WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 65 |
В. В. ПРАСОЛОВ ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ, АРИФМЕТИКЕ И АНАЛИЗУ 2005 П70 Прасолов В. В.

П70 Задачи по алгебре, арифметике и анализу.

В книгу включены задачи по алгебре, арифметике и анализу, относящиеся к школьной программе, но, в основном, несколько повышенного уровня по сравнению с обычными школьными задачами. Есть также некоторое количество весьма трудных задач, предназначенных для учащихся математических классов. Сборник содержит более 1000 задач с полными решениями.

Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов пединститутов.

© Прасолов В. В., 2005 Оглавление Предисловие 11 Г л а в а 1. Квадратный трёхчлен 13 1.1. Наименьшее значение квадратного трёхчлена (13). 1.2. Дискриминант (14). 1.3. Разные задачи (14). 1.4. Теорема о промежуточном значении (15). 1.5. Уравнение касательной к конике (16). 1.6. Результант (16).

Решения..................................... 16 Г л а в а 2. Уравнения 23 2.1. Замена переменных (23). 2.2. Угадывание корней (23). 2.3. Уравнения с радикалами (24). 2.4. Разные уравнения (24).

Решения..................................... 24 Г л а в а 3. Системы уравнений 28 3.1. Нахождение всех решений (28). 3.2. Нахождение вещественных решений (29). 3.3. Положительные решения (30). 3.4. Количество решений системы уравнений (30). 3.5. Линейные системы уравнений (31).

Решения..................................... 33 Г л а в а 4. Делимость 39 4.1. Чёт и нечёт (39). 4.2. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики (40). 4.3. Разложения на простые множители (41).

4.4. Признаки делимости (41). 4.5. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное (42). 4.6. Делимость нацело (42). 4.7. Делимость на степень простого числа (43). 4.8. Остатки от деления (44). 4.9. Взаимно простые числа (45). 4.10. Простые числа (45).

4.11. Арифметика остатков (46).

Решения..................................... 4 Оглавление Г л а в а 5. Тождества 5.1. Разложения на множители (59). 5.2. Доказательство тождеств (59). 5.3. Суммы квадратов (60). 5.4. Вспомогательные тождества (60). 5.5. Разложения рациональных функций (61). 5.6. Разложения квадратичных функций (61). 5.7. Тождества с целыми частями (61).

Решения..................................... Г л а в а 6. Рациональные и иррациональные числа 6.1. Сравнение чисел (67). 6.2. Иррациональности в знаменателях (67). 6.3. Тождества с радикалами (68). 6.4. Доказательства иррациональности и рациональности (69). 6.5. Сопряжённые числа (69).

6.6. Последовательность Фарея (70). 6.7. Задачи с целыми частями (71).

Решения..................................... Г л а в а 7. Текстовые задачи 7.1. Решения без вычислений (79). 7.2. Вычисления (79). 7.3. Неравенства (80). 7.4. Целочисленные приближения (81). 7.5. Соответствия (81).

Решения..................................... Г л а в а 8. Неравенства 8.1. Неравенство x + 1/x 2 (86). 8.2. Неравенство треугольника (87). 8.3. Неравенство Коши (87). 8.4. Монотонность (88).

8.5. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (88). 8.6. Неравенства, имеющие геометрическую интерпретацию (89). 8.7. Циклические неравенства (89). 8.8. Разные неравенства (90). 8.9. Выпуклость (91). 8.10. Неравенства Гёльдера и Минковского (91).

Решения..................................... Г л а в а 9. Вычисление сумм и произведений 9.1. Арифметическая и геометрическая прогрессии (104).

9.2. Изменение порядка суммирования (105). 9.3. Суммы Sk(n) = 1k + 2k +... + nk (105). 9.4. Разбиение на пары (106).

9.5. Вычисление одной суммы двумя способами (107).

Решения..................................... Г л а в а 10. Многочлены I 10.1. Выделение полного квадрата (112). 10.2. Корни многочленов (112). 10.3. Коэффициенты многочлена (113). 10.4. Теорема Виета (113). 10.5. Делимость (113). 10.6. Неравенства для корней (114).

10.7. Количество вещественных корней многочлена (115). 10.8. Разные Оглавление задачи (115). 10.9. Интерполяционные многочлены (116). 10.10. Рациональные функции (116). 10.11. Целозначные многочлены (117).

10.12. Многочлены от нескольких переменных (117).

Решения..................................... Г л а в а 11. Тригонометрия 11.1. Неравенства и сравнение чисел (127). 11.2. Тригонометрические тождества (128). 11.3. Уравнения (128). 11.4. Суммы синусов и косинусов, связанные с правильными многоугольниками (129). 11.5. Вычисление сумм и произведений (129). 11.6. Выражения для cos n и т.п. (131). 11.7. Вспомогательные тригонометрические функции (131).

11.8. Тригонометрические многочлены (132).

Решения..................................... Г л а в а 12. Уравнения в целых числах 12.1. Пифагоровы тройки (143). 12.2. Нахождение всех решений (144).

12.3. Нахождение некоторых решений (145). 12.4. Доказательство конечности числа решений (145). 12.5. Уравнение Пелля (145).

12.6. Уравнение Маркова (146).

Решения..................................... Г л а в а 13. Индукция 13.1. Вычисление сумм (154). 13.2. Неравенства (154). 13.3. Доказательство тождеств (155). 13.4. Разные задачи (156).

Решения..................................... Г л а в а 14. Комбинаторика 14.1. Элементы комбинаторики (160). 14.2. Тождества для биномиальных коэффициентов (161). 14.3. Бином Ньютона в арифметике (162).

14.4. Комбинаторика в арифметике (162). 14.5. Неравенства для биномиальных коэффициентов (163). 14.6. Арифметика биномиальных коэффициентов (163). 14.7. Формула включений и исключений (163).

14.8. Аналоги биномиальных коэффициентов (164). 14.9. Числа Каталана (164). 14.10. Элементы теории вероятностей (166).

Решения..................................... Г л а в а 15. Рекуррентные последовательности 15.1. Общие свойства (181). 15.2. Числа Фибоначчи (181). 15.3. Числа Фибоначчи и алгоритм Евклида (183). 15.4. Числа Фибоначчи в комбинаторике (183). 15.5. Специальные рекуррентные последовательности (184).

Решения..................................... 6 Оглавление Г л а в а 16. Примеры и конструкции 16.1. Наборы чисел (190). 16.2. Бесконечные последовательности (191). 16.3. Последовательности операций (191). 16.4. Многочлены и рациональные функции (191). 16.5. Разные примеры и конструкции (192).

Решения..................................... Г л а в а 17. Принцип Дирихле. Правило крайнего 17.1. Остатки от деления (197). 17.2. Разные задачи (198). 17.3. Приближения иррациональных чисел рациональными (198). 17.4. Правило крайнего (199).

Решения..................................... Г л а в а 18. Инварианты и полуинварианты 18.1. Остатки от деления (206). 18.2. Полуинварианты (206).

18.3. Чётность перестановки (207).

Решения..................................... Г л а в а 19. Логика 19.1. Логические задачи (213). 19.2. Логические парадоксы (214).

19.3. Логика высказываний (215).

Решения..................................... Г л а в а 20. Стратегии. Турниры. Таблицы 20.1. Выбор стратегии (219). 20.2. Переливания (220). 20.3. Турниры (220). 20.4. Взвешивания (221). 20.5. Таблицы (222).

Решения..................................... Г л а в а 21. Системы счисления 21.1. Последние цифры (231). 21.2. Первые цифры (231). 21.3. Другие цифры (232). 21.4. Сумма цифр (232). 21.5. Разные задачи о десятичной записи (232). 21.6. Периоды десятичных дробей и репьюниты (233). 21.7. Определение d-ичной записи числа (234). 21.8. Двоичная система (234). 21.9. Другие системы счисления (235). 21.10. Другие представления чисел (235).

Решения..................................... Г л а в а 22. Графы 22.1. Обходы графов (244). 22.2. Ориентированные графы (244).

22.3. Паросочетания (244).

Решения..................................... Г л а в а 23. Комплексные числа 23.1. Тождества и неравенства для комплексных чисел (250).

Оглавление 23.2. Формула Муавра (250). 23.3. Корни из единицы (251). 23.4. Корни многочленов (253).

Решения..................................... Г л а в а 24. Уравнения, разрешимые в радикалах 24.1. Решение кубических уравнений (259). 24.2. Дискриминант кубического многочлена (259). 24.3. Решение уравнений 4-й степени (260).

24.4. Другие уравнения, разрешимые в радикалах (260).

Решения..................................... Г л а в а 25. Предел последовательности 25.1. Свойства пределов (265). 25.2. Теорема Вейерштрасса (266).

25.3. Вычисление пределов (267). 25.4. Число e (268). 25.5. Сопряжённые числа (269). 25.6. Точная верхняя грань (269).

Решения..................................... Г л а в а 26. Непрерывные и разрывные функции 26.1. Монотонные функции (281). 26.2. Периодические функции (281).

26.3. Предел функции (281). 26.4. Непрерывность (282). 26.5. Теорема о промежуточном значении (283). 26.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке (283). 26.7. Выпуклые функции (284). 26.8. Равномерная непрерывность (285). 26.9. Функции ограниченной вариации (285).

Решения..................................... Г л а в а 27. Логарифм и показательная функция 27.1. Определение показательной функции и логарифма (292).

27.2. Показательная функция (293). 27.3. Тождества для логарифмов (293). 27.4. Неравенства и сравнения чисел (294). 27.5. Иррациональность логарифмов (294). 27.6. Некоторые замечательные пределы (294). 27.7. Гиперболические функции (294).

Решения..................................... Г л а в а 28. Производная 28.1. Определение производной (301). 28.2. Производные элементарных функций (302). 28.3. Кратный корень многочлена (303).

28.4. Производная многочлена (303). 28.5. Тождества (304). 28.6. Касательная и нормаль (304). 28.7. Функции, дифференцируемые на отрезке (305). 28.8. Неравенства (306). 28.9. Правило Лопиталя (307).

28.10. Количество корней уравнения (308). 28.11. Периодические функции (308). 28.12. Нормированные симметрические функции (308).

28.13. Алгебраические и трансцендентные функции (309). 28.14. Формула Тейлора (309).

Решения..................................... 8 Оглавление Г л а в а 29. Интеграл 29.1. Неопределённый интеграл (327). 29.2. Определённый интеграл (328). 29.3. Вычисление интегралов (330). 29.4. Вычисление площадей (330). 29.5. Вычисление объёмов (331). 29.6. Длина кривой (331). 29.7. Площадь поверхности (332). 29.8. Неравенства (333).

29.9. Вычисление пределов (334). 29.10. Тождества (334). 29.11. Примеры и конструкции (334). 29.12. Несобственные интегралы (335).

Решения..................................... Г л а в а 30. Ряды 30.1. Вычисление бесконечных сумм (347). 30.2. Вычисление бесконечных произведений (347). 30.3. Гармонический ряд (348). 30.4. Ряд для логарифма (349). 30.5. Ряды для числа (350). 30.6. Экспонента в комплексной области (350). 30.7. Доказательства неравенств (351).

30.8. Сходящиеся и расходящиеся ряды (351). 30.9. Сходимость бесконечных произведений (351).

Решения..................................... Г л а в а 31. Элементы теории чисел 31.1. Малая теорема Ферма (361). 31.2. Псевдопростые числа (361).

31.3. Функция Эйлера (362). 31.4. Теорема Вильсона (362). 31.5. Задачи о сравнениях (363). 31.6. Функция k(n). Делители (364).

31.7. Квадратичные вычеты (365). 31.8. Квадратичный закон взаимности (365). 31.9. Гауссовы суммы (367). 31.10. Суммы двух квадратов (368). 31.11. Суммы четырёх квадратов (369). 31.12. Первообразные корни по простому модулю (369). 31.13. Первообразные корни по составному модулю (370). 31.14. Теорема Чебышёва о простых числах (371).

Решения..................................... Г л а в а 32. Многочлены II 32.1. Разделение корней (393). 32.2. Неприводимые многочлены (395).

32.3. Симметрические многочлены (398). 32.4. Многочлены Чебышёва (401). 32.5. Алгебраические и трансцендентные числа (402).

32.6. Присоединение корня многочлена (404).

Решения..................................... Г л а в а 33. Алгоритмы и вычисления 33.1. Вычисления некоторых чисел (416). 33.2. Арифметические операции. Многочлены (417). 33.3. Сортировка (417). 33.4. Криптография с открытым ключом (419).

Решения..................................... Г л а в а 34. Функциональные уравнения 34.1. Метод подстановки (425). 34.2. Функциональные уравнения для Оглавление произвольных функций (426). 34.3. Функциональные уравнения для непрерывных функций (426). 34.4. Функциональные уравнения для дифференцируемых функций (427). 34.5. Функциональные уравнения для многочленов (427).

Решения..................................... Г л а в а 35. Цепные дроби 35.1. Определение и основные свойства (438). 35.2. Наилучшие приближения (440). 35.3. Цепные дроби и уравнение Пелля (440).

Решения..................................... Г л а в а 36. Формальные ряды и производящие функции 36.1. Формальные ряды (446). 36.2. Формальная производная (447).

36.3. Корень из формального ряда (447). 36.4. Экспонента и логарифм (447). 36.5. Тождества для формальных рядов (448). 36.6. Производящие функции (449). 36.7. Числа и многочлены Бернулли (450).

36.8. Число разбиений (450). 36.9. Формулы Варинга (451).

Решения..................................... Г л а в а 37. Исчисление конечных разностей 37.1. Свойства конечных разностей (462). 37.2. Обобщённая степень (463). 37.3. Формула суммирования Эйлера (464).

Решения..................................... Г л а в а 38. Кривые на плоскости 38.1. Полярные координаты (468). 38.2. Огибающая семейства кривых (468). 38.3. Кривизна (471). 38.4. Соприкасающаяся окружность (472). 38.5. Фокальные точки. Эволюта (473).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 65 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.