WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 | 35 |   ...   | 65 |

25.5. Дано положительное число a и последовательность полоxn - a жительных чисел xn. Докажите, что если limn = 0, то xn + a limn xn = a.

x1 +... + xn 25.6. Докажите, что если limn xn = a, то limn = n = a (Коши).

25.7. Пусть {an} последовательность положительных чисел, при n чём limn an = a. Докажите, что limn a1... an = a.

xn 25.8. Докажите, что если limn(xn+1-xn) = a, то limn = a.

n an+n 25.9. Докажите, что если limn = a, то limn an = a.

an 25.10. Пусть P (x) многочлен с целыми коэффициентами. Докажите, что если limn{P (n)} = 0, где { } обозначает дробную часть, то число рационально.

25.2. Теорема Вейерштрасса Последовательность {an} называют ограниченной, если можно выбрать числа c1 и c2 так, что c1 an c2 для всех n.

Точку c называют предельной точкой последовательности {an}, если для любого > 0 неравенство |c - an| < выполняется для бесконечного множества членов последовательности.

25.11. Докажите, что любая ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку. (Больцано–Вейерштрасс) 25.12. Докажите, что любая ограниченная последовательность {an} содержит сходящуюся подпоследовательность {an }, т.е. можно выk брать строго возрастающую последовательность натуральных чисел n1, n2, n3,... так, что последовательность {bk}, где bk = an, сходится.

k Последовательность {an} называют возрастающей (неубывающей), если an+1 > an (an+1 an) для всех n.

Последовательность {an} называют ограниченной сверху, если можно выбрать число c так, что an c для всех n.

25.13. Докажите, что любая возрастающая (или хотя бы неубывающая) ограниченная сверху последовательность {an} имеет предел. (Вейерштрасс) Глава 25. Предел последовательности 25.14. Докажите, что последовательность {xn} сходится тогда и только тогда, когда для любого > 0 можно выбрать номер N так, что |xn - xm| < для любых m, n N (критерий Коши).

25.3. Вычисление пределов 25.15. Вычислите limn( n + 1 - n).

25.16. Вычислите limn( n2 + n - n).

n 25.17. а) Докажите, что limn = 0.

10n lg n б) Докажите, что limn = 0.

n nk 25.18. а) Докажите, что limn = 0 для любого натурального k an и любого a > 1.

(loga n)k б) Докажите, что limn = 0 для любого натурального k n и любого a > 1.

xn 25.19. Докажите, что limn = 0.

n! n 25.20. Докажите, что limn x = 1 для любого положительного числа x.

n 25.21. Докажите, что limn n = 1.

n 25.22. Докажите, что limn n! =.

2anbn 25.23. Пусть a0 = a, b0 = b, где 0 < a < b. Положим an+1 = an + bn an + bn и bn+1 = при n 0. Докажите, что limn an = limn bn = = ab.

25.24. Пусть среди чисел 21, 22,..., 2n ровно an чисел начинается an с единицы. Вычислите предел limn.

n 25.25. Пусть x1 = a, где a некоторое положительное число, и xn+1 = a + xn при n 1. Докажите, что существует предел limn xn и вычислите его.

a 25.26. Пусть x1 и a положительные числа, xn+1 = при 1 + xn n 1. Докажите, что существует предел limn xn и вычислите его.

1 a 25.27. Пусть x1 и a положительные числа, xn+1 = xn + 2 xn при n 1. Вычислите предел limn xn.

268 Глава 25. Предел последовательности 25.28. Пусть x1 = a, x2 = b и xn+1 = (xn + xn-1) при n 1.

Вычислите limn xn.

25.29. Пусть p1,..., pk простые числа, an количество натуральных чисел, не превосходящих n и делящихся только на данные простые an числа. Докажите, что limn = 0.

n 25.30. Пусть x0 и y0 некоторые положительные числа, причём xn + yn 2xnyn x0 > y0, xn+1 = и yn+1 = при n 0. Докажите, что 2 xn + yn limn xn = limn yn = x0y0.

25.31. Пусть x0 и y0 некоторые положительные числа, причём xn + yn x0 > y0, xn+1 = и yn+1 = xnyn при n 0. Докажите, что обе последовательности {xn} и {yn} сходятся к одному и тому же пределу, называемому средним арифметико-геометрическим чисел x0 и y(Гаусс).

2anbn 25.32. Пусть a0 = 2 3, b0 = 3 и an+1 =, bn+1 = an+1bn an + bn при n 0. Докажите, что limn an = limn bn =.

25.33. Пусть x0 и y0 некоторые неотрицательные числа, xn+1 = xn + yn = и yn+1 = xn+1yn при n 0.

а) Докажите, что если 0 x0 < y0, то y0 - xlim xn = lim yn =.

n n arccos(x0/y0) б) Докажите, что если 0 < y0 < x0, то x2 - ylim xn = lim yn =.

n n Arch(x0/y0) См. также задачу 28.50.

25.4. Число e 25.34. а) Докажите, что для любого натурального n выполняется n неравенство 2 1 + < 3.

n б) Докажите, что для любого натурального n выполняется неравен n n ство < n!.

25.35. Найдите первую цифру числа 2400.

Глава 25. Предел последовательности 25.36. Докажите, что если m и n натуральные числа, причём m > n, то m n m+1 n+1 1 1 1 + > 1 + и 1 + < 1 +.

m n m n n 25.37. Докажите, что существует предел e = limn 1 +.

n 25.38. а) Докажите, что n 1 1 1 + < 2 + + +... +.

n 2! 3! n! б) Докажите, что 1 1 e 2 + + +... + 2! 3! k! для любого k.

1 1 в) Докажите, что e = limn 2 + + +... +.

2! 3! n! 25.39. Докажите, что 1 1 1 0 < e - 1 + 1 + + +... + <.

2! 3! n! n!n 25.40. Сходится ли последовательность an = sin(2n!e) 25.41. Докажите, что число e иррационально.

n n! 25.42. Докажите, что limn =.

n e 25.5. Сопряжённые числа 25.43. Пусть (1+ 2+ 3)n = qn +rn 2+sn 3+tn 6, где qn, rn, sn, rn sn tn натуральные числа. Вычислите пределы limn, limn и qn qn tn limn.

qn 25.6. Точная верхняя грань Пусть X некоторое (непустое) множество действительных чисел. Число x0 называют точной верхней гранью этого множества, если x x0 для любого числа x из множества X, но для любого > 0 найдётся число x из множества X, для которого x + > x0. Если точная 270 Глава 25. Предел последовательности верхняя грань x0 множества X принадлежит X, то x0 называют максимумом множества X. Аналогично определяются точная нижняя грань и минимум.

25.44. Найдите точную верхнюю грань множества отрицательных чисел. Есть ли у этого множества максимум Множество действительных чисел называют ограниченным сверху, если можно выбрать число c так, что все числа этого множества меньше c. Аналогично определяется множество, ограниченное снизу.

25.45. Докажите, что любое (непустое) ограниченное сверху множество действительных чисел имеет единственную точную верхнюю грань, а ограниченное снизу единственную точную нижнюю грань.

Решения 25.1. Предположим, что a и b пределы последовательности {an}, причём a = b. Пусть = |a - b|. Согласно определению предела можно выбрать номера N1 и N2 так, что |an-a| < при n > N1 и |an-b| < при n > N2. Пусть N наибольшее из чисел N1 и N2. Тогда |a - b| |a - aN| + |aN - b| < 2 = = |a - b|. Приходим к противоречию.

25.2. а) Утверждение о том, что limn(an + c) = a + c очевидно: в качестве N для последовательности {an + c} можно выбрать то же самое число, что и для последовательности {an}.

При c = 0 утверждение о том, что limn(can) = 0 очевидно. Если же c = 0, то в качестве числа N, соответствующего для последовательности {can}, можно взять N, соответствующее /|c| для последовательности {an}.

А именно, если |an - a| < /|c|, то |can - ca| <.

б) Для данного > 0 выберем N1 и N2 так, что |an - a| < /2 при n > Nи |bn - b| < /2 при n > N2. Пусть N наибольшее из чисел N1 и N2. Тогда |(an + bn) - (a + b)| |an - a| + |bn - b| < + = при n > N.

2 в) Воспользуемся тождеством anbn - ab = (an - a)(bn - b) + a(bn - b) + b(an - a). (1) Для данного > 0 выберем N1 и N2 так, что |an - a| < при n > N1 и |bn - b| < при n > N2. Тогда |(an - a)(bn - b)| < при n > max(N1, N2), поэтому limn(an - a)(bn - b) = 0. Из а) и б) следует, что limn a(bn - b) = = 0 и limn b(an - a) = 0. Поэтому тождество (1) показывает, что limn(anbn - ab) = 0.

г) Выберем сначала N1 так, что |an - a| < |a| при n > N1. Отметим, что при этом |an| > |a|. Выберем затем для данного > 0 номер N2 так, что Глава 25. Предел последовательности |an - a| < |a|2 при n > N2. Тогда если n > max(N1, N2), то 1 1 an - a 1 = - < |a|2 · =.

an a ana 2 |a|25.3. Для данного > 0 выберем числа N1 и N2 так, что |a - an| < при n > N1 и |a - cn| < при n > N2. Тогда если n > max(N1, N2), то an > a - и cn < a +. Поэтому a - < an bn cn < a +, а значит, |bn - a| <.

25.4. Выберем N так, что если n > N, то |a - an| < и |b - bn| <.

Тогда a - < an bn < b +. Таким образом, для любого > 0 выполняется неравенство b > a - 2. Поэтому b a.

xn - a 25.5. Пусть < < 1. Тогда xn + a -2a 2a < xn - a <.

1 + 1 - 25.6. Вместо последовательности {xn} можно рассмотреть последовательность {xn - a}, поэтому можно считать, что a = 0. Для любого > 0 можно выбрать N так, что если n N, то |xn| <. Тогда при n > N 1 C n - N (x1 +... + xn) +, n n n C n - N где C = x1 +... + xN. Ясно, что limn + =. Поэтому можно n n выбрать M > N так, что если n > M, то (x1 +... + xn) < 2.

n 25.7. Функция ln x непрерывна, поэтому limn ln an = ln a. Значит, соln a1 +... + ln an n гласно задаче 25.6 limn = ln a, т.е. limn ln a1... an = n = ln a. Теперь, воспользовавшись непрерывностью функции ex, получаем требуемое.

25.8. Пусть y1 = x1 и yn = xn - xn-1 при n 2. Тогда xn = y1 + y2 +... + xn + yn. По условию limn yn = a. Поэтому согласно задаче 25.6 limn = n y1 + y2 +... + yn = limn = a.

n an+25.9. Рассмотрим последовательность b1 = a1, bn = при n > 1. По an условию limn bn = a. Поэтому согласно задаче 25.7 limn n b1... bn = a.

Но b1... bn = an.

25.10. Удобнее доказывать более общее утверждение: если {P (n)} = = an + n, где limn n = 0 и an принимает лишь конечное число значений (когда n пробегает все натуральные значения), то рационально.

Применим индукцию по m степени многочлена P (x). При m = 1 получаем {An + B} = an + n. Поэтому An + B = an + n + kn и A(n + 1) + + B = an+1 + n+1 + kn+1, где kn и kn+1 целые числа. Следовательно, A = (an+1 - an) + (n+1 - n) + (kn+1 - kn).

272 Глава 25. Предел последовательности Число kn+1 - kn целое, а разность an+1 - an может принимать лишь конечное число значений. Поэтому из того, что limn n = 0, следует, что n+1 - n = = 0 при n n0. Но тогда an = an0 + ln + (n - n0)A, где ln целое число. По условию an принимает конечное число значений.

Следовательно, ln +nA принимает конечное число значений, поэтому {nA} принимает конечное число значений. Тогда число A рационально (задача 17.13), а значит, число тоже рационально.

Шаг индукции доказывается совсем просто. Многочлен Q(x) = P (x + + 1) - P (x) имеет степень m - 1. Кроме того, если an принимает конечное число значений, то an+1 - an тоже принимает конечное число значений. Поэтому, применив к многочлену Q(x) предположение индукции, получаем, что рационально.

25.11. Можно считать, что числа c1 и c2 из определения ограниченной последовательности целые. Отрезок [c1, c2] разбивается на конечное число отрезков длины 1. Хотя бы в одном из этих отрезков содержится бесконечно много членов рассматриваемой последовательности. Выберем такой отрезок и разделим его на 10 отрезков длины 1/10. Среди этих отрезков выберем тот, который содержит бесконечно много членов последовательности. Этот отрезок снова разделим на 10 отрезков равной длины и т.д. Такая последовательность операций определяет некоторое число c = m0 +m1 ·10-1 +m2 ·10-2 +...

Действительно, на первом шаге мы определяем m0, на втором m1 и т.д. Число c является предельной точкой данной последовательности.

25.12. Пусть c предельная точка последовательности {an}. Тогда неравенство |an - c| < 1/k выполняется для бесконечного множества членов an.

Поэтому можно выбрать ank так, что |ank - c| < 1/k. Более того, это можно сделать так, что n1 < n2 < n3 <... Тогда c = limk ank.

25.13. Неубывающая ограниченная сверху последовательность ограничена, поскольку an a1 для всех n. Поэтому согласно теореме Больцано– Вейерштрасса (задача 25.11) последовательность {an} имеет предельную точку c. Прежде всего докажем, что предельная точка единственна. Предположим, что есть две предельные точки: c1 < c2. Пусть c2 - c1 =. Выберем N так, что |xN - c2| < /2. Тогда xN > c2 -. Значит, xn > c2 - при n N.

2 Но тогда xn - c1 >, поэтому c1 не может быть предельной точкой.

Пусть c предельная точка. Тогда xn c для всех n (иначе все точки xm, где m n, лежат вне некоторой окрестности точки c). Поэтому для каждого > 0 можно выбрать N так, что c - < xN c. Тогда c - < xn c при n N.

25.14. Если последовательность {xn} имеет предел a, то для любого > можно выбрать N так, что |xn - a| < /2 для любого n N. Тогда если m, n N, то |xn - xm| |xn - a| + |a - xm| <.

Глава 25. Предел последовательности Предположим теперь, что для любого > 0 можно выбрать номер N так, что |xn-xm| < для любых m, n N. Положим = 1 и выберем соответствующий номер N. Тогда |xn - xN| < 1 при n N. Поэтому последовательность {xn} ограничена. По теореме Больцано–Вейерштрасса (задача 25.11) такая последовательность имеет предельную точку a. Для положительного числа /2 выберем номер N так, что |xn - xm| < /2 при m, n N. Точка a предельная, поэтому |xn - a| < /2 для бесконечно многих n; в частности, это неравенство выполняется для некоторого n0 N. Поэтому для любого m N получаем |xm -a| |xm -xn0|+|xn0 -a| <. Следовательно, limm xm = a.

25.15. О т в е т: 0. Ясно, что 0 < n + 1 - n = ( n + 1 - n)( n + 1 + n) 1 = = <. Поэтому n + 1 n n + 1 + n n + limn( n + 1 - n) = 0.

25.16. О т в е т: 1/2. Домножив и поделив n2 + n - n на n2 + n + n, получим n 1 n2 + n - n = =.

n2 + n + n 1 1 + + n 25.17. а) Ясно, что n n n - 1 2 1 1 1 = ·... · < 2n-1 = · 0.

10n n - 1 n - 2 1 10n 10n 2 5n lg n k + б) Пусть 10k n 10k+1. Тогда 0 согласно задаче а).

n 10k n + 1 k 25.18. а) Если n достаточно велико, то a > = 1 +. Выберем n k n n число q > 1 и натуральное число N так, что q < a при n N.

n + k k k N N + 1 N + m - Тогда q < a, q < a, q < a, поэтому N + 1 N + 2 N + m k N (N + m)k Nk qm < am, а значит, < Cq-m, где C =. Остаётся N + m aN+m aN заметить, что если q > 1, то limm q-m = 0.

(loga n)k mk б) Пусть am-1 n am. Тогда 0 согласно задаче а).

n am-|x| 25.19. Выберем натуральное число N так, что. Если n > N, N + 1 n-N C |x|n |x|N 1 2N |x|N то =, где C = постоянное число.

n! N! 2 2n N! 25.20. Пусть x > 1. Рассмотрим вспомогательную последовательность an = x1/n-1. Ясно, что an > 0, Поэтому согласно задаче 13.9 а) 1+nan (1+ x - + an)n = x. Таким образом, 0 < an <. Поэтому limn an = 0.

n Если x = 1, то утверждение очевидно, а если 0 < x < 1, то рассмотрим y = 1/x > 1. Тогда limn y1/n = 1, поэтому limn x1/n = 1.

274 Глава 25. Предел последовательности n 25.21. П е р в о е р е ш е н и е. Пусть an = n - 1. Тогда an 0, поn(n - 1) n(n - 1) этому n = (1 + an)n 1 + nan + a2 a2. Следовательно, n n 2 0 an.

n - В т о р о е р е ш е н и е. Воспользовавшись неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим, получим:

Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 | 35 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.