WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 65 |

Решения..................................... Г л а в а 39. Теория множеств 39.1. Конечные множества (482). 39.2. Операции над множествами (482). 39.3. Равномощные множества (483). 39.4. Счётные множества (484). 39.5. Мощность континуума (484). 39.6. Свойства мощности (485). 39.7. Парадоксы теории множеств (485).

Решения..................................... Дополнение 1. Рациональная параметризация окружности (490). 2. Суммы квадратов многочленов (493). 3. Представление чисел в виде суммы двух квадратов (496). 4. Построение правильного 17-угольника (498).

5. Построения циркулем и линейкой (501). 6. Хроматический многочлен графа (507). 7. Трансцендентность чисел e и (510). 8. Разрешимость уравнений в радикалах (514). 9. Диофантовы уравнения для 10 Оглавление многочленов (525). 10. Теорема Ван дер Вардена об арифметической прогрессии (529). 11. Происхождение математических терминов (533).

Указатель имён Предметный указатель Предисловие Книга состоит из 39 глав и Дополнения, которое содержит очерки, посвящённые избранным темам алгебры, арифметики и анализа.

В конце книги приведён предметный указатель. Структура книги во многом схожа со структурой моей книги Задачи по планиметрии, в четвёртом издании которой тоже появилось Дополнение и предметный указатель.

Книга предназначена для школьников, обучающихся в классах с углублённым изучением математики, и для преподавателей математики. В ней представлены практически все темы алгебры, арифметики и анализа, которые сейчас изучаются в математических классах. Некоторая часть изложенного материала выходит за рамки школьной программы, но не за рамки программ математических классов. В основном это те темы, которые традиционно вызывают большой интерес у школьников: свойства простых чисел, решение уравнений в целых числах, задачи о взвешивании монет, решение кубических уравнений, невозможность трисекции угла.

Для удобства читателя в книге принята подробная рубрикация.

Задачи распределены по 39 главам, каждая из которых разбита на несколько параграфов. За основу классификации приняты методы решения задач, хотя по необходимости существенную роль играют и внешние признаки (уравнения, неравенства, многочлены, тригонометрические функции и т.п.).

Основное внимание в книге уделено тем идеям, которые находят применение в современной математике или в других областях науки:

физике, экономике и т.д.

Дополнение состоит из отдельных очерков, посвящённых избранным темам алгебры, арифметики и анализа: рациональная параметризация окружности; суммы квадратов многочленов; представление чисел в виде суммы двух квадратов; построение правильного 17-угольника;

построения циркулем и линейкой; хроматический многочлен графа;

12 Предисловие трансцендентность чисел e и ; неразрешимость в радикалах общего уравнения пятой степени; диофантовы уравнения для многочленов; теорема Ван дер Вардена об арифметической прогрессии. В конце приведён словарик, в котором объяснено происхождение некоторых математических терминов.

По поводу незнакомых терминов следует обращаться к предметному указателю. Там можно узнать, на какой странице определяется соответствующее понятие.

Глава 1.

Квадратный трёхчлен 1.1. Наименьшее значение квадратного трёхчлена 1.1. Докажите, что если x > 0, то x + 2.

x 1.2. а) Докажите, что x(1 - x) 1/4. б) Докажите, что x(a - x) a2/4.

1.3. Докажите, что для чисел a, b, c, заключённых между 0 и 1, не могут одновременно выполняться неравенства a(1-b) > 1/4, b(1-c) > 1/4, c(1 - a) > 1/4.

1.4. При каком x функция f(x) = (x-a1)2 +...+(x-an)2 принимает наименьшее значение 1.5. Пусть x, y, z положительные числа, сумма которых равна 1.

1 1 Докажите, что + + 9.

x y z 1.6. Докажите, что расстояние от точки (x0, y0) до прямой ax + by + |ax0 + by0 + c| + c = 0 равно.

a2 + b1.7. Пусть a1,..., an неотрицательные числа, причём a1 +... + + an = a. Докажите, что a1a2 + a2a3 +... + an-1an a2/4.

14 Глава 1. Квадратный трёхчлен 1.2. Дискриминант 1.8. а) Пусть a, b, c вещественные числа. Докажите, что квадратное уравнение (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = имеет вещественный корень.

б) Докажите, что (a + b + c)2 3(ab + bc + ca).

1.9. Пусть a1,..., an, b1,..., bn вещественные числа. Докажите неравенство Коши (a1b1 +... + anbn)2 (a2 +... + a2 )(b2 +... + b2 ).

1 n 1 n 1.10. Докажите, что если (a + b + c)c < 0, то b2 > 4ac.

1.3. Разные задачи 1.11. а) Золотым сечением называют деление отрезка на две части, при котором весь отрезок относится к большей части, как б ольшая часть к меньшей. Чему равно при этом отношение меньшей части к большей б) Пусть a основание равнобедренного треугольника с углом при основании 72, b его боковая сторона. Докажите, что отрезки a и b делят отрезок a + b в золотом сечении.

1.12. Докажите, что квадратный трёхчлен ax2 + bx + c принимает целые значения при всех целых x тогда и только тогда, когда числа 2a, a + b и c целые.

1.13. У уравнений x2 + ax + b = 0 и x2 + cx + d = 0 нет корней, a + c b + d меньших x0. Докажите, что у уравнения x2 + x + = 0 тоже 2 нет корней, меньших x0.

1.14. Докажите, что если уравнения с целыми коэффициентами x2 + p1x + q1 = 0, x2 + p2x + q2 = имеют общий нецелый корень, то p1 = p2 и q1 = q2.

1.15. Докажите, что если при любом положительном p все корни уравнения ax2 + bx + c + p = 0 действительны и положительны, то коэффициент a равен нулю.

Глава 1. Квадратный трёхчлен 1.16. а) Трёхчлен ax2 + bx + c при всех целых x является точной четвёртой степенью. Докажите, что тогда a = b = 0.

б) Трёхчлен ax2 + bx + c при всех целых x является точным квадратом. Докажите, что тогда ax2 + bx + c = (dx + e)2.

1.17. Пусть x1 и x2 корни квадратного уравнения x2 + ax + b = 0, sn = xn + xn. Докажите, что 1 sn (n - m - 1)! = (-1)n+m an-2mbm, n m!(n - 2m)! m где суммирование ведётся по всем целым числам m, для которых 0 m n/2 (формула Варинга).

1.4. Теорема о промежуточном значении При решении задач о квадратном трёхчлене часто бывает полезно следующее утверждение, которое называют теоремой о промежуточном значении для квадратного трёхчлена. Пусть f(x) = ax2 + bx + c, где a = 0. Если f()f() 0, то на отрезке [, ] лежит по крайней мере один корень квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.

Для f(x) = (x)-(x) это означает, что если, например, () () и () (), то на отрезке [, ] есть точка x0, для которой (x0) = = (x0).

1.18. Докажите теорему о промежуточном значении для квадратного трёхчлена.

1.19. Пусть корень уравнения x2 + ax + b = 0, корень уравнения x2 - ax - b = 0. Докажите, что между числами и есть корень уравнения x2 - 2ax - 2b = 0.

1.20. Квадратный трёхчлен f(x) имеет два вещественных корня, разность которых не меньше натурального числа n 2. Докажите, что квадратный трёхчлен f(x) + f(x + 1) +... + f(x + n) имеет два вещественных корня.

1.21. Даны уравнения ax2 +bx+c = 0 и -ax2 +bx+c = 0. Докажите, что если x1 корень первого уравнения, а x2 второго, то найдётся a корень x3 уравнения x2 + bx + c = 0, для которого либо x1 x3 x2, либо x1 x3 x2.

1.22. Докажите, что на отрезке [-1, 1] квадратный трёхчлен f(x) = = x2 + ax + b принимает значение, абсолютная величина которого не меньше 1/2.

16 Глава 1. Квадратный трёхчлен 1.23. Докажите, что если |ax2 + bx + c| 1/2 при всех |x| 1, то |ax2 + bx + c| x2 - при всех |x| 1.

1.24. Докажите, что если |ax2 + bx + c| 1 при |x| 1, то |cx2 + bx + + a| 2 при |x| 1.

1.5. Уравнение касательной к конике 1.25. Найдите уравнение касательной к конике ax2 +bxy +cy2 +dx+ + ey + f = 0 в точке (x0, y0).

1.26. а) Докажите, что касательная в точке (x0, y0) к эллипсу (или гиперболе) ax2 + by2 = 1 задаётся уравнением ax0x + by0y = 1.

б)Докажите, что касательная в точке (x0, y0) к гиперболе xy = a задаётся уравнением x0y + y0x = 2a.

1.6. Результант 1.27. Докажите, что квадратные уравнения x2 + p1x + q1 = 0 и x2 + + p2x + q2 = 0 имеют общий корень (возможно комплексный) тогда и только тогда, когда (q2 - q1)2 + (p1 - p2)(p1q2 - q1p2) = 0.

Выражение (q2 -q1)2 +(p1-p2)(p1q2 -q1p2) называют результантом квадратных трёхчленов x2 + p1x + q1 и x2 + p2x + q2.

1.28. Докажите, что если числа p1, p2, q1, q2 удовлетворяют неравенству (q2 - q1)2 + (p1 - p2)(p1q2 - q1p2) < 0, то квадратные трёхчлены x2 +p1x+q1 и x2 +p2x+q2 имеют вещественные корни и между корнями каждого из них лежит корень другого.

Решения 1.1. Данное неравенство эквивалентно неравенству x2 - 2x + 1 0, т.е.

(x - 1)2 0.

1.2. а) Квадратный трёхчлен x2 - x принимает наименьшее значение при x = 1/2; оно равно -1/4.

б) Квадратный трёхчлен x2 - ax принимает наименьшее значение при x = a/2; оно равно -a2/4.

Глава 1. Квадратный трёхчлен 1.3. Согласно задаче 1.2 б) a(1 - a) 1/4, b(1 - b) 1/4, c(1 - c) 1/4.

Поэтому a(1 - b)b(1 - c)c(1 - a) = a(1 - a)b(1 - b)c(1 - c) (1/4)3.

1.4. Ясно, что f(x) = nx2-2(a1+...+an)x+a2+...+a2. Этот квадратный 1 n a1 +... + an трёхчлен принимает наименьшее значение при x =.

n 1 x + y + z y z 1.5. По условию = = 1 + +. Такие же выражения можx x x x 1 1 y x но написать для и. Согласно задаче 1.1 + 2. Написав ещё два y z x y аналогичных неравенства, получим требуемое.

ax + c 1.6. Пусть точка (x, y) лежит на прямой ax+by+c = 0. Тогда y = -, b поэтому ax + c (x - x0)2 + (y - y0)2 = (x - x0)2 + + y0 = b a2 + b2 ac ay0 c2 2cy0 = x2 + 2 -x0 + + x + x2 + + + y0.

b2 b2 b b2 b Минимальное значение полученного квадратного трёхчлена равно 2 c2 2cy0 (ax0 + by0 + c)b2 ac ay- -x0 + + + x2 + + + y0 =.

a2 + b2 b2 b b2 b a2 + b1.7. Пусть x = a1 + a3 + a5 +... Тогда a - x = a2 + a4 + a6 +... Поэтому согласно задаче 1.2 б) a2/4 x(a - x) = (a1 + a3 + a5 +...)(a2 + a4 + a6 +...) a1a2 + a2a3 +... + an-1an.

1.8. а) Пусть для определённости a b c. Тогда при x = b левая часть уравнения принимает значение (b-c)(b-a) 0. А при очень больших x левая часть положительна, поэтому уравнение имеет вещественный корень.

б) Достаточно заметить, что дискриминант рассматриваемого в а) уравнения неотрицателен.

1.9. Квадратный трёхчлен (a1x+b1)2 +...+(anx+bn)2 неотрицателен при всех x, поэтому его дискриминант неположителен. Вычислив дискриминант, получаем требуемое.

1.10. Рассмотрим квадратный трёхчлен f(x) = x2 + bx + ac. По условию f(c) < 0. Коэффициент при x2 положителен, поэтому рассматриваемый квадратный трёхчлен имеет два вещественных корня. Следовательно, его дискриминант D = b2 - 4ac положителен.

5 - 1.11. а) О т в е т:. Пусть отрезок разделён на два отрезка длиной y и z, причём y < z. Мы имеем золотое сечение тогда и только тогда, когда 18 Глава 1. Квадратный трёхчлен y z = = x, где x искомое число. Для x получаем уравнение x(x + z y + z y y + z + 1) = = 1. Решая его и отбрасывая отрицательный корень, получаем z z 1 x = - +.

2 б) Пусть ABC треугольник с углами A = 36, B = C = 72.

Пусть, далее, a = BC и b = AC. Проведём в этом треугольнике биссектрису BK. Тогда KBC = 36, поэтому треугольник BCK тоже равнобедренный с углом при основании 72. Кроме того, AK = AB, поскольку ABK = 36 = AB BC = BAK. Значит, KC = b - a, поэтому равенство = записывается в BC KC b a a + b b виде =, т.е. b2 - ba = a2. Следовательно, =, что и требовалось.

a b - a b a 1.12. Предположим сначала, что квадратный трёхчлен f(x) = ax2 + bx + + c принимает целые значения при всех целых x. Тогда, в частности, число f(0) = c целое. Числа f(±1) - c = a ± b тоже целые. Значит, число 2a = (a + + b) + (a - b) целое.

Предположим теперь, что числа 2a, a + b и c целые. Тогда число x(ax + b) целое при чётном x. А если x = 2k + 1, то число ax + b = 2ka + a + b целое.

1.13. Из условия следует, что если x x0, то x2+ax+b > 0 и x2+cx+d > 0.

Поэтому если x > x0, то 2x2 + (a + c)x + (b + d) > 0.

1.14. Если уравнение с целыми коэффициентами x2 + p1x + q1 = 0 имеет нецелый корень x1, то этот корень иррациональный. Действительно, пусть x1 = m/n несократимая дробь. Тогда m2 + p1mn + q1n2 = 0, поэтому mделится на n. Но по предположению числа m и n взаимно простые. Значит, число x1 целое.

Таким образом, данные уравнения общий корень x1 = a + b, где имеют числа a и b рациональные, а число b иррациональное.

Согласно теореме Виета второй корень первого уравнения равен -p1 - a - b при этом q1 = и = (a + b)(-p1 - a - b). Следовательно, q1 = (-p1 - 2a) b + где число r, r = -ap1 - a2 - b рациональное. Поэтому p1 = -2a и q1 = (a + b)(a - b) = = a2 - b. Аналогично для чисел p2 и q2 мы получаем те же самые выражения.

1.15. Предположим, что a > 0. Тогда при больших положительных p дискриминант D = b2 - 4ac - 4ap отрицателен, поэтому данное уравнение вообще не имеет действительных корней. Предположим, что a < 0. Тогда при c + p больших положительных p произведение корней, равное, отрицательно.

a 1.16. а) Ясно, что a 0 и c 0. Рассмотрим значения x, равные 1, 2,..., n. Если одно из чисел a и b отлично от нуля, то трёхчлен ax2+bx+c при таких x принимает по крайней мере n/2 различных значений. Эти значения заключены между 0 и an2+|b|n+c. Количество различных точных четвёртых степеней, заключённых между 0 и an2 +|b|n+c, не превосходит an2 + |b|n + c+1.

n Поэтому an2 + |b|n + c + 1 n/2, т.е. an2 + |b|n + c - 1. При очень Глава 1. Квадратный трёхчлен больших n такое неравенство выполняться не может, поскольку (n/2)4 будет гораздо больше, чем an2.

б) Пусть f(x) = ax2 + bx + c. Тогда 2 f(x + 1) - f(x) a(2x + 1) + b f(x + 1) - f(x) = =, f(x + 1) + f(x) f(x + 1) + f(x) поэтому limx f(x + 1) - f(x) = a. При целом x число f(x + 1) - f(x) является целым, поэтому a = d, где d целое число. Кроме того, при целых x x0 разность f(x + 1) - f(x) должна быть равна своему предельному значению d. Положим y = x0 + n. Тогда f(y) = f(x0) + nd при всех натуральных n. Таким образом, 2 ay2 + by + c = f(x0) + nd = dy - dx0 + f(x0) для всех y = x0 + n, n натуральное. Но тогда такое равенство имеет место для всех y. Итак, d = a и e = f(x0) - dx0, где x0 любое целое число.

1.17. Согласно теореме Виета x1 + x2 = -a и x1x2 = b. При n = 1 и 1 n = 2 требуемое равенство имеет вид x1 + x2 = -a и (x2 + x2) = a2 - b.

1 2 Второе равенство легко проверяется. Предположим, что требуемое равенство доказано для всех натуральных чисел, не превосходящих n - 1, где n 3.

Тогда sn 1 n - 1 (n - m - 2)! = (-asn-1 - bsn-2) = (-1)n+m an-2mbm+ n n n m!(n - 2m - 1)! m n - 2 (n - m - 3)! + (-1)n+m-1 an-2m-2bm+1.

n m!(n - 2m - 2)! m Заменив m + 1 на m, вторую сумму можно переписать в виде n - 2 (n - m - 2)! (-1)n+m an-2mbm.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.