WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 65 |

Вершины множеств X и Y разбиты на пары концы рёбер паросочета ния M. В частности, X и Y состоят из одинакового числа вершин. Кроме того, вершины множества X соединены рёбрами только с вершинами мно жества Y. Действительно, если вершина y соединена с некоторой вершиной множества X, то вершина y соединена с вершиной x путём, рёбра которого поочерёдно то лежат в M, то не лежат. Но в таком случае вершина y лежит в Y. В результате получаем, что количество вершин, соединённых рёбрами с вершинами множества X, на 1 меньше количества вершин множества X.

Приходим к противоречию.

22.10. Прежде всего покажем, что юношей пришло ровно столько же, 248 Глава 22. Графы сколько девушек. Пусть количество юношей равно a, количество девушек равно b, а количество всех пар знакомых друг с другом юношей и девушек равно n. Тогда ka = n = kb, поэтому a = b.

Выберем произвольную группу из a1 юношей. Пусть количество тех девушек, которые знакомы хотя бы с одним из этих юношей, равно b1. Пусть, далее, n1 количество пар знакомых юношей и девушек, в которых юноша один из выбранных a1, n2 количество пар знакомых юношей и девушек, в которых девушка одна из выбранных b1 девушек. Ясно, что n2 n1, n1 = ka1 и n2 = kb1. Поэтому b1 a1. Это неравенство позволяет воспользоваться результатом задачи 22.9.

Глава 23.

Комплексные числа Комплексным числом называют выражение вида a + bi, где a и b вещественные числа, а i символ, удовлетворяющий соотношению i2 = -1. Если z = a + bi, то числа a и b называют соответственно вещественной и мнимою частью числа z (обозначение: a = Re z, b = = Im z), а комплексное число a - bi называют числом, сопряжённым к числу z (обозначение: z). Перемножают комплексные числа по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов, заменяя каждый раз i2 на -1, т.е.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.

Каждое вещественное число a можно рассматривать как комплексное число a + 0i.

Если на плоскости выбрать систему координат, то можно установить взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости, при котором числу a + bi соответствует точка с координатами (a, b). При этом умножение на комплексное число z приобретает следующую геометрическую интерпретацию. Пусть r расстояние от нуля до z, угол, на который нужно повернуть вокруг нуля луч, содержащий положительные вещественные числа, чтобы получить луч Oz. Тогда умножение на число z это композиция гомотетии с коэффициентом r (с центром в нуле) и поворота на угол.

Числа r и называют соответственно модулем и аргументом числа z (обозначение: r = |z|, = arg z). По-другому геометрическую интерпретацию произведения комплексных чисел можно сформулировать так: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

250 Глава 23. Комплексные числа Зная геометрическую интерпретацию комплексных чисел, легко научиться их делить: для этого нужно делить модули и вычитать аргументы. Деление можно ввести также и чисто алгебраически. Для каждого комплексного числа z = a + bi имеет место очевидное равенство zz = (a + bi)(a - bi) = a2 - b2i2 = a2 + b2 = |z|2.

Поэтому w/z = wz/|z|2.

23.1. Тождества и неравенства для комплексных чисел 23.1. Пусть a и b комплексные числа. Докажите, что Re(a = b) = Re(b).

23.2. Пусть a и b комплексные числа. Докажите, что |a + b|2 - |a - b|2 = 4 Re(a b).

23.3. Пусть z и w комплексные числа. Докажите, что |z + w|2 + |z - w|2 = 2|z|2 + 2|w|2.

23.4. Пусть a, b и c комплексные числа. Докажите, что следующие неравенства эквивалентны:

1) Re[(a - c)( - b)] 0;

c a + b c 2) - - b|.

|a 2 23.2. Формула Муавра 23.5. Докажите, что (cos + i sin )n = cos n + i sin n для любого натурального n (формула Муавра).

2 n 23.6. а) Докажите, что числа sin2, sin2,..., sin2n + 1 2n + 1 2n + являются корнями многочлена 2n + 1 2n + 1 2n + (1-x)n- (1-x)n-1x+ (1-x)n-2x2-...+(-1)nxn.

1 3 2 n б) Докажите, что числа ctg2, ctg2,..., ctg2 яв2n + 1 2n + 1 2n + ляются корнями многочлена 2n + 1 2n + 1 2n + xn - xn-1 + xn-2 -... + (-1)n.

1 3 Глава 23. Комплексные числа 23.7. Используя результат задачи 23.6, вычислите следующие суммы и произведения:

2 n а) ctg2 + ctg2 +... + ctg2 ;

2n + 1 2n + 1 2n + 1 1 б) + +... + ;

n sin2 sinsin2n + 1 2n + 2n + 2 n в) sin sin... sin.

2n + 1 2n + 1 2n + 23.3. Корни из единицы Корнем n-й степени из единицы называют комплексное число, для которого n = 1. Примитивным корнем n-й степени из единицы называют комплексное число, для которого n = 1 и k = 1 при k = 1, 2,..., n - 1.

23.8. а) Докажите, что x2n - 1 = (x2 - 1) x2 - 2x cos + 1 x2 - 2x cos + 1...

n n (n - 1)... x2 - 2x cos + 1.

n б) Докажите, что 2 (n - 1) n sin sin... sin =.

2n 2n 2n 2n-в) Докажите, что 2 (n - 1) n cos cos... cos =.

2n 2n 2n 2n-23.9. а) Докажите, что 2 x2n+1 - 1 = (x - 1) x2 - 2x cos + 1 x2 - 2x cos + 1...

2n + 1 2n + 2n... x2 - 2x cos + 1.

2n + б) Докажите, что 2 n 2n + sin sin... sin =.

2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n 252 Глава 23. Комплексные числа 23.10. Докажите, что примитивные корни n-й степени из единицы 2m 2m это числа cos + i sin, где число m взаимно просто с n.

n n 23.11. Пусть примитивный корень n-й степени из единицы. Докажите, что 0 при 1 k n - 1;

1 + k + 2k +... + (n-1)k = n при k = n.

23.12. Пусть z1,..., zn вершины правильного n-угольника на комплексной плоскости, z0 его центр. Докажите, что если P (z) многочлен степени не выше n - 1, то P (z1) +... + P (zn) = nP (z0).

23.13. Пусть примитивный корень степени n из единицы. Докажите, что (1 - )(1 - 2)(1 - 3)... (1 - n-1) = n.

23.14. Докажите, что произведение длин всех сторон и диагоналей, проведённых из одной вершины правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равно n.

23.15. а) Докажите, что многочлен P (x) = x4n + x3n + x2n + xn + делится на многочлен Q(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 тогда и только тогда, когда n не делится на 5.

б) Докажите, что если числа m и n взаимно простые, то x(m-1)n + +... + x2n + xn + 1 делится на xm-1 +... + x2 + x + 1.

23.16. Докажите, что 2 3 (n - 1) n 1 - cosn + cosn - cosn +... + (-1)n-1 cosn =.

n n n n 2n-23.17. Дано 2n чисел a-n, a-n+1,..., an+1. Рассмотрим 2n чисел n+ bq = appq, q = -n, -n + 1,..., n + 1, 2n p=-n где = cos + i sin. Докажите, что n n n+ ap = bq-pq.

2n q=-n Глава 23. Комплексные числа 23.4. Корни многочленов 23.18. Докажите, что если z0 корень многочлена с вещественными коэффициентами, то z0 тоже корень этого многочлена.

23.19. Докажите, что для любых натуральных чисел a, b, c многочлен x3a + x3b+1 + x3c+2 делится на x2 + x + 1.

23.20. Дан многочлен xn + a1xn-1 +... + an. Найдите многочлен, корнями которого являются: а) квадраты корней этого многочлена; б) кубы корней этого многочлена.

23.21. При каких натуральных n выражение an(b - c) + bn(c - a) + + cn(a - b) делится на a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca 23.22. а) Докажите, что многочлен Pn(x) = (x+ 1)n - xn - 1 делится на x2 + x + 1 тогда и только тогда, когда n = 6k ± 1.

б) Докажите, что Pn(x) делится на (x2 +x+1)2 тогда и только тогда, когда n = 6k + 1.

в) Докажите, что Pn(x) не делится на (x2 + x + 1)3.

Решения 23.1. Ясно, что Re(a = Re(a = Re(b).

b) b) 23.2. Ясно, что |a ± b|2 = (a ± b)(± = |a|2 + |b|2 ± (a+ b). Далее, число b) b a + b = a + a вещественное, поэтому оно равно Re(a + b) = 2 Re(a b b b b b).

23.3. Пусть z = a + ib и w = c + id, где a, b, c, d вещественные числа.

Тогда |z ± w|2 = (a ± c)2 + (b ± d)2 = a2 ± 2ac + c2 + b2 ± 2bd + d2.

Поэтому |z + w|2 + |z - w|2 = 2(a2 + b2 + c2 + d2) = 2|z|2 + 2|w|2.

23.4. Ясно, что Re[(a - c)( - b)] = - Re(a - |c|2 + Re(a + bc) c b) c и c a + b |a - b|2 - - = 4 = |a - b|2 - |a + b|2 - |c|2 + Re[c( + b)] = = - Re(a - |c|2 + Re(a+ bc).

b) c Таким образом, c a + b Re[(a - c)( - b)] = |a - b|2 - -.

c 4 254 Глава 23. Комплексные числа 23.5. Модуль числа z = cos + i sin равен 1, а его аргумент равен.

Поэтому модуль числа zn равен 1, а его аргумент равен n.

23.6. а) Согласно формуле Муавра cos(2n + 1) + i sin(2n + 1) = (cos + + i sin )2n+1. Поэтому 2n + 1 2n + sin(2n+1) = cos2n sin - cos2n-2 sin3 +...+(-1)n sin2n+1.

1 (1).

n Значит, числа 0, ± sin,..., ± sin являются корнями многочлена 2n + 1 2n + 2n + 1 2n + (1 - y2)ny - (1 - y2)n-1y3 +... + (-1)ny2n+1.

1 После деления этого многочлена на y и замены x = y2 получаем требуемое.

б) Из формулы (1) следует, что 2n + 1 2n + sin(2n+1) = sin2n+1 ctg2n - ctg2n-2 +... + (-1)n.

1 n Поэтому числа ± ctg,..., ± ctg являются корнями многочлена 2n + 1 2n + 2n + 1 2n + y2n - y2n-2 +... + (-1)n.

1 23.7. а) Рассматриваемая сумма равна 2n + 1 2n + 1 n(2n - 1) =.

3 1 б) Тождество = 1 + ctg2 показывает, что рассматриваемая сумма sinn(2n - 1) 2n(n + 1) равна + n =.

3 2n + в) О т в е т:. Квадрат рассматриваемого произведения с точностью 2n до знака равен отношению свободного члена многочлена из задачи 23.6 а) к 2n + коэффициенту при xn. Свободный член равен ; коэффициент при 2n + 1 2n + 1 2n + xn с точностью до знака равен + +... +. Если 1 2n + 2n + 1 2n + 1 2n + к последней сумме прибавить + +... +, то в 0 2 2n 2n + результате получим 22n+1. Но обе эти суммы равны, поскольку = 2k + 2n + 1 2n + =. Значит, квадрат рассматриваемого произведения равен.

2n - 2k 22n Ясно также, что рассматриваемое произведение положительно.

23.8. а) Корни 2n-й степени из единицы, отличные от ±1, имеют вид k k cos ± i sin, где k = 1, 2,..., n - 1. Остаётся заметить, что n n k k k k k x - cos - i sin x - cos + i sin = x2 - 2x cos + 1.

n n n n n Глава 23. Комплексные числа б) Воспользуемся равенством из задачи а), предварительно заметив, что x2n - = x2n-2 + x2n-4 +... + x2 + 1.

x2 - В результате получим 2 (n - 1) 2n-1 1 - cos 1 - cos... 1 - cos = n.

n n n Заметим теперь, что 1 - cos = 2 sin2. Ясно также, что рассматриваемое произведение синусов положительно.

k (n - k) в) Следует из б), поскольку sin = cos.

2n 2n 23.9. Обе задачи решаются аналогично задаче 23.8. Нужно лишь заметить, что число -1 не является корнем степени 2n + 1 из единицы.

2m 2m 23.10. Для любого целого числа m число z = cos +i sin является n n 2km 2km корнем n-й степени из единицы. При этом zk = cos + i sin. Чтобы n n число z было примитивным корнем из единицы, нужно, чтобы все числа m, 2m,..., (n - 1)m не делились на n. Это эквивалентно тому, что m взаимно просто с n.

23.11. Если 1 k n - 1, то k = 1, поэтому 1 + k + 2k +... + (n-1)k = nk - 1 1 - = = = 0. При k = n получаем сумму n слагаемых, каждое из k - 1 k - которых равно 1.

23.12. Пусть примитивный корень n-й степени из единицы. Тогда zm = z0 + am при m = 1,..., n. Поэтому m m k k k-1 k-zm = (z0 + am)k = z0 + z0 am + z0 a22m +... + akkm.

1 n-Но km = 0 при 1 k n - 1 (задача 23.11). Поэтому требуемое m=равенство выполняется для многочлена Q(z) = zk, где 1 k n - 1. Значит, оно выполняется и для любого многочлена P (z) степени не выше n - 1.

xn - 23.13. Ясно, что 1+x+x2+...+xn-1 = = (x-)(x-2)... (x-n-1).

x - Равенство (x - )(x - 2)... (x - n-1) = 1 + x + x2 +... + xn-1 верно для всех x, в том числе и для x = 1.

23.14. Можно считать, что вершины правильного n-угольника точки 1,, 2,..., n-1, где примитивный корень n-й степени из единицы. Длины сторон и диагоналей, проведённых из точки 1, равны |1 - |, |1 - 2|,..., |1 - n-1|. Согласно задаче 23.13 их произведение равно n.

23.15. а) Корни многочлена P (x) это примитивные корни 5-й степени из единицы. Поэтому Q(x) делится на P (x) тогда и только тогда, когда все примитивные корни 5-й степени из единицы являются корнями многочлена Q(x). Пусть примитивный корень 5-й степени из единицы. Если n делится 5n - на 5, то Q() = 5. А если n не делится на 5, то Q() = = 0.

n - 256 Глава 23. Комплексные числа б) Ясно, что x(m-1)n +... + x2n + xn + 1 (xmn - 1)(x - 1) =.

xm-1 +... + x2 + x + 1 (xm - 1)(xn - 1) Многочлен (xm - 1)(xn - 1) имеет двукратный корень 1, а остальные его корни корни степени m и n из единицы, отличные от 1; все они различны, поскольку числа m и n взаимно простые. Многочлен (xmn - 1)(x - 1) тоже имеет двукратный корень 1, поэтому остаётся проверить, что любой корень степени m или n из единицы является корнем многочлена xmn - 1, но это очевидно.

23.16. Пусть = cos + i sin. Тогда n = -1, поэтому рассматриваемая n n сумма равна n n-1 n n- j + -j 1 n nj = nj j(n-2k) = 2 2n k j=0 j=0 k=n n- 1 n = (2)j(n-k).

2n k k=0 j=Число 2 является примитивным корнем степени n из единицы, поэто n-му согласно задаче 23.11 (2)j(n-k) = n при k = 0 или n, а при j=1 k < n эта сумма равна нулю. Таким образом, исходная сумма равна 1 n n n n + n =.

2n 0 n 2n-23.17. Рассмотрим число n+1 n+1 n+ sp = 2n bq-pq = ar (r-p)q.

q=-n r=-n q=-n n+Если r = p, то (r-p)q = 2n. Если же r = p, то эта сумма равна нулю.

q=-n Действительно, примитивный корень (2n)-й степени из единицы, поэтому можно воспользоваться задачей 23.11 (сумма там та же самая, поскольку 2n = 1; слагаемые просто переставляются по циклу). В результате получаем sp = 2nap. После деления на 2n получаем требуемое.

23.18. Пусть P (z) = a0zn + a1zn-1 +... + an, где a0, a1,..., an вещественные числа. Тогда P (z) = a0zn + a1zn-1 +... + an = P (z). Поэтому если P (z0) = 0, то P (z0) = P (z0) = 0.

23.19. Если корень многочлена x2 + x + 1, то 3 = 1. Поэтому 3a + + 3b+1 + 3c+2 = 1 + + 2 = 0.

23.20. а) Перемножим многочлены xn + a1xn-1 +... + an = = (x-x1)... (x-xn) и xn-a1xn-1+a2xn-2-a3xn-3+...±an = (x+x1)... (x+ +xn). В результате получим многочлен (xn+a2xn-2+...)2-(a1xn-1+a3xn-3+ +...)2 = (x2-x2)... (x2-x2 ) Положив y = x2, получим требуемый многочлен 1 n yn + (2a2 - a2)yn-1 + (a2 - 2a1a3 + 2a4)yn-2 +... = (y - x2)... (y - x2 ).

1 2 1 n Глава 23. Комплексные числа б) Представим данный многочлен в виде P (x)+xQ(x)+x2R(x), где P (x) = = an + an-3x3 +..., Q(x) = an-1 + an-4x3 +..., R(x) = an-2 + an-5x3 +...

Пусть 3 = 1 и = 1. Тогда P (x) + xQ(x) + x2R(x) = (x - x1)... (x - xn), P (x) + xQ(x) + 2x2R(x) = (x - x1)... (x - xn), P (x) + 2xQ(x) + x2R(x) = (2x - x1)... (2x - xn).

Перемножив эти равенства, получим P (x) + x3Q3(x) + x6R6(x) - 3x3P (x)Q(x)R(x) = (x3 - x3)... (x3 - x3 ).

1 n Заменив в многочлене P (x) + x3Q3(x) + x6R6(x) - 3x3P (x)Q(x)R(x) каждый член x3k на yk, получим требуемый многочлен.

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.