WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |

xНа основании этой информации каждый агент определяет тип другого агента, исходя из соотношений (вытекающих из (5)) r1 = = k.

rВыпишем равновесные стратегии агентов:

r1 k r2 * * (9) x1 = R0 = R0, x2 = R0 = R0.

r1 + 12 1+ k r2 + 21 1 + k Из (9) видно, что центр, сообщая значение k (0, +), может добиться распределения ресурса R0 между агентами в любой пропорции. При этом для любого k прогноз является точным.

Однако информационное управление посредством сообщения k является стабильным лишь при r(10) k =, rто есть при сообщении центром истинного соотношения типов.

При любом другом сообщении агенты неверно восстанавливают значение, а, следовательно, свой ожидаемый выигрыш. Например, первый агент рассчитывает на цену (см. (3)) ~ r1 + r1 + r1 / k = =, R0 Rr1 + rа на самом деле она будет составлять =.

R~ Видно, что = лишь при условии (10).

9.5. ПРИМЕР 5 (АУКЦИОН) Пусть центр обладает R0 единицами ресурса. Размер возможной заявки от каждого из агентов фиксирован и равен x0 (для простоты будем считать, что k = R0 / x0 – целое число). Агенты сообщают центру цену {yi}, по которой они готовы приобрести ресурс, затем центр упорядочивает агентов по убыванию предложенных цен и продает ресурс по заявленным ценам – сначала агенту, предложившему максимальную цену, затем – следующему за ним и т.д., пока не закончится весь ресурс.

Пусть (xi, ri) – доход i-го агента от использования ресурса i (возрастающая функция, удовлетворяющая условию (0, ri) = 0), i где ri – тип агента, характеризующий эффективность использования им ресурса, то есть ( ) возрастает по ri, i I. Из условия i индивидуальной рациональности (неотрицательности целевой функции27 fi(y, xi, ri) = (xi, ri) – yi x0) получаем максимальную цену i pi(ri), которую готов заплатить данный агент за получение ресурса.

Упорядочим агентов по убыванию типов28: r1 r2 … rn. В силу введенных предположений упорядочение агентов по максимальным ценам будет такое же: p1 p2 … pn.

В условиях полной информированности равновесными будут следующие сообщения (так называемое аукционное решение):

y* = pk+1 +, i = 1, k, y* = 0, i = k + 1, n, где – сколь угодно i i маленькая строго положительная константа, то есть первые k агентов – победители аукциона – приобретут ресурс почти по цене первого проигравшего, а все проигравшие откажутся от участия в аукционе.

Построенное аукционное решение будет реализовано только если все агенты имеют достоверную информацию о типах (и, следовательно, максимальных ценах) друг друга. Рассмотрим, что произойдет в случае, когда агенты не имеют достоверной информации о типах друг друга.

Пусть n = 2, k = 1, и информированность агентов следующая:

= (p1, ), = (, p2). Содержательно, каждый агент знает 1 12 2 свою максимальную цену и имеет некоторую информацию (быть может, недостоверную) о максимальной цене другого игрока.

Пусть для определенности p1 > p2. Тогда зависимость информационного равновесия от информации игроков примет вид, представленный на рисунке 13.

Обсудим возможные комбинации значений (, ), то есть 12 области I – VII на рисунке 13.

Отметим, что полной информированности соответствует точка A, в которой побеждает первый агент, приобретая ресурс по цене p2. Будем считать, что, если некоторый агент полагает, что Отказываясь от участия в аукционе, агент всегда может обеспечить себе нулевое значение целевой функции.

Будем считать, что, если типы двух агентов совпадают, то существует правило, по которому они упорядочиваются.

противник сильнее него, то он отказывается от участия в аукционе29.

В области I оба агента отказываются от участия в аукционе, так как каждый ошибочно полагает, что противник сильнее его.

В области II ошибаются оба агента, но первый отказывается от участия в аукционе и побеждает второй агент, приобретая ресурс по цене < p2.

В области III в аукционе участвуют оба агента, побеждает первый агент, приобретая ресурс по цене > p2.

VI VII I A B pV IV III II ppРис. 13. Информационное равновесие в примере «Аукцион» То же самое происходит в области IV, за исключением того, что цена < p2.

В области V в аукционе участвуют оба игрока, побеждает второй игрок, приобретая ресурс по цене < r2.

Альтернативой является введение предположения, что в подобной ситуации агент предпочтет сообщить свою максимальную цену, то есть достоверную информацию, для того, чтобы застраховаться на случай неправильных своих представлениях о противнике. Этот случай более выгоден для центра, так как при представлениях агентов друг о друге, попадающих в область I (см. рисунок 11), итогом будет точка B, а не срыв аукциона.

В области VI второй игрок отказывается от участия в аукционе, побеждает первый игрок, приобретая ресурс по цене < p2.

То же самое происходит в области VII, за исключением того, что цена > p2.

Будем считать, что центр заинтересован, в первую очередь, в том, чтобы реализовать ресурс, и во вторую очередь – чтобы реализовать его по максимально возможной (или превышающей равновесную цену p2) цене. Тогда множества информационных равновесий I-VII (см. рисунок 13) можно упорядочить следующим образом (знак “<” обозначает, что одно множество равновесий хуже другого с точки зрения центра, знак “” – что соотношение зависит от конкретных точек, определяющих соответствующие цены, внутри множеств):

I < II IV V VI < III VII.

Качественно, центру выгодно, чтобы первый агент знал, что он может победить, но чтобы он как можно выше оценивал максимальную цену второго игрока (информация, которой обладает при этом второй (в рамках априори принятого их упорядочения) агент не существенна). В то же время, априори второй игрок не должен знать, что он не является победителем30 (область VI невыгодна центру).

Следовательно, в рассматриваемом примере информационное управление заключается в сообщении центром агентам такой информации о партнерах, которая побудила бы их прийти в наиболее выгодное для центра информационное равновесие.

9.6. ПРИМЕР 6 (АККОРДНАЯ ОПЛАТА ТРУДА) Рассмотрим АС с двумя агентами, имеющими функции затрат + ci(yi) = yi2 / 2ri, где ri – тип i-го агента, yi Ai = 1, i = 1, 2. Целевая функция i-го агента представляет собой разность между стимулированием (y1, y2), получаемым от центра, и затратами, то i есть: fi(y) = (y) – ci(yi), i = 1, 2.

i Пусть центр использует систему стимулирования Ситуация усложняется, если рассматривать информированности игроков об информированностях друг друга.

Ci, y1 + y2 x (1) (y1, y2) = i 0, y1 + y2 < x, i = 1, 2.

Содержательно, центр выплачивает каждому агенту фиксированное вознаграждение при условии, что сумма их действий оказывается не меньше, чем некоторое плановое значение x > 0. Обозначим yi+ = 2riCi, i = 1, 2, Y = {(y1, y2) | yi yi+, i = 1, 2, y1 + y2 x} – множество индивидуально-рациональных действий агентов. Рассмотрим четыре возможных комбинации переменных (см. рисунки 14–17).

В первом случае (см. рисунок y14) множество равновесий + y2 Нэша составляет отрезок:

EN( ) = [N1 N2]. Фиксируем x Nпроизвольное равновесие * * y* = ( y1, y2 ) EN( ). Наличие * y«большого» равновесия Нэша Y (отрезка, содержащего контиyNнуум точек) имеет несколько * + y1 y1 минусов с точки зрения эффекx тивности стимулирования.

Рис. Поясним это утверждение Так как все точки отрезка [N1 N2] эффективны по Парето с точки зрения агентов, то при определении эффективности системы стимулирования центр вынужден (в зависимости от своей функции полезности) либо использовать гарантированный результат (вычислять минимум по этому отрезку), либо доплачивать агентам за выбор конкретных действий из этого отрезка малую, но строго положительную, величину.

Построим систему индивидуального стимулирования в соответствии с результатами, приведенными в [70, 71]:

* C1, y1 y* * (2) ~1 (y1) = (y1, y2 ) =, * 0, y1 < y* C2, y2 y* * ~ (y2) = ( y1, y2) =.

* 0, y2 < y При использовании этой системы стимулирования точка * * y* = ( y1, y2 ) оказывается единственным равновесием Нэша, то есть, переходя от системы стимулирования (1) каждого агента, зависящей от действий всех агентов, к системе стимулирования (2), зависящей только от действий данного агента, центр «декомпозирует» игру элементов, реализуя при этом единственное действие. При этом эффективность стимулирования, очевидно, не только не понижается, а может оказаться более высокой, чем при использовании исходной системы стимулирования.

y2 y+ yx Nx N+ * yy* NyN2 yy* + + * y1 y1 x x yyРис. Рис. Во втором и третьем случаях равновесием Нэша являются отрезки [N1 N2], изображенные на рисунках 15 и 16 соответственно.

И, наконец, в четвертом случае y(см. рисунок 17) множество x равновесий Нэша состоит из N+ yточки (0; 0) и отрезка [N1 N2], то * есть EN( ) = (0;0) [N1 N2], yпричем точки интервала (N1 N2) Nявляются недоминируемыми по yПарето другими равновесиями, * то есть:

yy1 + x (N1 N2) = Par (EN( ), {fi}).

Рис. Пусть в условиях рассматриваемого примера функции затрат ( yi + y-i )агентов несепарабельны и имеют вид: ci(y) =. Опре2ri делим множество Y индивидуально-рациональных действий агентов: Y = {(y1, y2) | ci(y) Ci, i = 1, 2}. Для того чтобы не рассматривать все возможные комбинации значений параметров {r1, r2, C1, C2, x} возьмем случай, представленный на рисунке 18.

y2r1C1 / x 2r2CN* yNy* y2r1C1 x 2r2C2 / Рис. 18. Множество равновесий Нэша [N1 N2] в случае несепарабельных затрат В рассматриваемом случае множество равновесий Нэша включает отрезок [N1 N2]. Система стимулирования * * * * c1( y1, y2 ), y1 = y1 ~* c2( y1, y2 ), y2 = y * (3) ~1 (y) = (y) = * * 0, y1 y1 0, y2 y реализует действие y* [N1 N2] как равновесие в доминантных стратегиях.

Система стимулирования (3) имеет эффективность не меньшую, чем исходная система стимулирования с теми же параметрами C1 и C2 (см. выражение (2)). Она в точности компенсирует затраты агентов, а система стимулирования (2) «переплачивала» следующую величину: C = C1 – c1(y*) + C2 – c2(y*), которая неотрицательна в силу индивидуальной рациональности агентов.

Итак, мы рассмотрели задачу стимулирования (мотивационного управления) в случае полной информированности. Пусть каждый агент имеет некоторые (быть может, недостоверные) представления о типе другого агента (обозначения соответствуют min используемым в примерах 4 и 5). Вычислим = (x – min min 2r1C1 )2 / 2 C2, = (x – 2r2C2 )2 / 2 C1. Тогда при первый агент отказывается от участия в АС (так как в соответствии с его представлениями выполнение плана невыгодно), а при min по тем же причинам второй агент отказывается от участия в АС. Таким образом, агенты будут выполнять план при значениях представлений друг о друге, принадлежащих области, заштрихованной на рисунке 19. Требуемые, то есть предпочтительные для центра, представления агентов друг о друге могут быть сформированы им в рамках рефлексивного управления.

min min Рис. 19. Участие агентов в АС в зависимости от их представлений Перейдем к обсуждению проблем информационного управления в рассматриваемой модели.

В [4, 5] изучаются задачи прогнозируемости развития социально-экономических систем и их связь с динамикой коллективного поведения.

Предположим, что исследователь имеет полную информацию о целевых функциях и допустимых множествах элементов системы. Тогда, приняв ту или иную концепцию равновесия (в экономических моделях – это, как правило – равновесие Нэша, и в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением именно некооперативных игр), можно определить точку равновесия. Казалось бы, система в этом случае полностью прогнозируема (вопроса об адекватности модели мы не рассматриваем).

Если целевые функции игроков зависят от времени, то, определяя последовательность точек равновесия, соответствующих различным периодам функционирования, можно получить траекторию состояний системы, то есть прогноз ее развития. Однако точность такого прогноза может оказаться крайне низкой, в частности, в силу следующих причин. Если элементы системы обладают примерно такой же полной информацией, что и исследователь, то, наверное, реальная траектория будет близка к прогнозной.

Однако, если, например, предпочтения агентов являются частной информацией, то вряд ли можно ожидать, что система сразу окажется в равновесии. Такая недостаточная взаимная информированность имеет место, в частности, в системах с большим числом элементов [61, 62, 72]. А если система не находится в равновесии, значит агенты начнут изменять свои стратегии, пытаясь "нащупать" равновесие.

Предположим, что точка равновесия существует, и агенты ведут себя таким образом, что траектории системы сходятся к этой точке (в зависимости от модели время попадания в точку равновесия может быть конечным или бесконечным). Тогда, если характерное время сходимости окажется много больше периода функционирования системы, то сделанный прогноз заведомо ошибочен.

В этом случае необходимо рассматривать динамику поведения элементов системы в процессе достижения равновесия – динамику коллективного поведения.

В рамках модели коллективного поведения необходимо определить, какую стратегию будут выбирать агенты при сложившихся конкретных обстоятельствах (обстановке игры). Это достаточно сложная задача, так как выбор конкретной стратегии может зависеть, например, от психологических особенностей принятия решения данным агентом, что существенно затрудняет прогноз его поведения. Для решения этой задачи может быть введена гипотеза выбора стратегий агентами.

Пусть исследователь, исходя из своих представлений об агентах, характере их возможной деятельности и т.д., выдвинул такую гипотезу. В этом случае (если рассматривается динамическая игра) последовательность выбранных стратегий будет удовлетворять динамической системе, где стратегия каждого элемента на следующем шаге зависит от выигрыша, полученного на предыдущем шаге (и тем самым от стратегии на предыдущем шаге), и от правил игры – управления в данной динамической системе.

Задача анализа поведения динамической системы достаточно сложна, а нахождение решения динамической системы является чрезвычайно трудоемким. Даже в одной из самых простых гипотез – гипотезе индикаторного поведения (см. ниже) на каждом шаге приходится решать задачу поиска глобального экстремума функции многих переменных, что делает нахождение точного и полного решения системы нецелесообразным, тем более что полную картину поведения решений можно установить лишь имея решения с достаточно широким набором начальных условий. Поэтому основное внимание следует уделять качественному анализу полученной динамической системы: выделению инвариантных множеств фазового пространства, исследованию их устойчивости и нахождению областей их притяжения. С этой точки зрения существование, например, устойчивого равновесия динамической системы будет означать наличие равновесия Нэша и т.д.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.