WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 12 |

Активное прогнозирование в рассматриваемой модели заключается в сообщении центром агентам информации о будущих значениях результатов их деятельности – например, о суммарном действии.

Пусть Y0 – сообщение центра. Тогда, воспользовавшись (5), агенты могут однозначно восстановить значение = (Y0) состояния природы (см. рисунок 4), на которое должен бы был ориентироваться центр, рассчитывая на сообщенное им суммарное действие.

Задача активного прогнозирования заключается в максимизации сообщением Y0 A’ гарантированного значения целевой функции центра на множестве равновесных при данном сообщении состояний агентов:

(7) min f0(y*( (Y0)), ) max.

0 YПри известных зависимостях (3)-(5) задачи (6) и (7) являются стандартными задачами оптимизации.

Отметим, что в данном примере эффективности активного прогноза и информационного регулирования одинаковы, так как оценка состояния природы восстанавливается по результату деятельности однозначно (см. обсуждение в разделе 6).

Структуры системы управления для случаев информационного регулирования и активного прогноза (в котором q = Y0) приведены соответственно на рисунках 10 и 11 (см. также рисунки 1-4).

Рассмотрим случай, когда затраты каждого агента возрастают по действиям других агентов (этому соответствует знак «минус» в знаменателе функции затрат (2)).

Пусть центру достоверно известно, что внешняя цена (описываемая переменной ) равна единице, агенты считают, что = [0; 3]. Будем считать, что целевая функция центра определяется суммарным доходом 1 Y за вычетом суммарных затрат агентов.

Состояние природы ЦЕНТР 1 n Y Агентn Агент1 Агент… y*n( ) y*1( ) y*2( ) 0 Результат деятельности * Y = z( ) = w(y*( )) = yi ( ) 0 iN Рис. 10. Информационное регулирование Состояние природы ЦЕНТР 1 2 Yn Y Агентn Агент1 Агент… y*n( (Y0)) y*1( (Y0)) y*2( (Y0)) Результат деятельности * Y(Y0) = w(y*( (y0))) = yi ( (Y0 )) iN Рис. 11. Активный прогноз Тогда задача (6) имеет вид:

(8) Y( ) – c1(y*( ), r1) – c2(y*( ), r2) max, [0;3] где Y( ) и y*( ) определяются, соответственно, выражениями (3) и (4). Предполагая, что агенты одинаковы (r1 = r2 = 1) и подставляя (3) и (4) в (8), получим, что целевая функция центра следующим образом зависит от его сообщения (4 - ) (9) f0(y*( ), ) =.

4 + Максимум выражения (9) на отрезке [0; 3] достигается в точке * = 4 ( 2 – 1). Следовательно, решение задачи информационного * регулирования – сообщение центром агентам оценки. Отметим, что эта оценка отличается от «истинной» оценки = 1, то есть центру выгодно искажать информацию.

Небезынтересно рассмотреть вопрос о том, каковы будут выигрыши агентов в случае единичной истинной цены и сообщения * центра = 4 ( 2 – 1). Нетрудно убедиться, что выигрыш каждого из них будет меньше ожидаемого, но больше того выигрыша, который он получил бы в случае сообщения центром истинной цены (в обозначениях раздела 8 это запишется следующим образом: < < ). Вывод несколько парадоксальный – агентам 6 4 выгодно, чтобы от них скрыли истинное значение цены. Объясняется он тем, что равновесие Нэша не является в данном случае Парето-оптимальным, и центр своим сообщением «сдвигает» точку информационного равновесия к Парето-оптимуму. Однако такое информационное управление, как мы видим, не является стабильным (имеет место несовпадение ожиданий и результата:

).

4 Рассмотрим теперь задачу активного прогнозирования (7). Ее решение заключается в вычислении на основании информации о * * по выражению (5) величины Y( ) и сообщение ее агентам в качестве прогноза Y0 их суммарных действий. Легко подсчитать, что сообщение центром Y0 = 2 (2 – 2 ) побуждает агентов восстано* вить оценку состояния природы и выбрать требуемые для центра действия.

Если бы центру было невыгодно искажать информацию, то это значило бы, что именно сообщение истинного состояния природы участникам АС побуждает их придти в наиболее выгодное * для центра состояние. Другими словами, совпадение и является частным случаем и может рассматриваться как «случайное».

Отметим, что целевая функция центра при единичной истинной цене имеет вид 2 y1 yf0( y, 1) = y1 + y2 - -.

2 - y2 2 - yМаксимум этой функции на множестве 0 y1 < 2, 0 y2 < достигается в точках y1 = y2 = 2 – 2, которые и достигаются при помощи описанных информационного регулирования и приводящего к тому же результату активного прогноза (для того, чтобы в этом убедиться, достаточно найти максимум целевой функции центра по всем парам (y1, y2)). Поэтому это управление является абсолютно оптимальным.

Исследуем теперь зависимость равновесия от представления каждого из игроков об информированности другого игрока, то есть простейший пример рефлексивного управления. Так как структура целевых функций агентов такова, что при вычислении гарантированного результата используются только нижние границы соответствующих множеств значений состояний природы, то обозначим – нижняя граница этого множества, известная j-му игроку с ij точки зрения i-го игрока, j = 1, 2.

Посмотрим на ситуацию с точки зрения первого агента. Он осознает себя как более информированного по сравнению со вторым и «просчитывает» его действие в соответствии с предположением П2 (см. раздел 4). Именно, второй агент с точки зрения первого вычисляет равновесную ситуацию, подставляя в целевые * функции значение. В результате y12 – равновесная стратегия второго игрока с точки зрения первого – вычисляется следующим образом (см. (4); напомним, что рассматривается случай «–» при 2 * r1 = r2 = 1): y12 =.

4 + Подставляя это значение в свою целевую функцию, первый агент вычисляет свою стратегию:

y1 2 * * * y1 = argmax f ( y1, y12, ) = argmax 11 (y1 + y12) - =.

* y1[0, 2) y1[0, 2) 2 - y12 4 + Аналогично вычисляется равновесная стратегия второго аген2 * та: y2 =.

4 + Как было упомянуто выше, сообщение обоим агентам значе* ния = 4 ( 2 – 1) является абсолютно оптимальным управлением центра. Поэтому и здесь (в рамках рефлексивного управления) оптимальным будет сообщение = = = = = 4 ( 2 – 1).

11 12 21 9.3. ПРИМЕР 3 (КОНКУРЕНЦИЯ НА РЫНКЕ) Если в примере 1 рынок был ненасыщен, и подразделения рассматриваемой фирмы могли продавать на рынке любое количество продукции по фиксированной цене, которая являлась неопределенным параметром (состоянием природы), то в данном примере предполагается, что спрос задан экзогенно в виде Y( ), где Y – суммарный выпуск (суммарное действие агентов), а – рыночная цена. Если Y( ) – строго монотонно убывающая непрерывная функция, то существует обратная ей функция (Y), отражающая зависимость рыночной цены от предложения, которая также строго монотонно убывает и непрерывна. Предположим, что агентам не известны эффективности (параметры функций затрат) друг друга.

Целевая функция j-го агента с точки зрения i-го агента есть:

yij (1) fij(y, ) = (Y) yij –, i, j N, i 2ij где y = (y1, y2, …, yn) A’ – вектор действий агентов, имеющих сепарабельные затраты cj(y) = y2 / 2 rj, j N, = (,, …, ) – i i1 i2 in вектор параметров (соответствующих границ множеств возможных значений неопределенных параметров), отражающий представления i-го агента об эффективности его деятельности ri и эффективностях {rj}j i деятельности других агентов.

Из условий равновесия получаем действия агентов:

(Y ) ij (2) y*ij( ) =, i, j N.

i 1 - '(Y ) ij Пусть (Y) = – Y,, > 0. Подставляя (Y) в (2), получа0 ем:

ij (3) y*ij( ) =, i, j N, i (1 + )(1 + ) ij i где ij (4) =, i N.

i 1+ ij jN Таким образом, информационным равновесием будет вектор ( y* ( ), y* ( ), …, y* ( )).

1 2 n 11 22 nn Исследуем информационное равновесие для случая двух агентов (n = 2), каждый из которых достоверно знает свой тип ( = ri) ii и имеет некоторые предположения (, ) о типе партнера. Пусть 12 при этом r1 = r2 = = =1.

Из (3) получаем, что суммарное действие в зависимости от предположений агентов о типе партнера равно 2 + + 1 (5) Y(, ) =, 12 2(1+ )(1 + ) 1 где = + / (1+ ), = + / (1 + ). Линии уровня 1 12 12 2 21 функции (5) приведены на рисунке 12.

Рис. 12. Линии уровня суммарного действия в зависимости от представлений агентов друг о друге Имея зависимости (1)-(5), можно формулировать и решать задачи информационного регулирования и активного прогнозирования, исследовать иерархические игры с сообщениями агентов друг другу об эффективностях деятельности и т.д.

Рассмотрим задачу активного прогнозирования. Пусть задача центра заключается в обеспечении суммарного действия равного Y. Рассмотрим, какой прогноз Y0 решает эту задачу.

С точки зрения первого агента, которому сообщен прогноз Y0, целевые функции выглядят следующим образом:

yf1(y1, y2) = (1 – y1 – y2) y1 –, yf2(y1, y2) = (1 – y1 – y2) y2 –, 2rгде параметр r2 ему неизвестен. Для нахождения равновесия Нэша первый агент приравнивает к нулю производные этих функций, что приводит (с учетом прогноза) к следующей системе уравнений:

- y2 - 3y1 = 0, 1 - y1 - + 2 y2 = 0, r y1 + y2 = Y0.

Эта система имеет единственное решение 1 - Y0 3Y0 - 1 3Y0 - y1 =, y2 =, r2 =.

2 2 3 - 5YЗаметим, что по смыслу ситуации эти три значения должны быть положительны. Это накладывает естественное ограничение на возможные сообщения центра:

1 < Y0 <.

3 В итоге получаем, что равновесная стратегия первого агента такова:

1 - Y* y1 =.

Рассуждая аналогично с точки зрения второго агента, получаем его равновесную стратегию:

1 - Y* y2 =.

Таким образом, сообщая прогноз Y0, центр добивается сум* * марного действия Y = y1 + y2 = 1 - Y0. Очевидно, единственным точным прогнозом центра в описываемой ситуации является Y0 =.

Пусть теперь зависимость цены от суммарного действия двух агентов задается соотношением (Y) = 1/Y. Тогда целевые функции агентов имеют вид 2 y1 y1 y2 yf1(y1, y2) = –, f2(y1, y2) = –.

y1 + y2 2 y1 + y2 2rДифференцируя эти функции по соответствующим переменным и приравнивая производные к нулю, найдем равновесные стратегии агентов:

4 r1r2 r1r* * y1 = r1, y2 = r2.

r1 + r2 r1 + rПредположим, что r1 = r2 =1, и каждому агенту известен свой тип, но неизвестен тип другого агента, то есть первому агенту неизвестно значение r2, а второму – значение r1.

Будем считать, что центр стремится минимизировать цену, сообщая агентам ее прогноз. Выясним, какой прогноз является оптимальным (то есть минимизирующим реальное значение цены).

Если центр сообщает прогноз цены, то первый агент может ~ определить тип второго агента r2 из уравнения * * ~ 4 = y1 + y2 = r1~2 = r2.

r ~ Имеем: r2 =, откуда ~ r* y1 = = =.

~ 1 + r2 1 + + Повторяя эти же рассуждения для второго агента, получаем * его равновесную стратегию: y2 =.

+ Таким образом, при сообщении центром прогноза цены истинное значение цены окажется следующим:

1 +( ) = =.

* * y1 + y2 Легко видеть, что минимум функции ( ) достигается в точке = 1. Это значение и будет оптимальным. При этом (1) = 1, то есть оптимальный прогноз центра является точным прогнозом, а информационное управление – стабильным (нетрудно убедиться, что агенты получат именно те выигрыши, на которые рассчитывали при выборе стратегии).

9.4. ПРИМЕР 4 (РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСА) Предположим, что целевая функция агента, имеющего тип25 ri, определяется разностью между доходом (xi, ri) от обладания i ресурсом xi, и затратами xi, связанными с его приобретением по цене :

(1) fi(, xi, ri) = (xi, ri) – xi, i N.

i Если типы агентов {ri} неизвестны центру, осуществляющему распределение ресурса, то он может использовать механизм с сообщением информации от агентов [12, 65].

Пусть (xi, ri) = 2 ri xi, i N. Тогда оптимальное для i-го i агента количество ресурса равно (2) xi( ) = ri /, i N.

Пусть центр обладает ресурсом R0. Тогда из условия x ( ) = R0 он может заранее определить равновесную цену:

i iN Данный параметр агента может интерпретироваться как эффективность использования ресурса.

R (3) =, Rгде R =.

r i iN Агенты не знают цену, однако им известен механизм ее определения (3).

Обозначим = (,, …, ) – вектор параметров (соответi i1 i2 in ствующих границ множеств возможных значений неопределенных параметров), отражающий представления i-го агента об эффективности его деятельности ri и эффективностях {rj}j i деятельности других агентов; Ri =. Агент с номером i при известном R0 в ij jN силу (3) рассчитывает на установление цены Ri (4) =, i N.

RИз (2) следует, что он стремится приобрести ресурс в объеме ri (5) x* ( ) = R0, i N.

i i Ri При этом суммарный спрос на ресурс составляет ri (6) Y( ) = ( ) = R0.

x* i i Ri iN iN Если представления агентов, вообще говоря, не соответствуют ri действительности ( rj), то при 1, возникает дисбаланс.

ij Ri iN В частности, если Y( ) > R0, то равновесная цена превышает, а если Y( ) < R0, то равновесная цена оказывается меньше, чем.

Традиционно (например, на валютном рынке) центр добивается удержания цены в нужном для него диапазоне либо изменением объема ресурса26, предлагаемого агентам к продаже, либо выступая в качестве одного из игроков. Для определения количества Изменение цены может рассматриваться как мотивационное управление, изменение количества ресурсов – как институциональное управление.

ресурса, обеспечивающего заданную равновесную цену при известной информированности агентов, достаточно воспользоваться выражением (6).

Рассмотрим возможности центра по информационному управлению на примере АС, состоящей из двух агентов с информированностями: = (r1, ), = (, r2). Содержательно, каждый 1 12 2 агент знает свой тип и имеет некоторую информацию (быть может, недостоверную) о типе другого игрока.

Вычисляем: R1 = r1 +, R2 = +r2, x1*( ) = r1 R0 / (r1 + ), 12 21 1 x2*( ) = r2 R0 / (r2 + ). Условие баланса имеет вид:

2 r1 r(7) + = 1.

r1 + r2 + Отметим, что (7) выполняется, в частности, при полной информированности агентов, которой соответствует выполнение равенств = r2, = r1. Преобразуя (7), получаем, что условие 12 баланса можно записать в виде:

(8) r1 r2 =.

12 Информационному регулированию в рассматриваемой модели соответствует сообщение агентам информации о типах партнеров, удовлетворяющей (8), что обеспечивает сбалансированность рынка (отметим, что равновесная цена при этом может отличаться от ), то есть достижение цели центра (7).

Предположим, что центр может использовать только однородное информационное регулирование (то есть сообщать всем агентам одну и ту же величину). Из (8) следует, что в случае двух агентов это предположение не снижает эффективности управления – центру достаточно сообщить = r1r2.

Рассмотрим задачу активного прогнозирования. Пусть центр сообщает агентам прогноз отношения объемов приобретаемых ресурсов:

xk =.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.