WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 65 |

7.20. Сопоставим цифре числа из первой последовательности нуль числа из второй последовательности следующим образом. Напишем после данной цифры нуль. В результате получим число из второй последовательности с отмеченным нулём. Нашей цифре мы сопоставляем именно этот нуль. Наоборот, нулю числа из второй последовательности сопоставим цифру числа из первой последовательности следующим образом. Отметим цифру, которая стоит перед данным нулём, и после этого нуль вычеркнем. В результате получим число из первой последовательности с отмеченной цифрой. Нашему нулю мы сопоставляем именно эту цифру. Эти операции взаимно обратны, поэтому мы получаем взаимно однозначное соответствие между цифрами числа первой последовательности и нулями чисел второй последовательности.

Глава 8.

Неравенства 8.1. Неравенство x + 1/x Напомним, что согласно задаче 1.1 для всех x > 0 выполняется неравенство x + 1/x 2.

8.1. При каких n существуют положительные числа x1,..., xn, удовлетворяющие системе уравнений 1 1 x1 + x2 +... + xn = 3, + +... + = 3 x1 x2 xn 8.2. Докажите, что если числа a1,..., an положительны и a1... an = = 1, то (1 + a1)(1 + a2)... (1 + an) 2n.

8.3. Докажите, что если x5 - x3 + x = 2, то 3 < x6 < 4.

8.4. а) Докажите, что если x1, x2, x3 положительные числа, то x1 x2 x3 + +.

x2 + x3 x3 + x1 x3 + x2 б) Докажите, что если x1, x2,..., xn положительные числа, причём n 4, то x1 x2 xn-1 xn + +... + + 2.

x2 + xn x3 + x1 xn + xn-2 x1 + xn-Глава 8. Неравенства 8.2. Неравенство треугольника Будем говорить, что положительные числа a, b, c удовлетворяют неравенству треугольника, если a + b > c, b + c > a и c + a > b. На геометрическом языке это означает, что из отрезков длиной a, b, c можно составить треугольник.

8.5. Докажите, что положительные числа a, b, c удовлетворяют неравенству треугольника тогда и только тогда, когда (a2 + b2 + + c2)2 > 2(a4 + b4 + c4).

8.6. Докажите, что если для положительных чисел a1, a2,..., an (n 3) выполняется неравенство (a2 + a2 +... + a2 )2 > (n - 1)(a4 + a4 +... + a4 ), 1 2 n 1 2 n то любые три из этих чисел удовлетворяют неравенству треугольника.

8.7. Неравенство Aa(Bb + Cc) + Bb(Cc + Aa) + Cc(Aa + Bb) > (ABc2 + BCa2 + CAb2), где a > 0, b > 0, c > 0 данные числа, выполняется для всех A > 0, B > 0, C > 0. Можно ли из отрезков a, b, c составить треугольник 8.3. Неравенство Коши 8.8. Докажите неравенство xy (x2 + y2)/2.

8.9. Докажите неравенство 2 k k k aibi a2 b2.

i i i=1 i=1 i=Неравенство из задачи 8.9 называют неравенством Коши. Другие его доказательства приведены в задачах 1.9 и 5.12.

8.10. Докажите неравенство (a1 +... + an)a2 +... + a2.

1 n n 8.11. Пусть x1,..., xn положительные числа. Докажите неравенство 1 (x1 +... + xn) +... + n2.

x1 xn 88 Глава 8. Неравенства 8.12. Пусть S = a1 +...+ an, где a1,..., an положительные числа и n 2. Докажите, что a1 an n +... +.

S - a1 S - an n - 8.4. Монотонность 8.13. Пусть x и y произвольные вещественные числа. Докажите, что x + y x2 + y2 x3 + y3 x6 + y· ·.

2 2 2 8.5. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим Пусть a1,..., an положительные числа. Их средним арифметичеa1 +... + an ским называют число A =, а их средним геометрическим n n называют число G = a1... an. В 1821 г. Коши доказал неравенство A G. Доказательство Коши использовало индукцию, но не обычным способом: сначала доказывалось, что если утверждение верно для n = = 2m, то оно верно и для n = 2m+1, а затем доказывалось, что если утверждение верно для n, то оно верно и для n - 1 (см. решение задачи 13.10).

8.14. Пусть a1,..., an положительные числа. Докажите неравенa1 +... + an n ство a1... an. (Если не все данные числа равны, то n неравенство строгое.) 3 8.15. Пусть a, b > 0. Докажите, что 2 a + 3 b 5 ab.

8.16. Докажите, что для любого натурального n 2 имеют место неравенства 1 1 1 n n n + 1 - 1 < 1 + + +... + < n 1 - + 1.

n 2 3 n n 8.17. Пусть a1,..., an, w1,..., wn положительные числа. Докажите, что 1 n (w1a1 +... + wnan) (aw... aw )1/W, 1 n W где W = w1 +... + wn.

Глава 8. Неравенства Замечание. При w1 =... = wn = 1 получаем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, поэтому неравенство из задачи 8.17 является обобщением неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим.

8.18. Пусть a1,..., an положительные числа, 1,..., n попарно различные положительные числа. Для x > 0 положим f(x) = n i = aix. Выберем a и так, чтобы графики функций y = f(x) i=и y = ax касались при x = x0. Докажите, что f(x) ax, причём равенство достигается только при x = x0.

См. также задачи 13.10, 25.21.

8.6. Неравенства, имеющие геометрическую интерпретацию 8.19. Пусть a, b, c положительные числа. Докажите, что a2 - ab + b2 + b2 - bc + c2 a2 + ac + c2, 1 1 причём равенство достигается тогда и только тогда, когда + =.

a c b 8.7. Циклические неравенства 8.20. Пусть a1,..., an положительные числа. Докажите, что a1 a2 an + +... + n.

a2 a3 a8.21. Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c выполнено неравенство a3b + b3c + c3a a2bc + b2ca + c2ab.

8.22. Пусть 0 x1,..., xn 1. Докажите, что при n x1 +... + xn - x1x2 - x2x3 -... - xn-1xn - xnx1 [n/2].

8.23. Пусть a, b, c положительные числа. Докажите, что 1 1 1 a b c 3(a + 1)(b + 1)(c + 1) 3 + (a + b + c) + + + + + +.

a b c b c a abc + 90 Глава 8. Неравенства 8.8. Разные неравенства 8.24. Докажите, что если a, b, c, d положительные числа, причём a a + c c a/b < c/d, то < <.

b b + d d 8.25. Докажите неравенство x2n + x2n-1y + x2n-2y2 +... + y2n 0.

8.26. Пусть a > b > 0. Докажите, что aabb > abba.

8.27. Предположим, что x1,..., xn действительные числа, про которые известно, что все числа 1 = xi, 2 = xixj, 3 = i 0 для всех x.

8.29. Докажите, что x - y < 1, 1 - xy если |x| < 1 и |y| < 1.

8.30. Пусть n > 1 натуральное число. Докажите, что xn - nx + + n - 1 0 для всех x > 0.

8.31. Докажите, что для всех натуральных n 2 имеет место неравенство 1 1 1 + +... + >.

n + 1 n + 2 2n 8.32. Докажите, что для всех натуральных n справедливо неравенство 1 3 5 2n - 1 · · ·... · <.

2 4 6 2n 2n + 8.33. Докажите, что при всех натуральных n > 2 1 1 3 5 2n - 1 3 · < · · ·... · < ·.

2 2 4 6 2n 2n 2n 8.34. Докажите, что (2n - 1)n + (2n)n < (2n + 1)n для любого натурального n > 2.

8.35. По окружности расставлены в произвольном порядке числа 1, 2,..., n. Докажите, что сумма модулей разностей соседних чисел не меньше 2n - 2.

Глава 8. Неравенства 8.36. Пусть 0 < a xi b. Докажите, что 1 1 (a + b)(x1 +... + xn) +... + n2.

x1 xn 4ab 8.37. Докажите, что если -1 x1,..., xn 1 и x3 +... + x3 = 0, то 1 n x1 +... + xn n/3.

8.38. Докажите, что если xy = 4 и z2 + 4w2 = 4, то (x - z)2 + + (y - w)2 1, 6.

8.39. Пусть A(x) = A1(x) +... + A5(x), где x = (x1, x2, x3, x4, x5) и Ai(x) = (xi - xj). Докажите, что A(x) 0 для всех x.

j=i 8.40. Сто положительных чисел x1, x2,..., x100 удовлетворяют условиям x2 + x2 +... + x2 > 10000, 1 2 x1 + x2 +... + x100 < 300.

Докажите, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

См. также задачу 18.4.

8.9. Выпуклость 8.41.

a + b n Пусть n = 1 натуральное число и a > b > 0. Докажите, что an + bn <.

2 3 8.42. Сравните числа 60 и 2 + 7.

8.10. Неравенства Гёльдера и Минковского 8.43. а) Пусть a рациональное число, причём a > 1 или a < 0.

Докажите, что для любого x > 0, x = 1, выполняется неравенство xa - ax + a - 1 > 0.

б) Пусть a рациональное число, причём 0 < a < 1. Докажите, что для любого x > 0, x = 1, выполняется неравенство xa - ax + a - 1 < 0.

8.44. Докажите, что если m и n натуральные числа, отличные от 1, то 1 + > 1.

n m m + 1 n + 92 Глава 8. Неравенства 8.45. Пусть A и B положительные числа, а p и q рациональные 1 числа, связанные соотношением + = 1. Докажите, что если p > 1, p q A B A B то A1/pB1/q +, а если p < 1, то A1/pB1/q +. (Если A = B, p q p q то оба неравенства строгие.) 8.46. Пусть xi и yi положительные числа, а p и q рациональные 1 числа, связанные соотношением + = 1. Докажите, что если p > 1, p q то q q x1y1 +... + xnyn (xp +... + xp )1/p(y1 +... + yn)1/q, 1 n а если p < 1, то q q x1y1 +... + xnyn (xp +... + xp )1/p(y1 +... + yn)1/q.

1 n (Неравенство Гёльдера) 8.47. Пусть xi и yi положительные числа, а p > 1 рациональное число. Докажите, что n n n 1/p 1/p 1/p p (xi + yi)p xp + yi.

i i=1 i=1 i=Если p < 1, то неравенство заменяется на противоположное. (Неравенство Минковского) Решения 8.1. Воспользовавшись неравенством xi + 1/xi 2, получим 3 + 3 = (x1 + + 1/x1) +... + (xn + 1/xn) 2n, т.е. n 3. При n = 3 получаем решение 3 + 5 3 - x1 = x2 = x3 = 1. При n = 2 получаем решение x1 =, x2 =.

2 При n = 1 система несовместна.

8.2. Из соотношения a1... an = 1 следует, что (1 + a1)(1 + a2)... (1 + an) (1 + a1)(1 + a2)... (1 + an) = = a1... an 1 = 1 +... 1 +.

a1 an 1 Кроме того, (1 + ai) 1 + = 2 + ai + 4. Поэтому ai ai 1 (1 + a1)(1 + a2)... (1 + an) = (1 + a1) 1 +... (1 + an) 1 + 4n.

a1 an Глава 8. Неравенства 2 8.3. Из равенства 2 + x3 = x5 + x следует, что + 1 = x2 + 2.

x3 xПоэтому 1, т.е. x3 2. Но x = 1, поэтому неравенство строгое.

xСложив равенства x5 - + x 2 и x7 - x5 + x3 = 2x2, получим x7 + x = x = = 2 + 2x2, т.е. x6 + 1 = 2 x + 4. Следовательно, x6 3. Неравенство x строгое, поскольку x = 1.

b + c - a 8.4. а) Положим x2 + x3 = a, x3 + x1 = b, x1 + x2 = c, т.е. x1 =, a + c - b a + b - c x2 =, x3 =. Тогда требуемое неравенство запишется в виде 2 b + c - a a + c - b a + b - c + +, 2a 2b 2c т.е. b/a + c/a + a/b + c/b + a/c + b/c 3 + 3 = 6. Остаётся заметить, что b/a + a/b 2 и т.д.

б) При n = 4 получаем x1 x2 x3 x4 x1 + x3 x2 + x+ + + = + 2.

x2 + x4 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x1 x2 + x4 x1 + xПри n > 4 требуемое неравенство можно доказать по индукции. Предположим, что для чисел x1,..., xn неравенство уже доказано. Выберем среди положительных чисел x1,..., xn+1 наименьшее. После циклической перенумерации этих чисел можно считать, что это будет число xn+1. Тогда x1 x1 xn xn xn+, и > 0. Поэтому x2 + xn+1 x2 + xn xn+1 + xn-1 x1 + xn-1 x1 + xn x1 xn xn+1 x1 xn +... + + > +... + 2;

x2 + xn+1 xn+1 + xn-1 x1 + xn x2 + xn x1 + xn-последнее неравенство выполняется по предположению индукции.

8.5. Положительные числа a, b, c удовлетворяют неравенству треугольника тогда и только тогда, когда (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b + c) > 0. (1) Действительно, два выражения в скобках не могут быть одновременно отрицательными. Например, неравенства a+b < c и b+c < a не могут выполняться одновременно. После раскрытия скобок неравенство (1) записывается в виде 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) - (a4 + b4 + c4) > 0, а из этого уже легко получить требуемое.

8.6. Прежде всего покажем, что для таких чисел выполняется неравенство (a2 +... + a2 )2 > (n - 2)(a4 +... + a4 ).

2 n 2 n Исходное неравенство можно записать в виде a4 + 2a2S2 + S2 > (n - 1)a4 + (n - 1)S4, 1 1 где S2 = a2 +... + a2 и S4 = a4 +... + a4. Выделим полный квадрат:

2 n 2 n 2 S2 S2 (n - 2) a2 - + - S2 + (n - 1)S4 < 0.

n - 2 n - 94 Глава 8. Неравенства 2 Следовательно, S2 1 - > (n - 1)S4, т.е. S2 > (n - 2)S4, что и требоваn - лось.

Далее по индукции получаем (a2 +... + a2 )2 > (n - k)(a4 +... + a4 ).

k n k n При k = n - 2 согласно задаче 8.5 это неравенство означает, что числа an-2, an-1, an удовлетворяют неравенству треугольника. То же самое доказательство можно применить и для любой другой тройки чисел.

8.7. О т в е т: да, можно. Положим A = B = 1, C =. Тогда a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) > (c2 + a2 + b2). (1) Поэтому должно выполняться неравенство 2ab c2, поскольку иначе неравенство (1) не выполнялось бы при малых. Значит, c2 4ab (a+b)2. Числа a, b, c положительны, поэтому c a + b. Неравенства a b + c и b a + c доказываются аналогично.

8.8. Достаточно заметить, что (x - y)2 0.

k k 8.9. Пусть A = a2 и B = b2. Воспользовавшись неравенi=1 i i=1 i ством xy (x2 + y2)/2, получим k k k k ai bi 1 a2 b2 1 i i + = a2 + b2 = 1.

A B 2 A2 B2 2A2 i 2B2 i i=1 i=1 i=1 i= 2 k k Значит, aibi A2B2 = a2 k b2.

i i i=1 i=1 i=8.10. Это неравенство является частным случаем неравенства Коши; достаточно положить b1 =... = bn = 1.

8.11. Это неравенство очевидным образом следует из неравенства Коши:

достаточно положить ai = xi и bi = 1/ xi.

8.12. Положим bi = S -ai. Тогда требуемое неравенство запишется в виде S - b1 S - bn n +... +, т.е.

b1 bn n - 1 1 n nS +... + + n =.

b1 bn n - 1 n - Но b1 +... + bn = (S - a1) +... + (S - an) = nS - S = (n - 1)S. Остаётся заметить, что 1 (b1 +... + bn) +... + nb1 bn (задача 8.11).

8.13. Докажем сначала, что если m и n натуральные числа одной чётности, то xm + ym xn + yn xm+n + ym+n ·.

2 2 Глава 8. Неравенства Это неравенство легко преобразуется к виду (xm - ym)(xn - yn) 0. Если числа m и n нечётные, то из неравенства x y следуют неравенства xm ym и xn yn, а из неравенства x y следуют неравенства xm ym и xn yn.

Если же числа m и n оба чётные, то из неравенства x2 y2 следуют неравенства xm ym и xn yn.

x + y x3 + y3 x4 + y4 x2 + y2 x4 + y4 x6 + yТаким образом, · и ·. Из 2 2 2 2 2 этих неравенств следует требуемое.

8.14. П е р в о е р е ш е н и е. Применим индукцию по n. При n = 1 требуемое утверждение верно. Предположим, что требуемое неравенство доказано для любых n положительных чисел. Рассмотрим положительные числа b1 = n+1 n+= a1,..., bn+1 = an+1. Ясно, что (bn -bn)(bi -bj) 0. Просуммируем i j такие неравенства для всех пар i, j, для которых i > j. В результате получим n+1 n+ n bn+1 bi bn.

i j i=1 i=1 j =i (Если не все данные числа равны, то неравенство строгое.) Воспользовавшись неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для n чисел, получим n+1 n+1 n+ bi bn n bi bj = n(n + 1) bj.

j i=1 j=i i=1 j=i j= Следовательно, n+1 n+ bn+1 (n + 1) bj, i i=1 j=что и требовалось.

В т о р о е р е ш е н и е. Расположим данные числа в порядке возрастания:

a1 a2... an. Если a1 = an, то a1 = a2 =... = an. В таком случае A = G. Поэтому будем предполагать, что a1 < an. Тогда a1 < A < an, а значит, A(a1 + an - A) - a1an = (a1 - A)(A - an) > 0, т.е. A(a1 + an - A) > a1an. В частности, a1 + an - A > 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.