WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 65 |

n (m - 1)!(n - 2m)! m Далее, (n - m - 2)!(n - 1) (n - m - 2)!(n - 2) + = m!(n - 2m - 1)!n (m - 1)!(n - 2m)!n (n - m - 2)! n - 1 n - 2 (n - m - 1)! = + =.

(m - 1)!(n - 2m - 1)!n m n - 2m m!(n - 2m)! В результате получаем требуемое.

1.18. Если у квадратного трёхчлена нет корней, то все его значения одного знака. Если у квадратного трёхчлена ровно один корень, то все его значения одновременно неотрицательны или неположительны. Если квадратный трёхчлен имеет корни x1 и x2, где x1 < x2, то его значения при x < x1 и при x > x2 имеют один знак, а при x1 < x < x2 другой знак. Поэтому если квадратный трёхчлен в двух точках принимает значения разных знаков, то между этими точками лежит x1 или x2.

20 Глава 1. Квадратный трёхчлен 1.19. Пусть f(x) = x2 - 2ax - 2b. По условию 2 = -a - b и 2 = a +, поэтому f() = 2 +22 = 32 и f() = 2 -22 = -2. Значит, f()f() 0.

Поэтому на отрезке [, ] лежит по крайней мере один корень квадратного уравнения x2 - 2ax - 2b = 0.

1.20. Пусть квадратный трёхчлен f(x) имеет вещественные корни x1 и x2 = x1 + n + a, где a 0. Для определённости будем считать, что коэффициa ент при x2 положителен. Положим x0 = x1 +. Тогда x0 x1 и x0 + n x2.

Поэтому f(x0)+f(x0 +1)+...+f(x0 +n) < 0. У квадратного трёхчлена f(x)+ +... + f(x + n) коэффициент при x2 положителен, поэтому при достаточно больших x он принимает положительные значения.

a 1.21. При x = x1 и при x = x2 трёхчлен x2 + bx + c принимает значения -ax2/2 и 3ax2/2. Эти значения имеют разные знаки, поэтому один из корней 1 трёхчлена расположен между x1 и x2.

1.22. Предположим, что |f(x)| < 1/2 при |x| 1. Квадратный трёхчлен g(x) = x2 - в точках ±1 и 0 принимает значения 1/2 и -1/2. Поэтому f(±1) < g(±1) и f(0) > g(0). Значит, графики функций f и g пересекаются по крайней мере в двух точках: одна точка пересечения лежит на отрезке [-1, 0], а вторая на отрезке [0, 1].

Покажем, что графики функций f и g пересекаются лишь в одной точке.

1 Из равенства x2 +ax+b = x2 - следует, что ax+b = -. Условие f(0) > g(0) 2 означает, в частности, что b = -1/2. Поэтому уравнение ax + b = - имеет единственное решение.

1.23. Достаточно доказать, что ax2 + bx + c x2 - (для многочлена -ax2 - bx - c можно применить аналогичное неравенство).

Пусть f(x) = ax2 + bx + c и g(x) = x2 -. Тогда f(0) g(0) = -1/и f(±1) g(±1) = 1/2. Поэтому графики функций f и g имеют две общие точки над отрезком [-1, 1], а больше двух общих точек они иметь не могут (если только f и g не совпадают тождественно).

Если f(±1) < g(±1), то неравенство f(x) < g(x) будет выполняться и при |x| 1. Нужно лишь более аккуратно рассмотреть случай, когда f(1) = = g(1) или f(-1) = g(-1). Неприятности могли бы возникнуть, например, если f(1) = g(1) и f(x) g(x) при всех x, достаточно близких к 1. Но тогда квадратный трёхчлен f(x)-g(x) строго положителен при x = 1. В частности, f(-1) > g(-1), чего не может быть.

1.24. Согласно задаче 1.23 |ay2 + by + c| 2y2 - 1 при |y| 1. Положим y = 1/x. Тогда 1 |cx2 + bx + a| = |ay2 + by + c| (2y2 - 1) y2 yпри |y| 1, т.е. при 0 < |x| 1. Для x = 0 неравенство тоже выполняется, поскольку оно выполняется для всех x, близких к нулю.

Глава 1. Квадратный трёхчлен 1.25. Предположим, что точка (x0, y0) принадлежит конике ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0.

Любая прямая, проходящая через точку (x0, y0), задаётся уравнением y-y0 = = k(x - x0) (или уравнением x = x0, что соответствует k = ). Найдём вторую точку пересечения прямой и коники. Для этого подставим уравнение прямой в уравнение коники (т.е. заменим в уравнении коники y на k(x - x0) + + y0) и вычислим коэффициенты A и B при x2 и x (свободный член C нас интересовать не будет):

A = a + bk + ck2;

B = -bkx0 + by0 - 2ck2x0 + 2cky0 + d + ke.

Рассматриваемая прямая является касательной к конике тогда и только тогда, когда она пересекает конику только в точке (x0, y0).1 Эквивалентное условие таково: 2x0 = -B/A, т.е.

k(bx0 + 2cy0 + e) = -(2ax0 + by0 + d).

Таким образом, уравнение касательной имеет вид (x - x0)(2ax0 + by0 + d) + (y - y0)(bx0 + 2cy0 + e) = 0.

По условию точка (x0, y0) принадлежит конике, т.е. ax2 + bx0y0 + cy0 + dx0 + + ey0 + f = 0. Воспользовавшись этим равенством, уравнение касательной можно записать в другом виде:

(2ax0 + by0 + d)x + (bx0 + 2cy0 + e)y + dx0 + ey0 + 2f = 0.

1.26. Непосредственно следует из задачи 1.25.

1.27. Пусть x1 общий корень данных уравнений. Вычитая одно уравнение из другого, получаем (p1 - p2)x1 = q2 - q1. Если p1 = p2, то q1 = q2.

q2 - qЕсли же p1 = p2, то x1 =. Подставив это выражение для x1 в любое из p1 - pдвух квадратных уравнений, получим требуемое соотношение. При p1 = p2 и q1 = q2 это соотношение тоже выполняется.

Наоборот, пусть (q2 - q1)2 + (p1 - p2)(p1q2 - q1p2) = 0. Если p1 = p2, то q1 = = q2; в этом случае уравнения совпадают, поэтому они имеют общий корень.

q2 - qЕсли p1 = p2, то положим x1 =. Легко проверить, что x2+p1x1+q1 = p1 - pи x2 + p2x1 + q2 = 0.

q2 - q1.28. Из условия, в частности, следует, что p1 = p2. Положим x1 =.

p1 - pТогда (q2 - q1)2 + (p1 - p2)(p1q2 - q1p2) x2 + p1x1 + q1 = x2 + p2x1 + q2 = < 0.

1 (p1 - p2)Это утверждение не совсем точно. Например, прямые x = x0 и y = y0 пересекают гиперболу xy = 1 в одной точке, но не являются касательными. Но на самом деле эти прямые пересекают гиперболу ещё и в бесконечно удалённых точках. С учётом бесконечно удалённых точек утверждение верно.

22 Глава 1. Квадратный трёхчлен Это означает, что графики функций f1(x) = x2 + p1x + q1 и f2(x) = x2 + p2x + + q2 пересекаются в точке (x1, y1), где y1 < 0. В таком случае квадратные трёхчлены x2 + p1x + q1 и x2 + p2x + q2 имеют вещественные корни и между корнями каждого из них лежит корень другого.

Глава 2.

Уравнения 2.1. Замена переменных 2.1. Решите уравнение (x2 - x - 1)3 + (x2 - 3x + 2)3 = (2x2 - 4x + 1)3.

2.2. Решите уравнение x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0.

2.3. Решите уравнение x4 + ax3 + bx2 - ax + 1 = 0.

2.4. Решите уравнение x4 + ax3 + (a + b)x2 + 2bx + b = 0.

1 2.5. Решите уравнение - = 1.

x2 (x + 1)2.2. Угадывание корней (x2 - x + 1)3 (a2 - a + 1)2.6. Решите уравнение =, где a > 1.

x2(x - 1)2 a2(a - 1)2.7. Решите уравнение x x(x - 1) x(x - 1)... (x - n + 1) 1 - + -... + (-1)n = 0.

1 2! n! 2.8. Пусть n > 1 натуральное число. Найдите все положительные решения уравнения xn - nx + n - 1 = 0.

24 Глава 2. Уравнения 2.3. Уравнения с радикалами В задачах 2.9–2.15 предполагается, что значения квадратных корней неотрицательны. При этом нас интересуют только вещественные корни уравнений.

2.9. Решите уравнение 2x - 6 + x + 4 = 5.

2.10. Решите уравнение m m m (1 + x)2 - (1 - x)2 = 1 - x2.

2.11. Решите уравнение 3 x2 - 9 + 4 x2 - 16 + 5 x2 - 25 =.

x 2.12. Решите уравнение x + 3 + x = 3.

2.13. Решите уравнение a - a + x = x.

2.14. Решите уравнение x + 3 - 4 x - 1 + x + 8 - 6 x - 1 = 1.

3 2.15. Решите уравнение 1 - x + 1 + x = p, где p произвольное вещественное число.

2.4. Разные уравнения 2.16. Решите уравнение |x + 1| - |x| + 3|x - 1| - 2|x - 2| = x + 2.

2.17. Решите уравнение x3 - [x] = 3, где [x] означает наибольшее целое число, не превосходящее x.

Решения 2.1. Положим u = x2 - x - 1 и v = x2 - 3x + 2. Тогда рассматриваемое уравнение запишется в виде u3 + v3 = (u + v)3, т.е. 3uv(u + v) = 0. Остаётся Глава 2. Уравнения решить три квадратных уравнения x2 - x - 1 = 0, x2 - 3x + 2 = 0 и 2x2 - 4x + + 1 = 0.

2.2. Сделайте замену y = x +.

x 2.3. Сделайте замену y = x -.

x 1 2.4. Сделайте замену y = +.

x x2.5. Это уравнение эквивалентно уравнению x4 + 2x3 + x2 - 2x - 1 = 0.

Уравнение из задачи 2.4 при a = 2 и b = -1 принимает именно такой вид.

(x2 - x + 1)2.6. Рациональная функция R(x) = переходит сама в себя x2(x - 1)при замене x на 1/x или на 1 - x. Поэтому рассматриваемое уравнение имеет корни a, 1/a, 1 - a, 1/(1 - a), 1 - и a/(1 - a). При a > 1 все эти шесть a чисел различны. Рассматриваемое уравнение имеет степень 6, поэтому у него не может быть более шести корней.

2.7. О т в е т: x = 1, 2,..., n. Равенство k k(k - 1) k(k - 1)... 2 · 1 - + -... + (-1)k = (1 - 1)k = 1 2! k! показывает, что числа k = 1, 2,..., n являются корнями данного уравнения.

Больше n корней это уравнение иметь не может, поскольку его степень равна n.

2.8. О т в е т: x = 1. Ясно, что xn - nx + n - 1 = (1 + x +... + xn-1 - n)(x - 1).

Если x > 1, то 1 + x +... + xn-1 - n > 0, а если 0 < x < 1, то 1 + x +... + + xn-1 - n < 0.

2.9. Положим y = x + 4. Тогда x y2 - 4, поэтому 2x - 6 = 2y2 - 14.

= Таким образом, получаем уравнение 2y2 - 14 + y = 5. Перенесём y в правую часть и возведём обе части в квадрат. В результате получим уравнение y2 + 10y - 39 = 0. Его корни 3 и -13. Но y 0, поэтому остаётся только корень y = 3, которому соответствует x = 5. Легко проверить, что x = действительно является корнем рассматриваемого уравнения.

2.10. Ясно, что x = ±1. Поэтому можно поделить обе части уравнения на m m 1 - x2 = (1 - x)(1 + x). В результате получим уравнение 1 + x 1 - x m m - = 1.

1 - x 1 + x 1 + x m Положим z =. Для z получаем квадратное уравнение z2 - z - 1 = 0.

1 - x 1 ± 5 zm - Значит, z =. При этом x =.

2 zm + 26 Глава 2. Уравнения 2.11. Выражение в левой части при увеличении x возрастает, а выражение в правой части убывает. Поэтому уравнение имеет не более одного решения.

Легко проверить, что x = 5 решение.

2.12. Если x > 1, то x + 3 + x > 3, а если x < 1, то x + 3 + x < 3.

Остаётся только корень x = 1.

2.13. Избавляясь от радикалов, приходим к уравнению x4 - 2ax2 - x + a2 - a = 0.

Относительно a это уравнение квадратное. Решая его, получаем два решения:

a = x2 + x + 1;

a = x2 - x.

Решая эти квадратные уравнения относительно x, получаем четыре решения:

1 x1,2 = - ± a - ;

2 1 x3,4 = ± a +.

2 2.14. О т в е т: 5 x 10. Заметим, что x + 3 - 4 x - 1 = ( x - 1 - 2)2, x + 8 - 6 x - 1 = ( x - 1 - 3)2.

Поэтому исходное уравнение можно записать в виде | x - 1 - 2| + | x - 1 - 3| = (все корни мы считаем положительными). Рассмотрим по очереди все возможные случаи.

1. x - 1 - 2 0 и x - 1 - 3 0, т.е. x 10. В этом случае уравнение имеет единственное решение x = 10.

2. x - 1 - 2 0 и x - 1 - 3 0, т.е. 5 x 10. В этом случае получаем тождество, т.е. если 5 x 10, то x является корнем данного уравнения.

3. x - 1-2 0 и x - 1-3 0, т.е. x 5. Уравнение имеет единственное решение x = 5.

Случай, когда x - 1 - 2 0 и x - 1 - 3 0, очевидно, невозможен.

2.15. Возведём обе части уравнения в куб:

3 2 + 3 1 - x2 3 1 - x + 1 + x = p3.

3 Затем подставим p вместо 1 - x + 1 + x. В результате получим уравнение 2 + 3p 1 - x2 = p3, откуда p3 - x = ± 1 - ;

3p Глава 2. Уравнения Эта формула имеет смысл при p = -1 и 0 < p 2. Но при этом мы применяли неэквивалентные преобразования: потерять корни мы не могли, но могли приобрести лишние корни.

Проанализируем более детально наши преобразования. Положим u = 3 = 1 - x, v = 1 + x. Возведём обе части уравнения u + v = p в куб (это эквивалентное преобразование). В результате получим u3 + v3 + 3uv(u + v) = = p3. Подставим p вместо u + v. В результате получим u3 + v3 + 3uvp = p3, т.е. (u + v)3 - p3 - 3uv(u + v - p) = 0. Запишем (u + v)3 - p3 по формуле для разности кубов: a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2). Вынеся (u + v - p) за скобку, получим уравнение (u + v - p)(u2 + v2 + p2 + up + vp - uv) = 0.

Лишние корни могут быть связаны только с уравнением (u2 + v2 + p2 + up + + vp - uv) = 0, т.е. (u + p)2 + (v + p)2 + (u - v)2 = 0. Итак, лишние корни 3 могут получиться только если u = v = -p, т.е 1 - x = 1 + x = -p. Эта система уравнений имеет единственное решение x = 0, p = -1. Корень x = при p = -1 действительно лишний.

2.16. О т в е т: x = -2 или x 2.

Если x 2, получаем тождество.

Если 1 x < 2, получаем уравнение 4x = 8, которое не имеет корней на данном интервале.

Если 0 x < 1, получаем уравнение -2x = 2, которое не имеет корней на данном интервале.

Если -1 x < 0, получаем 0 = 2, чего не может быть.

Если x < -1, получаем корень x = -2.

2.17. О т в е т: x = 4.

Пусть [x] = n и x = n+, где 0 < 1. Данное уравнение записывается в виде x3-x+ = 3. Неравенство 0 < 1 показывает, что 2 < x3-x 3. Если x 2, то x(x2 - 1) 2 · 3 = 6, поэтому в этом случае неравенство x3 - x 3 не выполняется. Если x < -1, то x(x2 - 1) < 0, поэтому неравенство 2 < x3 - x не выполняется. Таким образом, нас интересует случай, когда -1 x < 2, т.е. [x] = -1, 0 или 1. Соответственно получаем уравнения x3 + = 3, x3 = 3 3 = x3 - 1 = Находим решения: x = 2, x = 3, x = 4. При этом 3, 3. их 3 3 [ 2] = -1, [ 3] = 0 и [ 4] = 1, поэтому решением исходного уравнения является только 4.

Глава 3.

Системы уравнений 3.1. Нахождение всех решений В задачах 3.1–3.8 требуется найти все решения указанных систем уравнений.

3.1.

x(y + z) = 35, y(x + z) = 32, z(x + y) = 27.

3.2.

x + y + xy = 19, y + z + yz = 11, z + x + zx = 14.

3.3.

2y = 4 - x2, 2x = 4 - y2.

3.4.

x + y + z = a, x2 + y2 + z2 = a2, x3 + y3 + z3 = a3.

Глава 3. Системы уравнений 3.5.

- x1x2 = 0, - x2x3 = 0, 1 - x3x4 = 0,......

- xn-1xn = 0, 1 - xnx1 = 0.

3.6.

x3 - y3 = 26, x2y - xy2 = 6.

3.7.

3xyz - x3 - y3 - z3 = b3, x + y + z = 2b, x2 + y2 - z2 = b2.

3.8.

x2 + y2 - 2z2 = 2a2, x + y + 2z = 4(a2 + 1), z2 - xy = a2.

3.2. Нахождение вещественных решений В задачах 3.9–3.14 требуется найти все вещественные решения указанных систем уравнений.

3.9.

x + y + xy = 2 + 3 2, x2 + y2 = 6.

3.10.

x3 + y3 = 1, x4 + y4 = 1.

3.11.

x + y = 2, xy - z2 = 1.

30 Глава 3. Системы уравнений 3.12.

3x - y x + = 3, x2 + yx + 3y y - = 0.

x2 + y3.13.

(x3 + x4 + x5)5 = 3x1, (x4 + x5 + x1)5 = 3x2, (x5 + x1 + x2)5 = 3x3, (x1 + x2 + x3)5 = 3x4, (x2 + x3 + x4)5 = 3x5.

3.14.

2x = x2, 1 + x 2x= x3, 1 + x 2x = x1.

1 + x3.3. Положительные решения В задаче 3.15 требуется найти все положительные решения указанной системы уравнений.

3.15.

x1 + x2 = x2, x2 + x3 = x2, x3 + x4 = x2, x4 + x5 = x2, x5 + x1 = x2.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.