WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |

Уравнения состояния центробежного регулятора. Для вывода уравнений введем неподвижную систему координат x, y, z. Ось z совместим с осью центробежного маятника, а начало системы координат выберем из условия: для значения угла = 0 муфта m0 находится в точке z=0 и имеет нулевое смещение w = 0.

Положение плоскости маятника определим углом, который образует линия ее пересечения с плоскостью XOY с осью x.

Для записи уравнений движения введем следующие обозначения:

d = - угловая скорость регулятора;

dt - угол между стержнем l и осью z;

l - расстояние от точки подвеса A до массы m ;

m, m0 - масса на конце стержня и масса муфты.

c0 - жесткость пружины, соединяющей точку подвеса стержней с муфтой. Длина пружины в свободном состоянии равна 2l.

Распределенные массы всех стержней учитываем как некоторые добавки к m, m0. Основной параметр состояния – это обороты двигателя. Количестдв П во оборотов, задаваемое техническими условиями, обозначим символом.

дв Уравнения системы регулирования можно записать следующим образом.

• Перемещение муфты:

w = 2 l (1 - cos ). (1) • Сечение канала подачи топливной смеси:

S = S0 - k1 w. (2) • Угловая скорость центробежного маятника:

d = k4, =. (3) дв dt • Характеристика двигателя. Примем простейшую зависимость - крутящий момент на валу пропорционален расходу топливной смеси:

M = k2 S. (4) дв • Уравнение движения роторов системы двигатель-генератор:

d дв I + k3 + M = Mдв. (5) дв ген dt Здесь М - крутящий момент, определяемый нагрузкой на генератор ген потребителями электрической энергии.

Система уравнений не является полной. К записанным уравнениям необходимо добавить уравнение движения центробежного маятника. При его выводе следует учесть, что маятник принудительно вращается через редуктор от двигателя и представляет собой механическую систему с одной степенью свободы, за которую примем угол. Уравнение колебаний получим на основе уравнений Лагранжа 2-го рода. Запишем кинетическую и потенциальную энергии движущихся частей маятника. Для кинетической энергии имеем:

2 d 1 dw T = m l + m( l sin )2 + m0, dt 2 dt где w = 2l (1 - cos ).

Потенциальная энергия запишется как = 2 m g l (1- cos )+ m0 g w + c0 w2.

Моменты сил трения примем пропорциональными угловой скорости d M = -k.

dt Подставив выражения для энергий в уравнение Лагранжа II рода d T T - = - + M, dt получим:

d k d 1 d (2 m + m0 sin2 ) + + m0 (sin 2 ) 2 dt 2 dt dt l. (6) g m sin 2 + (2 m + m0 ) + c0 (1- cos2 )sin = l Записана полная система уравнений. Для малых углов (6) переходит в уравнение колебаний математического маятника.

П Для установления зависимости оборотов двигателя от параметров дв системы (1)-(6) исследуем уравнения установившегося режима работы двигателя, полагая, что величины и постоянные и. M = const. Тогда имеем:

ген g m sin 2 + (2 m + m0 ) + c0 (1- cos 2 )sin = 0.

l Нижняя граница значений оборотов центробежного маятника определяется условием существования нетривиального решения. Из системы (1), (2), (4), (5) получим ещё одно уравнение:

k3 + M = k2 (S0 - k1 2l (1- cos )) дв ген П П Полагая в этих соотношениях =, = k4 и задавая значение дв дв дв П, определим параметры настройки регулятора из условия совместимости дв решений относительно угла.

Линеаризация уравнений состояния.

Система (1)-(6) является нелинейной и её исследование возможно лишь с применением численных методов. Однако в некоторых случаях возможно применение аналитических методов. Поясним это на примере уравнения (6), которое запишем в виде:

F(,,, ) = 0.

Предположим, что существует и известно в некоторый момент времени состояние:

F(,,, ) = 0.

0 0 0 Изменение параметров во времени представим как малые добавки к известному состоянию:

= +, = +, = +, = +.

0 0 0 Разложим функцию F(,,, ) в ряд в окрестности,,, по сте0 0 0 пеням приращений параметров и, ограничиваясь первыми степенями, получим:

F F F F + + + = 0.

0 0 К этому уравнению применимы все ранее рассмотренные методы Весьма простые уравнения можно вывести для исследования отклонения от стационарного состояния. Например, для уравнения (6) получим:

g F = 2m cos2 + (2 m + m0 ) cos + 3c0 sin 2 sin, 0 0 0 0 l F F k F =, = 2m + m0 sin2, = 2m sin 2.

0 0 0 l 2 9.2. САУ релейного типа.

Подобные системы управления содержат исполнительные устройства, которые функционируют по принципу «включено» - «выключено». Устройства такого типа принято называть реле. Формальное определение следующее: реле – устройство, предназначенное для автоматической коммутации электрических цепей по сигналу извне. Подобные элементы широко применяются в бытовых электроприборах: калориферах, электропечах, кофеварках и тому подобное.

Многие из них имеют тепловые реле, которые подключают бытовой прибор к источнику электрической энергии, как только температура прибора становится меньше заданной, и отключают от источника при её превышении. К достоинствам таких регуляторов следует отнести низкую стоимость в изготовлении и высокую надёжность по условиям эксплуатации. Недостатком является невысокая точность поддержания заданной температуры, однако вполне приемлемая для бытовых целей.

Наша задача – изучить функционирование САУ релейного типа на простом хорошо знакомом примере. В качестве объекта рассмотрим бытовой электрический прибор - утюг. На рисунке изображены основные элементы прибора и электрическая схема их соединения. Здесь не показан кожух утюга, внутри которого установле- Тепловое реле ны: устройство задания температуры, тепловое реле, 220 v электропроводка, нагреватель, Описание работы САУ. В начальный момент времени t=0 при подключеНагреватель нии утюга к электрической сети температура биметал- Плита лической пластины Tпл рав П на комнатной и меньше заданной (программной) T. Поэтому контакты теплового реле замкнуты и электрический ток проходит через нагревательный элемент. Выделяющееся тепло увеличивает температуру элемента Tн, повышает так же температуру плиты и биметаллической пластины. При достижении П температуры пластины заданной T размыкаются контакты теплового реле и утюгом можно пользоваться. С течением времени из-за потерь тепла происходит остывание элементов бытового прибора, в том числе и биметаллической П пластины. Как только её температура становится меньше T, снова замыкаются контакты реле и процесс установления заданной температуры повторяется.

Уравнения состояния САУ. Вывод уравнений теплопередачи между элементами прибора основан на использовании закона сохранения энергии и применении закона Ньютона для вычисления тепловых потоков между двумя телами разной температуры.

Ниже в таблице приведены теплофизические параметры тел в процессе обмена энергией.

Элементы утюга Тепловые свойства Потоки тепла поступление биметал. пластина mбм, Tбм, cбм h3 S3 (Tпл - Tбм) плита mпл, Tпл, cпл h2 S2 (Tн - Tпл) нагреватель mн, Tн, cн W -мощность среда T0 - const h1 S1 (Tпл - T0) Здесь m -масса, c -теплоёмкость тела, h -коэффициент теплопередачи, S -поверхность контакта.

Для упрощения вывода уравнений схема нагрева биметаллической пластины существенно изменена. В действительности имеет место конвективный и лучистый теплообмен с плитой. Неучтено так же влияния кожуха на процесс теплообмена.

Сравним состояния тел в моменты времени t и t + t :

t : Tн, Tпл, Tбм, T0.

За время t происходит следующие изменения температуры:

t + t : Tн + Tн, Tпл + Tпл, Tбм + Tбм, T0.

Здесь принято, что изменением температуры окружающей среды можно пренебречь. Составим уравнения баланса тепла, обозначая потери тепла через Q0 :

mн cн Tн + h2 S2 (Tн -Tпл ) t = W t, mпл cпл Tпл +[h3 S3 (Tпл -Tбм )+ h1 S1 (Tпл -T0)- h2 S2 (Tн -Tпл )] t = 0, mбм cбм Tбм - h3 S3 (Tпл -Tбм ) t = 0, Q0 = h1 S1 (Tпл -T0 ) t.

Качественная проверка полученных соотношений основана на анализе размерности всех слагаемых, а сумма уравнений показывает распределение мощности нагревателя по частям бытового прибора и теплопередачу в окружающую среду. Деление всех уравнений на t и переход к пределу t приводит к дифференциальным уравнениям задачи (уравнения состояния) dTн mн cн + h2 S2 (Tн -Tпл ) = W, dt dTпл mпл cпл + h3 S3 (Tпл -Tбм )+ h1 S1 (Tпл -T0 )- h2 S2 (Tн -Tпл ) = 0, dt dTбм mбм cбм - h3 S3 (Tпл - Tбм ) = 0, dt dQ= h1 S1 (Tпл - T0 ).

dt Теперь запишем уравнение теплового реле:

П W, если Tбм > T W = П 0, если Tбм < T Проще это соотношение можно представить с помощью функции Хевисайда:

П W = W0 (Tбм - T ).

Полученная система уравнений является полной. Её решение можно построить лишь на основе численных методов (задача Коши). Для этого необходимо поставить начальные условия:

При t = 0 Tбм = Tпл = Tн = T0 = 0.

10. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ САУ Рассмотрим систему управления, в которой состояние объекта характеризуется элементами вектора-столбца x, являющимися функциями времени xT = {x1, x2, x3,..., xn}.

Во многих случаях элементы x измеряются непосредственно в системе j управления и их принято называть параметрами наблюдения за состоянием объекта. Однако зачастую непосредственное измерение некоторых параметров x является невозможным и за параметры наблюдения принимают другие фиj зические величины y1, y2, y3,..., yk, причем число этих величин может и не равняться n. Образуем из элементов y вектор столбец y j yT = {y1, y2,..., yk}.

В общем случае число параметров управления u (управляющих сигнаj лов) m отличается от n.Введем обозначение uT = {u1,u2,...,um}.

Тогда уравнения состояния САУ можно описать следующими уравнениями:

dx = A x + B u, y = C x +, u = F(xП, y).

dt Здесь A, B, C матрицы, размерность которых согласована с введенными выше векторами, F вектор-столбец, элементы которого являются функциями П П компонент x, y ; x - программные значения параметров состояния объекта управления; вектор-столбец учитывает ошибки в системе измерений параметров наблюдения y. Отметим, что векторная функция F реализует принятый в САУ алгоритм управления.

Параметры x в любой момент времени t можно трактовать как точку в n -мерном пространстве состояний объекта. Множество значений x образует некоторую линию (траекторию) в этом пространстве. В связи с этим принято гоП ворить, что x -является планируемой траекторией в пространстве состояний.

Основные задачи общей теории САУ следующие.

• Исследование устойчивости системы управления.

• Построение общего решения уравнений состояния.

• Исследование управляемости САУ.

• Изучение влияния помех на значения параметров состояния.

• Разработка алгоритмов управления.

Рассмотрим решение некоторых задач для линейных уравнений состояния.

Управление по планируемой траектории.

Примем, что элементы матриц A, B константы, n = m = k. Кроме того, матрица C единичная. В этом случае параметры наблюдения и состояния совпадают, поэтому:

y = x +.

Управляющий сигнал u будем задавать в виде суммы u = u + F(xП, x + ), где u функция, которую надо определить из первого уравнения состояП ния, подставляя в него x :

dxП = A xП + B u.

dt Теперь уравнения состояния САУ запишем в виде dx dxП = A x + B u, u = F(xП, x + ) + B-1 - A xП. (a) dt dt Построение общего решения уравнений состояния.

Решение дифференциальных уравнений состояния основано на обобщении известных методов. Это решение рассмотрим на примере уравнения, которое следует из (а):

dx = A x + f.

dt Примем, что элементы матрицы A не зависят от времени, а вектор f является заданной функцией t. Построим решение уравнения (задача Коши). для начальных условий: при t = 0 x = x0, где x0 - вектор-столбец начальных значений параметров состояния.

dx Решение однородного уравнения = A x будем искать в виде ряда dt по степеням t :

x = c0 + c1 t + c2 t2 + c3 t3 + c4 t4.....

Здесь c неизвестные вектора-столбцы порядка n. Подставляя это предj ставление в однородное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, выразим вектора c через c0:

j j c = A c0.

j j! Теперь степенной ряд можно представить в виде 1 1 1 E 2 x = + At + A2 t + A3 t3 + A4 t +... c0.

1! 2! 3! 4! Здесь E единичная матрица размерности n n. Выражение в квадратных скобках является матрицей и оно аналогично разложению показательной функции et в ряд по степеням t. Введём показательную матричную функцию, которую определим как сумму следующего бесконечного ряда:

1 1 1 2 eAt = E + At + A2 t + A3 t3 + A4 t +....

1! 2! 3! 4! d Отметим основное свойство этой функции: eAt = AeAt. Тогда решение одdt нородного уравнения запишем в виде x = eAt c0.

Здесь c0 - вектор-столбец произвольных констант.

Частное решение неоднородного уравнения будем строить по методу вариации произвольных постоянных x = eAt a(t), где a(t) - вектор-столбец с неизвестными элементами, зависящими от времени. Подставляя это представление в исходное уравнение, получим систему для определения вектора a(t) :

da(t) eAt = f.

dt Интегрируя, получим:

t -A a(t) = e f ( ) d.

Окончательно решение поставленной задачи представим в следующем виде:

t -A x = eAt c0 + eAt e f ( ) d.

Исследование устойчивости системы управления.

Устойчивость системы управления для нелинейных уравнений состояния, как правило, исследуют на основе численных методов.

Для линейных уравнений можно использовать преобразование Лапласа с применением известных критериев устойчивости. Рассмотрим постановку подобной задачи. Преобразуем уравнение (а) полагая, что закон управления, определяемый функцией F, является линейным:

F = D (xП - x)+.

В этом случае уравнение состояния (а) преобразуем к виду:

dx dxП = (A - B D) x +, = B (D xП + )+ - A xП.

dt dt Полагая, что элементы всех матриц являются константами, применим к уравнению состояния преобразование Лапласа по времени. Для изображений функций введем обозначения X (p) = x(t) e- pt dt, (p) = (t) e- pt dt.

0 Тогда получим уравнение для изображений p X (p)- x0 = (A - B D)X (p)+ (p).

Здесь x0 -начальные значения параметров состояния САУ.

Из последнего соотношения следует, что решение задачи имеет вид:

X (p) = (E p - (A - B D))-1 ((p)+ x0 ), где E - единичная матрица порядка n. Обратное преобразование определяет вектор-столбец параметров состояния:

a+i pt x(t) = X ( p) e dp.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.