WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 || 33 | 34 |   ...   | 65 |

23.21. О т в е т: только при n = 4. Легко проверить, что при n = 4 результат деления равен (a - b)(b - c)(a - c). Покажем, что при всех остальных натуральных n выражение an(b - c) + bn(c - a) + cn(a - b) не делится на a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca. Достаточно проверить, что первое выражение не делится на второе при b = 2 и c = 1, т.е. an - (2n - 1)a + (2n - 2) не делится на a2 + 3a + 7. При n = 2 и 3 это проверяется непосредственно. Пусть теперь -3 ± i n 5. Квадратное уравнение a2 + 3a + 7 = 0 имеет корни ; модуль каждого из корней равен 7. Поэтому достаточно проверить, что если z комплексное число и |z| = 7, то zn - (2n - 1)z + (2n - 2) = 0. Ясно, что |zn - (2n - 1)z + (2n - 2)| |zn|- (2n - 1)|z|- (2n - 2) = 7n/2 - (2n - 1) 7- 2n + + 2 > 7n/2 - 2n(1 + 7) > 7n/2 - 4 · 2n, поскольку 7 < 3. Легко проверить, что 7n/2 - 4 · 2n > 0 при n 5. Действительно, 7 > 2, поэтому достаточно рассмотреть случай n = 5. А в этом случае нужно проверить, что 75 > (4·25)2.

23.22. а) Многочлен Pn(x) делится на x2+x+1 тогда и только тогда, когда Pn() = 0, где примитивный корень 3-й степени из единицы. Равенство 2 = --1 показывает, что выражение Pn() = (-2)n -n -1 зависит только от остатка от деления n на 6. При этом P0() = -1, P1() = -2 - - 1 = 0, P2() = -2 -1 = 0, P3() = -3, P4() = 2 --1 = 0, P5() = --2 -1 = 0.

б) Многочлен Pn(x) делится на (x2 + x + 1)2 тогда и только тогда, когда Pn() = 0 и Pn() = 0, где Pn(x) = n (x + 1)n-1 - xn-1 производная много члена Pn(x). Равенство Pn() = 0 эквивалентно тому, что (-2)n-1 -n-1 = 0, т.е. (-)n-1 = 1. Но n = 6k ± 1, поэтому n = 6k + 1.

в) Многочлен Pn(x) делится на (x2 + x 1)3 тогда и только тогда, когда + n = 6k+1 и Pn () = 0, где Pn (x) = n(n-1) (x+1)n-2-xn-2. Таким образом, должно выполняться равенство ( + 1)n-2 = n-2, т.е. (-2)6k-1 = 6k-1. Но (-2)6k-1 = -, а 6k-1 = 2. Приходим к противоречию.

Глава 24.

Уравнения, разрешимые в радикалах Вся история решения уравнений 3-й и 4-й степени связана с Италией. Формулу для решения уравнения 3-й степени открыл Сципион дель Ферро (1465 1526), но он хранил свои результаты в тайне. В 1536 г.

эту формулу переоткрыл Никколо Тарталья (1500 1557), готовясь к математическому поединку. После долгих уговоров и клятв хранить всё в тайне Джероламо Кардано (1501 1576) выведал у Тартальи приёмы решения кубических уравнений. Кардано нарушил клятву в г., опубликовав способ решения кубических уравнений в своей книге по алгебре Ars magna ( Великое искусство ). Кардано писал, что этот способ он узнал от Тартальи и из бумаг дель Ферро. Тарталья, узнав о появлении книги Ars magna, едва не сошёл с ума от гнева и начал яростную полемику с Кардано. Помимо решения кубических уравнений книга Ars magna содержала решение уравнений 4-й степени, полученное Людовико Феррари (1522 1565), учеником Кардано.

Долгие поиски решения в радикалах уравнения 5-й степени не привели к успеху. В 1799 г. итальянский врач и математик Паоло Руффини (1765 1822) опубликовал доказательство неразрешимости в радикалах общего уравнения 5-й степени, но в этом доказательстве был серьёзный пробел. Полное доказательство неразрешимости уравнения 5-й степени независимо от Руффини получил в 1824 г. молодой норвежский математик Нильс Генрик Абель (1802 1829). А затем Эварист Галуа ( 1832) разработал теорию, позволяющую для каждого конкретного уравнения выяснить, разрешимо ли оно в радикалах.

Глава 24. Уравнения, разрешимые в радикалах 24.1. Докажите, что уравнение xn + a1xn-1 +... + an = 0 можно привести к виду yn + b2yn-2 +... + bn = 0 с помощью замены y = x + c, где c некоторое число.

Задача 24.1 показывает, что достаточно рассмотреть кубические уравнения вида x3 + ax + b = 0 и уравнения 4-й степени вида x4 + + ax2 + bx + c = 0.

24.1. Решение кубических уравнений 24.2. Найдите корни уравнение x3 +px+q = 0, представив их в виде 3 x = + и найдя выражения для и.

24.3. Решите уравнение x3 + px + q = 0, воспользовавшись тождеством x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x + y + 2z)(x + 2y + z), где 2 + + 1 = 0. (Подберите y и z так, что -3yz = p и y3 + z3 = q.) 24.4. Докажите, что если кубическое уравнение x3 + ax + b = имеет три различных действительных корня, то при вычислении корней по формуле из решения задачи 24.2 обязательно появляются мнимые числа.

24.5. Найдите корень x0 = 2 уравнения x3 - x - 6 = 0 по формуле из решения задачи 24.2.

24.6. Пусть x1, x2, x3 корни уравнения x3 + px + q = 0. Положим = x1 + x2 + 2x3 и = x1 + 2x2 + x3, где 2 + + 1 = 0 (эти выражения называют резольвентами Лагранжа).

а) Докажите, что 3x1 = +, 3x2 = 2 + и 3x3 = + 2.

б) Выразите и 3 + 3 через p и q.

в) Решите уравнение x3 + px + q = 0.

24.2. Дискриминант кубического многочлена 24.7. Докажите, что многочлен x3 + px + q имеет кратные корни q2 pтогда и только тогда, когда + = 0.

4 q2 pВыражение + называют дискриминантом кубического много4 члена x3 + px + q.

260 Глава 24. Уравнения, разрешимые в радикалах 24.3. Решение уравнений 4-й степени 24.8. Решите уравнение x4 + ax2 + bx + c = 0, представив многочлен x4 + ax2 + bx + c в виде разности квадратов двух многочленов.

24.9. Решите уравнение x4 + ax2 + bx + c = 0, найдя уравнение, которому удовлетворяет сумма двух корней данного уравнения (Эйлер).

24.10. Пусть x1, x2, x3, x4 корни уравнения x4 + ax2 + bx + c = 0.

Положим = -(x1 + x2)(x3 + x4), = -(x1 + x3)(x2 + x4) и = -(x1 + + x4)(x2 + x3).

а) Выразите x1, x2, x3 и x4 через, и.

б) Выразите коэффициенты многочлена (y - )(y - )(y - ) через a, b, c.

в) Сведите решение уравнения x4 + ax2 + bx + c = 0 к решению кубического уравнения.

24.4. Другие уравнения, разрешимые в радикалах 24.11. Решите уравнения x5 - 10x3(1 - x2) + 5x(1 - x2)2 = a, x7 - 21x5(1 - x2) + 35x3(1 - x2)2 - 7x(1 - x2)3 = a.

24.12. Решите уравнение x5 - 5ax3 + 5a2x - b = 0.

24.13. Какие уравнения седьмой степени можно решить тем же способом, который использовался при решении задачи 24.12 Решения a24.1. Требуемая замена имеет вид y = x +.

n 24.2. Должно выполняться равенство 3 3 3 x3 = + + 3 ( + ) = + + 3 x.

Поэтому числа и нужно подобрать так, чтобы выполнялись равенства p3 = -p и + = -q. Из этих равенств следуют равенства = - и Глава 24. Уравнения, разрешимые в радикалах + = -q. Таким образом, для чисел и получено квадратное уравнение.

Его корни имеют вид q q2 p, = - ± +. (1) 2 4 3 Формула x = + даёт 9 различных значений.

Чтобы получить формулу, которая даёт 3 значения, можно воспользовать 3 ся соотношением = -p/3. Эта формула имеет вид p x = -, где находится по формуле (1). При этом x не зависит от выбора знака перед радикалом в формуле (1). Несложно проверить, что полученная формула даёт значения x, которые являются корнями уравнения x3 + px + q = 0.

24.3. Если -3yz = p, то y3z3 = -p3/27. Поэтому y3 и z3 корни pквадратного уравнения t2 - qt - = 0. Корни этого уравнения равны q q2 p± +. Выберем в качестве y одно из трёх значений кубического корня 2 4 3 q q2 p3 p + +, а в качестве z выберем - ; по-другому это можно сказать 2 4 27 3y 3 q q2 pтак: выберем в качестве z то из значений кубического корня - +, 2 4 для которого -3yz = p.

Уравнение x3 + px + q = 0 имеет следующие корни: x1 = -(y + z), x2 = = -(y + 2z) и x3 = -(2y + z).

b2 a24.4. Нужно проверить, что = + < 0. Чтобы убедиться в этом, 4 исследуем функцию y(x) = x3 + ax + b. Если a 0, то эта функция монотонна, поэтому у рассматриваемого уравнения не более одного действительного корня. В дальнейшем будем считать, что a < 0. Ясно, что y = 3x2 + a. Поэтому функция y(x) монотонно возрастает при x < - и при x >, где = -a/3, а при - < x < функция y(x) монотонно убывает. Легко проверить, что y(-)y() = 4. Поэтому уравнение y(x) = 0 может иметь ровно три действительных корня лишь в том случае, когда < 0.

24.5. Этот корень выражается по формуле 11 3 x0 = 3 + 6 + 3 - 6.

9 24.6. а) Корни x1, x2, x3 легко находятся из линейной системы уравнений x1 + x2 + x3 = 0, x1 + x2 + 2x3 =, x1 + 2x2 + x3 =. Чтобы найти x1, нужно сложить эти уравнения и воспользоваться тем, что 2 + + 1 = 0.

Чтобы найти x2, нужно сделать коэффициенты при x2 равными 1.

б) Воспользовавшись равенством 2 + = -1, легко проверить, что = = x2+x2+x2-x1x2-x2x3-x1x3 = (x1+x2+x3)2-3(x1x2+x2x3+x1x3) = -3p.

1 2 262 Глава 24. Уравнения, разрешимые в радикалах Снова воспользовавшись равенством 2 + = -1, получим 3 + 3 = 2(x3 + + x3 + x3) + 12x1x2x3 - 3(x2x2 + x1x2 + x2x2 + x1x3 + x2x3 + x2x2). При этом 2 3 1 2 1 2 2 0 = (x1 + x2 + x3)3 = x3 + x3 + x3 + 6x1x2x3 + 3(x2x2 + x1x2 +...) и 0 = (x1 + 1 2 3 1 + x2 + x3)(x1x2 + x1x3 + x2x3) = (x2x2 + x1x2 +...) + 3x1x2x3. Следовательно, 1 3 + 3 = -9(x2x2 + x1x2 +...) = 27x1x2x3 = -27q.

1 в) Мы выяснили, что 3 + 3 = 27q и 33 = -27p3. Числа 3 и 3 можно найти, решив квадратное уравнение. Извлекая кубические корни, находим и. Значения кубических корней нужно при этом выбрать так, что = -3p.

Корни уравнения x3 + px + q = 0 находятся теперь согласно задаче а).

24.7. П е р в о е р е ш е н и е. Пусть рассматриваемый многочлен имеет корни x1, x2 и x3, причём x1 = x2. Коэффициент при x2 равен нулю, поэтому x1 + x2 + x3 = 0. Таким образом, x3 = -2x1. Тогда (x - x1)(x - x2)(x - x3) = x3 - 3x2x + 2x3, 1 q2 pт.е. p = -3x2 и q = 2x3. В таком случае = x6 = -.

1 1 4 q2 p3 p Наоборот, если + = 0, то мы можем положить x1 = ± -. Знак 4 27 p3 qопределяется следующим образом: x3 = ± - = ± ; ровно при одном 27 q выборе знака этот корень равен.

В т о р о е р е ш е н и е. Многочлен f(x) = x3 + px + q имеет кратные корни тогда и только тогда, когда у него есть общий корень с многочленом p f (x) = 3x2 + p (задача 28.16). Последний многочлен имеет корни ± -, p поэтому для x0 = ± - должно выполняться равенство x(x2 + p) = -q, p p т.е. ± - - + p = -q. После возведения в квадрат получаем равенство 3 q2 p+ = 0.

4 24.8. Воспользуемся тем, что a ax4 + ax2 + bx + c = x2 + + t - 2tx2 - bx + (t2 + at - c + ).

2 Выберем t так, чтобы дискриминант aD = b2 - 8t t2 + at - c + был равен нулю. Тогда 2 b a x4 + ax2 + bx + c = x2 + + t - 2t x -.

2 4t Поэтому уравнение x4 + ax2 + bx + c = 0 (1) Глава 24. Уравнения, разрешимые в радикалах можно решить следующим образом. Решим сначала кубическое уравнение относительно t ab2 - 8t t2 + at - c + = 0.

Пусть t0 один из его корней. Тогда уравнение (1) можно записать в виде a b x2 + + t = ± 2t0 x -.

2 4t Получаем два квадратных уравнения и решаем их стандартным способом.

24.9. Пусть x1, x2, x3, x4 корни уравнения x4+ax2+bx+c = 0. Положим u = x1 + x2 = -(x3 + x4). Тогда x4 + ax2 + bx + c = (x2 - ux + ) (x2 + ux + ), т. е.

+ - u2 = a, u ( - ) = b, = c.

Из первого и второго уравнений получаем 1 b 1 b = a + u2 +, = a + u2 -.

2 u 2 u Подставив эти выражения в третье уравнение, получим u6 + 2au4 + (a2 - 4c) u2 - b2 = 0. (1) Уравнение (1) является кубическим уравнением относительно u2. Решив это кубическое уравнение, найдём 6 корней уравнения (1). Они имеют вид ±u1, ±u2, ±u3. Можно считать, что x1 + x2 = u1, x3 + x4 = -u1, x1 + x3 = u2, x2 + x4 = -u2, x1 + x4 = u3, x2 + x3 = -u3.

Тогда u1 + u2 + u3 = 2x1.

24.10. а) По условию x1 + x2 = -(x3 + x4), поэтому x1 + x2 =. Анало гично x1 + x3 = и x1 + x4 =. Следовательно, 2x1 = + +, 2x2 = - -, 2x3 = - + -, 2x4 = - - +.

б) Ясно, что + + = -2(x1x2 + x2x3 +...) = -2a. Далее, + + + = (x2x2 +...) + 3(x2x2x3 +...) + 6x1x2x3x4. Учитывая, что a2 = (x1x2 + 1 2 +...)2 = (x2x2 +...) + 2(x2x2x3 +...) + 6x1x2x3x4 и 0 = (x1 +...)(x1x2x3 + 1 2 +...) = (x2x2x3 +...) + 4x1x2x3x4, получаем + + = a2 - 4c. Наконец, 264 Глава 24. Уравнения, разрешимые в радикалах - = (x3x2x3 +...) + 2(x3x2x3x4 +...) + 2(x2x2x2 +...) + 4(x2x2x3x4 + 1 2 1 1 2 3 1 +...). Учитывая, что 0 = (x1 +...)(x1x2 +...)(x1x2x3 +...) = (x3x2x3 + 1 +...) + 3(x3x2x3x4 +...) + 3(x2x2x2 +...) + 8(x2x2x3x4 +...), 0 = (x1 + 1 1 2 3 1 +...)2x1x2x3x4 = (x3x2x3x4 +...) + 2(x2x2x3x4 +...) и b2 = (x1x2x3 +...)2 = 1 1 = (x2x2x2 +...) + 2(x2x2x3x4 +...), получаем = b2.

1 2 3 1 в) Согласно задаче а) достаточно найти, и. Согласно задаче б) числа, и являются корнями кубического уравнения y3 +2ay2 +(a2 -4c)y -b2 = = 0.

24.11. Пусть x = cos. Из формулы Муавра следует, что рассматриваемые уравнения имеют вид cos 5 = a и cos 7 = a. Значит, решения этих уравнений имеют вид 1 n n x = a + i 1 - a2 + a - i 1 - a2, где n = 5 или 7.

24.12. Мы воспользуемся тем же самым способом, которым в задаче 24.было решено кубическое уравнение. А именно, будем искать решение в виде x = +. Воспользовавшись тем, что ( + )3 = 3 + 3 + 3( + ) и ( + + )5 = 5 + 5 + 5(3 + 3) + 1022( + ), запишем исходное уравнение в виде 5 + 5 + A(3 + 3) + B( + ) - b = 0, где A = 5 - 5a и B = = 1022 - 15a + 5a2. Если = a, то A = 0 и B = 0. Поэтому решение исходного уравнения свелось к решению системы уравнений 5 + 5 = b, b b = a. Из этой системы находим 5, 5 = ± - a5. Поэтому 2 b b2 5 b bx = + - a5 + - - a5.

2 4 2 Значения корней выбираются так, чтобы их произведение было равно a.

24.13. О т в е т: x7 - 7ax5 + 14a2x3 - 7a3x - b = 0.

Пусть = a. Тогда ( + )7 = 7 + 7 + 7a(5 + 5) +21a2(3 + 3) + 35a3( + ), ( + )5 = 5 + 5 +5a(3 + 3) + 10a2( + ), ( + )3 = 3 + 3 + 3a( + ).

Чтобы осталось только 7 + 7, нужно рассмотреть выражение ( + )7 - 7a( + )5 + 14a2( + )3 - 7a3( + ).

Таким образом, решение уравнения x7 - 7ax5 + 14a2x3 - 7a3x = b сводится к решению системы уравнений = a, 7 + 7 = b.

Глава 25.

Предел последовательности Для бесконечной последовательности a1, a2, a3,... обычно используют обозначение {an}. Число a называют пределом последовательности {an}, если для любого > 0 можно выбрать номер N так, что |an-a| < при n > N. Предел последовательности {an} обозначают limn an.

Предел последовательности не всегда существует. Например, у последовательности an = (-1)n предела нет.

Вместо обозначения limn an = a иногда используют обозначение an a при n или даже просто an a.

25.1. Свойства пределов 25.1. Докажите, что если предел последовательности существует, то он единствен.

25.2. Пусть {an} и {bn} две последовательности, причём limn an = a и limn bn = b. Докажите, что:

а) limn(an + c) = a + c и limn(can) = ca для любого числа c;

б) limn(an + bn) = a + b;

в) limn(anbn) = ab;

1 г) если a = 0 и an = 0 для всех n, то limn =.

an a 25.3. Докажите, что если an < bn < cn для всех n и limn an = = a = limn cn, то limn bn = a.

266 Глава 25. Предел последовательности 25.4. Докажите, что если limn an = a и limn bn = b, причём an bn для всех n, то a b.

Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 || 33 | 34 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.