из определения ограниченного сверху множества.

Пусть c2 середина отрезка [a1, b1]. В качестве a2 берём число c2, если оно нам подходит; иначе берём a1. В качестве b2 берём число c2, если оно нам подходит; иначе берём b1. Дальнейшие члены выбираются аналогично. Построенные последовательности имеют общий предел x0. Легко видеть, что x точная верхняя грань.

Глава 26.

Непрерывные и разрывные функции Мы будем использовать следующие обозначения:

[a, b] отрезок; он состоит из точек x, для которых a x b;

(a, b) интервал; он состоит из точек x, для которых a < x < b.

26.1. Монотонные функции 26.1. Вещественные числа x и y удовлетворяют равенствам x3-3x2+ + 5x = 1, y3 - 3y2 + 5y = 5. Найдите x + y.

26.2. Периодические функции 26.2. Докажите, что если число иррационально, а число a положительно, то функция f(x) = cos x + a cos x непериодическая.

26.3. Предел функции Число a называют пределом функции f(x) в точке x0, если для любого > 0 можно выбрать > 0 так, что для любого x = x0 из неравенства |x - x0| < следует неравенство |f(x) - a| <. Если предел функции f(x) в точке x0 существует, то его обозначают limxx f(x).

282 Глава 26. Непрерывные и разрывные функции Иногда возникает необходимость рассматривать односторонние пределы функции1 limxx + f(x) = f(x0+) и limxx f(x) = f(x0-). Они 0 0определяются почти так же, как и обычный предел, но в первом из них рассматриваются только x > x0, а во втором только x < x0. Например, если функция f(x) определена только на отрезке [p, q], то в концах отрезка имеют смысл только односторонние пределы limxp+ f(x) = = f(p+) и limxq- f(x) = f(q-).

26.3. Докажите, что если предел функции f(x) в точке x0 существует, то он единствен.

26.4. Докажите, что limxx f(x) = a тогда и только тогда, когда limn f(an) = a для любой последовательности {an}, для которой limn an = x0 и an = x0 при всех n (предполагается также, что все точки an принадлежат области определения функции f).

26.5. Пусть f(x) и g(x) две функции, причём limxx f(x) = a и limxx g(x) = b. Докажите, что а) limxx + g(x) = a + b;

f(x) б) limxx f(x)g(x) = ab;

в) limxx f(x)/g(x) = a/b, если b = 0.

sin 26.6. Докажите, что lim0 = 1.

26.4. Непрерывность Функцию f(x) называют непрерывной в точке x0, если limxx f(x) = f(x0). Если функция f(x) непрерывна в каждой точке (из области определения), то её называют просто непрерывной.

Функцию f(x), определённую на отрезке [a, b], мы будем называть непрерывной, если она непрерывна в каждой внутренней точке отрезка, а в концах отрезка существуют односторонние пределы, причём f(a+ +) = f(a) и f(b-) = f(b).

26.7. а) Пусть P (x) многочлен. Докажите, что функция P (x) непрерывна.

б) Пусть P (x) и Q(x) многочлены, причём Q(x0) = 0. Докажите, что функция P (x)/Q(x) непрерывна в точке x0.

26.8. Функция f(x) непрерывна в точке x0, а функция g(y) непре рывна в точке y0 = f(x0). Докажите, что функция g f(x) непрерывна в точке x0.

Часто используются обозначения limxx0+0 f(x) = f(x0 + 0) и limxx0-f(x) = f(x0 - 0), но они могут ввести в заблуждение.

Глава 26. Непрерывные и разрывные функции 26.9. Докажите, что функция f(x) = sin x непрерывна.

26.10. Пусть f(x) = x sin при x = 0 и f(0) = 0. Докажите, что x функция f(x) непрерывна (во всех точках x).

26.5. Теорема о промежуточном значении 26.11. Функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает в его концах значения разных знаков. Докажите, что f(x0) = 0 для некоторой точки x0 этого отрезка (теорема о промежуточном значении).

26.12. а) Пусть f непрерывная функция, для которой уравнение f(x) = x не имеет вещественных решений. Докажите, что уравнение f(f(x)) = x тоже не имеет вещественных решений.

б) Пусть f и g непрерывные функции, удовлетворяющие тождеству f(g(x)) = g(f(x)). Докажите, что если уравнение f(x) = g(x) не имеет вещественных решений, то уравнение f(f(x)) = g(g(x)) тоже не имеет вещественных решений.

Pages:     | 1 |   ...   | 32 | 33 || 35 | 36 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.