WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 65 |

Пусть = Bk-1ABk, k = 1, 2,... Вычислив площадь треугольника 1 Bk-1ABk двумя способами, получим x = Bk-1A · ABk sin k, т.е. x = 2 = (k - 1)2 + x2 · k2 + x2(sin k). Поэтому x x sin k = >.

(k - 1)2 + x2 · k2 + x2 k2 + xx Учитывая, что k sin k, получаем < k. Остаётся заметить, что k2 + x1 +... + n < /2.

11.36. Согласно определению многочлена Чебышёва cos n = Tn(cos ), причём Tn(x) = 2n-1xn +... (задача 32.30). Поэтому f() = a0 + a1T1(x) + + a2T2(x) +... + anTn(x), где x = cos.

Наоборот, пусть задан многочлен P (x) = b0 + b1x +... + bnxn. Равенства cos = cos, cos 2 = 2 cos2 - 1, cos 3 = 4 cos3 - 3 cos,... позволяют 1 получить выражения cos = cos, cos2 = (cos 2+1), cos3 = (cos 3+ 2 + 3 cos ),... Если при этом в выражении для cosm встречается выражение cosk, где k < m, то мы записываем для cosk то выражение, которое уже было получено ранее. Так мы получим выражения cosm = cos m + c1 cos(m - 1) +... + cm-1 cos + cm.

2m-Заменив в многочлене P (x) каждый моном xm на cos m + c1 cos(m - 1) +... + cm-1 cos + cm, 2m-получим соответствующий тригонометрический многочлен.

11.37. а) Тригонометрический многочлен n-й степени представляет собой сумму слагаемых вида cos k, 0 k n. Поэтому достаточно проверить, что 2n- 1 km 0 при 0 k n - 1;

(-1)m cos = 2n n 1 при k = n.

m=При k = 0 и k = n это очевидно. Покажем, что если 1 k n - 1, то n-1 n- 2km k(2m + 1) (-1)m cos = 0, (-1)m cos = 0.

n n m=0 m=Действительно, согласно задаче 11. (2n - 1)k k 2n-1 sin + - sin 1 km n n (-1)m cos + = = 0.

2n n 2 sin m=142 Глава 11. Тригонометрия б) Согласно задаче а) среднее арифметическое чисел f(0), f,..., n (2n - 1) f равно an, поэтому среднее арифметическое их модулей не меньn ше |an|. Но если среднее арифметическое чисел не меньше |an|, то одно из них не меньше |an|.

11.38. Согласно задаче 11.36 многочлену P (x) соответствует тригонометрический многочлен f() со старшим коэффициентом 1/2n-1, для которого f() = P (cos ). Согласно задаче 11.37 |f(0)| для некоторого 0.

2n-Положим x = cos 0. Тогда |P (x0)| = |f(0)|.

2n- 11.39. Рассмотрим функцию g() = 2 sin f(x). Воспользовавшись тождеством 1 2 sin cos k = sin k + - sin k -, 2 2 получим g() = an sin n + - h(), где h() = (an - an-1) sin n - +... + (a1 - a0) sin + a0 sin -.

2 2 При этом |h()| (an - an-1) +... + (a1 - a0) + a0 = an. Более того, числа sin и sin - не могут быть одновременно равны +1, поэтому |h()| < an.

2 1 Таким образом, если sin n + = 1, то g() > 0, а если sin n + = -1, 2 то g() < 0.

1 1 1 + 2l Ясно, что sin n + = ±1 при n + = +l, т.е. при =.

2 2 2 1 + 2n 1 + 2l Между каждой парой соседних точек, где l = 0, 1,..., n, лежит ровно 1 + 2n один корень уравнения g() = 0. Всего получаем n корней, причём = 0 не корень. Значит, для всех этих точек функция sin не обращается в нуль (если 0, то sin обращается в нуль только при = 0), т.е. они являются также и корнями тригонометрического многочлена f().

Глава 12.

Уравнения в целых числах 12.1. Пифагоровы тройки Натуральные числа a, b, c называют пифагоровой тройкой, если a2 + + b2 = c2. Пифагорову тройку называют примитивной, если у чисел a, b, c нет общего делителя.

12.1. Докажите, что если a, b, c пифагорова тройка, то одно из этих чисел делится на 3, другое (или то же самое) делится на 4, третье на 5.

12.2. Пусть a, b, c примитивная пифагорова тройка. Докажите, что одно из чисел a и b чётно, а другое нечётно.

12.3. Пусть a, b, c примитивная пифагорова тройка, причём число a чётно. Докажите, что существуют взаимно простые числа m и n, для которых a = 2mn, b = m2 - n2, c = m2 + n2.

12.4. Пусть a, b, c примитивная пифагорова тройка. Докажите, что ab делится на 12.

12.5. Пусть a, b, c примитивная пифагорова тройка. Докажите, что число ab/2 (площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b) не может быть полным квадратом.

144 Глава 12. Уравнения в целых числах 12.2. Нахождение всех решений 12.6. Решите в целых числах уравнение 2xy + 3x + y = 0.

12.7. Решите в целых числах уравнение xy + 3x - 5y = -3.

12.8. Решите в целых числах уравнение x + y = x2 - xy + y2.

12.9. Решите в натуральных числах уравнение 2x + 7 = y2.

12.10. Пусть p > 2 простое число. Докажите, что число 2/p можно единственным способом представить в виде 1/x + 1/y, где x и y различные натуральные числа.

12.11. Пусть n натуральное число. Докажите, что количество ре1 1 шений уравнения + = в натуральных числах равно количеству x y n делителей числа n2.

12.12. а) Найдите все натуральные числа x, y, z, для которых 1 1 + + = 1.

x y z б) Найдите все натуральные числа x, y, z > 1, для которых 1 1 + + > 1.

x y z 12.13. а) Найдите все решения уравнения x2 + y2 + z2 = 2xyz в натуральных числах.

б) Найдите все решения уравнения x2 + y2 + z2 + u2 = 2xyzu в натуральных числах.

12.14. Решите в целых числах уравнение x3 - 2y3 - 4z3 = 0.

12.15. Решите в натуральных числах уравнение 2n + 1 = 3m.

12.16. Найдите все решения уравнения xy = yx а) в натуральных числах; б) в рациональных числах.

Глава 12. Уравнения в целых числах 12.3. Нахождение некоторых решений 12.17. а) Докажите, что для любого натурального n уравнение an + +bn = cn+1 имеет бесконечно много различных решений в натуральных числах.

б) Докажите, что если m и n взаимно простые натуральные числа, то уравнение an + bn = cm имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

12.4. Доказательство конечности числа решений 12.18. Докажите, что для любого натурального числа n уравнение x3 + y3 = n имеет конечное число целочисленных решений.

12.5. Уравнение Пелля Уравнение x2 - dy2 = 1, где d натуральное число, свободное от квадратов (т.е. число, не делящееся на квадрат натурального числа, отличного от 1), называют уравнением Пелля.

12.19. Докажите, что уравнение x2-2y2 = 1 имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

12.20. Пусть d натуральное число, свободное от квадратов.

Докажите, что существует константа C, для которой неравенство |x2 - dy2| < C имеет бесконечно много целочисленных решений.

Решение уравнения Пелля в натуральных числах с минимальным yбудем называть фундаментальным решением.

12.21. Докажите, что уравнение Пелля для любого натурального d (свободного от квадратов) имеет бесконечно много решений в натуральных числах. Более того, если (x1, y1) фундаментальное решение, то любое решение (xn, yn) имеет вид xn + yn d = (x1 + y1 d)n.

12.22. Докажите, что если d 3 (mod 4), то уравнение x2-dy2 = -не имеет решений в натуральных числах.

12.23. Докажите, что если d простое число, причём d 1 (mod 4), то уравнение x2 - dy2 = -1 имеет решение в натуральных числах.

146 Глава 12. Уравнения в целых числах 12.24. Докажите, что если уравнение x2 - dy2 = -4 имеет решение с нечётными x и y, то уравнение X2 - dY = -1 имеет решение в натуральных числах.

См. также задачи 31.37 и 35.11–35.13.

12.6. Уравнение Маркова Уравнением Маркова называют уравнение m2 + n2 + p2 = 3mnp, (12.1) где числа m, n и p натуральные.

12.25. Докажите, что уравнение Маркова имеет бесконечно много решений.

12.26. Докажите, что все решения уравнения m2 + n2 + p2 = mnp в натуральных числах имеют вид 3m1, 3n1, 3p1, где m1, n1, p1 решение уравнения Маркова.

12.27. Докажите, что если k = 1 или 3, то уравнение x2 + y2 + z2 = = k xyz не имеет решений в натуральных числах.

12.28. Докажите, что если m, n, p решение уравнения Маркова, то числа m, n и p взаимно просты.

Решения 12.1. Согласно задаче 4.42 остаток от деления квадрата целого числа на 3 и на 4 равен 0 или 1, а остаток от деления на 5 равен 0, 1 или 4. Используя только остатки 1 и 4, нельзя добиться выполнения равенства a2 + b2 = c2.

В случае делимости на 3 и на 5 это завершает доказательство. В случае делимости на 4 мы получаем, что либо все три числа a, b, c чётны, любо одно из чисел a и b чётно, а другое нечётно. Первый случай можно не разбирать, поскольку доказательство достаточно провести для примитивных прифагоровых троек. Таким образом, остаётся доказать, что если для целых чисел a1, b1, c1 выполняется равенство (2a1)2 + (2b1 + 1)2 = (2c1 + 1)2, (1) то число a1 чётно. Равенство (1) можно переписать в виде a2 = c1(c1 + 1) - b1(b1 + 1).

Числа c1(c1 + 1) и b1(b1 + 1) чётны, поэтому число a1 тоже чётно.

12.2. Числа a и b не могут быть оба чётными, потому что иначе число c тоже было бы чётным. Числа a и b не могут быть оба нечётными, потому что иначе число a2 + b2 делилось бы на 2, но не делилось бы на 4.

Глава 12. Уравнения в целых числах c - b c + b a 12.3. Числа и взаимно простые, поэтому из равенства = 2 2 c - b c + b c - b c + b = · следует, что = n2 и = m2, где m и n взаимно 2 2 2 простые числа. При этом c = m2 + n2 и b = m2 - n2.

12.4. Нужно доказать, что для любых взаимно простых натуральных чисел m и n число mn(m+n)(m-n) делится на 6. Если m и n нечётны, то m+n чётно. Если m и n не делятся на 3, то либо числа m и n дают одинаковые остатки при делении на 3 (тогда m - n делится на 3), либо одно из них при делении на 3 даёт остаток 1, а другое даёт остаток 2 (тогда m + n делится на 3).

12.5. Предположим, что существуют взаимно простые натуральные числа m и n, для которых mn(m + n)(m - n) = s2, где s натуральное число.

Будем считать, что s наименьшее из всех чисел, для которых имеет место равенство такого вида. Числа m, n, m + n, m - n попарно взаимно простые, поэтому m = x2, n = y2, m + n = z2 и m - n = t2, где x, y, z и t натуральные числа. Числа m и n разной чётности, поэтому числа z и t нечётные.

z + t z - t z2 + tПоложим A = и B =. Тогда A2 + B2 = = m = x2 и 2 2 AB z2 - t2 n y= = =. Таким образом, для числа y/2 тоже имеет место ра2 8 4 венство указанного вида. Поэтому y2 4s2, т.е. y2 4x2y2(x2 - y2)(x2 + y2).

Получено противоречие.

12.6. О т в е т: (0, 0), (1, -1), (-1, -3), (-2, -2). Данное уравнение можно переписать следующим образом: (2x + 1)(2y + 3) = 3. Остаётся решить системы уравнений: 2x + 1 = 1, 2y + 3 = 3; 2x + 1 = 3, 2y + 3 = 1; 2x + 1 = -1, 2y + 3 = -3; 2x + 1 = -3, 2y + 3 = -1.

12.7. Рассматриваемое уравнение можно переписать в виде (x-5)(y+3) = = -18. Его решения в целых числах соответствуют представлениям числа -18 в виде произведения двух целых чисел.

12.8. О т в е т: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2). Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x2 - (y + 1)x + y2 - y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен -3y2+6y+1. Он отрицателен при y и при y -1. Поэтому для y получаем три возможных значения: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений получаем уравнение, которое легко решается.

12.9. О т в е т: x = 1, y = 3. Проверим, что других решений нет. Ясно, что 22 +7 = 11 не квадрат, поэтому можно считать, что x 3. Тогда 2x делится на 8, а значит, y2 7 (mod 8). Но, как легко проверить, квадрат целого числа при делении на 8 может давать только остатки 0, 1 и 4.

12.10. Равенство 1/x + 1/y = 2/p можно переписать в виде p(x + y) = 2xy.

Значит, одно из чисел x и y делится на p. Например, x = px. Тогда px + + y = 2y, т.е. (2x - 1)y = px. Если x = 1, то y = p и x = p, а по условию 148 Глава 12. Уравнения в целых числах числа y и x различны. Если же x > 1, то 2x - 1 > x, поэтому y < p. Кроме того, числа 2x - 1 и x взаимно просты. Значит, 2x - 1 = p и y = x. В итоге p + 1 p + получаем y = x = и x = p.

2 12.11. Данное уравнение можно записать в виде n2 = (x - n)(y - n).

nКаждому делителю d числа n2 соответствует решение x = n + d, y = n +.

d 1 1 1 12.12. а) Будем считать, что x y z. Тогда 1 = + +, поэтому x y z z z 3. Ясно также, что z = 1.

1 1 2 1 1 Если z = 3, то + = и при этом +, значит, y 3. Но x y 3 x y y y z = 3, поэтому y = 3 и x = 3.

1 1 1 1 1 Если z = 2, то + = и при этом +, значит, 2 y 4. Ясно, x y 2 x y y что y = 2. При y = 3 получаем x = 6, а при y = 4 получаем x = 4.

б) Снова будем считать, что x y z. Тогда z < 3, т.е. z = 2. Поэтому 2 1 1 > + >, значит, y < 4. Если y = 2, то число x может быть произвольy x y 1 ным. Если y = 3, то >, т.е. x = 3, 4 или 5.

x 12.13. а) Пусть x = 2mx1, y = 2ny1, z = 2kz1, где числа x1, y1, zнечётны. Можно считать, что m n k. Тогда обе части уравнения можно сократить на (2m)2. В результате получим 2 x2 + 2(n-m)y1 + 2(k-m)z1 = 2n+k-m+1x1y1z1, где n + k - m + 1 1.

Если n = m = k, то согласно задаче 4.42 б) при делении на 4 число в левой части этого равенства даёт остаток 3, а число в правой части даёт остаток 0 или 2. Если же k > m, то число в левой части даёт остаток 1 или 2, а число в правой части остаток 0. Значит, уравнение не имеет решений в натуральных числах.

б) Число x2 +y2 +z2 +u2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все числа x, y, z, u нечётны, то x2 + y2 + z2 + u2 0 (mod 4), но при этом 2xyzu не делится на 4.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x2 + y2 + z2 + u2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны, т.е. x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1, u = 2u1.

2 Мы получаем уравнение x2 + y1 + z1 + u2 = 8x1y1z1u1. Теперь заметим, что 1 (2k + 1)2 = 4k(k + 1) + 1 1 (mod 8). Поэтому если все числа x1, y1, z1, u2 нечётны, то x2 + y1 + z1 + u2 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел 1 2 нечётно, то x2 + y1 + z1 + u2 не делится даже на 4. Значит, x1 = 2x2, y1 = 2y2, 1 2 z1 = 2z2, u1 = 2u2, и мы получаем уравнение x2 + y2 + z2 + u2 = 32x2y2z2u2.

2 Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2n при всех n, чего не может быть.

Глава 12. Уравнения в целых числах 12.14. О т в е т: x = y = z = 0.

Пусть x3 - 2y3 - 4z3 = 0, где x, y, z целые числа. Тогда число x чётно.

После замены x = 2x1 получаем уравнение 8x3 - 2y3 - 4z3 = 0. Сократим на 2: 4x3 - y3 - 2z3 = 0. Значит, число y чётно. После замены y = 2y1 получаем 3 уравнение 4x3 -8y1 -2z3 = 0. Снова сократим на 2: 2x3 -4y1 -z3 = 0. Значит, 1 3 число z чётно. После замены z = 2z1 получаем уравнение x3 - 2y1 - 4z1 = = 0, которое имеет такой же вид, как и исходное уравнение. Поэтому снова можно доказать, что числа x1, y1, z1 чётны и т.д. Но это возможно лишь в том случае, когда x = y = z = 0.

12.15. О т в е т: n = 1, m = 1 или n = 3, m = 2.

Если n = 1, то m = 1. Рассмотрим теперь случай, когда n > 1. В этом случае 3m 1 (mod 4). Отметим, что 32k+1 = 3 · 9k 3 (mod 4). Поэтому m = 2k, а значит, (3k - 1)(3k + 1) = 2n. Таким образом, числа 3k - 1 и 3k + степени двойки, которые отличаются друг от друга на 2. Это возможно лишь в том случае, когда k = 1, т.е. m = 2 и n = 3.

12.16. Всегда есть очевидное решение x = y, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда x > y (случай x < y рассматривается аналогично).

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.