WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 65 |

11.36. Докажите, что для любого тригонометрического многочлена f() = a0 + a1 cos +... + an cos n существует многочлен P (x) степени n со старшим коэффициентом 2n-1an, для которого P (cos ) = f(). И наоборот, любому многочлену соответствует тригонометрический многочлен.

11.37. Пусть f тригонометрический многочлен степени n со старшим коэффициентом an.

m 2n-а) Докажите, что (-1)mf = an.

m=2n n m б) Докажите, что |f | |an| для некоторого целого числа m.

n 11.38. Докажите, что если P (x) = xn + an-1xn-1 +... + a0, то |P (x0)| для некоторого x0, где -1 x0 1.

2n-11.39. Пусть 0 < a0 < a1 <... < an. Докажите, что тригонометрический многочлен f() = a0 + a1 cos +... + an cos n имеет на отрезке [0, ] ровно n корней.

Решения 11.1. Пусть O центр окружности радиуса 1, A и B точки этой окружности, для которых AOB =. Рассмотрим также точку C, в которой касательная к окружности в точке B пересекает луч OA. Пусть SAOB площадь треугольника AOB, S площадь сектора, высекаемого радиусами AO и OB, SBOC площадь треугольника BOC. Тогда SAOB < S < SBOC. Но 1 1 SAOB = sin, S = и SBOC = tg.

2 2 11.2. Прежде всего заметим, что tg 1 < tg. Поэтому согласно задаче 8.sin 1 + sin tg < < tg 2 < tg.

cos 1 + cos Ещё раз воспользовавшись задачей 8.24, получим sin 1 2 + sin + sin tg < < tg cos 1 2 + cos + cos и т.д.

11.3. Ясно, что tg 45 + tg 10 1 + tg tg 55 = tg(45 + 10) = =.

1 - tg 45 tg 10 1 - tg Глава 11. Тригонометрия 3 1 1 + tg 10 2 Далее, tg 10 = tg > > =. Поэтому = -1 > = 18 18 18 6 1 - tg 10 1 - tg 10 = 1, 4.

11.4. Из формулы для тангенса разности двух углов следует, что + - + tg - tg = tg 1 + tg tg, 2 2 + - + tg - tg = - tg 1 + tg tg.

2 2 + - + Поэтому tg + tg - 2 tg = tg tg (tg - tg ) 0 при 2 2 0 <, < /2.

Ясно, что + sin + sin sin tg2 - tg tg = - = + cos 2 cos cos1 - cos( + ) sin sin = -.

1 + cos( + ) cos cos После приведения этих дробей к общему знаменателю получим дробь, чис литель которой равен cos( + ) 1 + cos( - ) 0 при 0 <, /4.

Знаменатель дроби при таких, положителен.

11.5. Предположим, что сумма cos 32x + a31 cos 31x + a30 cos 30x +... + a1 cos x принимает только положительные значения при всех x. Заменив x на x +, получим, что выражение cos 32x - a31 cos 31x + a30 cos 30x -... + a2 cos 2x - a1 cos x принимает положительные значения при всех x. Сложив эти выражения, получим, что сумма cos 32x + a30 cos 30x +... + a4 cos 4x + a2 cos 2x принимает положительные значения при всех x. Затем повторим те же самые рассуждения, последовательно заменяя x на x +, x +, x +, x +.

2 4 8 В результате получим, что cos 32x принимает положительные значения при всех x. Но при x = /32 выражение cos 32x принимает значение -1. Получено противоречие.

11.6. Согласно задаче 11.29 б) cos k + cos 2k +... + cos nk = -1 для 2k k =, где k = 1, 2,..., n. Поэтому, сложив n неравенств n + a1 cos k + a2 cos 2k +... + an cos nk -1, получим -a1 - a2 -... - an -n.

134 Глава 11. Тригонометрия 11.7. Возьмём на окружности радиуса 1 с центром O точки K, A и B так, что AOK = и BOK = (рис. 11.1). Опустим из точки A перпендикуляр C B A K O H Рис. 11.1.

AH на прямую OK. Пусть C точка пересечения этого перпендикуляра и прямой OB. Сравнение площадей сектора OAB и треугольника OAC показывает, что ( - ) < OH · (tg - tg ). Сравнение площадей сектора OAK и треугольника OAH показывает, что > OH · tg. Из двух полученных неравенств следует, что - tg - tg tg <, т.е. <.

tg tg 11.8. О т в е т: да, всегда. По условию cos B cos C > 0. Кроме того, sin B sin C + cos B cos C = cos(B - C) 1 и cos A 1. Поэтому sin B sin C 1 - cos B cos C 1 - cos A cos B cos C и sin B sin C 0 < 1.

1 - cos A cos B cos C 11.9. Покажем, что tg 20 + tg 40 + 3 tg 20 tg 40 = 3, т.е. 3 = tg 20 + tg 40 tg 20 + tg =. Действительно, = tg 60 = 3.

1 - tg 20 tg 40 1 - tg 20 tg Глава 11. Тригонометрия tg x + tg y 11.10. Применяя формулу tg(x + y) =, получаем 1 - tg x tg y 1 + 1 1 3 tg arctg + arctg = =, 3 5 1 4 + 1 1 1 7 tg arctg + arctg + arctg = =, 3 5 7 1 7 + 1 1 1 9 tg arctg + arctg + arctg + arctg = = 1.

3 5 7 1 Каждый из рассматриваемых арктангенсов меньше /4, поэтому их сумма меньше. Если угол заключён между 0 и и его тангенс равен 1, то этот угол равен /4.

11.11. Пусть tg =. Дважды воспользовавшись равенством tg 2 = 2 tg 5 =, получим сначала tg 2 =, а затем tg 4 =. Поэтому 12 1 - tg2 1 tg 4 arctg =, а значит, 5 120 1 1 119 tg 4 arctg - arctg = = = 1.

120 5 239 1 + · 119 11.12. О т в е т: arcsin cos arcsin x + arccos sin arccos x =.

Пусть arcsin cos arcsin x = и arccos sin arccos x =. Тогда 0, /2.

Действительно, 0 cos arcsin x 1, поскольку - arcsin x, и 2 0 sin arccos x 1, поскольку 0 arccos x. Далее, sin = cos arcsin x, поэтому arcsin x = ± - и sin ± - = ± cos ; cos = sin arccos x, 2 поэтому arccos x = и x = cos = ± sin. Из того, что cos = 2 = sin (= ±x), следует, что + =.

11.13. О т в е т: x = + 2k и x = (-1)k + k.

2 Положим t = sin x. Учитывая, что cos2 x = 1 - t2, получаем уравнение 1 4t3 - 7t + 3 = 0. Это уравнение имеет корни t1 = 1, t2 = и t3 = -.

2 Последний корень нам не подходит.

11.14. О т в е т: x = - + k и x = k.

2t Положим t = tg x. Учитывая, что sin 2x =, получаем уравнение 1 + t1 + t 2t = 1 +, 1 - t 1 + t136 Глава 11. Тригонометрия т.е. 2(1 + t)t2 = 0 (по условию t = 1). Это уравнение имеет корни t1 = -1 и t2 = 0.

11.15. О т в е т: x = ±1, y = - + 2k.

Если мы рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x, то его дискриминант будет равен 4 sin2(xy) - 1. Дискриминант должен быть неотрицательным, поэтому sin2(xy) 1, т.е. sin(xy) = ±1. Решения уравнения x2 ± 2x + 1 = 0 имеют вид x = 1. Далее, если sin(y) = ±1, то sin y = -1.

11.16. Положим x = sin и y = cos. Рассматриваемое уравнение эквивалентно системе уравнений 3xy + 4x + 3y2 - y - 4 = 0, x2 + y2 = 1.

При условии x2 + y2 = 1 первое уравнение эквивалентно уравнению 3xy + 4x + 3y2 - y - 4 + (x2 + y2 - 1) = 0.

Подберём так, чтобы левую часть можно было представить в виде произведения двух линейных множителей. Согласно задаче 5.26 для этого необходимо, чтобы выполнялось равенство 3 4 1 1 ( + 3)(-4 - ) + 2 · · · - = 4( + 3) + + (-4 - ).

2 2 2 4 Несложно проверить, что это уравнение имеет корень = -3.

Чтобы получить разложение выражения 3xy - 3x2 + 4x - y - 1, прежде всего заметим, что 3xy - 3x2 = 3x(y - x). Далее, (3x + a)(y - x + b) = 3xy - 3x2 + (3b - a)x + ay + ab.

Поэтому нужно положить a = -1 и b = 1. В итоге получаем, что исходное уравнение эквивалентно уравнению (3 sin - 1)(cos - sin + 1) = 0.

11.17. О т в е т: 63. Прежде всего отметим, что число положительных корней равно числу отрицательных корней, а ещё есть корень 0. Поэтому достаx точно убедиться, что число положительных корней равно 31. Если sin x =, то |x| = 100| sin x| 100. Рассмотрим графики функций y = x/100 и y = sin x.

Участок оси Ox от 0 до 100 содержит 15 отрезков длиной 2 и один отрезок длиной меньше 2. Рассматривая указанные графики, легко убедиться, что на первом отрезке длиной 2 есть один корень данного уравнения, а на каждом из остальных 14 отрезков длиной 2 есть два корня. Вычисления показывают, что длина последнего отрезка больше, поэтому на нём тоже есть два корня. Всего получаем 31 положительный корень.

11.18. Сумма векторов, идущих из центра правильного n-угольника в его вершины, переходит в себя при повороте на угол 2/n. А единственный вектор, который переходит в себя при повороте на угол 2/n, это нулевой вектор.

Глава 11. Тригонометрия 11.19. Возьмём правильный n-угольник, вписанный в окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Повернём его так, чтобы одна его вершина попала в точку (1, 0). Рассмотрев проекции суммы векторов, идущих из центра правильного n-угольника в его вершины, на оси x и y, получим равенства а) и б); нужно только учесть, что sin 0 = 0 и cos 0 = 1. Если же этот n-угольник повернуть на угол, то получим равенство в).

2 4 6 11.20. Согласно задаче 11.19 б) cos + cos + cos + cos = 1. При 5 5 5 8 2 4 этом cos = cos = cos 72 и cos = cos = - cos 36.

5 5 5 б) Возьмём правильный 7-угольник с центром в начале координат, одна из вершин которого расположена в точке (-1, 0). Рассмотрев проекцию на ось x суммы векторов, идущих из начала координат в вершины 7-угольника, получим требуемое.

11.21. При n = 2m + 1 сумма из задачи 11.19 б) состоит из чётного числа 2k 2(n - k) слагаемых. Эти слагаемые разбиваются на пары cos = cos.

n n 11.22. Нужно доказать, что + sin + sin - sin( + ) = 4 sin sin sin.

2 2 Заменим в левой части sin( + ) на sin cos + sin cos. Далее, + 4 sin sin sin = 4 sin sin sin cos + sin cos = 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 sin2 sin + 2 sin2 sin = 2 = (1 - cos ) sin + (1 - cos ) sin.

sin 11.23. Прежде всего заметим, что cos =. Поэтому cos cos 2 = 2 sin sin 2 cos 2 sin = = и т.д.

2 sin 4 sin 11.24. а) Применим формулу из задачи 11.23 для n = 2 и = 2/7.

sin(16/7) В результате получим, что требуемое произведение равно. Но 8 sin(2/7) sin(16/7) = sin(2/7).

б) Решается аналогично а). Нужно лишь заметить, что sin(16/9) = = - sin(2/9).

cos sin cos2 - sin2 cos 11.25. а) Ясно, что - = = = 2 ctg 2.

sin cos cos sin sin б) Согласно задаче а) tg = ctg - 2 ctg 2, 2 tg 2 = 2 ctg 2 - 4 ctg 4,...

2n tg 2n = 2n ctg 2n - 2n+1 ctg 2n+1.

138 Глава 11. Тригонометрия Сложив эти равенства, получим требуемое.

sin(k + 1) sin k 11.26. Ясно, что tg(k + 1) - tg k = - = cos(k + 1) cos k sin (k + 1) - k sin = =. Поэтому cos k cos(k + 1) cos k cos(k + 1) sin sin sin + +... + = tg n - tg.

cos cos 2 cos 2 cos 3 cos(n - 1) cos n 11.27. Докажем сначала, что 2 4 2n 2 n sin sin... sin = sin sin... sin. (1) 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + Разберём отдельно случай чётного и нечётного n. Если n = 2k, то нуж(2k + 2) (2k - 1) (2k + 4) но воспользоваться тем, что sin = sin, sin = 2n + 1 2n + 1 2n + (2k - 3) 4k = sin,..., sin = sin. После сокращения в равенстве (1) 2n + 1 2n + 1 2n + этих равных множителей остаётся произведение одинаковых множителей. Ес(2k + 2) (2k + 1) ли n = 2k + 1, то нужно воспользоваться тем, что sin = sin, 2n + 1 2n + (2k + 4) (2k - 1) (4k + 2) sin = sin,..., sin = sin.

2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + Заменим в левой части равенства (1) каждый множитель sin 2 на 2 n 2 cos sin. После сокращения на sin sin... sin = 0 полу 2n + 1 2n + 1 2n + чим требуемое.

11.28. а) Пусть S искомая сумма синусов. Воспользовавшись тождеством 2 sin x sin y = cos(x - y) - cos(x + y), получим 2S sin = 2 sin sin + 2 sin 2 sin +... + 2 sin n sin = 2 2 2 3 3 = cos - cos + cos - cos +...

2 2 2 (2n - 1) (2n + 1)... + cos - cos = 2 (2n + 1) = cos - cos.

2 y - x y + x Затем воспользуемся тождеством cos x - cos y = 2 sin sin. В резуль2 n (n + 1) тате получим 2S sin = 2 sin sin.

2 2 б) Пусть S искомая сумма косинусов. Воспользовавшись тождеством Глава 11. Тригонометрия 2 cos x sin y = sin(x + y) - sin(x - y), получим 2S sin = 2 cos sin + 2 cos 2 sin +... + 2 cos n sin = 2 2 2 3 5 = sin - sin + sin - sin +...

2 2 2 (2n + 1) (2n - 1)... + sin - sin = 2 (2n + 1) = sin - sin.

2 11.29. а) Сложим тождества 1 1 sin + k + x - sin + k - x = 2 sin x cos( + kx) 2 2 для k = 0, 1, 2,..., n. В результате получим требуемое.

б) Для = 0 и x = формула из задачи а) даёт равенство sin n + + sin 2 1 + cos + cos 2 +... + cos n =.

2 sin При этом n + + = (n+ 1) = 2k. Остаётся заметить, что если сумма 2 двух углов равна 2k, то сумма синусов этих углов равна нулю; кроме того, sin = 0, так как 0 < <.

2 11.30. а) Ясно, что U0(x) = 1, U1(x) = 2x и T1(x) = x. Кроме того, формулы sin(n + 1) = sin n cos + cos n sin, cos(n + 1) = cos n cos - sin n sin показывают, что Un(x) = xUn-1(x) + Tn(x) и Tn+1(x) = = xTn(x) - Un-1(x)(1 - x2).

б) Используя полученные рекуррентные соотношения, легко проверить, что T2k+1(x) = xak(x2), T2k(x) = bk(x2), U2k+1(x) = xck(x2), U2k(x) = dk(x2), где ak, bk, ck, dk многочлены степени k. Поэтому U2k(cos x) = dk(cos2 x) = = dk(1 - sin2 x) = Pk(sin2 x).

sin(2k + 1) 11.31. Согласно задаче 11.30 б) = Pk(sin2 ), где Pk мноsin l гочлен степени k. Далее, если =, то sin(2k + 1) = 0. поэтому 2k + 2 k Pk(x) = x - sin2 x - sin2... x - sin2, 2k + 1 2k + 1 2k + где некоторое число. Чтобы вычислить, положим x = 0. Ясно, что sin(2k + 1) P (0) = lim0 = 2k + 1. Кроме того, согласно задаче 23.7 в) sin 2 k 2k + sin2 sin2... sin2 =.

2k + 1 2k + 1 2k + 1 4k 140 Глава 11. Тригонометрия Значит, = (-4)k.

2x 11.32. Первое уравнение можно переписать в виде y = (ясно, что 1 - xx = ±1). Пусть x = tg. Тогда y = tg 2. Аналогично z = tg 4 и x = tg 8.

Таким образом, tg 8 = tg. Поэтому tg 8 - tg tg - tg tg 7 = = = 0, 1 + tg 8 tg 1 + tgт.е. 7 = k, где k целое число. Наоборот, если 7 = k, то tg 8 = tg и мы получаем решение данной системы уравнений. Всего получаем 7 различных решений, соответствующих углам = 0,,...,.

7 1 1 1 11.33. О т в е т:,, 1 и -, -, -1.

3 2 3 x y z Равенства = = показывают, что числа x, 3(1 + x2) 4(1 + y2) 5(1 + z2) y, z имеют одинаковые знаки, причём если (x, y, z) решение системы, то (-x, -y, -z) тоже решение. Поэтому достаточно найти положительные решения.

1 Воспользуемся тем, что tg + =. Выберем углы,,, заtg sin ключённые между 0 и, так, что tg (/2) = x, tg (/2) = y, tg (/2) = z.

Тогда sin sin sin = = 3 4 1 x + y + и =, т.е. ctg = tg. Если 0 <,, <, то равенство z 1 - xy 2 + + tg - = tg выполняется лишь в том случае, когда - =, 2 2 2 2 2 т.е. + + =. Таким образом,, и углы треугольника, стороны 3 которого относятся как 3 : 4 : 5. Значит, sin =, sin =, =. Поэтому 5 5 1 tg =, tg = и tg = 1 (можно воспользоваться, например, формулой 2 3 2 2 1 tg = - - 1.

2 sin sinxi - xj 11.34. а) Положим xi = tg i, где 0 < i < /2. Тогда = 1 + xixj = tg(i - j). Будем считать, что x1 <... < xn. Тогда числа 2 - 1, 3 - 2,..., n -n-1, положительны и их сумма меньше /2. Значит, среди них есть положительное число, меньшее. Соответствующая ему пара чисел xi 2(n - 1) и xj обладает требуемым свойством.

xi - xj б) Положим xi = tg i, где -/2 < i < /2. Тогда = tg(i - j).

1 + xixj Будем считать, что x1 <... < xn. Тогда числа 2 -1, 3 -2,..., n -n-1, + 1 - n положительны и их сумма равна. Значит, среди них есть положительное число, не превосходящее /n. Соответствующая ему пара чисел xi и xj обладает требуемым свойством.

Глава 11. Тригонометрия 11.35. Выберем на оси Ox точку A = (x, 0), а на оси Oy выберем точки Bk = (0, k), k = 0, 1,... Рассмотрим треугольник Bk-1ABk.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.