WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 65 |

10.19. Докажите, что многочлен x15 - 1 имеет делители всех степеней от 1 до 14, т.е. для любого натурального числа k 14 найдётся многочлен степени k с целыми коэффициентами, делящий x15 - 1.

10.20. Докажите, что многочлен x2n + xn + 1 делится на x2 + x + тогда и только тогда, когда n не делится на 3.

10.21. а) Известно, что ax3 + bx2 + cx + d, где a, b, c, d данные целые числа, при любом целом x делится на 5. Докажите, что все числа a, b, c, d делятся на 5.

б) Известно, что ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, где a, b, c, d, e данные целые числа, при любом целом x делится на 7. Докажите, что все числа a, b, c, d, e делятся на 7.

p 10.22. Докажите, что если несократимая рациональная дробь, q являющаяся корнем полинома f(x) = a0xn + a1xn-1 +... + an с целыми коэффициентами, то p - kq делитель числа f(k) при любом целом k.

10.23. Докажите, что ни при каком целом A многочлен 3x2n+Axn+не делится на многочлен 2x2m + Axm + 3.

10.6. Неравенства для корней 10.24. Докажите, что положительный корень уравнения x(x + + 1)... (x + n) = 1 меньше, чем 1/n!.

Глава 10. Многочлены I 10.7. Количество вещественных корней многочлена 10.25. Докажите, что многочлен P (x) степени n не может иметь более n различных корней.

Число a называют корнем кратности k (k 1) многочлена P (x), если P (x) делится на (x - a)k и не делится на (x - a)k+1.

10.26. Докажите, что многочлен P (x) степени n не может иметь более n корней с учётом их кратностей, т.е. если a1,..., am различные корни с кратностями k1,..., km, то k1 +... + km n.

10.27. Докажите, что уравнение xn - a1xn-1 - a2xn-2 -... - an-1x - an = 0, где a1 0, a2 0, an 0, не может иметь двух положительных корней.

10.28. Пусть f1(x) = x2 -2, fn(x) = f1(fn-1(x)). Докажите, что для любого натурального n уравнение fn(x) = x имеет ровно 2n различных решений.

10.8. Разные задачи 10.29. Докажите, что в произведении (1 - x + x2 - x3 +... - x99 + x100)(1 + x + x2 + x3 +... + x99 + x100) после раскрытия скобок и приведения подобных членов не остаётся членов, содержащих x в нечётной степени.

10.30. Какой остаток даёт x + x3 + x9 + x27 + x81 + x243 при делении на (x - 1) 10.31. В каком из выражений:

(1 - x2 + x3)1000, (1 + x2 - x3)после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при x20 10.32. а) Найдите целое число a, при котором (x - a)(x - 10) + разлагается в произведение (x + b)(x + c) двух множителей с целыми b и c.

б) Найдите такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение x(x - a)(x - b)(x - c) + 1 разлагалось в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами.

116 Глава 10. Многочлены I 10.9. Интерполяционные многочлены 10.33. Пусть x1,..., xn+1 попарно различные числа. Докажите, что существует ровно один многочлен P (x) степени не выше n, принимающий в точке xi заданное значение ai (интерполяционный многочлен Лагранжа).

n n 10.34. Докажите, что (-1)kkm = 0 при m < n (m натуk=k n n ральное число) и (-1)kkn = (-1)nn!.

k=k 10.35. Пусть a1,..., an попарно различные числа. Докажите, что для любых b0, b1,..., bn-1 система линейных уравнений x1 +... + xn = b0, a1x1 +... + anxn = b1, a2x1 +... + a2 xn = b2, 1 n.........

an-1x1 +... + an-1xn = bn-1 n имеет решение, причём ровно одно.

10.36. Даны точки x0, x1,..., xn. Докажите, что многочлен f(x) степени n, принимающий в этих точках значения f(x0),..., f(xn), можно представить в виде f(x) = f(x0) + (x - x0)f(x0; x1) + (x - x0)(x - x1)f(x0; x1; x2) +... + + (x - x0)... (x - xn-1)f(x0;... ; xn), где f(x0;... ; xk) зависит только от точек x0,..., xk и значений многочлена в этих точках (интерполяционный многочлен Ньютона).

Интерполяционный многочлен Ньютона удобен тем, что при добавлении к x0, x1,..., xn одной точки xn+1 нужно вычислить только f(x0;... ; xn+1); остальные коэффициенты, в отличие от интерполяционного многочлена Лагранжа, пересчитывать не нужно.

10.10. Рациональные функции 10.37. Пусть R(x) = P (x)/Q(x), где P и Q взаимно простые многочлены. Докажите, что R(x) можно представить в виде cik R(x) = A(x) +, (x - ai)k i,k где cik некоторые числа, A(x) некоторый многочлен.

10.38. Докажите, что представление рациональной функции в виде, указанном в задаче 10.37, единственно.

Глава 10. Многочлены I 10.11. Целозначные многочлены Многочлен p(x) называют целозначным, если он принимает целые значения при всех целых x.

10.39. Докажите, что многочлен x x(x - 1)... (x - k + 1) = k k! целозначный.

10.40. Пусть pk(x) многочлен степени k, принимающий целые значения при x = n, n + 1,..., n + k для некоторого целого числа n.

Тогда x x x pk(x) = c0 + c1 + c2 +... + ck, k k - 1 k - где c0, c1,..., ck целые числа.

10.12. Многочлены от нескольких переменных Многочлен от n переменных x1,..., xn это сумма мономов виn да ak...knxk... xk. Степень монома это число k1 +... + kn. Сте1 1 n пень многочлена от нескольких переменных это наибольшая степень (ненулевого) монома.

10.41. Докажите, что многочлен вида x200y200 + 1 нельзя представить в виде произведения многочленов от одного только x и одного только y.

10.42. а) Существуют ли многочлены P = P (x, y, z), Q = Q(x, y, z) и R = R(x, y, z) от переменных x, y, z, удовлетворяющие тождеству (x - y + 1)3P + (y - z - 1)3Q + (z - 2x + 1)3R = 1 б) Тот же вопрос для тождества (x - y + 1)3P + (y - z - 1)3Q + (z - x + 1)3R = 1.

См. также задачу 16.10.

Решения 10.1. Равенства (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 = x4 + 10x3 +... + 25 и (x2 +ax+b)2 = x4 +2ax3 +...+b2 показывают, что подходящими кандидатами 118 Глава 10. Многочлены I являются квадратные трёхчлены x2 + 5x ± 5. Далее заметим, что (x2 + 5x + + 5)2 - 1 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) и x2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4), x2 + 5x + + 6 = (x + 2)(x + 3).

10.2. а) Поделим f(x) на x - a с остатком. В результате получим f(x) = = (x - a)g(x) + r, где r некоторое число. Положим x = a. В результате получим f(a) = r.

б) Непосредственно следует из а), поскольку f(x0) = 0.

10.3. Равенство anxn + an-1xn-1 +... + a1x0 + a0 = 0 после умножения на qn запишется в виде anpn + an-1pn-1q +... + a1pqn-1 + a0qn = 0. Число anpn = -(an-1pn-1q +...+a1pqn-1 +a0qn) делится на q, причём по условию p и q не имеют общих делителей. Следовательно, an делится на q. Число a0qn = = -(anpn + an-1pn-1q +... + a1pqn-1) делится на p, причём p и q не имеют общих делителей. Следовательно, a0 делится на p.

10.4. Пусть x = 2 + 3. Тогда x2 = 5 + 2 6 и (x2 - 5)2 = 24, т.е.

x4 - 10x2 + 1 = 0.

10.5. Несложные вычисления показывают, что 3 ( 2 + 3)3 = 5 + 3, 3 ( 2 + 3)6 = 133 + 30 + 9, 3 ( 2 + 3)9 = 2555 + 711 + 135, 3 3 3 3 3 где = 2+ 3) и = 36( 4+ 9). Поэтому x9 -15x6 -87x3 -125 = 6( 3 для x = 2 + 3.

10.6. Пусть x1,..., xn корни многочлена xn+an-1xn-1 +an-2xn-2 +..., где ai = ±1. Согласно теореме Виета x1 +... + xn = -an-1 и xixj = 1 i

10.7. Число 18 нельзя представить в виде суммы нескольких чисел 5 и 7, поэтому коэффициент при x18 будет равен нулю.

Число 17 представляется в виде суммы нескольких чисел 5 и 7 следующим образом: 17 = 7 + 5 + 5; с точностью до перестановки слагаемых это представление единственно. В одном из 20 выражений 1 + x5 + x7 мы должны выбрать x7, а в двух из 19 оставшихся таких выражений мы должны выбрать 19 · x5. Поэтому коэффициент при x17 равен 20 · = 3420.

10.8. Запишем многочлен P (x) в виде P (x) = (an - 1)xn + (x + + an-1 - 1)xn-1 + (x + an-2 - 1)xn-2 +... + (x + a0 - 1) + 1. Эта запись Глава 10. Многочлены I показывает, что Q(x) = (an - 1)(x + m)n + x + (m + an-1 - 1) xn-1 +... + + x + (m + a0 - 1) + 1. Здесь an - 1 0, а числа m + an-1 - 1,..., m + a0 - положительны. Поэтому после раскрытия скобок получаем многочлен с положительными коэффициентами.

10.9. О т в е т: -1. Равенства x4 + x3 + 2x2 + x + 1 = (x2 + 1)(x2 + x + 1) и x12 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)(x3 + 1)(x2 + 1)(x4 - x2 + 1) показывают, что x12 - x4 + x3 + 2x2 + x + 1 = = (x - 1)(x3 + 1)(x4 - x2 + 1) x12 - =.

x8 - x7 - x6 + 2x5 - 2x3 + x2 + x - Поэтому поделить многочлен x1951 - 1 на x4 + x3 + 2x2 + x + 1 это то же самое, что сначала поделить его на x12 -1, а потом умножить на x8 -x7 -x6 + + 2x5 - 2x3 + x2 + x - 1. Но x1951 - 1 x7 - = x1939 + x1927 + x1915 +... + x19 + x7 +, x12 - 1 x12 - поэтому искомый коэффициент равен коэффициенту при x14 в произведении x7 - x1939 +... + x19 + x7 + (x8 - x7 - x6 + 2x5 - 2x3 + x2 + x - 1).

x12 - 10.10. Рассматриваемый многочлен имеет вид (x - x1) ·... · (x - xn) = xn - xi xn-1 + xixj xn-21 i n 1 i

1 i

x1 + x2 + x3 = 3x2. Согласно теореме Виета x1 + x2 + x3 = -a. Таким образом, число x2 = -a/3 должно быть корнем данного многочлена. Эквивалентное 2 ab условие таково: a3 - + c = 0.

27 10.12. а) Пусть y = 2 + - 6. Требуется доказать, что (y - )(y - ) = 0.

По теореме Виета (y - )(y - ) = y2 - ( + )y + = y2 + y -. Вычислим y2 +y -, подставив y = 2 +-6 и воспользовавшись тем, что 3 = 9-9, 4 = 92 - 9 и - = 2 - 9.

б) Можно воспользоваться такими же рассуждениями, как и при решении задачи а).

120 Глава 10. Многочлены I 10.13. Пусть P (x) = anxn + an-1xn-1 +... + a1x + a0. Тогда P (a) - P (b) = = an(an - bn) + an-1(an-1 + bn-1) +... + a1(a - b). Поэтому достаточно проверить, что для любого натурального k число ak -bk делится на a-b. Для этого можно воспользоваться тождеством ak -bk = (a-b)(ak-1 +ak-1b+...+bk-1).

10.14. О т в е т: нет, не существует. Согласно задаче 10.13 разность P (11) - P (7) = 2 должна делиться на 11 - 7 = 4.

10.15. Если a и b целые числа, причём a > b, то число P (a) - P (b) делится на a - b (задача 10.13). Для любого целого числа m одно из чисел m-n, m-(n+1), m-(n+2) делится на 3. Поэтому одно из чисел P (m)-P (n), P (m) - P (n + 1), P (m) - P (n + 2) делится на 3.

10.16. Пусть P (x) = a0xn + a1xn-1 +... + an, где числа a0, a1,..., an целые. Предположим, что P (k) = p простое число (здесь k некоторое натуральное число). Многочлен P (x) не может принимать одно и то же значение более чем в n различных точках, поэтому можно выбрать натуральное число a так, что P (k + pa) = ±p. С другой стороны, P (k + pa) делится на p.

Действительно, согласно задаче 10.13 разность P (k + pa) - P (k) делится на k + pa - k = pa.

10.17. О т в е т: P (x) = - (x2 + 1)(x2 + x - 1).

Пусть P (x) = U(x)(x2 + 1) и P (x) = V (x)(x3 + 1) + 1. Тогда U(x)(x2 + + 1) - V (x)(x3 + 1) = 1. Чтобы найти такие многочлены U и V, нужно применить алгоритм Евклида к a = x3 + 1 и b = x2 + 1:

a = xb + r1 (r1 = 1 - x), b = -xr1 + r2 (r2 = x + 1), r1 = -r2 + 2.

Выражая последовательно r1 и r2 через a и b, получаем:

b = -x(a - bx) + r2, a - bx = -b - xa + x2b + 2.

Таким образом, (x + 1)a + (-x2 - x + 1)b = 2. Поэтому можно положить 1 U(x) = - (x2 + x - 1) и V (x) = - (x + 1).

2 10.18. Положим P1(x) = P (x), Pn(x) = P Pn-1(x) при n 2. Тогда an = = Pn(a0) и вообще an = Pn-k(ak) при 0 k < n. Равенство an = Pn(0) показывает, что an свободный член многочлена Pn, т.е. Pn(x) = an +xQn(x), где Qn многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом, если m > n 1, то НОД(am, an) = НОД(Pm-n(an), an) = НОД(am-n + anQm-n(an), an) = = НОД(am-n, an). Воспользовавшись результатом задачи 4.11, получаем требуемое.

10.19. Многочлен x15 -1 раскладывается на множители, степени которых равны 1, 2, 4 и 8. Действительно, x15 - 1 = (x5 - 1)(x10 + x5 + 1), x5 - 1 = = (x - 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1), а многочлен x10 + x5 + 1 раскладывается на Глава 10. Многочлены I множители степеней 2 и 8 (задача 5.6). Легко также проверить, что любое натуральное число k 14 можно представить в виде a0 + a1 · 2 + a2 · 4 + a3 · 8, где ai = 0 или 1.

10.20. При n = 0 и 1 утверждение очевидно. При n = 2 можно поделить многочлен x4 + x2 + 1 на x2 + x + 1; в результате получим x2 - x + 1. Разность многочленов x2(n+3) + xn+3 + 1 и x2n + xn + 1 делится на x2 + x + 1, поскольку многочлены x2n+6 - x2n = x2n(x6 - 1) и xn+3 - xn = xn(x3 - 1) делятся на x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1). Поэтому многочлен x2(n+3) + xn+3 + 1 делится на x2 + x + 1 тогда и только тогда, когда x2n + xn + 1 делится на x2 + x + 1.

10.21. а) Подставив x = 0, получим, что d делится на 5. Учитывая это и подставляя x = ±1, получим, что a + b + c и -a + b - c делятся на 5.

Следовательно, 2b и 2a + 2c делятся на 5, а значит, b и a + c делятся на 5.

Подставив x = 2, получим, что a + 5a + 2(a + c) + 4b + d делится на 5. Значит, a делится на 5. Поэтому c тоже делится на 5.

б) Подставив x = 0, получим, что e делится на 7. Учитывая это и подставляя x = ±1, получим, что числа a ± b + c ± d делятся на 7. Поэтому 2(a + c) и 2(b + d) делятся на 7, а значит, a + c и b+ d делятся на 7. Подставляя x = ±2 и учитывая, что e делится на 7, получаем, что числа 2(8a ± 4b + 2c ± d) делятся на 7. Поэтому 4a+c и 4b+d делятся на 7. Следовательно, 3a = (4a+c)-(a+c) делится на 7. Поэтому a делится на 7, а значит, c делится на 7. Аналогично доказывается, что b и d делятся на 7.

p p 10.22. Многочлен f(x) делится на x -, поэтому f(x) = g(x) x -.

q q p Пусть g(x) = b0xn-1 + b2xn-2 +... + bn-1. Тогда a0 = b0, a1 = b1 - b0, a2 = q p p p = b2 - b1,..., an-1 = bn-1 - bn-2, an = -bn-1. Число b0 целое. Равенство q q q qa1 = qb1 - pb0 показывает, что число qb1 целое. Равенство q2a2 = q2b2 - qb1p показывает, что число q2b2 целое и т.д. Таким образом, многочлен qn-1g(x) имеет целые коэффициенты.

Равенство qnf(k) = qn-1g(k)(qk -p) показывает, что число qnf(k) делится на qk - p. Числа qn и qk - p взаимно простые, поэтому число f(k) делится на qk - p.

10.23. Предположим, что многочлен 3x2n + Axn + 2 делится на многочлен 2x2m+Axm+3. Тогда любой корень многочлена 2x2m+Axm+3 является также корнем многочлена 3x2n +Axn+2. Если xi корень многочлена 2x2m +Axm+ -A ± A2 - + 3, то xm = = 1,. Можно считать, что xm = и xm =.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.