WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

Для того, чтобы это было так, необходимо, чтобы определяющее и определяемое понятия являлись подмножествами некоторого множества, представляющего их объединение. В таком случае это объединенное множество содержит те и только те элементы, которые содержатся в объединяемых множествах. Известно, что множество, элементами которого являются все руки, составляют подмножества только правых и только левых рук. То есть, подмножество правых рук является дополнением подмножества левых рук. Таким образом, не было бы нарушением правила 4 сказать, что правые руки - это руки, не являющиеся левыми. В таком и только в таком случае определяемое понятие можно определить через отрицание его дополнения. Но, во-первых, такие случаи существования дополнительных понятий довольно редки, и, во-вторых, очень велика опасность нарушить правило 1, т.к. скорее всего, к моменту определения определяемого понятия и дополнительное ему понятие еще не будет определено.

Таким образом, эта распространенная логическая ошибка заключается в том, что в конструкции определения с отрицанием в качестве отрицаемого используется такое понятие, которое не является дополнением определяемого понятия.

Единственное исключение из этого правила - определение отрицательных по своей сути понятий: “безбожник - человек, не признающий существования бога”.

Следующая группа элементов, без которых не мыслится ни одна теория, это утверждения. Утверждения устанавливают или выражают внелогические, содержательные, сущностные отношения между понятиями (терминами) и являются теми самыми логическими единицами, каждой из которых необходимо присуще одно из фундаментальных логических свойств - быть истинной или быть ложной. Однако, не всякие утверждения могут быть использованы в качестве признаков, характеризующих именно теорию. Один из видов утверждений утверждение первоначальное - несомненно является элементом теории. В данном случае “первоначальное утверждение” является обобщающим термином для аксиомы, постулата, гипотезы, принципа, тезиса, начала и т.п.

Такие утверждения высказываются как очевидные, недоказуемые, истинность которых заранее предполагается. Тем не менее, “Аксиома - это истина, не требующая доказательства” - выражение, иногда употребляемое в учебниках, содержит вовсе не тот смысл, которым мы собираемся наделить понятие “первоначальное утверждение”. У нас аксиома не потому, что “это очевидно”, не потому, что не требует доказательства, а потому, что не может быть доказана.

При этом не должно поддаваться искушению использовать термин “истина” для характеристики того, что понимается под утверждением в его значении “cоответствие действительности, практике”. Первое употребление и этимологически неверно. Греческое слово µ и латинское слово postulatus буквально означают требование. Не случайно автор первой в истории человечества теории – Евклид начинал свои аксиомы со слова “требуется”. Так и в любой другой теории для построения всех последующих рассуждений требуется заранее считать что-то таковым, а не иным. Таким образом, под первоначальным утверждением мы будем понимать высказывание, принимаемое в данной теории в качестве истинного (т.е. не ложного) заранее, до ее построения. Все то, истинность чего в рамках данной теории может быть доказана, не является аксиомой, постулатом, т.е. первоначальным утверждением.

При этом наши первоначальные утверждения вовсе не должны обязательно быть чем-то самоочевидным, общепризнанным. Для нас важно и достаточно того, что мы полагаем их истинными только в рамках строящейся теории, а если они при этом оказываются общепризнанными, мы должны воспринимать это как случайное совпадение, не означающее ни хорошего, ни плохого для нашей дальнейшей работы.

Вместе с тем, эти первоначальные утверждения не могут считаться выведенными из-под какой-либо критики. Наоборот, все дальнейшие манипуляции внутри теории как раз и служат той целенаправленной проверкой, критическим осмыслением, которые позволяют вовремя отказаться от неудачного первоначального утверждения, откорректировать, видоизменить его так, чтобы результат этих построений можно было назвать Теорией. Отсюда видно, что в начале процесса построения теории первоначальные утверждения - скорее гипотезы, т.е. предположения о том, что требуется. В процессе построения они постоянно проверяются внутренними способами строящейся теории. Когда построение продвинется достаточно далеко, и утверждение выдержит эти внутренние проверки, становится понятно, что для построения данной теории требовалось именно это утверждение. “...Аксиомы не являются ни синтетическими априорными суждениями, ни опытными фактами. Они суть условные положения (соглашения): при выборе, между всеми возможными соглашениями мы руководствуемся опытными фактами, но самый выбор остается свободным и ограничен только лишь необходимостью избегать всякого противоречия” [66, с.40].

Тем не менее, о качестве набора первоначальных утверждений кое-что можно сказать и до того, как построение теории продвинется достаточно далеко.

Совокупность первоначальных утверждений как часть теории также представляет собой систему. Хорошая система первоначальных утверждений (аксиоматическая система) теории должна удовлетворять целому ряду требований.

1. Содержательность.

Каждое первоначальное утверждение должно иметь содержание, т.е. оно должно представлять собой осмысленное предложение, о котором можно было бы сказать, что оно ложно или оно истинно (в логическом смысле). Соблюдение этого требования обязательно, хотя бы исходя из логического закона исключенного третьего, который говорит о том, что А (утверждение) может быть либо истинным, либо ложным. Третьего не дано. Это лежит в основе логического отрицания: если А истинно, то (не А) - ложно.

Если среди первоначальных утверждений, составляющих аксиоматическую систему, у нас окажется такое, об истинности которого мы не можем судить по причине невозможности осмыслить его содержание, такое утверждение в лучшем случае бесполезно и должно быть отрезано “бритвой Оккама”, а в худшем случае оно, не подчиняясь логическим законам, может разрушить нашу теорию.

2. Формальная непротиворечивость.

Если среди первоначальных имеются утверждения, противоречащие друг другу, то это разрушает теорию как систему. Закономерно связать противоречивые утверждения невозможно. Согласно логическому закону непротиворечивости оба противоречивых утверждения одновременно не могут быть истинными, значит, хотя бы одно из них ложно.

Для того, чтобы аксиоматическая система стала действительно системой, первоначальные утверждения должны быть между собой связаны. В качестве способов связи утверждений между собой логика предлагает нам конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквивалентность. Не все из них годятся для объединения утверждений именно в аксиоматическую систему. Так, дизъюнкция не подходит для этой цели из-за того, что заставляет нас выбирать какое-либо одно из связанных дизъюнкцией утверждений, говоря: либо А, либо В. Но поскольку нам необходимо сохранить обе наши аксиомы, от дизъюнкции мы вынуждены отказаться.

Эквивалентность говорит: А тогда и только тогда, если В. Но это означает, что А не является самостоятельной аксиомой, а является следствием В и, следовательно, от эквивалентности мы тоже вынуждены отказаться (см. правило 4).

Самым удобным способом связи является конъюнкция, которая говорит: и А, и В, т.е. является буквальной совокупностью всех наших утверждений - аксиом. Нам совершенно необходимо, чтобы вся совокупность (конъюнкция) была истинной. В принципе, каждое утверждение может быть как истинным (1), так и ложным ().

Согласно таблице конъюнкции А В А и В 1 1 совокупность утверждений истинна только тогда, когда истинны оба (все), входящие в нее утверждения. Если хотя бы одно из них ложно, становится ложной и вся совокупность. Таким образом, если мы имеем пару противоречащих друг другу утверждений, то хотя бы одно из них ложно и, следовательно, соединяя их в систему при помощи конъюнкции, мы получаем ложную аксиоматическую систему.

Поскольку импликация: если А, то В или АВ (если на небе тучи (А), то идет дождь (В) ), является значительно менее жесткой, чем эквивалентность, мы обязаны рассмотреть и такой способ объединения утверждений в аксиоматическую систему.

Согласно таблице импликации А В АВ 1 1 1 в случае истинности условия (А) и ложности заключения (В) вся импликация является ложной. В нашей аксиоматической системе заранее неизвестно, какое первоначальное утверждение можно расценивать как условие, а какое - как заключение, следовательно, при наличии одного ложного утверждения (заключения) вся импликация становится ложной. Но если кому-то покажется, что достаточно сгруппировать аксиомы таким образом, чтобы ложным было именно условие и это исправит положение, то это не так. В таблице импликации этому случаю соответствуют две последние строчки, которые говорят нам, что из логически ложного условия следует все, что угодно.

Таблица импликации показывает, что в случае ложности А, независимо от истинности или ложности В, импликация АВ является истинной. В живом русском языке этот факт нашел отражение в следующей популярной фразе: “Если (следует любое неправильное, с точки зрения говорящего, утверждение), то я - китайский император”.

Таким образом, независимо от того, какую позицию в импликации занимает ложное (противоречивое) утверждение, совокупность всех утверждений приобретает для разработчиков теории неудовлетворительный характер, следовательно, формальная непротиворечивость первоначальных утверждений является безусловным требованием, ему должна удовлетворять всякая теория.

3. Дедуктивная полнота.

Аксиоматическая система должна в явном виде содержать полный набор первоначальных утверждений, необходимый и достаточный для дедуктивного построения всех выводов данной теории. Если некоторая теория содержит интуитивно полученный вывод, который не противоречит другим выводам этой теории и ее аксиомам и при этом дедуктивно не выводится из этих аксиом, аксиоматическая система должна быть дополнена еще одним необходимым первоначальным утверждением, либо некоторые первоначальные утверждения должны быть усилены так, чтобы этот вывод можно было бы получить как их следствие. При этом очень велика вероятность того, что такое усиление аксиоматической системы не только даст обоснование этому интуитивному выводу, но и даст нам несколько новых, неожиданных выводов.

К сожалению, теории частенько грешат дедуктивной неполнотой двух родов.

Первый род неполноты связан с тем, что разработчики теории, а потом и её исследователи, некие вещи считают настолько очевидными, что, по их мнению, они даже не требуют вербализации. Иногда это действительно так и есть, а иногда так только кажется, и усомнившийся в очевидности становится автором ещё одной новой теории. Как бы там ни было, только произнесение, фиксирование таких скрытых элементов теории позволяет нам самим убедиться и показать всем остальным, что очевидное действительно очевидно. Даже теория Евклида не убереглась от такого недостатка, полагая, например, в неявном виде однородность и изотропность пространства. Если бы эта аксиома в явном виде присутствовала в теории Евклида, многие споры между приверженцами его теории и других теорий были бы просто невозможны, т.к. наличие в двух теориях двух разных аксиом однозначно делает их разными теориями.

Второй род неполноты связан с тем, что и некоторые определения содержат в себе аксиомы в скрытом виде. Д.С.Милль утверждал, что всякое определение содержит в себе аксиому. А.Пуанкаре считал, что аксиомы геометрии суть не более, чем замаскированные определения. Хотя, казалось бы, что аксиома в неявном виде, зафиксированная в определении, лучше совсем не зафиксированной, очевидной аксиомы, в действительности это не такое уж преимущество. Такая скрытая аксиома также выведена из-под целенаправленной критики, из-под критического осмысления ее в качестве именно аксиомы, что затрудняет выявление всех возможных противоречий.

Требование дедуктивной полноты вполне оправдано, но выполнить его нелегко.

Однако, очень важно, чтобы это требование осознавалось как важная цель аксиоматизации.

4. Взаимонезависимость.

В правильно построенной теории её различные аксиомы не должны выводиться друг из друга. Во-первых, это необходимо во избежание тавтологий (см. правило определений 3). Во-вторых, называя теорему аксиомой, мы плодим сущности сверх необходимого.

Кроме того, и самое главное, исследование взаимонезависимости аксиом основное оружие в борьбе теорий между собой. Если бы кому-либо удалось доказать, что постулат Евклида о том, что через данную точку можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, является не постулатом, а теоремой, в ту же минуту теория Лобачевского перестала бы быть теорией. Если бы кому-либо удалось доказать, что постулат Евклида о том, что между двумя точками можно провести только одну прямую, является не постулатом, а теоремой, в ту же минуту теория Римана перестала бы быть теорией. Но поскольку этого не случилось и эти постулаты остаются постулатами, все три указанные теории имеют право на существование в качестве теорий, а при построении своей новой (четвертой) теории любой теоретик вправе в качестве своего постулата избрать любое другое утверждение взамен любого из постулатов Евклида, лишь бы первоначальные утверждения его теории не противоречили друг другу. Именно поэтому теории Евклида, Лобачевского, Римана законно сосуществуют в науке. Но как только вновь вводимая аксиома вступает в противоречие хотя бы с одной уже принятой аксиомой, новая теория в силу безусловности второго требования тут же рассыпается как карточный домик.

Итак, у нас есть элементы - понятия и первоначальные утверждения.

Достаточный ли этот набор для того, чтобы любую построенную из этих элементов систему можно было бы назвать теорией Наверное, нет. Есть еще один вид утверждений, необходимо являющихся элементами теории.

Всякая теория стремится быть полезной - нет ничего практичнее хорошей теории. А польза теории заключается в ее элементах третьего рода: теоремах, леммах, следствиях, т.е. всех тех “правильных” выводах, которые можно сделать на основании первоначальных утверждений, используя понятия данной теории. Более того, именно ради этих выводов и затевается строительство любой теории. Таким образом, под выводом мы будем понимать утверждение, полученное путем логических построений из первоначальных утверждений (высказываний, заранее принятых в качестве истинных) и истинное (т.е. логически не ложное) именно в рамках данной теории.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.